2021年中考数学专题复习 专题16 相交线与平行线（教师版含解析） 18页

专题 16 相交线与平行线 一、相交线 1．邻补角 (1)定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 (2)性质：邻补角的性质：邻补角互补。 2．对顶角 (1)定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 (2)性质：对顶角的性质：对顶角相等。 3．垂线 (1)定义：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 (2)垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 4．同位角、内错角、同旁内角 (1)同位角定义：∠1 与∠5 像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 (2)内错角定义：∠2 与∠6 像这样的一对角叫做内错角。 (3)同旁内角定义：∠2与∠5 像这样的一对角叫做同旁内角。 二、平行线 1.平行线概念：在同一平面内，两条不想交的直线叫做平行线。记做 a∥b 如“AB∥CD”，读作“AB平行于 CD”。 2.两条直线的位置关系：平行和相交。 3.平行线公理及其推论： (1)公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行. 4.平行线的判定： 判定方法 1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行； 判定方法 2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行； 判定方法 3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行. 补充平行线的判定方法： (1)平行于同一条直线的两直线平行。 (2)垂直于同一条直线的两直线平行。 5.平行线的性质： 性质 1：两直线平行，同位角相等。 性质 2：两直线平行，内错角相等。 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 6．证明的一般步骤 (1)根据题意，画出图形。 (2)根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 (3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 【例题 1】(2020•北京)如图，AB和 CD相交于点 O，则下列结论正确的是( ) A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5 【答案】A 【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可． 【解析】A．∵∠1和∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2，故 A正确； B．∵∠2＝∠A+∠3， ∴∠2＞∠3，故 B错误； C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误； D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故 D错误. 【对点练习】(2019•河北省)下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是( ) A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表 AB 【答案】C． 【解析】证明：延长 BE 交 CD 于点 F， 则∠BEC＝∠EFC+∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和)． 又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC． 故 AB∥CD(内错角相等，两直线平行)． 【点拨】以角度之间的关系为前提，得出两条直线平行，是平行线判定定理的运用。 【例题 2】(2020•衡阳)一副三角板如图摆放，且 AB∥CD，则∠1的度数为 ． 【答案】105°． 【分析】利用平行线的性质得到∠2＝∠D＝45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数． 【解析】如图，∵AB∥CD，∠D＝45°， ∴∠2＝∠D＝45°． ∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°， ∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°． 【对点练习】(2019 江苏镇江)如图，直线 a∥b，△ABC 的顶点 C在直线 b上，边 AB 与直线 b 相交于点 D．若 △BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝_______． 1 D C B A b a 【答案】40° 【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三 角形内角和定理，先求出∠ACD 的度数是解题的关键． ∵△BCD 是等边三角形， ∴∠B＝∠BCD＝60°． ∵∠A＝20°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°． ∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°． ∵a∥b， ∴∠1＝∠ACD＝40°． 【点拨】已知两条直线平行的情况下，求解或者证明其他问题的过程，是利用平行线性质解决问题。 【例题 3】(2020•武汉)如图直线 EF分别与直线 AB，CD交于点 E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE， 且 EM∥FN．求证：AB∥CD． 【答案】见解析。 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB＝∠EFC，进而得出 AB∥CD． 【解答】证明：∵EM∥FN， ∴∠FEM＝∠EFN， ∠BEF＝∠CFE， 又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE， ∴∠FEB＝∠EFC， ∴AB∥CD． 【对点练习】如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC． ①∠DAB+∠B=多少度？ ②AD 与 BC 平行吗？AB 与 CD 平行吗？试说明理由． 【答案】见解析。 【解析】(1)由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°(2)根据同旁内角互补两直线平行可 得 AD∥BC，∠ACD 不能确定从而不能确定 AB 与 CD 平行． ①∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°， 又∠1=30°，∴∠BAD=120°， ∵∠B=60°， ∴∠DAB+∠B=180°． ②答：AD∥BC，AB 与 CD 不一定平行． 理由是： ∵∠DAB+∠B=180° ∴AD∥BC ∵∠ACD 不能确定 ∴AB 与 CD 不一定平行． 一、选择题 1．(2020•长沙)如图：一块直角三角板的 60°角的顶点 A与直角顶点 C分别在两平行线 FD、GH上，斜边 AB平分∠CAD，交直线 GH于点 E，则∠ECB的大小为( ) A．60° B．45° C．30° D．25° 【答案】C 【分析】依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE的度数，进而得出∠ECB的度数． 【解析】∵AB平分∠CAD， ∴∠CAD＝2∠BAC＝120°， 又∵DF∥HG， ∴∠ACE＝180°﹣∠DAC＝180°﹣120°＝60°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30° 2．(2020•滨州)如图，AB∥CD，点 P为 CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大 小为( ) A．60° B．70° C．80° D．100° 【答案】B 【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论． 【解析】∵AB∥CD， ∴∠1＝∠CPF＝55°， ∵PF是∠EPC的平分线， ∴∠CPE＝2∠CPF＝110°， ∴∠EPD＝180°﹣110°＝70° 3．