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- 2021-11-06 发布
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3.4 圆心角(第2课时)
1.圆心角定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个________中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等.
2.应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时,前提条件是“在同圆或等圆中”,它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法.
A组 基础训练
1.下列说法中正确的是( )
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦相等
D.弦相等,所对的圆心角相等
2.观察下列4个图形及相应推理,其中正确的是( )
第2题图
A.如图1,∵∠AOB=∠A′OB′,∴=
B.如图2,∵=,∴AB=CD
C.如图3,∵=40°,∴∠AOB=80°
D.如图4,∵MN垂直平分AD,∴=
3.如图,在⊙O中,=,∠A=30°,则∠B=( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
7
第3题图
3. 如图,AB是所对的弦,AB的垂直平分线CD交于点C,交AB于点D,EF垂直平分AD,GH垂直平分BD.下列结论中,不正确的是(C)
第4题图
A.= B.= C.= D.EF=GH
5.如图,AB,CD是⊙O的两条弦,OM,ON是弦AB,CD的弦心距,根据圆心角定理填空:
(1)如果AB=CD,那么____________,____________,____________;
(2)如果=,那么____________,____________,____________;
(3)如果OM=ON,那么____________,____________,____________.
第5题图
4. 如图,=,若AB=3cm,则CD=________.
第6题图
7.如图,已知=m120°(指所对圆心角的度数为120°),则∠OAB=________.
7
第7题图
3. 如图,在菱形ABCD中,AC=AB,以顶点B为圆心,AB长为半径画圆,延长DC交⊙B于点E,则的度数为________.
第8题图
9.如图,A,B,C,D是⊙O上的点,∠1=∠2,AC=3cm.
(1)求证:=;
(2)求BD的长.
第9题图
10.如图,P为⊙O的直径EF延长线上一点,PA交⊙O于点A,B,PC交⊙O于点C,D,且∠1=∠2,求证:AB=CD.
第10题图
7
B组 自主提高
11. 如图,在△ABC中,∠A=48°,⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等,则∠BOC等于( )
第11题图
A.96°
B.114°
C.132°
D.138°
12.如图,半圆的直径AB为2,C,D是半圆上的两点.若的度数为96°,的度数为36°,动点P在直径AB上,求CP+PD的最小值
第12题图
7
13.如图,MN为半圆O的直径,半径OA⊥MN,D为OA的中点,过点D作BC∥MN.求证:
(1)四边形ABOC为菱形;
(2)∠MNB=∠BAC.
第13题图
C组 综合运用
14.如图所示,在⊙O中,AD,BC相交于点E,OE平分∠AEC.
(1)求证:AB=CD;
(2)如果⊙O的半径为5,AD⊥CB,DE=1,求AD的长.
第14题图
7
3.4 圆心角(第2课时)
【课堂笔记】
1.弦心距
【课时训练】
1-4.BBBC
5.(1)∠AOB=∠COD = OM=ON (2)AB=CD ∠AOB=∠COD OM=ON (3)∠AOB=∠COD AB=CD =
6.3cm
7.30°
8.60°
9. (1)证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠BOC=∠2+∠BOC,∴∠AOC=∠BOD,∴=; (2)∵=,∴AC=BD=3cm.
10. 作OG⊥AB于G,OH⊥CD于H,∵∠1=∠2,∴OG=OH,∴AB=CD.
11.B
第12题图
12.如图,将半圆补成整圆,作点D关于直径AB的对称点D′,连结OC,OD,OD′,CD′,CD′交AB于点P,此时CP+PD最小,即为CD′的长.作ON⊥CD′于点N.∵的度数为96°,的度数为36°,∴∠DOB=36°,∠AOC=96°,∴∠COD=48°,∠BOD′=36°,∴∠COD′=36°+36°+48°=120°,∴∠OCN=∠OD′N=30°.∵半圆的直径AB为2,∴ON=OC=AB=.∴CN==,∴CD′=.∴CP+PD的最小值为.
13.(1)∵BC∥MN,OA⊥MN,∴OA⊥BC,∴BD=CD,∵D为AO中点,∴四边形ABOC为平行四边形,∵AO⊥BC,∴▱ABOC为菱形; (2)∵OB=ON,∴∠MNB=∠OBN,∴∠MOB=∠MNB+∠OBN=2∠MNB,∵OD=AO=BO,∴∠OBD=30°.∴∠BOD=60°,∴∠MOB=30°,∠BOC
7
=120°,∴∠MNB=15°,∠BAC=120°,∴∠MNB=∠BAC.
第14题图
14.(1)证明:作OM⊥AD于M,ON⊥BC于N,连结OA、OC,如图,则AM=DM,BN=CN,在Rt△OAM中,AM=,在Rt△OCN中,CN=,∵OE平分∠AEC,∴OM=ON,而OA=OC,∴AM=CN,∴AD=BC,∴=,即+=+,∴=,∴AB=CD; (2)∵AD⊥CB,∴∠MEN=90°,∵OE平分∠MEN,∴∠MEO=45°,∴△MEO为等腰直角三角形,∴OM=EM,设ME=x,则OM=x,DM=ME+DE=x+1,∴AM=DM=x+1,在Rt△AOM中,∵OM2+AM2=OA2,∴x2+(x+1)2=52,解得x1=3,x2=-4(舍去),故AD=2AM=8.
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