2020年北京市中考数学试卷【含答案】 10页

1 / 10 2020 年北京市中考数学试卷 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项 只有一个． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A.圆柱 B.圆椎 C.三棱柱 D.长方体 2. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空， 6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示 应为（ ） A.0.36 × 105 B.3.6 × 105 C.3.6 × 104 D.36 × 103 3. 如图，퐴퐵和퐶퐷相交于点푂，则下列结论正确的是（ ） A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3 C.∠1 > ∠4 + ∠5 D.∠2 < ∠5 4. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 正五边形的外角和为（ ） A.180∘ B.360∘ C.540∘ D.720∘ 6. 实数푎在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数푏满足−푎 < 푏 < 푎，则푏的值可 以是（ ） A.2 B.−1 C.−2 D.−3 7. 不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小 球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出 一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 8. 有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10푐푚，现向容器内注水， 并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2푐푚的速度匀速增加，则容器注 满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ） A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.反比例函数关系 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9. 若代数式 1 푥−7 有意义，则实数푥的取值范围是________． 10. 已知关于푥的方程푥2 + 2푥 + 푘＝0有两个相等的实数根，则푘的值是________． 11. 写出一个比√2大且比√15小的整数________． 12. 方程组{ 푥 − 푦 = 1 3푥 + 푦 = 7 的解为________． 13. 在平面直角坐标系푥푂푦中，直线푦＝푥与双曲线푦 = 푚 푥 交于퐴，퐵两点．若点퐴，퐵 的纵坐标分别为푦1，푦2，则푦1 + 푦2的值为________． 2 / 10 14. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝퐴퐶，点퐷在퐵퐶上（不与点퐵，퐶重合）．只需添加一个 条件即可证明△ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐷，这个条件可以是________． 15. 如图所示的网格是正方形网格，퐴，퐵，퐶，퐷是网格线交点，则△ 퐴퐵퐶的面积与 △ 퐴퐵퐷的面积的大小关系为：푆△퐴퐵퐶 ＝ 푆△퐴퐵퐷（填“>”，“＝”或“<”）． 16. 如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2， 3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位 号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的 票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若 丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票 的先后顺序________． 