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  • 2021-11-06 发布

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆

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1 第二十三讲 圆与圆 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形,判定两圆的位置关系有 如下三种方法: 1.通过两圆交点的个数确定; 2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定; 3.通过两圆的公切线的条数确定. 为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些线段,如公共弦、共切线、连心线,以 及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线. 熟悉以下基本图形、基本结论: 【例题求解】 【例 1】 如图,⊙Ol 与半径为 4 的⊙O2 内切于点 A,⊙Ol 经过圆心 O2,作⊙O2 的直径 BC 交⊙Ol 于点 D,EF 为过点 A 的公切线,若 O2D= 22 ,那么∠BAF= 度. 思路点拨 直径、公切线、O2 的特殊位置等,隐含丰富的信息,而连 O2Ol 必过 A 点,先求 出∠D O2A 的度数. 注:(1)两圆相切或相交时,公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线,它可以使 弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通.同时,又是生成圆幂定理的重要因 素. (2)涉及两圆位置关系的计算题,常作半径、连心线,结合切线性质等构造直角三角形, 将分散的条件集中,通过解直角三角形求解. 【例 2】 如图,⊙Ol 与⊙O2 外切于点 A,两圆的一条外公切线与⊙O1 相切于点 B,若 AB 与两圆的另一条外公切线平行,则⊙Ol 与⊙O2 的半径之比为( ) A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3 思路点拨 添加辅助线,要探求两半径之间的关系,必须求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的度数, 为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A 的关系. 2 【例 3】 如图,已知⊙Ol 与⊙O2 相交于 A、B 两点,P 是⊙Ol 上一点,PB 的延长线交⊙ O2 于点 C,PA 交⊙O2 于点 D,CD 的延长线交⊙Ol 于点 N. (1)过点 A 作 AE∥CN 交⊙Oll 于点 E,求证:PA=PE; (2)连结 PN,若 PB=4,BC=2,求 PN 的长. 思路点拨 (1)连 AB,充分运用与圆相关的角,证明∠PAE=∠PEA;(2)PB·PC=PD·PA, 探寻 PN、PD、PA 对应三角形的联系. 【例 4】 如图,两个同心圆的圆心是 O,AB 是大圆的直径,大圆的弦与小圆相切于点 D, 连结 OD 并延长交大圆于点 E,连结 BE 交 AC 于点 F,已知 AC= 24 ,大、小两圆半径差 为 2. (1)求大圆半径长; (2)求线段 BF 的长; (3)求证:EC 与过 B、F、C 三点的圆相切. 思路点拨 (1)设大圆半径为 R,则小圆半径为 R-2,建立 R 的方程;(2)证明△EBC∽△ECF; (3)过 B、F、C 三点的圆的圆心 O′,必在 BF 上,连 OˊC,证明∠O′CE=90°. 注:本例以同心圆为背景,综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股 定理、相似三角形等丰富的知识.作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键. 3 【例 5】 如图,AOB 是半径为 1 的单位圆的四分之一,半圆 O1 的圆心 O1 在 OA 上,并与 弧 AB 内切于点 A,半圆 O2 的圆心 O2 在 OB 上,并与弧 AB 内切于点 B,半圆 O1 与半圆 O2 相切,设两半圆的半径之和为 x ,面积之和为 y . (1)试建立以 x 为自变量的函数 y 的解析式; (2)求函数 的最小值. 思路点拨 设两圆半径分别为 R、r,对于(1), )(2 1 22 rRy   ,通过变形把 R2+r2 用“ =R+r” 的代数式表示,作出基本辅助线;对于(2),因 =R+r,故是在约束条件下求 的最小值, 解题的关键是求出 R+r 的取值范围. 注:如图,半径分别为 r、R 的⊙Ol 、⊙O2 外切于 C,AB,CM 分别为两圆的公切线,OlO2 与 AB 交于 P 点,则: (1)AB=2 rR ; (2) ∠ACB=∠Ol M O2=90°; (3)PC2=PA·PB; (4)sinP= rR rR   ; (5)设 C 到 AB 的距离为 d,则 dRr 211  . 学力训练 1.已知:⊙Ol 和⊙O2 交于 A、B 两点,且⊙Ol 经过点 O2,若∠AOlB=90°,则∠A O2B 的 度数是 . 2.矩形 ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以 A、C 为圆心的两圆相切,点 D 在圆 C 内, 点 B 在圆 C 外,那么圆 A 的半径 r 的取值范围 . (2003 年上海市中考题) 3.如图;⊙Ol 、⊙O2 相交于点 A、B,现给出 4 个命题: (1)若 AC 是⊙O2 的切线且交⊙Ol 于点 C,AD 是⊙Ol 的切线且交⊙O2 于点 D,则 AB2=BC·BD; (2)连结 AB、OlO2,若 OlA=15cm,O2A=20cm,AB=24cm,则 OlO2=25cm; 4 (3)若 CA 是⊙Ol 的直径,DA 是⊙O2 的一条非直径的弦,且点 D、B 不重合,则 C、B、 D 三点不在同一条直线上, (4)若过点 A 作⊙Ol 的切线交⊙O2 于点 D,直线 DB 交⊙Ol 于点 C,直线 CA 交⊙O2 于点 E,连结 DE,则 DE2=DB·DC,则正确命题的序号是 (写出所有正确命题 的序号) . 