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  • 2021-11-06 发布

2020年四川省凉山州中考数学试卷

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2020 年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分)在每小题给出的四个选项中只有 一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置. 1.(4 分) 20201 (  ) A.1 B. 1 C.2020 D. 2020 2.(4 分)如图,下列几何体的左视图不是矩形的是 ( ) A. B. C. D. 3.(4 分)点 P (2,3) 关于 x 轴对称的点 P 的坐标是 ( ) A. (2, 3) B. ( 2,3) C. ( 2, 3)  D. (3,2) 4.(4 分)已知一组数据 1,0,3, 1 ,x ,2,3 的平均数是 1,则这组数据的众数是 ( ) A. 1 B.3 C. 1 和 3 D.1 和 3 5.(4 分)一元二次方程 2 2x x 的根为 ( ) A. 0x  B. 2x  C. 0x  或 2x  D. 0x  或 2x   6.(4 分)下列等式成立的是 ( ) A. 81 9  B.| 5 2 | 5 2    C. 11( ) 22    D. 0(tan45 1) 1   7.(4 分)若一次函数 (2 1) 3y m x m    的图象不经过第二象限,则 m 的取值范围是 ( ) A. 1 2m   B. 3m  C. 1 32 m   D. 1 32 m  „ 8.(4 分)点 C 是线段 AB 的中点,点 D 是线段 AC 的三等分点.若线段 12AB cm ,则线 段 BD 的长为 ( ) A.10cm B.8cm C.10cm 或8cm D. 2cm 或 4cm 9.(4 分)下列命题是真命题的是 ( ) A.顶点在圆上的角叫圆周角 B.三点确定一个圆 C.圆的切线垂直于半径 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 10.(4 分)如图所示, ABC 的顶点在正方形网格的格点上,则 tan A 的值为 ( ) A. 1 2 B. 2 2 C.2 D. 2 2 11.(4 分)如图,等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于 O ,则 : (AD AB  ) A. 2 2 : 3 B. 2 : 3 C. 3 : 2 D. 3 : 2 2 12.(4 分)二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示,有如下结论: ① 0abc  ; ② 2 0a b  ; ③ 3 2 0b c  ; ④ 2 (am bm a b m … 为实数). 其中正确结论的个数是 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 13.(4 分)函数 1y x  中,自变量 x 的取值范围是 . 14.(4 分)因式分解: 3 2a ab  . 15.(4 分)如图, ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O , / /OE AB 交 AD 于点 E ,若 1OA  , AOE 的周长等于 5,则 ABCD 的周长等于 . 16.(4 分)如图,点 C 、 D 分别是半圆 AOB 上的三等分点,若阴影部分的面积是 3 2  ,则 半圆的半径 OA 的长为 . 17.(4 分)如图,矩形 OABC 的面积为100 3 ,对角线OB 与双曲线 ( 0, 0)ky k xx    相交于 点 D ,且 : 5:3OB OD  ,则 k 的值为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 32 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(5 分)解方程: 2 2 112 3 x xx     . 19.(5 分)化简求值: 2(2 3)(2 3) ( 2) 4( 3)x x x x      ,其中 2x  . 20.(7 分)如图,一块材料的形状是锐角三角形 ABC ,边 120BC mm ,高 80AD mm , 把它加工成正方形零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上,这 个正方形零件的边长是多少? 21.(7 分)某校团委在“五  四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛,分三批对全 校 20 个班的作品进行评比.在第一批评比中,随机抽取 A 、 B 、 C 、 D 四个班的征集作 品,对其数量进行统计后,绘制如图两幅不完整的统计图. (1)第一批所抽取的 4 个班共征集到作品 件;在扇形统计图中表示 C 班的扇形的圆心 角的度数为 ; (2)补全条形统计图; (3)第一批评比中, A 班 D 班各有一件、 B 班 C 班各有两件作品获得一等奖.现要在获 得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出,用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同 班级的概率. 