2020九年级数学上册 第二十四章 圆 小专题11 与圆的基本性质有关的计算习题 （新版）新人教版 9页

小专题11　与圆的基本性质有关的计算 类型1　求角度 ‎1．(哈尔滨中考)如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是(B)‎ A．43° B．35°‎ C．34° D．44°‎ ‎2．(兴安盟中考)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝48°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是(A)‎ A．24° B．42°‎ C．48° D．12°‎ ‎3．(广东中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为(C)‎ A．130° B．100°‎ C．65° D．50°‎ 9‎ ‎4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB的度数为100°．‎ ‎5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，BA，DC的延长线交于点E，AB＝2CE，∠E＝25°，则∠BOD＝75°．‎ ‎6．(山西中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若∠A＝40°，则∠B＝70°__．‎ ‎　　‎ ‎7．(南京中考)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝27°．‎ 类型2　求长度 ‎8．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP.若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是2．‎ 9‎ ‎9．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为2__．‎ ‎　　　　‎ ‎10．如图，将半径为‎2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为‎2 cm.‎ ‎11．(十堰中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为8．‎ 9‎ 小专题12　教材P90习题T14的变式与应用 ‎【例】　(人教版九年级上册教材第90页第14题)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.判断△ABC的形状，并证明你的结论．‎ 解：△ABC为等边三角形．‎ 证明：∵∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC，‎ 又∵∠APC＝∠CPB＝60°，‎ ‎∴∠ABC＝∠BAC＝60°.‎ ‎∴∠ACB＝60°.‎ ‎∴△ABC为等边三角形．‎ ‎【问题延伸1】　求证：PA＋PB＝PC.‎ 证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图所示．‎ ‎∵∠APC＝60°，‎ ‎∴△APD是等边三角形．‎ ‎∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，∠ADC＝120°.‎ ‎∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，‎ ‎∴∠ADC＝∠APB.‎ 在△APB和△ADC中， ‎∴△APB≌△ADC(AAS)．‎ ‎∴BP＝CD.‎ 又∵PD＝AP，∴PA＋PB＝PC.‎ 9‎ ‎　‎ 证明线段的和、差、倍、分问题的常见做法是“截长补短”法，具体做法是：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．‎ ‎【问题延伸2】　若BC＝2，点P是上一动点(异于点A，B)，求PA＋PB的最大值．‎ 解：由上题知PA＋PB＝PC，要使PA＋PB最大，则PC为直径，作直径BG，连接CG.∴∠G＝∠BAC＝60°，∠BCG＝90°.∵BC＝2，∴BG＝4.即PA＋PB的最大值为4.‎ ‎　‎ 直径是圆中最长的一条弦，在求最值的问题中经常用到这一结论．‎ ‎1．如图，四边形APBC是圆内接四边形，延长BP至E，若∠EPA＝∠CPA，判断△ABC的形状，并证明你的结论．‎ 解：△ABC是等腰三角形，理由：‎ ‎∵四边形APBC是圆内接四边形，‎ ‎∴∠EPA＝∠ACB.‎ ‎∵∠EPA＝∠CPA，∠CPA＝∠ABC，‎ ‎∴∠ACB＝∠ABC.‎ ‎∴AB＝AC.‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．‎ ‎2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E.若AE＝10，∠ACB＝60°，求BC的长．‎ 9‎ 解：∵D是的中点，∴＝.‎ ‎∴DA＝DB.‎ ‎∵∠ACB＝60°，∠ACB与∠ADB是同弧所对的圆周角，‎ ‎∴∠ADB＝60°.‎ ‎∴△ADB是等边三角形．‎ ‎∴∠DAB＝∠DBA＝60°.‎ ‎∴∠DCB＝∠DAB＝60°.‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠E＝∠ACB＝60°.‎ ‎∴∠DCB＝∠E.‎ ‎∵∠ECD＝∠DBA＝60°，‎ ‎∴△ECD是等边三角形．‎ ‎∴ED＝CD.‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠EAD＝∠DBC.‎ 在△EAD和△CBD中，‎ ‎∴△EAD≌△CBD(AAS)．‎ ‎∴BC＝EA＝10.‎ ‎3．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，连接AB，BC，AC.‎ ‎(1)求证：△ABC是等边三角形；‎ ‎(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PB的长．‎ 9‎ 解：(1)证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°，‎ ‎∴∠ABC＝∠BAC＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎(2)∵∠PAC＝90°，‎ ‎∴PC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠PBC＝90°.∵∠CPB＝60°，∴∠BCP＝30°.‎ 在Rt△PBC中，设PB＝x，则PC＝2x.‎ ‎∵BC＝AB＝2.‎ 由勾股定理，得PB2＋BC2＝PC2，‎ 即x2＋(2)2＝(2x)2，‎ 解得x＝2，‎ ‎∴PB＝2.‎ ‎4．(广州中考改编)如图，点A，B，C，D在同一个圆上，且C点为一动点(点C不在上，且不与点B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.‎ ‎(1)求证：BD是该圆的直径；‎ ‎(2)连接CD，求证：AC＝BC＋CD.‎ 证明：(1)∵＝，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADB＝45°.‎ ‎∵∠ABD＝45°，‎ ‎∴∠BAD＝90°.‎ ‎∴BD是该圆的直径．‎ 9‎ ‎(2)在CD的延长线上截取DE＝BC，连接EA，‎ ‎∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.‎ ‎∵∠ADE＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE.‎ 在△ABC和△ADE中，‎ ‎∴△ABC≌△ADE(SAS)．‎ ‎∴∠BAC＝∠DAE.‎ ‎∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD.‎ ‎∴∠BAD＝∠CAE＝90°.‎ ‎∵＝，∴∠ACD＝∠ABD＝45°.‎ ‎∴△CAE是等腰直角三角形．‎ ‎∴AC＝CE.‎ ‎∴AC＝DE＋CD＝BC＋CD.‎ ‎5．(山西中考)请阅读下列材料，并完成相应的任务：‎ 阿基米德折弦定理 阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．‎ 阿拉伯AlBiruni(973～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AlBiruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．‎ 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.‎ ‎ ‎ 9‎ 图1 图2‎ 下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程．‎ 证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG.‎ ‎∵M是的中点．‎ ‎∴MA＝MC.‎ ‎……‎ 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；‎ ‎(2)填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为⊙O上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是2＋2．‎ 图3‎ 解：证明：在△MBA和△MGC中，‎ ‎∴△MBA≌△MGC(SAS)．‎ ‎∴MB＝MG.‎ 又∵MD⊥BC，‎ ‎∴BD＝GD.‎ ‎∴CD＝GC＋GD＝AB＋BD.‎ 9‎