济南市长清区2020年九年级第二次中考模拟数学试题 解析版 28页

‎2020年山东省济南市长清区中考数学二模试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．9的算术平方根是（　　）‎ A．±3 B．3 C． D．‎ ‎2．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．将23000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.3×104 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×105‎ ‎4．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（　　）‎ A．40° B．65° C．75° D．115°‎ ‎5．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．＜‎ ‎6．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．计算：+的正确结果是（　　）‎ A． B．1﹣x C．1 D．﹣1‎ ‎8．在一次爱心义卖活动中，某中学九年级6个班捐献的义卖金额（单位：元）分别为800、820、930、860、820、850，这组数据的众数和中位数分别是（　　）‎ A．820，850 B．820，930 C．930，835 D．820，835‎ ‎9．已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（　　）‎ A．π B．π C．2π D．2π ‎11．如图，某建筑物CE上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅CD，王同学利用测倾器在斜坡的底部A处测得条幅底部D的仰角为60°，沿斜坡AB走到B处测得条幅顶部C的仰角为50°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，AB＝13米，AE＝12米（点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，测倾器的高度忽略不计），则条幅CD的长度约为（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）（　　）‎ A．12.5米 B．12.8米 C．13.1米 D．13.4米 ‎12．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（　　）‎ A． B．+ C． D．2‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．分解因式：m2﹣16＝　 　．‎ ‎14．不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　 　．‎ ‎15．一个正n边形的内角和等于900°，则n＝　 　．‎ ‎16．代数式与代数式k+3的值相等时，k的值为　 　．‎ ‎17．为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第　 　秒．‎ ‎18．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点O处，且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值为　 　．‎ 三．解答题 ‎19.计算：|﹣5|﹣20200+（）﹣2﹣2sin30°‎ ‎20.解不等式组，并写出它的最小整数解．‎ ‎21.如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．‎ ‎22.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分10kg，甲型机器人分类800千克垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等．‎ ‎（1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？‎ ‎（2）现在两种机器人共同分类500kg垃圾，工作2小时后，甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后，乙型机器人还需工作多长时间才能完成？‎ ‎23.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．‎ ‎（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；‎ ‎（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半径的长．‎ ‎24.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”‎ 调查问卷（每人必选且只选种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的息解答下列问题：‎ ‎（1）这次统计共抽查了　　名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角为　　度；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？‎ ‎（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．‎ ‎25.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．‎ ‎（1）求过点D的反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求△DBE的面积；‎ ‎（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎26.如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．‎ ‎（1）发现 当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是　　；‎ ‎②直线DG与直线BE之间的位置关系是　　．‎ ‎（2）探究 如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，‎ 证明：直线DG⊥BE．‎ ‎（3）应用 在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）‎ ‎27.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．‎ ‎（1）求抛物线的解析；‎ ‎（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC．‎ ‎①当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎②在①的条件下，y轴上存在点M，使四边形PMAB的周长最小，请求出点M的坐标；‎ ‎③连接AC，当tan∠PBO＝2tan∠ACO时，请直接写出点P的坐标．‎ ‎2020年山东省济南市长清区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．9的算术平方根是（　　）‎ A．±3 B．3 C． D．‎ ‎【分析】根据开方运算，可得算术平方根．‎ ‎【解答】解：9的算术平方根是3，‎ 故选：B．‎ ‎2．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】俯视图是指从物体上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；‎ B、三棱锥的俯视图是三角形；‎ C、球的俯视图是圆；‎ D、正方体的俯视图是四边形．‎ 故选：D．‎ ‎3．将23000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.3×104 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×105‎ ‎【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数可得答案．‎ ‎【解答】解：23000＝2.3×104，‎ 故选：A．‎ ‎4．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（　　）‎ A．40° B．65° C．75° D．115°‎ ‎【分析】由∠A＝40°，∠AOB＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．‎ ‎【解答】解：∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．‎ ‎∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠C＝∠B＝65°．‎ 故选：B．‎ ‎5．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．＜‎ ‎【分析】根据数轴判断出a、b的大小以及c是正数，再根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，‎ A、应为a﹣c＜b﹣c，故本选项错误；‎ B、a+c＜b+c正确，故本选项正确；‎ C、应为ac＜bc，故本选项错误；‎ D、＞0，＜0，应为＞，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎6．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A．此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；‎ B．此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；‎ C．此图案仅是轴对称图形；‎ D．此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形；‎ 故选：D．‎ ‎7．计算：+的正确结果是（　　）‎ A． B．1﹣x C．1 D．﹣1‎ ‎【分析】此题应先通分，再对分子分母进行约分化简．‎ ‎【解答】解：+＝＝．‎ 故选：A．‎ ‎8．在一次爱心义卖活动中，某中学九年级6个班捐献的义卖金额（单位：元）分别为800、820、930、860、820、850，这组数据的众数和中位数分别是（　　）‎ A．820，850 B．820，930 C．930，835 D．820，835‎ ‎【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．‎ ‎【解答】解：将数据重新排列为800、820、820、850、860、930，‎ 所以这组数据的众数为820、中位数为＝835，‎ 故选：D．‎ ‎9．已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a、b的符号确定一次函数图象所经过的象限．‎ ‎【解答】解：若反比例函数y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限；‎ 若反比例函数y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限．‎ 故选项A正确；‎ 故选：A．‎ ‎10．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（　　）‎ A．π B．π C．2π D．2π ‎【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．‎ ‎【解答】解：连接OB，OC．‎ ‎∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，‎ ‎∴∠BOC＝90°，‎ ‎∵BC＝2，‎ ‎∴OB＝OC＝2，‎ ‎∴的长为＝π，‎ 故选：A．‎ ‎11．如图，某建筑物CE上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅CD，王同学利用测倾器在斜坡的底部A处测得条幅底部D的仰角为60°，沿斜坡AB走到B处测得条幅顶部C的仰角为50°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，AB＝13米，AE＝12米（点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，测倾器的高度忽略不计），则条幅CD 的长度约为（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）（　　）‎ A．12.5米 B．12.8米 C．13.1米 D．13.4米 ‎【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，再求出EF即BG的长；在Rt△CBG中求出CG的长，根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．‎ ‎【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．‎ Rt△ABF中，i＝tan∠BAF＝＝，AB＝13米，‎ ‎∴BF＝5（米），AF＝12（米），‎ ‎∴BG＝AF+AE＝24（米），‎ Rt△BGC中，∠CBG＝50°，‎ ‎∴CG＝BG•tan50°≈24×1.19＝28.56（米），‎ Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝12米，‎ ‎∴DE＝AE＝12m，‎ ‎∴CD＝CG+GE﹣DE＝28.56+5﹣12≈12.8（米）‎ 故选：B．‎ ‎12．