22.(8 分)如图, AB 是半圆 AOB 的直径, C 是半圆上的一点, AD 平分 BAC 交半圆于 点 D ,过点 D 作 DH AC 与 AC 的延长线交于点 H . (1)求证: DH 是半圆的切线; (2)若 2 5DH  , 5sin 3BAC  ,求半圆的直径. 四、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 23.(5 分)若不等式组 2 3( 3) 1 3 2 4 x x x x a       恰有四个整数解,则 a 的取值范围是 . 24.(5 分)如图,矩形 ABCD 中, 12AD  , 8AB  ,E 是 AB 上一点,且 3EB  ,F 是 BC 上一动点,若将 EBF 沿 EF 对折后,点 B 落在点 P 处,则点 P 到点 D 的最短距离为 . 五、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.(8 分)如图,点 P 、 Q 分别是等边 ABC 边 AB 、 BC 上的动点(端点除外),点 P 、 点 Q 以相同的速度,同时从点 A 、点 B 出发. (1)如图 1,连接 AQ 、 CP .求证: ABQ CAP   ; (2)如图 1,当点 P 、Q 分别在 AB 、BC 边上运动时,AQ 、CP 相交于点 M , QMC 的 大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数; (3)如图 2,当点 P 、Q 在 AB 、BC 的延长线上运动时,直线 AQ 、CP 相交于 M , QMC 的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数. 26.(10 分)如图,已知直线 : 5l y x   . (1)当反比例函数 ( 0, 0)ky k xx    的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时,求 k 的取值范围. (2)若反比例函数 ( 0, 0)ky k xx    的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 1(A x , 1)y 、 2(B x , 2 )y ,当 2 1 3x x  时,求 k 的值,并根据图象写出此时关于 x 的不等式 5 kx x    的 解集. 27.(10 分)如图, O 的半径为 R ,其内接锐角三角形 ABC 中, A 、 B 、 C 所对的 边分别是 a 、 b 、 c . (1)求证: 2sin sin sin a b c RA B C      ; (2)若 60A   , 45C   , 4 3BC  ,利用(1)的结论求 AB 的长和 sin B 的值. 28.(12 分)如图,二次函数 2y ax bx c   的图象过 (0,0)O 、 (1,0)A 、 3(2B , 3)2 三点. (1)求二次函数的解析式; (2)若线段 OB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C ,与二次函数的图象在 x 轴上方的部分相交 于点 D ,求直线 CD 的解析式; (3)在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P ,过点 P 作 PQ x 轴,交直线 CD 于 Q ,当线段 PQ 的长最大时,求点 P 的坐标. 2020 年四川省凉山州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分)在每小题给出的四个选项中只有 一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置. 1.(4 分) 20201 (  ) A.1 B. 1 C.2020 D. 2020 【解答】解: 20201 1   . 故选: B . 2.(4 分)如图,下列几何体的左视图不是矩形的是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解: A 、圆柱的左视图是矩形,故本选项不符合题意; B 、三棱锥的左视图是三角形,故本选项符合题意; C 、三棱柱的左视图是矩形,故本选项不符合题意; D 、正方体的左视图是正方形,故本选项不符合题意. 故选: B . 3.(4 分)点 P (2,3) 关于 x 轴对称的点 P 的坐标是 ( ) A. (2, 3) B. ( 2,3) C. ( 2, 3)  D. (3,2) 【解答】解:点 (2,3)P 关于 x 轴对称的点 P 的坐标是 (2, 3) . 故选: A . 4.(4 分)已知一组数据 1,0,3, 1 ,x ,2,3 的平均数是 1,则这组数据的众数是 ( ) A. 1 B.3 C. 1 和 3 D.1 和 3 【解答】解:数据 1,0,3, 1 , x ,2,3 的平均数是 1, 1 0 3 1 2 3 7 1x         , 解得 1x   , 则这组数据为 1,0,3, 1 , 1 ,2,3, 这组数据的众数为 1 和 3, 故选: C . 5.(4 分)一元二次方程 2 2x x 的根为 ( ) A. 0x  B. 2x  C. 0x  或 2x  D. 0x  或 2x   【解答】解: 2 2x x , 2 2 0x x   , 则 ( 2) 0x x   , 0x  或 2 0x   , 解得 1 0x  , 2 2x  , 故选: C . 