(2020•自贡)如图，直线 a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为( ) A．40° B．50° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案． 【解析】如图所示： ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝50°， ∴∠2＝∠3＝50° 4．(2020•金华)如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 AB的垂线 a和 b，得到 a∥b．理由是( ) A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可． 【解析】由题意 a⊥AB，b⊥AB， ∴a∥b(垂直于同一条直线的两条直线平行) 5.(2019•海南省)如图，直线 l1∥l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1、l2于 B、C 两点，连结 AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1 的大小为( ) A．20° B．35° C．40° D．70° 【答案】C 【解析】根据平行线的性质解答即可． ∵点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1、l2 于 B、C， ∴AC＝AB， ∴∠CBA＝∠BCA＝70°， ∵l1∥l2， ∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°， ∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40° 6.(2019•湖北省鄂州市)如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数 为( ) A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】B 【解析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可． 如图， 作 EF∥AB∥CD， ∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC， ∵∠AEC＝90°， ∴∠1＝90°﹣35°＝55° 7.(2020•广元)如图，a∥b，M、N分别在 a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝( ) A．180° B．360° C．270° D．540° 【答案】B 【分析】首先作出 PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值． 【解析】过点 P作 PA∥a， ∵a∥b，PA∥a， ∴a∥b∥PA， ∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°， ∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°． 二、填空题 8．(2020•南充)如图，两直线交于点 O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度． 【答案】38． 【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案． 【解析】∵两直线交于点 O， ∴∠1＝∠2， ∵∠1+∠2＝76°， ∴∠1＝38°． 9．(2020•杭州)如图，AB∥CD，EF分别与 AB，CD交于点 B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A ＝ ． 【答案】20°． 【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【解析】∵AB∥CD， ∴∠ABF+∠EFC＝180°， ∵∠EFC＝130°， ∴∠ABF＝50°， ∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°， ∴∠A＝20°． 10.(2019 广西省贵港市)如图，直线 / /a b，直线m与 a， b均相交，若 1 38  ，则 2  ． 【答案】142． 【解析】知识点是平行线的性质 如图， / /a b ， 2 3   ， 1 3 180    ， 2 180 38 142      ． 11.(2019 江苏镇江)如图，直线 a∥b，△ABC 的顶点 C 在直线 b上，边 AB 与直线 b相交于点 D．若△BCD 是 等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝______． 1 D C B A b a 【答案】40° 【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三 角形内角和定理，先求出∠ACD 的度数是解题的关键． ∵△BCD 是等边三角形， ∴∠B＝∠BCD＝60°． ∵∠A＝20°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°． ∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°． ∵a∥b， ∴∠1＝∠ACD＝40°． 【点拨】已知两条直线平行的情况下，求解或者证明其他问题的过程，是利用平行线性质解决问题。 12.(2019 湖南益阳)如图，直线 AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝ 度． 【答案】52． 【解析】根据平行线的性质解答即可． ∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠2， ∵OA⊥OB，∴∠O＝90°， ∵∠1＝∠OCD+∠O＝142°， ∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52° 13．(2019•威海)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，过点 C 作 CE⊥BC，交 AD 于点 E，连接 BE，∠BEC＝∠ DEC，若 AB＝6，则 CD＝ ． 【答案】3 【解析】延长 BC、AD 相交于点 F，可证△EBC≌△EFC，可得 BC＝CF，则 CD 为△ABF 的中位线，故 CD＝ 可求出．如图，延长 BC、AD 相交于点 F， ∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠FCE＝90°， ∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE， ∴△EBC≌△EFC(ASA)，∴BC＝CF， ∵AB∥DC，∴AD＝DF， ∴DC＝ ． 三、解答题 14.如图，点 D在△ABC 的 AB 边上，且∠ACD=∠A． (1)作∠BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系(不要求证明)． 【答案】(1)如图所示：(2)DE∥AC 【解析】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平 行．(1)根据角平分线基本作图的作法作图即可； (2)根据角平分线的性质可得∠BDE= ∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A= ∠BDE，再根据同位角 相等两直线平行可得结论． 14．如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC． ①∠DAB+∠B=多少度？ ②AD 与 BC 平行吗？AB 与 CD 平行吗？试说明理由． 【答案】见解析。 【解析】(1)由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°(2)根据同旁内角互补两直线平行可 得 AD∥BC，∠ACD 不能确定从而不能确定 AB 与 CD 平行． ①∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°， 又∠1=30°，∴∠BAD=120°， ∵∠B=60°， ∴∠DAB+∠B=180°． ②答：AD∥BC，AB 与 CD 不一定平行． 理由是： ∵∠DAB+∠B=180° ∴AD∥BC ∵∠ACD 不能确定 ∴AB 与 CD 不一定平行．