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- 2021-11-06 发布
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第二十三讲 圆与圆
圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形,判定两圆的位置关系有
如下三种方法:
1.通过两圆交点的个数确定;
2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定;
3.通过两圆的公切线的条数确定.
为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些线段,如公共弦、共切线、连心线,以
及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线.
熟悉以下基本图形、基本结论:
【例题求解】
【例 1】 如图,⊙Ol 与半径为 4 的⊙O2 内切于点 A,⊙Ol 经过圆心 O2,作⊙O2 的直径 BC
交⊙Ol 于点 D,EF 为过点 A 的公切线,若 O2D= 22 ,那么∠BAF= 度.
思路点拨 直径、公切线、O2 的特殊位置等,隐含丰富的信息,而连 O2Ol 必过 A 点,先求
出∠D O2A 的度数.
注:(1)两圆相切或相交时,公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线,它可以使
弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通.同时,又是生成圆幂定理的重要因
素.
(2)涉及两圆位置关系的计算题,常作半径、连心线,结合切线性质等构造直角三角形,
将分散的条件集中,通过解直角三角形求解.
【例 2】 如图,⊙Ol 与⊙O2 外切于点 A,两圆的一条外公切线与⊙O1 相切于点 B,若 AB
与两圆的另一条外公切线平行,则⊙Ol 与⊙O2 的半径之比为( )
A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3
思路点拨 添加辅助线,要探求两半径之间的关系,必须求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的度数,
为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A 的关系.
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【例 3】 如图,已知⊙Ol 与⊙O2 相交于 A、B 两点,P 是⊙Ol 上一点,PB 的延长线交⊙
O2 于点 C,PA 交⊙O2 于点 D,CD 的延长线交⊙Ol 于点 N.
(1)过点 A 作 AE∥CN 交⊙Oll 于点 E,求证:PA=PE;
(2)连结 PN,若 PB=4,BC=2,求 PN 的长.
思路点拨 (1)连 AB,充分运用与圆相关的角,证明∠PAE=∠PEA;(2)PB·PC=PD·PA,
探寻 PN、PD、PA 对应三角形的联系.
【例 4】 如图,两个同心圆的圆心是 O,AB 是大圆的直径,大圆的弦与小圆相切于点 D,
连结 OD 并延长交大圆于点 E,连结 BE 交 AC 于点 F,已知 AC= 24 ,大、小两圆半径差
为 2.
(1)求大圆半径长;
(2)求线段 BF 的长;
(3)求证:EC 与过 B、F、C 三点的圆相切.
思路点拨 (1)设大圆半径为 R,则小圆半径为 R-2,建立 R 的方程;(2)证明△EBC∽△ECF;
(3)过 B、F、C 三点的圆的圆心 O′,必在 BF 上,连 OˊC,证明∠O′CE=90°.
注:本例以同心圆为背景,综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股
定理、相似三角形等丰富的知识.作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键.
3
【例 5】 如图,AOB 是半径为 1 的单位圆的四分之一,半圆 O1 的圆心 O1 在 OA 上,并与
弧 AB 内切于点 A,半圆 O2 的圆心 O2 在 OB 上,并与弧 AB 内切于点 B,半圆 O1 与半圆
O2 相切,设两半圆的半径之和为 x ,面积之和为 y .
(1)试建立以 x 为自变量的函数 y 的解析式;
(2)求函数 的最小值.
思路点拨 设两圆半径分别为 R、r,对于(1), )(2
1 22 rRy ,通过变形把 R2+r2 用“ =R+r”
的代数式表示,作出基本辅助线;对于(2),因 =R+r,故是在约束条件下求 的最小值,
解题的关键是求出 R+r 的取值范围.