6.(4 分)下列等式成立的是 ( ) A. 81 9  B.| 5 2 | 5 2    C. 11( ) 22    D. 0(tan45 1) 1   【解答】解: A . 81 9 ,此选项计算错误; B .| 5 2 | 5 2   ,此选项错误; C . 11( ) 22    ,此选项正确; D . 0(tan45 1)  无意义,此选项错误; 故选: C . 7.(4 分)若一次函数 (2 1) 3y m x m    的图象不经过第二象限,则 m 的取值范围是 ( ) A. 1 2m   B. 3m  C. 1 32 m   D. 1 32 m  „ 【解答】解:根据题意得 2 1 0 3 0 m m     „ , 解得 1 32 m  „ . 故选: D . 8.(4 分)点 C 是线段 AB 的中点,点 D 是线段 AC 的三等分点.若线段 12AB cm ,则线 段 BD 的长为 ( ) A.10cm B.8cm C.10cm 或8cm D. 2cm 或 4cm 【解答】解: C 是线段 AB 的中点, 12AB cm , 1 1 12 6( )2 2AC BC AB cm      , 点 D 是线段 AC 的三等分点, ①当 1 3AD AC 时,如图, 2 6 4 10( )3BD BC CD BC AC cm       ; ②当 2 3AD AC 时,如图, 1 6 2 8( )3BD BC CD BC AC cm        . 所以线段 BD 的长为10cm或8cm , 故选: C . 9.(4 分)下列命题是真命题的是 ( ) A.顶点在圆上的角叫圆周角 B.三点确定一个圆 C.圆的切线垂直于半径 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 【解答】解: A 、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角,原命题是假命题; B 、不在同一直线上的三点确定一个圆,原命题是假命题; C 、圆的切线垂直于过切点的半径,原命题是假命题; D 、三角形的内心到三角形三边的距离相等,是真命题; 故选: D . 10.(4 分)如图所示, ABC 的顶点在正方形网格的格点上,则 tan A 的值为 ( ) A. 1 2 B. 2 2 C.2 D. 2 2 【解答】解:如图,连接 BD ,由网格的特点可得, BD AC , 2 22 2 2 2AD    , 2 21 1 2BD    , 2 1tan 22 2 BDA AD     , 故选: A . 11.(4 分)如图,等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于 O ,则 : (AD AB  ) A. 2 2 : 3 B. 2 : 3 C. 3 : 2 D. 3 : 2 2 【解答】解:连接 OA 、 OB 、 OD ,过 O 作 OH AB 于 H ,如图所示: 则 1 2AH BH AB  , 正方形 ABCD 和等边三角形 AEF 都内接于 O , 120AOB   , 90AOD  , OA OD OB  , AOD 是等腰直角三角形, 1 120 602AOH BOH        , 2AD OA  , 3sin60 2AH OA OA   , 32 2 32AB AH OA OA     ,  2 2 3 3 AD OA AB OA   , 故选: B . 12.(4 分)二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示,有如下结论: ① 0abc  ; ② 2 0a b  ; ③ 3 2 0b c  ; ④ 2 (am bm a b m … 为实数). 其中正确结论的个数是 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解答】解:①对称轴在 y 轴右侧, a 、 b 异号, 0ab  , 0c  , 0abc  , 故①正确; ②对称轴 12 bx a    , 2 0a b   ; 故②正确; ③ 2 0a b  , 1 2a b   , 当 1x   时, 0y a b c    , 1 02b b c    , 3 2 0b c   , 故③正确; ④根据图象知,当 1x  时, y 有最小值; 当 m 为实数时,有 2am bm c a b c   … , 所以 2 (am bm a b m … 为实数). 故④正确. 本题正确的结论有:①②③④,4 个; 故选: D . 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 13.(4 分)函数 1y x  中,自变量 x 的取值范围是 1x … . 【解答】解:由题意得, 1 0x  … , 解得 1x … . 故答案为: 1x … . 14.(4 分)因式分解: 3 2a ab  ( )( )a a b a b  . 【解答】解: 3 2 2 2( ) ( )( )a ab a a b a a b a b      . 15.(4 分)如图, ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O , / /OE AB 交 AD 于点 E ,若 1OA  , AOE 的周长等于 5,则 ABCD 的周长等于 16 . 