2019年湖南衡阳中考数学试题（解析版） 17页

‎{来源}2019年衡阳中考数学 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎2019年衡阳市初中学业水平考试试卷 数学 ‎{题型:1-选择题}一、选择题（本大题共 12个小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的.）‎ ‎{题目}1.(2019衡阳， T1）的绝对值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎{答案}B ‎ ‎{解析}本题考查了绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，而的相反数是，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:绝对值的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2.(2019衡阳,T2）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）‎ A.x≠-1 B.x＞-1 C.全体实数 D.x=-1‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件：分母不为零，因此x+1≠0，解得x≠-1，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-1]分式}‎ ‎{考点:分式的意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}3.(2019衡阳,T3）2018年6月4日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日12点Halo使命轨道，称为世界首颗运行在地月12点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为_______公里.( )‎ A.0.65× B.65× C.6.5× D.6.5× ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的实数，根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10.若用科学记数法表示绝对值较大的数，则n 的值等于该数的整数位数减去1，则a＝6.5，n＝5－1＝5，故65 000＝6.5×，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．(2019衡阳,T4）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，A项中的图形是轴对称图形，B项中的图形是轴对称图形，C项中的图形是轴对称图形，D项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-1-1]轴对称}{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}‎ ‎{考点:轴对称图形}{考点:中心对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5.(2019衡阳,T5）下列各式中，计算正确的是（ ）‎ A.8a-3b=5ab B. C. D.‎ ‎{答案}B ‎ ‎{解析}本题考查了整式的运算，A项中不是同类项，不能进行合并；B项中的结果应为；C项中结果应为，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-2-2]整式的加减}{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:整式加减}{考点:幂的乘方}{考点:同底数幂的除法}{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}6.(2019衡阳,T6）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED=40°，则∠A的度数是（ ）‎ A.40° B.50° C.80° D.90°‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了平行线的性质，垂直的定义，由垂直的定义可得∠AEB=90°，‎ ‎∵∠BED=40°，∴∠DEF=180°-∠AEB-∠BED=180°-90°-40°=50°.∵AB∥CD，‎ ‎∴∠A=∠DEF=50°，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-1-2]垂线},{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:垂线定义},{考点:两直线平行同位角相等}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7.(2019衡阳,T7）某校5名同学在“国学经典诵读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86,95,97,90,88,这组数据的中位数是（ ）‎ A.97 B.90 C.95 D.88‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了中位数的确定，本组5个数据中按照“从小到大或从大到小”的顺序排列后可以发现90位于数据在中间，所以中位数是90，因此本题选．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8.(2019衡阳,T8）下列命题是假命题的是（ ）‎ A.n边形（n≥3）的外角和是360° ‎ B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C.相等的角是对顶角 D.矩形的对角线互相平分且相等 ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了命题的真、假的判定，多边形的内角和、线段垂直平分线的性质、对顶角、矩形的性质，C项中相等的角不一定是对顶角，所以不一定正确，所以是假命题，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-1]矩形}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}(2019衡阳,T9）不等式组的整数解是（ ）‎ A.0 B.-1 C.