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（　　）‎ A． B．+ C． D．2‎ ‎【分析】函数的图象如下图所示，当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝2时，x＝2或﹣1，故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（2，2），即可求解．‎ ‎【解答】解：函数的图象如下图所示，‎ 当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝2时，x＝2或﹣1，‎ 故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（2，2），‎ 同理点C（，﹣）‎ 则b﹣a的最大值为2﹣＝‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．分解因式：m2﹣16＝　（m+4）（m﹣4）　．‎ ‎【分析】原式利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式＝（m+4）（m﹣4），‎ 故答案为：（m+4）（m﹣4）‎ ‎14．不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　　．‎ ‎【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ ‎【解答】解：∵共6个球，有5个红球，‎ ‎∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎15．一个正n边形的内角和等于900°，则n＝　7　．‎ ‎【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）180°列出关于n的方程，解方程即可求出边数n的值．‎ ‎【解答】解：这个多边形的边数是n，‎ 则：（n﹣2）180°＝900°，‎ 解得n＝7，‎ 故答案为：7．‎ ‎16．代数式与代数式k+3的值相等时，k的值为　8　．‎ ‎【分析】根据题意可列出两个代数式相等时的方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得：＝k+3，‎ 去分母得：4（2k﹣1）＝3k+36，‎ 去括号得：8k﹣4＝3k+36，‎ 移项合并同类项得：5k＝40，‎ 解得：k＝8．‎ 故答案为：8．‎ ‎17．为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第　120　秒．‎ ‎【分析】分别求出OA、BC的解析式，然后联立方程，解方程就可以求出第一次相遇时间．‎ ‎【解答】解：设直线OA的解析式为y＝kx，‎ 代入A（200，800）得800＝200k，‎ 解得k＝4，‎ 故直线OA的解析式为y＝4x，‎ 设BC的解析式为y1＝k1x+b，由题意，得，‎ 解得：，‎ ‎∴BC的解析式为y1＝2x+240，‎ 当y＝y1时，4x＝2x+240，‎ 解得：x＝120．‎ 则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．‎ 故答案为120．‎ ‎18．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点O处，且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值为　　．‎ ‎【分析】由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，可得a2+（2b）2＝（3a）2，则b＝a，进而得出的值．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，‎ 由折叠的性质得：AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，‎ ‎∴E，G分别为AD，CD的中点，‎ 设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，‎ 在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，‎ 即a2+（2b）2＝（3a）2，‎ ‎∴b2＝2a2，‎ ‎∴b＝a，‎ ‎∴＝，‎ 即的值为；‎ 故答案为：．‎ 三．解答题 ‎19.计算：|﹣5|﹣20200+（）﹣2﹣2sin30°‎ ‎【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】511：实数；66：运算能力．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝5﹣1+4﹣2×‎ ‎＝5﹣1+4﹣1‎ ‎＝7．‎ ‎20.解不等式组，并写出它的最小整数解．‎ ‎【考点】CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．‎ ‎【专题】524：一元一次不等式(组)及应用；66：运算能力．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的最小整数解．‎ ‎【解答】解：，‎ 解不等式①得x＞﹣3，‎ 解不等式②得x≤2，‎ 故原不等式组的解集为﹣3＜x≤2．‎ 则x的最小整数解为﹣2．‎ ‎21.如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．‎ ‎【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB＝∠EAD、∠AFD＝∠B，从而证得两个三角形全等，可得结论．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，∠B＝90°，‎ ‎∴∠AEB＝∠DAE，‎ ‎∵DF⊥AE，‎ ‎∴∠AFD＝∠B＝90°，‎ 在△ABE和△DFA中 ‎∵‎ ‎∴△ABE≌△DFA，‎ ‎∴AB＝DF．‎ ‎22.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分10kg，甲型机器人分类800千克垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等．‎ ‎（1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？‎ ‎（2）现在两种机器人共同分类500kg垃圾，工作2小时后，甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后，乙型机器人还需工作多长时间才能完成？‎ ‎【考点】B7：分式方程的应用．‎ ‎【专题】522：分式方程及应用；69：应用意识．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】（1）设甲型机器人每小时分类xkg垃圾．