【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形, AB CD  , AD BC , OB OD , / /OE AB , OE 是 ABD 的中位线, 2AB OE  , 2AD AE , AOE 的周长等于 5, 5OA AE OE    , 5 5 1 4AE OE OA       , 2 2 8AB AD AE OE     , ABCD 的周长 2 ( ) 2 8 16AB AD      ; 故答案为:16. 16.(4 分)如图,点 C 、 D 分别是半圆 AOB 上的三等分点,若阴影部分的面积是 3 2  ,则 半圆的半径 OA 的长为 3 . 【解答】解:连接 OC 、 OD 、 CD . COD 和 CBD 等底等高, COD BCDS S   . 点 C , D 为半圆的三等分点, 180 3 60COD      , 阴影部分的面积 CODS 扇形 , 阴影部分的面积是 3 2  ,  260 3 360 2 r  , 3r  , 故答案为 3. 17.(4 分)如图,矩形 OABC 的面积为100 3 ,对角线OB 与双曲线 ( 0, 0)ky k xx    相交于 点 D ,且 : 5:3OB OD  ,则 k 的值为 12 . 【解答】解:设 D 的坐标是 (3 ,3 )m n ,则 B 的坐标是 (5 ,5 )m n . 矩形 OABC 的面积为 100 3 , 1005 5 3m n  , 4 3mn  . 把 D 的坐标代入函数解析式得: 3 3 kn m  , 49 9 123k mn     . 故答案为 12. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 32 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(5 分)解方程: 2 2 112 3 x xx     . 【解答】解:去分母,得: 6 3( 2) 6 2(2 1)x x x     , 去括号,得: 6 3 6 6 4 2x x x     , 移项,得: 6 3 4 6 6 2x x x     , 合并同类项,得: 2x   , 系数化为 1,得: 2x  . 19.(5 分)化简求值: 2(2 3)(2 3) ( 2) 4( 3)x x x x      ,其中 2x  . 【解答】解:原式 2 24 9 ( 4 4) 4 12x x x x       2 24 9 4 4 4 12x x x x       23 1x  , 当 2x  时, 原式 23 ( 2) 1   3 2 1   6 1  5 . 20.(7 分)如图,一块材料的形状是锐角三角形 ABC ,边 120BC mm ,高 80AD mm , 把它加工成正方形零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上,这 个正方形零件的边长是多少? 【解答】解:四边形 EGFH 为正方形, / /BC EF , AEF ABC ∽ ; 设正方形零件的边长为 x mm ,则 KD EF x  , 80AK x  , / /EF BC , AEF ABC ∽ , AD BC ,  EF AK BC AD  ,  80 120 80 x x , 解得: 48x  . 答:正方形零件的边长为 48mm . 21.(7 分)某校团委在“五  四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛,分三批对全 校 20 个班的作品进行评比.在第一批评比中,随机抽取 A 、 B 、 C 、 D 四个班的征集作 品,对其数量进行统计后,绘制如图两幅不完整的统计图. (1)第一批所抽取的 4 个班共征集到作品 24 件;在扇形统计图中表示 C 班的扇形的圆 心角的度数为 ; (2)补全条形统计图; (3)第一批评比中, A 班 D 班各有一件、 B 班 C 班各有两件作品获得一等奖.现要在获 得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出,用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同 班级的概率. 【解答】解:(1)第一批所抽取的 4 个班共征集到作品 6 25% 24  (件 ) , 则 C 班级作品数为 24 (4 6 4) 10    (件 ) , 在扇形统计图中表示 C 班的扇形的圆心角的度数为 10360 15024    , 故答案为:24、150 ; (2)补全图形如下: (3)列表如下: A B B C C D A BA BA CA CA DA B AB BB CB CB DB B AB BB CB CB DB C AC BC BC CC DC C AC BC BC CC DC D AD BD BD CD CD 由表可知,共有 30 种等可能结果,其中抽取的作品来自两个不同班级的有 26 种结果, 抽取的作品来自两个不同班级的概率为 26 13 30 15  . 22.(8 分)如图, AB 是半圆 AOB 的直径, C 是半圆上的一点, AD 平分 BAC 交半圆于 点 D ,过点 D 作 DH AC 与 AC 的延长线交于点 H . (1)求证: DH 是半圆的切线; (2)若 2 5DH  , 5sin 3BAC  ,求半圆的直径. 【解答】(1)证明:连接 OD , OA OD , DAO ADO   , AD 平分 BAC , CAD OAD   , CAD ADO   , / /AH OD , DH AC , OD DH  , DH 是半圆的切线; (2)解:连接 BC 交OD 于 E , AB 是半圆 AOB 的直径, 90ACB   , 四边形 CEDH 是矩形, 2 5CE DH   , 90DEC  , OD BC  , 2 4 5BC CE   , 5sin 3 BCBAC AB    , 12AB  , 即半圆的直径为 12. 