4.如图,半圆 O 的直径 AB=4,与半圆 O 内切的动圆 Ol 与 AB 切于点 M,设⊙Ol 的半径 为 y ,AM 的长为 x ,则 与 x 的函数关系是 ,自变量 的取值范围是 . 5.如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是 1 米的水泥管两两相切摞在一起,则其 最高点到地面的距离是( ) A.2 B. 2 21 C. 2 31 D. 2 31 6.如图,已知⊙Ol、⊙O2 相交于 A、B 两点,且点 Ol 在⊙O2 上,过 A 作⊙Oll 的切线 AC 交 B Ol 的延长线于点 P,交⊙O2 于点 C,BP 交⊙Ol 于点 D,若 PD=1,PA= 5 ,则 AC 的长为( ) A. 5 B. 52 C. 52 D. 53 7.如图,⊙Ol 和⊙O2 外切于 A,PA 是内公切线,BC 是外公切线,B、C 是切点①PB=AB; ②∠PBA=∠PAB;③△PAB∽△OlAB;④PB·PC=OlA·O2A. 上述结论,正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.两圆的半径分别是和 r (R>r),圆心距为 d,若关于 的方程 0)(2 22  dRrxx 有两个 相等的实数根,则两圆的位置关系是( ) 5 A.一定内切 B.一定外切 C.相交 D.内切或外切 9.如图,⊙Ol 和⊙O2 内切于点 P,过点 P 的直线交⊙Ol 于点 D,交⊙O2 于点 E,DA 与⊙ O2 相切,切点为 C. (1)求证:PC 平分∠APD; (2)求证:PD·PA=PC2+AC·DC; (3)若 PE=3,PA=6,求 PC 的长. 10.如图,已知⊙Ol 和⊙O2 外切于 A,BC 是⊙Ol 和⊙O2 的公切线,切点为 B、C,连结 BA 并延长交⊙Ol 于 D,过 D 点作 CB 的平行线交⊙O2 于 E、F,求证:(1)CD 是⊙Ol 的 直径;(2)试判断线段 BC、BE、BF 的大小关系,并证明你的结论. 11.如图,已知 A 是⊙Ol、⊙O2 的一个交点,点 M 是 OlO2 的中点,过点 A 的直线 BC 垂 直于 MA,分别交⊙Ol、⊙O2 于 B、C. (1)求证:AB=AC; (2)若 Ol A 切⊙O2 于点 A,弦 AB、AC 的弦心距分别为 dl、d2,求证:dl+d2=O1O2; (3)在(2)的条件下,若 dld2=1,设⊙Ol、⊙O2 的半径分别为 R、r,求证:R2+r2= R2r2. 12.已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P,则点 P 到两圆外公切线的距离为 . 13.如图,7 根圆形筷子的横截面圆半径为 r,则捆扎这 7 根筷子一周的绳子的长度为 . 6 14.如图,⊙Ol 和⊙O2 内切于点 P,⊙O2 的弦 AB 经过⊙Ol 的圆心 Ol,交⊙Ol 于 C、D, 若 AC:CD:DB=3:4:2,则⊙Ol 与⊙O2 的直径之比为( ) A.2:7 B.2:5 C.2:3 D. 1:3 15.如图,⊙Ol 与⊙O2 相交,P 是⊙Ol 上的一点,过 P 点作两圆的切线,则切线的条数可 能是( ) A.1,2 B.1,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4 16.如图,相等两圆交于 A、B 两点,过 B 任作一直线交两圆于 M、N,过 M、N 各引所在 圆的切线相交于 C,则四边形 AMCN 有下面关系成立( ) A.有内切圆无外接圆 B 有外接圆无内切圆 C.既有内切圆,也有外接圆 D.以上情况都不对 17.已知:如图,⊙O 与相交于 A,B 两点,点 P 在⊙O 上,⊙O 的弦 AC 切⊙P 于点 A, CP 及其延长线交⊙P P 于点 D,E,过点 E 作 EF⊥CE 交 CB 的延长线于 F. (1)求证:BC 是⊙P 的切线; (2)若 CD=2,CB= 22 ,求 EF 的长; (3)若 k=PE:CE,是否存在实数 k,使△PBD 恰好是等边三角形?若存在,求出是的值;若 不存在,请说明理由. 18.如图,⊙A 和⊙B 是外离两圆,⊙A 的半径长为 2,⊙B 的半径长为 1,AB=4,P 为连 接两圆圆心的线段 AB 上的一点,PC 切⊙A 于点 C,PD 切⊙B 于点 D. (1)若 PC=PD,求 PB 的长; (2)试问线段 AB 上是否存在一点 P,使 PC2+PD2=4?,如果存在,问这样的 P 点有几个? 并求出 PB 的值;如果不存在,说明理由; (3)当点 F 在线段 AB 上运动到某处,使 PC⊥PD 时,就有△APC∽△PBD. 7 请问:除上述情况外,当点 P 在线段 AB 上运动到何处(说明 PB 的长为多少,或 PC、PD 具有何种关系)时,这两个三角形仍相似;并判断此时直线 CP 与 OB 的位置关系,证明你 的结论. 19.如图,D、E 是△ABC 边 BC 上的两点,F 是 BA 延长线上一点,∠DAE=∠CAF. (1)判断△ABD 的外接圆与△AEC 的外接圆的位置关系,并证明你的结论; (2)若△ABD 的外接圆半径是△AEC 的外接圆半径的 2 倍,BC=6,AB=4,求 BE 的长. 20.问题:要将一块直径为 2cm 的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底 面. 操作:方案一:在图甲中,设计一个使圆锥底面最大,半圆形铁皮得以最充分利用的方 案(要求,画示意图) . 方案二;在图乙中,设计一个使圆柱两个底面最大,半圆形铁皮得以最充分利用的方案 (要求:画示意图); , 探究:(1)求方案一中圆锥底面的半径; (2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径; (3)设方案二中半圆圆心为 O,圆柱两个底面的圆心为 O1、O2,圆锥底面的圆心为 O3, 试判断以 O1、O2、O3、O 为顶点的四边形是什么样的特殊四边形,并加以证明. 8 参考答案 9 10