则乙型机器人每小时分类（x﹣10）kg垃圾，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲型机器人分类800千克垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；‎ ‎（2）根据乙型机器人还需工作时间＝剩余的工作总量÷乙型机器人的工作效率，即可求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设甲型机器人每小时分类xkg垃圾．则乙型机器人每小时分类（x﹣10）kg垃圾，‎ 依题意，得：，‎ 解得：x＝40，‎ 经检验，x＝40是原方程的根，且符合题意，‎ ‎∴x﹣10＝40﹣10＝30．‎ 答：甲型机器人每小时分类40kg垃圾．乙型机器人每小时分类30kg垃圾．‎ ‎（2）[500﹣（40+30）×2]÷30＝12（小时）．‎ 答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作12小时．‎ ‎23.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．‎ ‎（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；‎ ‎（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半径的长．‎ ‎【考点】MC：切线的性质．‎ ‎【专题】11：计算题．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；‎ ‎（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：（1）连接OA，‎ ‎∵∠ADE＝25°，‎ ‎∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝50°，‎ ‎∵AC切⊙O于A，‎ ‎∴∠OAC＝90°，‎ ‎∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣50°﹣90°＝40°；‎ ‎（2）设OA＝OE＝r，‎ 在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，‎ 即r2+42＝（r+2）2，‎ 解得：r＝3，‎ 答：⊙O半径的长是3．‎ ‎24.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的息解答下列问题：‎ ‎（1）这次统计共抽查了　　名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角为　　度；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？‎ ‎（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”“电话”‎ 三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．‎ ‎【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．‎ ‎【专题】543：概率及其应用；67：推理能力．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】（1）用喜欢使用电话的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360°乘以样本中QQ人数所占比例；‎ ‎（2）先计算出喜欢使用短信和微信的人数，然后补全条形统计图；‎ ‎（3）先求出喜欢用微信沟通所占百分比，再乘以该校的总人数即可；‎ ‎（4）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）这次统计共抽查的学生数是：20÷20%＝100（名），‎ 在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角为：360°×＝108°；‎ 故答案为：100，108；‎ ‎（2）短信的人数有：100×5%＝5（名），‎ 微信的人数有：100﹣20﹣5﹣30﹣5＝40（人），补全统计图如下：‎ ‎（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%＝40%，‎ 则该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：2000×40%＝800人；‎ ‎（4）根据题意画图如下：‎ 共有9种等情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，‎ 则甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：＝．‎ ‎25.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．‎ ‎（1）求过点D的反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求△DBE的面积；‎ ‎（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】GB：反比例函数综合题．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】（1）由四边形OABC是矩形，得到BC＝OA，AB＝OC，根据tan∠COD＝，设OC＝3x，CD＝4x，求出OD＝5x＝5，OC＝3，CD＝4，得到D（4，3），代入反比例函数的解析式即可．‎ ‎（2）根据D点的坐标求出点B，E的坐标即可求出结论；‎ ‎（3）分类讨论：当∠OPD＝90°时，过D作PD⊥x轴于P，点P即为所求，当∠ODP＝90°时，根据射影定理即可求得结果．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，‎ ‎∴BC＝OA，AB＝OC，‎ ‎∵tan∠COD＝，‎ ‎∴设OC＝3x，CD＝4x，‎ ‎∴OD＝5x＝5，‎ ‎∴x＝1，‎ ‎∴OC＝3，CD＝4，‎ ‎∴D（4，3），‎ 设过点D的反比例函数的解析式为：y＝，‎ ‎∴k＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；‎ ‎（2）∵点D是BC的中点，‎ ‎∴B（8，3），‎ ‎∴BC＝8，AB＝3，‎ ‎∵E点在过点D的反比例函数图象上，‎ ‎∴E（8，），‎ ‎∴S△DBE＝BD•BE＝＝3；‎ ‎（3）存在，‎ ‎∵△OPD为直角三角形，‎ ‎∴当∠OPD＝90°时，PD⊥x轴于P，‎ ‎∴OP＝4，‎ ‎∴P（4，0），‎ 当∠ODP＝90°时，‎ 如图，过D作DH⊥x轴于H，‎ ‎∴OD2＝OH•OP，‎ ‎∴OP＝＝．‎ ‎∴P（，O），‎ ‎∴存在点P使△OPD为直角三角形，‎ ‎∴P（4，O），（，O）．‎ ‎26.如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．