三、解答题（本题共 68 分，第 17-20 题，每小题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分， 第 23-24 题，每小题 5 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 5 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：(1 3)−1 + √18 + | − 2| − 6sin45∘． 18. 解不等式组：{ 5푥 − 3 > 2푥, 2푥−1 3 < 푥 2 . 19. 已知5푥2 − 푥 − 1＝0，求代数式(3푥 + 2)(3푥 − 2) + 푥(푥 − 2)的值． 3 / 10 20. 已知：如图，△ 퐴퐵퐶为锐角三角形，퐴퐵＝퐴퐶，퐶퐷 // 퐴퐵． 求作：线段퐵푃，使得点푃在直线퐶퐷上，且∠퐴퐵푃 = 1 2 ∠퐵퐴퐶． 作法：①以点퐴为圆心，퐴퐶长为半径画圆，交直线퐶퐷于퐶，푃两点； ②连接퐵푃． 线段퐵푃就是所求作的线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵ 퐶퐷 // 퐴퐵， ∴ ∠퐴퐵푃＝________． ∵ 퐴퐵＝퐴퐶， ∴ 点퐵在⊙ 퐴上． 又∵ 点퐶，푃都在⊙ 퐴上， ∴ ∠퐵푃퐶 = 1 2 ∠퐵퐴퐶(________)（填推理的依据）． ∴ ∠퐴퐵푃 = 1 2 ∠퐵퐴퐶． 21. 如图，菱形퐴퐵퐶퐷的对角线퐴퐶，퐵퐷相交于点푂，퐸是퐴퐷的中点，点퐹，퐺在퐴퐵上， 퐸퐹 ⊥ 퐴퐵，푂퐺 // 퐸퐹． （1）求证：四边形푂퐸퐹퐺是矩形； （2）若퐴퐷＝10，퐸퐹＝4，求푂퐸和퐵퐺的长． 22. 在平面直角坐标系푥푂푦中，一次函数푦＝푘푥 + 푏(푘 ≠ 0)的图象由函数푦＝푥的图象 平移得到，且经过点(1,  2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当푥 > 1时，对于푥的每一个值，函数푦＝푚푥(푚 ≠ 0)的值大于一次函数푦＝푘푥 + 푏的值，直接写出푚的取值范围． 4 / 10 23. 如图，퐴퐵为⊙ 푂的直径，퐶为퐵퐴延长线上一点，퐶퐷是⊙ 푂的切线，퐷为切点， 푂퐹 ⊥ 퐴퐷于点퐸，交퐶퐷于点퐹． （1）求证：∠퐴퐷퐶＝∠퐴푂퐹； （2）若sin퐶 = 1 3 ，퐵퐷＝8，求퐸퐹的长． 24. 小云在学习过程中遇到一个函数푦 = 1 6 |푥|(푥2 − 푥 + 1)(푥 ≥ −2)． 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当−2 ≤ 푥 < 0时，对于函数푦1＝|푥|，即푦1＝−푥，当−2 ≤ 푥 < 0时，푦1随푥的增 大而________，且푦1 > 0；对于函数푦2＝푥2 − 푥 + 1，当−2 ≤ 푥 < 0时，푦2随푥的增大 而________，且푦2 > 0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数푦，当−2 ≤ 푥 < 0时，푦随푥的增大而________． （2）当푥 ≥ 0时，对于函数푦，当푥 ≥ 0时，푦与푥的几组对应值如下表： 푥 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 … 푦 0 1 16 1 6 7 16 1 95 48 7 2 … 结合上表，进一步探究发现，当푥 ≥ 0时，푦随푥的增大而增大．在平面直角坐标系푥푂푦 中，画出当푥 ≥ 0时的函数푦的图象． （3）过点(0,  푚)(푚 > 0)作平行于푥轴的直线푙，结合（1）（ 2）的分析，解决问题：若 直线푙与函数푦 = 1 6 |푥|(푥2 − 푥 + 1)(푥 ≥ −2)的图象有两个交点，则푚的最大值是 ________7 3 ． 5 / 10 25. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关 信息如下： 푎．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图： 푏．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下： 时段 1日至10日 11日至20日 21日至30日 平均数 100 170 250 （1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为________（结果取整数）； （2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余 垃圾分出量的平均数约为4月的________倍（结果保留小数点后一位）； （3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为푠1 2，5月11日至20日的厨余 垃圾分出量的方差为푠2 2，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为푠3 2．