-2 D.1‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了解不等式组和整数解的确定，解不等式2x＞3x得x＜0，解不等式x+4＞2得x＞-2，∴不等式组的解集为-2＜x＜0，∵x为整数，∴x=-1，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:一元一次不等式组的整数解}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}{‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10.(2019衡阳,T10）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人，通关社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得（ ）‎ A.9（1-2x）=1 B.9=1 C.9(1+2x)=1 D.9=1‎ ‎{答案}B ‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程的应用，题目中“从2016年底到2018年底”共计2年，由于是考察的是下降率，所以套用公式a(1-x)2＝b即可得出9=1 ，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}11.(2019衡阳,T11）如图，一次函数（k≠0）的图象与反比例函数（m为常数且m≠0）的图象都经过A(-1,2),B(2,-1),结合图象，则不等式＞的解集是（ ）‎ A.x＜-1 B.-1＜x＜0 C.x＜-1或0＜x＜2 D.-1＜x＜0或x＞2‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了一次函数、反比例函数图象和不等式，通过观察图象可以发现当x＜-1或0＜x＜2 时，一次函数的图象在反比例函数的上方，即不等式＞的解集是x＜-1或0＜x＜2，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}12.(2019衡阳,T12）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为 t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎{答案}C ‎ ‎{解析}本题考查了等腰三角形、正方形、二次函数的图象，点的运动，设AC=BC=2cm，四边形运动的速度为1cm/s，由题意易得四边形CDEF是正方形，且边长为1cm，本题分两种情况考虑：（1）如图1，当点D在CA上，此时△EE′G是等腰直角三角形，EE′=E′G=tcm，‎ 此时四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S=4-，函数图象是二次函数图象，开口向下；（2）如图2，点D在CA的延长线上时，此时△AC′G是等腰直角三角形，AC′=GC′=（2-t）cm，此时四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S=，函数图象是二次函数图象，开口向上.因此本题选C．‎ ‎ 图1 图2 ‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎{题目}13.(2019衡阳，T13）因式分解：=_________.‎ ‎{答案}2(a+2)(a-2)‎ ‎{解析}本题考查了整式的因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，所以=2(a+2)(a-2)．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}{考点:因式分解－平方差}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．(2019衡阳,T14）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别.若从该布袋里任意摸出一个球，该球是黄球的概率为，则a等于________.‎ ‎{答案}5 ‎ ‎{解析}本题考查了概率的计算，由题意可得P（黄球）=，解得a=5，因此填5．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{考点:概率的意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ 难度:2-简单}‎ ‎{题目}15.(2019衡阳，T15）=_________.‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了二次根式的减法运算，原式==，因此本题填．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:二次根式的加减法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}16.(2019衡阳,T16）计算：=___________.‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}本题考查了分式的加减，原式=，因此本题填1．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}17.(2019衡阳,T17）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_______.‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了与圆的有关计算中圆内接三角形的计算，如图所示，⊙O的半径是6，△ABC是⊙O的内接正三角形，连接OA，过O作OD⊥AB于D，由题意可得OA=6，∠OAD=30°，在Rt△ADO中，OD=OA=3，由勾股定理可得AD=，由垂径定理的性质可得AB=2AD=‎ ‎，因此本题填．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-3]正多边形和圆}‎ ‎{考点:正多边形和圆}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}18.(2019衡阳,18）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为（1,1），过点A作∥x轴交抛物线于点,过点作∥OA交抛物线于点，过点作∥x轴交抛物线于点,过点作∥OA交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为_________.‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了二次函数图象与性质、三角形的全等、平行线的性质、点的坐标的规律探索，把点A（1,1）代入，解得a=1,因此二次函数解析式为，如图所示，设、、、与y轴的交点分别为B、C、D、E，由二次函数的图象关于y轴对称，∴点的坐标为（-1,1），AB=,,⊥y轴，⊥y轴，∵∥OA，∴∠AOB=,∴∠ABO=,∴△ABO≌△，∴CB=OB=1，∴点C的坐标为（0,2）.