注:如图,半径分别为 r、R 的⊙Ol 、⊙O2 外切于 C,AB,CM 分别为两圆的公切线,OlO2
与 AB 交于 P 点,则:
(1)AB=2 rR ;
(2) ∠ACB=∠Ol M O2=90°;
(3)PC2=PA·PB;
(4)sinP= rR
rR
;
(5)设 C 到 AB 的距离为 d,则
dRr
211 .
学力训练
1.已知:⊙Ol 和⊙O2 交于 A、B 两点,且⊙Ol 经过点 O2,若∠AOlB=90°,则∠A O2B 的
度数是 .
2.矩形 ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以 A、C 为圆心的两圆相切,点 D 在圆 C 内,
点 B 在圆 C 外,那么圆 A 的半径 r 的取值范围 .
(2003 年上海市中考题)
3.如图;⊙Ol 、⊙O2 相交于点 A、B,现给出 4 个命题:
(1)若 AC 是⊙O2 的切线且交⊙Ol 于点 C,AD 是⊙Ol 的切线且交⊙O2 于点 D,则
AB2=BC·BD;
(2)连结 AB、OlO2,若 OlA=15cm,O2A=20cm,AB=24cm,则 OlO2=25cm;
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(3)若 CA 是⊙Ol 的直径,DA 是⊙O2 的一条非直径的弦,且点 D、B 不重合,则 C、B、
D 三点不在同一条直线上,
(4)若过点 A 作⊙Ol 的切线交⊙O2 于点 D,直线 DB 交⊙Ol 于点 C,直线 CA 交⊙O2 于点
E,连结 DE,则 DE2=DB·DC,则正确命题的序号是 (写出所有正确命题
的序号) .
4.如图,半圆 O 的直径 AB=4,与半圆 O 内切的动圆 Ol 与 AB 切于点 M,设⊙Ol 的半径
为 y ,AM 的长为 x ,则 与 x 的函数关系是 ,自变量 的取值范围是 .
5.如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是 1 米的水泥管两两相切摞在一起,则其
最高点到地面的距离是( )
A.2 B.
2
21 C.
2
31 D.
2
31
6.如图,已知⊙Ol、⊙O2 相交于 A、B 两点,且点 Ol 在⊙O2 上,过 A 作⊙Oll 的切线 AC
交 B Ol 的延长线于点 P,交⊙O2 于点 C,BP 交⊙Ol 于点 D,若 PD=1,PA= 5 ,则 AC
的长为( )
A. 5 B. 52 C. 52 D. 53
7.如图,⊙Ol 和⊙O2 外切于 A,PA 是内公切线,BC 是外公切线,B、C 是切点①PB=AB;
②∠PBA=∠PAB;③△PAB∽△OlAB;④PB·PC=OlA·O2A.
上述结论,正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.两圆的半径分别是和 r (R>r),圆心距为 d,若关于 的方程 0)(2 22 dRrxx 有两个
相等的实数根,则两圆的位置关系是( )
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A.一定内切 B.一定外切 C.相交 D.内切或外切
9.如图,⊙Ol 和⊙O2 内切于点 P,过点 P 的直线交⊙Ol 于点 D,交⊙O2 于点 E,DA 与⊙
O2 相切,切点为 C.
(1)求证:PC 平分∠APD;
(2)求证:PD·PA=PC2+AC·DC;
(3)若 PE=3,PA=6,求 PC 的长.
10.如图,已知⊙Ol 和⊙O2 外切于 A,BC 是⊙Ol 和⊙O2 的公切线,切点为 B、C,连结
BA 并延长交⊙Ol 于 D,过 D 点作 CB 的平行线交⊙O2 于 E、F,求证:(1)CD 是⊙Ol 的
直径;(2)试判断线段 BC、BE、BF 的大小关系,并证明你的结论.
11.如图,已知 A 是⊙Ol、⊙O2 的一个交点,点 M 是 OlO2 的中点,过点 A 的直线 BC 垂
直于 MA,分别交⊙Ol、⊙O2 于 B、C.