‎ ‎（1）发现 当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是　　；‎ ‎②直线DG与直线BE之间的位置关系是　　．‎ ‎（2）探究 如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，‎ 证明：直线DG⊥BE．‎ ‎（3）应用 在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）‎ ‎【考点】LO：四边形综合题．‎ ‎【专题】15：综合题；67：推理能力．‎ ‎【答案】见试题解答内容 ‎【分析】（1）先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；‎ ‎（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；‎ ‎（3）先求出BE，进而得出BE＝AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB＝90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，‎ ‎∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，‎ ‎∴∠BAE＝∠DAG，‎ 在△ABE和△DAG中，，‎ ‎∴△ABE≌△DAG（SAS），‎ ‎∴BE＝DG；‎ ‎②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H，‎ 由①知，△ABE≌△DAG，‎ ‎∴∠ABE＝∠ADG，‎ ‎∵∠AQB+∠ABE＝90°，‎ ‎∴∠AQB+∠ADG＝90°，‎ ‎∵∠AQB＝∠DQH，‎ ‎∴∠DQH+∠ADG＝90°，‎ ‎∴∠DHB＝90°，‎ ‎∴BE⊥DG，‎ 故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；‎ ‎（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，‎ ‎∴∠BAD＝∠DAG，‎ ‎∴∠BAE＝∠DAG，‎ ‎∵AD＝2AB，AG＝2AE，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴△ABE∽△ADG，‎ ‎∴∠ABE＝∠ADG，‎ ‎∵∠AGB+∠ABE＝90°，‎ ‎∴∠AGB+∠ADG＝90°，‎ ‎∵∠AGB＝∠DGH，‎ ‎∴∠DGH+∠ADG＝90°，‎ ‎∴∠DHB＝90°，‎ ‎∴BE⊥DG；‎ ‎（3）如图3，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）‎ EG与AD的交点记作M，‎ ‎∵EG∥AB，‎ ‎∴∠DME＝∠DAB＝90°，‎ 在Rt△AEG中，AE＝1，‎ ‎∴AG＝2AE＝2，‎ 根据勾股定理得，EG＝，‎ ‎∵AB＝，‎ ‎∴EG＝AB，‎ ‎∵EG∥AB，‎ ‎∴四边形ABEG是平行四边形，‎ ‎∴AG∥BE，‎ ‎∵AG∥EF，‎ ‎∴点B，E，F在同一条直线上如图4，‎ ‎∴∠AEB＝90°，‎ 在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，‎ 由（2）知，△ABE∽△ADG，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴，‎ ‎∴DG＝4．‎ 图3‎ ‎27.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．‎ ‎（1）求抛物线的解析；‎ ‎（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC．‎ ‎①当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎②在①的条件下，y轴上存在点M，使四边形PMAB的周长最小，请求出点M的坐标；‎ ‎③连接AC，当tan∠PBO＝2tan∠ACO时，请直接写出点P的坐标．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【专题】16：压轴题；69：应用意识．‎ ‎【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；‎ ‎（2）①（，）；②（0，）；③（，）或（，﹣）．‎ ‎【分析】（1）直线y＝x﹣5经过点B，C，点B（5，0），C（0，﹣5），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，即可求解；‎ ‎（2）①如图1，作辅助线，构建铅垂线PD，设点P（m，﹣m2+6m﹣5），则点D的坐标为（m，m﹣5），表示PD的长，表示三角形PBC的面积，根据二次函数的最值可得结论；‎ ‎②如图2，作点P关于y轴的对称点P′，连接P′A交y轴于点M，连接MP，此时，MP+MA的值最小，PB，AB为定长线段，此时四边形PMAB的周长最小，即可求解；‎ ‎③如图3，分点P′位于第一象限、第四象限两种情况，分别求解即可．‎ ‎【解答】解（1）∵直线y＝x﹣5经过点B，C，‎ ‎∴点B（5，0），C（0，﹣5），‎ ‎∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5…①；‎ ‎（2）①如图1，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，‎ 设点P（m，﹣m2+6m﹣5），则点D的坐标为（m，m﹣5），‎ ‎∴PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m，‎ S△PBC＝PD×OB＝×（﹣m2+5m）×5＝﹣m2+m＝﹣，‎ ‎∵0＜m＜5，当m＝时，S△PBC取得最大值，此时点P的坐标为（，）；‎ ‎②如图2，作点P关于y轴的对称点P’，连接P’A交y轴于点M，连接MP，此时，MP+MA的值最小，‎ ‎∵PB，AB为定长线段，此时四边形PMAB的周长最小，‎ ‎∵P的坐标为（，）；‎ ‎∴点P′的坐标为（﹣，），‎ ‎∵抛物线y＝﹣x2+6x﹣5交x轴于A，B两点，且B（5，0），点A的坐标为（1，0），‎ ‎∴直线P′A的解析式为y＝﹣x+，‎ ‎∴点M的坐标为（0，）；‎ ‎③在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝，则tan∠P′BO＝2tan∠ACO＝，‎ 如图3，当点P′位于第一象限时，过点B作直线BE交抛物线于点P′、交y轴于点E，‎ ‎∵tan∠P′BO＝＝，‎ ‎∴，‎ ‎∴OE＝2，‎ ‎∴E（0，2），‎ 设直线BP′的表达式为：y＝kx+2，将点B的坐标代入上式并计算得：k＝﹣，‎ 故直线BP′的表达式为：y＝﹣x+2…②，‎ 联立①②并解得：x1＝0（不合题意值舍去），x2＝，‎ 则点P′的坐标为（，）；‎ 当点P″位于第四象限时，同理可得P″（，﹣）；‎ 综上，点P的坐标为（，）或（，﹣）．‎