设所在的直线为y=kx+b，∴，∴y=x+2,与二次函数建立方程组可得，解得，当x=2时，y=4,∴点的坐标为（2,4）,点的坐标为（-2,4），点D的坐标为（4,0）.同理可得△≌△,∴点E的坐标为（6,0），所在的直线为y=x+6,同理可得的坐标为（3,9），的坐标为（-3,9）.依次类推可得：当n为偶数时，其坐标为（，）；当n为奇数时，其坐标为 ‎（-，）.∴当n=2019时，其坐标为，因此本题填．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-2]二次函数y=ax2的图象和性质}{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{章节:[1-12-1]全等三角形}{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:二次函数y=ax2的性质}{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:代数选择压轴}{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:发现探究}{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎{题目}19.(2019衡阳，T19）（本小题满分6分）+tan60°-.‎ ‎{解析}本题考查了特殊角的三角函数值与实数的运算，直接根据特殊角的三角函数值和有关实数的运算法则进行计算即可．‎ ‎{答案}解：原式=.‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{题目}20.(2019衡阳,T20）(本小题满分6分）某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A.绘画；B.唱歌；C.演讲；D.十字绣.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）这次学校抽查的学生人数是________；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？‎ ‎{解析}本题考查了条形统计图和扇形统计图、样本估计总体.(1)根据条形统计图中“A”对应的数据是“12”和扇形统计图对应的“30%”，12÷30%=40，即是此次抽查的学生人数；（2）利用（1）中求出的30-12-14-4=10，即是“C”对应的数据，然后补全条形统计图；（3）根据样本中喜欢“D”的百分比，然后乘以1000，即可得出结果.‎ ‎{答案}解：(1)40；‎ ‎(2)如图：‎ ‎（3）解：.‎ 故该校1000人中报D约有100人 ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:扇形统计图}{考点:条形统计图}‎ ‎{题目}21.(2019衡阳，T21）（本小题满分8分）关于x的一元二次方程有实数根.‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程一个相同的根，求此时m的值.‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根.（1）由根的判别式可得关于 k的一元一次不等式，然后求解即可；（2）利用（1）中求出的k的取值范围，根据要求确定k的最大整数值后代入得出方程的两个根，再分别代入一元二次方程求出m的值，同时要保证m-1≠0.‎ ‎{答案}解：(1)由一元二次方程有实根，则判别式；‎ ‎(2)由（1）可得k的最大整数为2，把k代入得方程，解得该方程的根为1和2.由方程与一元二次方程有一个相同根，则即或，即；当时，不合题意，故.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-21-2-2]公式法}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{题目}22.(2019衡阳，T22）（本小题满分8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测定楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度.（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）‎ ‎ ‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是通过直角三角形中的的特殊角得出边之间的关系和利用坡比进行简单的计算，然后作将有关数据转化解三角形的知识进行解答．‎ ‎{答案}解：设楼房AB的高为x米，则EB，由坡度则坡面CD的铅直高度为5米，坡面的水平宽度为米，所以，‎ 解得米.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}‎ ‎{题目}23.(2019衡阳，T23）（本小题满分8分）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA的延长线于点D.连接BC,且∠BCA=∠OAC=30°.‎ ‎(1)求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积.‎ ‎{解析}本题考查了圆周角和圆心角之间的关系、圆的切线的判定和性质、平行线的性质、直 角三角形的性质、扇形面积的计算.（1）连接OB，交AC于点E，易得∠AOB=60°，‎ ‎∠AEO=90°，然后根据平行线的性质可得∠DBO=90°，即可证明结论；（2）由（1）可 得△DBO是直角三角形，然后利用△DBO的面积减去扇形AOB的面积，就可以得出阴影部 分的面积.‎ ‎{答案}解：(1)证明：如图，连接OB交AC于E，由，在∆AOE中，∠OAC=30°，∴∠OEA=90°，，所以，而B在圆上，所以BD为圆的切线；‎ ‎（2）由（1）可得△OBD是直角三角形，∴∠D=30°，∴‎ OD=16，由勾股定理可得BD=.‎ 因此∆OBD的面积为，扇形OAB的面积为，所以阴影部分的面积为.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:扇形的面积}{考点:圆周角定理}{考点:解直角三角形}‎ ‎{题目}24.(2019衡阳，T24）（本小题满分8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买一个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和 花费100元购买B商品的数量相等.‎ ‎（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元？