直接写出푠1 2， 푠2 2，푠3 2的大小关系． 26. 在平面直角坐标系푥푂푦中，푀(푥1, 푦1)，푁(푥2, 푦2)为抛物线푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 > 0)上任意两点，其中푥1 < 푥2． （1）若抛物线的对称轴为푥＝1，当푥1，푥2为何值时，푦1＝푦2＝푐； （2）设抛物线的对称轴为푥＝푡，若对于푥1 + 푥2 > 3，都有푦1 < 푦2，求푡的取值范围． 6 / 10 27. 在△ 퐴퐵퐶中，∠퐶＝90∘，퐴퐶 > 퐵퐶，퐷是퐴퐵的中点．퐸为直线퐴퐶上一动点，连接 퐷퐸．过点퐷作퐷퐹 ⊥ 퐷퐸，交直线퐵퐶于点퐹，连接퐸퐹． （1）如图1，当퐸是线段퐴퐶的中点时，设퐴퐸＝푎，퐵퐹＝푏，求퐸퐹的长（用含푎，푏的式 子表示）； （2）当点퐸在线段퐶퐴的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段퐴퐸，퐸퐹，퐵퐹 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系푥푂푦中，⊙ 푂的半径为1，퐴，퐵为⊙ 푂外两点，퐴퐵＝1． 给出如下定义：平移线段퐴퐵，得到⊙ 푂的弦퐴′퐵′（퐴′，퐵′分别为点퐴，퐵的对应点）， 线段퐴퐴′长度的最小值称为线段퐴퐵到⊙ 푂的“平移距离”． （1）如图，平移线段퐴퐵得到⊙ 푂的长度为1的弦푃1푃2和푃3푃4，则这两条弦的位置关系 是 푃1푃2 // 푃3푃4 ；在点푃1，푃2，푃3，푃4中，连接点퐴与点________的线段的长度等 于线段퐴퐵到⊙ 푂的“平移距离”； （2）若点퐴，퐵都在直线푦 = √3푥 + 2√3上，记线段퐴퐵到⊙ 푂的“平移距离”为푑1， 求푑1的最小值； （3）若点퐴的坐标为(2, 3 2)，记线段퐴퐵到⊙ 푂的“平移距离”为푑2，直接写出푑2的取 值范围． 7 / 10 参考答案与试题解析 2020 年北京市中考数学试卷 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项 只有一个． 1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.B 7.C 8.B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9.푥 ≠ 7 10.1 11.2或3（答案不唯一） 12.{푥 = 2 푦 = 1 13.0 14.퐵퐷＝퐶퐷 15.＝ 16.丙、丁、甲、乙 三、解答题（本题共 68 分，第 17-20 题，每小题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分， 第 23-24 题，每小题 5 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 5 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17.原式＝3 + 3√2 + 2 − 6 × √2 2 ＝3 + 3√2 + 2 − 3√2 ＝5． 18.解不等式5푥 − 3 > 2푥，得：푥 > 1， 解不等式2푥−1 3 < 푥 2 ，得：푥 < 2， 则不等式组的解集为1 < 푥 < 2． 19.(3푥 + 2)(3푥 − 2) + 푥(푥 − 2) ＝9푥2 − 4 + 푥2 − 2푥 ＝10푥2 − 2푥 − 4， ∵ 5푥2 − 푥 − 1＝0， ∴ 5푥2 − 푥＝1， ∴ 原式＝2(5푥2 − 푥) − 4＝−2． 20.如图，即为补全的图形； ∠퐵푃퐶,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 21.∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是菱形， ∴ 퐵퐷 ⊥ 퐴퐶，∠퐷퐴푂＝∠퐵퐴푂， ∵ 퐸是퐴퐷的中点， ∴ 퐴퐸＝푂퐸 = 1 2 퐴퐷， ∴ ∠퐸퐴푂＝∠퐴푂퐸， ∴ ∠퐴푂퐸＝∠퐵퐴푂， ∴ 푂퐸 // 퐹퐺， 8 / 10 ∵ 푂퐺 // 퐸퐹， ∴ 四边形푂퐸퐹퐺是平行四边形， ∵ 퐸퐹 ⊥ 퐴퐵， ∴ ∠퐸퐹퐺＝90∘， ∴ 四边形푂퐸퐹퐺是矩形； ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是菱形， ∴ 퐵퐷 ⊥ 퐴퐶，퐴퐵＝퐴퐷＝10， ∴ ∠퐴푂퐷＝90∘， ∵ 퐸是퐴퐷的中点， ∴ 푂퐸＝퐴퐸 = 1 2 퐴퐷＝5； 由（1）知，四边形푂퐸퐹퐺是矩形， ∴ 퐹퐺＝푂퐸＝5， ∵ 퐴퐸＝5，퐸퐹＝4， ∴ 퐴퐹 = √퐴퐸2 − 퐸퐹2 = 3， ∴ 퐵퐺＝퐴퐵 − 퐴퐹 − 퐹퐺＝10 − 3 − 5＝2． 22.∵ 一次函数푦＝푘푥 + 푏(푘 ≠ 0)的图象由直线푦＝푥平移得到， ∴ 푘＝1， 将点(1,  2)代入푦＝푥 + 푏， 得1 + 푏＝2，解得푏＝1， ∴ 一次函数的解析式为푦＝푥 + 1； 把点(1,  2)代入푦＝푚푥求得푚＝2， ∵ 当푥 > 1时，对于푥的每一个值，函数푦＝푚푥(푚 ≠ 0)的值大于一次函数푦＝푥 + 1 的值， ∴ 푚 ≥ 2． 23.连接푂퐷， ∵ 퐴퐵为⊙ 푂的直径， ∴ ∠퐴퐷퐵＝90∘， ∴ 퐴퐷 ⊥ 퐵퐷， ∵ 푂퐹 ⊥ 퐴퐷， ∴ 푂퐹 // 퐵퐷， ∴ ∠퐴푂퐹＝∠퐵， ∵ 퐶퐷是⊙ 푂的切线，퐷为切点， ∴ ∠퐶퐷푂＝90∘， ∴ ∠퐶퐷퐴 + ∠퐴퐷푂＝∠퐴퐷푂 + ∠퐵퐷푂＝90∘， ∴ ∠퐶퐷퐴＝∠퐵퐷푂， ∵ 푂퐷＝푂퐵， ∴ ∠푂퐷퐵＝∠퐵， ∴ ∠퐴푂퐹＝∠퐴퐷퐶； ∵ 푂퐹 // 퐵퐷，퐴푂＝푂퐵， ∴ 퐴퐸＝퐷퐸， 9 / 10 ∴ 푂퐸 = 1 2 퐵퐷 = 1 2 × 8＝4， ∵ sin퐶 = 푂퐷 푂퐶 = 1 3 ， ∴ 设푂퐷＝푥，푂퐶＝3푥， ∴ 푂퐵＝푥， ∴ 퐶퐵＝4푥， ∵ 푂퐹 // 퐵퐷， ∴ △ 퐶푂퐹 ∽△ 퐶퐵퐷， ∴ 푂퐶 퐵퐶 = 푂퐹 퐵퐷 ， ∴ 3푥 4푥 = 푂퐹 8 ， ∴ 푂퐹＝6， ∴ 퐸퐹＝푂퐹 − 푂퐸＝6 − 4＝2． 24.减小,减小,减小 7 3 25.173 2.9 由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图知，第1个10天的分出量最分 散、第3个10天分出量最为集中， ∴ 푠1 2 > 푠2 2 > 푠3 2． 26.由题意푦1＝푦2＝푐， ∴ 푥1＝0， ∵ 对称轴푥＝1， ∴ 푀，푁关于푥＝1对称， ∴ 푥2 − 2， ∴ 푥1＝0，푥2＝2时，푦1＝푦2＝푐． ∵ 抛物线的对称轴为푥＝푡，若对于푥1 + 푥2 > 3，都有푦1 < 푦2， ∴ 푡 ≤ 3 2 ． 27.∵ 퐷是퐴퐵的中点，퐸是线段퐴퐶的中点， ∴ 퐷퐸 // 퐵퐶，퐷퐸 = 1 2 퐵퐶， ∵ ∠퐴퐶퐵＝90∘， ∴ ∠퐷퐸퐶＝90∘， ∵ 퐷퐹 ⊥ 퐷퐸， ∴ ∠퐸퐷퐹＝90∘， ∴ 四边形퐶퐸퐷퐹是矩形， ∴ 퐷퐸＝퐶퐹 = 1 2 퐵퐶， ∴ 퐶퐹＝퐵퐹＝푏， ∵ 퐶퐸＝퐴퐸＝푎， ∴ 퐸퐹 = √퐶퐹2 + 퐶퐸2 = √푎2 + 푏2； 퐴퐸2 + 퐵퐹2＝퐸퐹2． 证明：过点퐵作퐵푀 // 퐴퐶，与퐸퐷的延长线交于点푀，连接푀퐹， 则∠퐴퐸퐷＝∠퐵푀퐷，∠퐶퐵푀＝∠퐴퐶퐵＝90∘， ∵ 퐷点是퐴퐵的中点， ∴ 퐴퐷＝퐵퐷， 10 / 10 在△ 퐴퐷퐸和△ 퐵퐷푀中， { ∠퐴퐸퐷 = ∠퐵푀퐷 ∠퐴퐷퐸 = ∠퐵퐷푀 퐴퐷 = 퐵퐷 ， ∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐵퐷푀(퐴퐴푆)， ∴ 퐴퐸＝퐵푀，퐷퐸＝퐷푀， ∵ 퐷퐹 ⊥ 퐷퐸， ∴ 퐸퐹＝푀퐹， ∵ 퐵푀2 + 퐵퐹2＝푀퐹2， ∴ 퐴퐸2 + 퐵퐹2＝퐸퐹2． 28.푃3 如图1中，作等边△ 푂퐸퐹，点퐸在푥轴上，푂퐸＝퐸퐹＝푂퐹＝1， 设直线푦 = √3푥 + 2√3交푥轴于푀，交푦轴于푁．则푀(−2,  0)，푁(0,  2√3)， 过点퐸作퐸퐻 ⊥ 푀푁于퐻， ∵ 푂푀＝2，푂푁＝2√3， ∴ tan∠푁푀푂 = √3， ∴ ∠푁푀푂＝60∘， ∴ 퐸퐻＝퐸푀 ⋅ sin60∘ = √3 2 ， 观察图象可知，线段퐴퐵到⊙ 푂的“平移距离”为푑1的最小值为√3 2 ． 如图2中，作直线푂퐴交⊙ 푂于푀，푁过点푂作푃푄 ⊥ 푂퐴交，交⊙ 푂于푃，푄． 以푂퐴，퐴퐵为邻边构造平行四边形퐴퐵퐷푂，以푂퐷为边构造等边△ 푂퐷퐵′，等边△ 푂퐵′퐴′， 则퐴퐵 // 퐴′퐵′，퐴퐴′的长即为线段퐴퐵到⊙ 푂的“平移距离”， 当点퐴′与푀重合时，퐴퐴′的值最小，最小值＝푂퐴 − 푂푀 = 5 2 − 1 = 3 2 ， 当点퐴′与푃或푄重合时，퐴퐴′的值最大最大值= √12 + (5 2)2 = √29 2 ， ∴ 3 2 ≤ 푑2 ≤ √29 2 ．