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- 2021-11-06 发布
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3.6 圆内接四边形
1.圆内接四边形的对角________.
2.圆内接四边形的外角等于内对角.
A组 基础训练
1.如图,在圆内接四边形ABCD中,若∠C=80°,则∠A等于( )
A.120° B.100° C.80° D.90°
第1题图
2. 如图,点A,B,C在⊙O上,∠AOC=80°,则∠ABC的度数为( )
第2题图
A.100° B.120° C.140° D.160°
3.圆内接四边形ABCD中,若∠A:∠B:∠C=1∶2∶5,则∠D等于( )
A.60° B.120° C.140° D.150°
4.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形.若∠BOD=120°,则∠BCD的度数为( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
第4题图
5.如图,已知∠BAE=125°,则∠BCD=________度.
第5题图
5
6.平行四边形ABCD为圆内接四边形,则此平行四边形是________.
7.⊙O的内接四边形ABCD,∠AOC=140°,∠D>∠B,则∠D=________.
8.如图,已知四边形ABCD内一点E,若EA=EB=EC=ED,∠BAD=70°,则∠BCD=________.
第8题图
9.如图,已知AD是△ABC的外角平分线,与△ABC的外接圆交于点D.
(1)求证:DB=DC;
(2)若过D作DP⊥AC于点P,DQ⊥BA于点Q,求证:△CDP≌△BDQ.
第9题图
10.如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于点E,交于点D.
(1)请写出四个不同类型的正确结论;
(2)连结CD,设∠CDB=α,∠ABC=β,试找出α与β之间的一种关系式,并予以证明.
5
第10题图
B组 自主提高
8. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,F是上一点,且=,连结CF并延长交AD的延长线于点E,连结AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )
第11题图
A.45° B.50° C.55° D.60°
12.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,点O在四边形ABCD的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD的度数为________.
第12题图
13.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连结ED、BE.
(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;
(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.
第13题图
5
C组 综合运用
14.如图,正方形ABCD,E、F分别为CD、DA的中点,BE、CF相交于P.
(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系?
(2)判断点P,F,A,B共圆吗?
(3)直接写出∠FPA相等的角.
(4)求证:AP=AB.
第14题图
5
3.6 圆内接四边形
【课堂笔记】
1.互补
【课时训练】
1-4.BCBA
5. 125
6. 矩形
7.110°
8.110°
8. (1)∵AD是∠EAC的平分线,∴∠DAC=∠DAE.∵四边形ABCD内接于圆,∴∠DCB=∠DAE,∵∠DAC=∠DBC,∴∠DCB=∠DBC,∴DB=DC; (2)∵AD平分∠EAC,DP⊥AC,DQ⊥BA,∴DP=DQ,又∵DB=DC,∴△CDP≌△BDQ(HL).
9. (1)不同类型的正确结论有:①BE=CE;②=;③∠BED=90°;④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD;⑥AC⊥BC;⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC=BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形等; (2)α与β的关系式主要有如下两种形式:①α-β=90°.证明如下:∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°①.又∵四边形ACDB为⊙O的内接四边形,∴∠A+∠CDB=180°②.②-①,得∠CDB-∠ABC=90°,即α-β=90°. ②α>2β.证明如下:∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.又∵∠OBD=∠ABC+∠CBD,∴∠ODB>∠ABC.∵OD⊥BC,∴=,∴CD=BD,∴∠CDO=∠ODB=∠CDB,∴∠CDB>∠ABC,即α>2β.
10. B
11. 60°
12. (1)连结AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AB=AC,∴∠CAD=∠BAD,即∠EAD=∠BAD,∴DE=BD; (2)∵AD⊥BC,AB=AC,∴BD=CD=BC=3,∴AD==4,∵S△ABC=×BC·AD=AC×BE,∴×6×4=×5×BE,∴BE=.
13. (1)BE=CF,BE⊥CF,理由:证△BCE≌△CDF(SAS)得BE=CF,∠CBE=∠DCF,∵∠DCF+∠BCF=90°,∴∠CBE+∠BCF=90°,即BE⊥CF; (2)点P,F,A,B共圆.理由:∵BE⊥CF,∠A=90°,∴点P,F,A,B共圆. (3)∠FPA=∠FBA=∠FCD=∠EBC. (4)证明:∵∠FPA=∠FBA=∠FCD=∠EBC,∴∠APB=90°-∠FPA=90°-∠EBC=∠ABP,∴AP=AB.
5
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