(1)求证:AB=AC;
(2)若 Ol A 切⊙O2 于点 A,弦 AB、AC 的弦心距分别为 dl、d2,求证:dl+d2=O1O2;
(3)在(2)的条件下,若 dld2=1,设⊙Ol、⊙O2 的半径分别为 R、r,求证:R2+r2= R2r2.
12.已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P,则点 P 到两圆外公切线的距离为 .
13.如图,7 根圆形筷子的横截面圆半径为 r,则捆扎这 7 根筷子一周的绳子的长度为 .
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14.如图,⊙Ol 和⊙O2 内切于点 P,⊙O2 的弦 AB 经过⊙Ol 的圆心 Ol,交⊙Ol 于 C、D,
若 AC:CD:DB=3:4:2,则⊙Ol 与⊙O2 的直径之比为( )
A.2:7 B.2:5 C.2:3 D. 1:3
15.如图,⊙Ol 与⊙O2 相交,P 是⊙Ol 上的一点,过 P 点作两圆的切线,则切线的条数可
能是( )
A.1,2 B.1,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4
16.如图,相等两圆交于 A、B 两点,过 B 任作一直线交两圆于 M、N,过 M、N 各引所在
圆的切线相交于 C,则四边形 AMCN 有下面关系成立( )
A.有内切圆无外接圆 B 有外接圆无内切圆
C.既有内切圆,也有外接圆 D.以上情况都不对
17.已知:如图,⊙O 与相交于 A,B 两点,点 P 在⊙O 上,⊙O 的弦 AC 切⊙P 于点 A,
CP 及其延长线交⊙P P 于点 D,E,过点 E 作 EF⊥CE 交 CB 的延长线于 F.
(1)求证:BC 是⊙P 的切线;
(2)若 CD=2,CB= 22 ,求 EF 的长;
(3)若 k=PE:CE,是否存在实数 k,使△PBD 恰好是等边三角形?若存在,求出是的值;若
不存在,请说明理由.
18.如图,⊙A 和⊙B 是外离两圆,⊙A 的半径长为 2,⊙B 的半径长为 1,AB=4,P 为连
接两圆圆心的线段 AB 上的一点,PC 切⊙A 于点 C,PD 切⊙B 于点 D.
(1)若 PC=PD,求 PB 的长;
(2)试问线段 AB 上是否存在一点 P,使 PC2+PD2=4?,如果存在,问这样的 P 点有几个?
并求出 PB 的值;如果不存在,说明理由;
(3)当点 F 在线段 AB 上运动到某处,使 PC⊥PD 时,就有△APC∽△PBD.
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请问:除上述情况外,当点 P 在线段 AB 上运动到何处(说明 PB 的长为多少,或 PC、PD
具有何种关系)时,这两个三角形仍相似;并判断此时直线 CP 与 OB 的位置关系,证明你
的结论.
19.如图,D、E 是△ABC 边 BC 上的两点,F 是 BA 延长线上一点,∠DAE=∠CAF.
(1)判断△ABD 的外接圆与△AEC 的外接圆的位置关系,并证明你的结论;
(2)若△ABD 的外接圆半径是△AEC 的外接圆半径的 2 倍,BC=6,AB=4,求 BE 的长.
20.问题:要将一块直径为 2cm 的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底
面.
操作:方案一:在图甲中,设计一个使圆锥底面最大,半圆形铁皮得以最充分利用的方
案(要求,画示意图) .
方案二;在图乙中,设计一个使圆柱两个底面最大,半圆形铁皮得以最充分利用的方案
(要求:画示意图); ,
探究:(1)求方案一中圆锥底面的半径;
(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径;
(3)设方案二中半圆圆心为 O,圆柱两个底面的圆心为 O1、O2,圆锥底面的圆心为 O3,
试判断以 O1、O2、O3、O 为顶点的四边形是什么样的特殊四边形,并加以证明.
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参考答案
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