‎ ‎（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？‎ ‎{解析}本题考查了利用分式方程解决实际问题和一元一次不等式组的应用.（1）设一个B商品为x元，则一个A商品为（x+10）元，然后根据“数量相等”列出分式方程进行求解；（2）‎ 设买A商品为y个，则买B商品，然后根据“A商品的数量不少于B商品数量的4倍”和“总费用不低于1000元且不高于1050元”列出一元一次不等式组求解，根据实际需要得出正整数解.‎ ‎{答案}解：(1)设买一个B商品为x元，则买一个A商品为(x+10)元，由题意得 则，解得.‎ 经检验x=5是分式方程的解，且符合实际问题.‎ ‎∴x+10=15.‎ 答：买一个A商品为需要15元，买一个B商品需要5元.‎ ‎（2）设买A商品为y个，则买B商品，由题意得，解得；∵y为正整数，∴y=64或65，∴80-y=16或15.‎ 所以有两种方案：①买A商品64个，B商品16个；②买A商品65个，B商品15个.‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{考点:其他分式方程的应用}‎ ‎{考点:一元一次不等式组的应用}‎ ‎{题目}25.(2019衡阳,T25）（本小题满分10分）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A（-1,0）和点B(3,0),与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.‎ ‎(1)求该抛物线的函数关系表达式；‎ ‎（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；‎ ‎（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB.请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的解析式、解直角三角形、三角形的面积.（1）把A(-1,0),B(3,0)代入，从而求出二次函数表达式；（2）由题意得正方形ABCD的边长为4，然后根据PC⊥PE，利用“同角的余角相等”易得∠PCB=∠EPO，根据正切的计算建立的关系式，从而利用二次函数的性质求出最大值；（3）设M的坐标(m，），同时根据点M的象限，可以得出m＞0，＜0，利用“割补法”得出△MBN的面积等于矩形的面积减去三个三角形的面积，利用二次函数的性质求出m的值，然后求出M的坐标.‎ ‎{答案}解：（1）把A(-1,0),B(3,0)代入得，解得，‎ ‎∴二次函数的表达式为；‎ ‎（2）设点P的坐标为（0，n），则OP=n，BP=3-n，由四边形ABCD是正方形，PC⊥PE，易得 ‎∠PCB=∠EPO，∵tan∠PCB=，tan∠EPO=,∴，即，‎ ‎∴OE=，,∴当n=时，OE有最大值为，此时点P在（，0）.‎ （3） 设点M的坐标设M的坐标(m，），同时根据点M的象限，可以得出m＞0，＜0，点N的坐标为（0，-3）,∴ON=3,利用构建矩形可得 ‎ ‎=，∴当m=时，△MBN有最大值，把m=代入可得y=,∴点M的坐标为（，）.‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:高度原创}{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{考点:其他二次函数综合题}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{题目}26.(2019衡阳,T26）（本小题满分12分）如图，在等边三角形ABC中，AB=6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.‎ ‎(1)当t为何值时，△BPQ为直角三角形；‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的 平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求DE的长；‎ ‎（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值.‎ ‎{解析}本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质与判定、角平分线、轴对称、直角三角形的判定、全等三角形的性质与判定.(1)由题意可得∠B和∠BQP不可能是直角，所以∠BPQ=90°，结合直角三角形的性质容易得出BQ=2BP，从而建立关于t的一元一次方程，求解即可；（2）假设点F在∠ABC的 平分线上，容易得出∠BFQ=90°，所以BQ=2QF，结合平行四边形的性质得出QF=6-0.5t，从而求出t的值；（3）过点P作PN∥CQ，结合等边三角形的性质，易得PN=AP=CQ，AE=NE，然后通过求出△PND≌QCD，所以DN=DC,所以DE=AC=3；（4）连接AM,由“三线合一”可得BM=3=B′M，再由勾股定理可得AM=,在△AB′M中易得AB′的最小值为-3.‎ ‎{答案}解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°,BC=AC=6cm，∵四边形CQFE是平行四边形，∴CE∥FQ，∴∠CQF=∠ACB=60°，∴由题意可得∠B和∠BQP不可能是直角，所以∠BPQ=90°，∴∠BQP=30°，∴BP=BQ，即6-t=(6+t),解得t=2，即当t=2时，△BPQ为直角三角形；‎ ‎（2)存在，理由如下：∵∠A=60°，EF⊥AC，∴∠APE=30°，∴AE=AP=0.5t，CE=6-0.5t，∵四边形CEFQ是平行四边形，∴CE∥FQ，CE=FQ.假设点F在∠ABC的 平分线上，则BF⊥AC，容易得出∠BFQ=90°，所以BQ=2QF，∴6+t=2(6-0.5t)，解得t=3‎ ‎（3）如图，过点P作PN∥CQ,∴∠APN=∠B=60°，∴∠EPN=30°，∵PE⊥AC，∴∠ AEP=‎ ‎∠NEP=90°，∵PE=PE，∴△APE≌△NPE，∴AO=PN.∵点P和点Q的移动速度相同且同时出发，∴AP=CQ,AE=NE.∵PN∥CQ，∴∠DPN=∠DQC，∵∠PDN=∠QDC，∴△PDN≌△QDC，∴DN=DC，∴DE=NE+DN=(AN+CN)=AC=3cm.‎ ‎（4）如图，连接AM,∵△ABC是等边三角形，点M是BC的中点是，∴BM=3，AM⊥BC，∴B′M=BM=3，在Rt△ABM中，勾股定理可得AM==,∴当A、B′、M三点共线时AB′有最小值，所以其最小值为-3.‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:等边三角形的性质}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{考点:勾股定理的应用}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