四、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 23 .( 5 分 ) 若 不 等 式 组 2 3( 3) 1 3 2 4 x x x x a       恰 有 四 个 整 数 解 , 则 a 的 取 值 范 围 是 11 5 4 2a  „ . 【解答】解:解不等式 2 3( 3) 1x x   ,得: 8x  , 解不等式 3 2 4 x x a   ,得: 2 4x a  , 不等式组有 4 个整数解, 12 2 4 13a   „ , 解得: 11 5 4 2a  „ , 故答案为: 11 5 4 2a  „ . 24.(5 分)如图,矩形 ABCD 中, 12AD  , 8AB  ,E 是 AB 上一点,且 3EB  ,F 是 BC 上一动点,若将 EBF 沿 EF 对折后,点 B 落在点 P 处,则点 P 到点 D 的最短距离为 10 . 【解答】解:如图,连接 PD , DE , 四边形 ABCD 是矩形, 90A  , 8AB  , 3BE  , 5AE  , 12AD  , 2 25 12 13DE    , 由折叠得: 3EB EP  , EP DP ED … , 当 E 、 P 、 D 共线时, DP 最小, 13 3 10DP DE EP      ; 故答案为:10. 五、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.(8 分)如图,点 P 、 Q 分别是等边 ABC 边 AB 、 BC 上的动点(端点除外),点 P 、 点 Q 以相同的速度,同时从点 A 、点 B 出发. (1)如图 1,连接 AQ 、 CP .求证: ABQ CAP   ; (2)如图 1,当点 P 、Q 分别在 AB 、BC 边上运动时,AQ 、CP 相交于点 M , QMC 的 大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数; (3)如图 2,当点 P 、Q 在 AB 、BC 的延长线上运动时,直线 AQ 、CP 相交于 M , QMC 的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数. 【解答】解:(1)证明:如图 1, ABC 是等边三角形 60ABQ CAP     , AB CA , 又点 P 、 Q 运动速度相同, AP BQ  , 在 ABQ 与 CAP 中, AB CA ABQ CPA AP BQ       , ( )ABQ CAP SAS   ; (2)点 P 、 Q 在 AB 、 BC 边上运动的过程中, QMC 不变. 理由: ABQ CAP   , BAQ ACP   , QMC 是 ACM 的外角, QMC ACP MAC BAQ MAC BAC           60BAC   , 60QMC   ; (3)如图 2,点 P 、 Q 在运动到终点后继续在射线 AB 、 BC 上运动时, QMC 不变 理由:同理可得, ABQ CAP   , BAQ ACP   , QMC 是 APM 的外角, QMC BAQ APM     , 180 180 60 120QMC ACP APM PAC               , 即若点 P 、 Q 在运动到终点后继续在射线 AB 、 BC 上运动, QMC 的度数为120 . 26.(10 分)如图,已知直线 : 5l y x   . (1)当反比例函数 ( 0, 0)ky k xx    的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时,求 k 的取值范围. (2)若反比例函数 ( 0, 0)ky k xx    的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 1(A x , 1)y 、 2(B x , 2 )y ,当 2 1 3x x  时,求 k 的值,并根据图象写出此时关于 x 的不等式 5 kx x    的 解集. 【解答】解:(1)将直线 l 的表达式与反比例函数表达式联立并整理得: 2 5 0x x k   , 由题意得:△ 25 4 0k  … ,解得: 25 4k„ , 故 k 的取值范围 250 4k „ ; (2)设点 ( , 5)A m m  ,而 2 1 3x x  ,则点 ( 3, 2)B m m   , 点 A 、 B 都在反比例函数上,故 ( 5) ( 3)( 2)m m m m      ,解得: 1m  , 故点 A 、 B 的坐标分别为 (1,4) 、 (4,1) ; 将点 A 的坐标代入反比例函数表达式并解得: 4 1 4k    , 观察函数图象知,当 5 kx x    时, 0 1x  或 4x  . 27.(10 分)如图, O 的半径为 R ,其内接锐角三角形 ABC 中, A 、 B 、 C 所对的 边分别是 a 、 b 、 c . (1)求证: 2sin sin sin a b c RA B C      ; (2)若 60A   , 45C   , 4 3BC  ,利用(1)的结论求 AB 的长和 sin B 的值. 【解答】(1)证明:作直径 BE ,连接 CE ,如图所示: 则 90BCE   , E A   , sin sin 2 BC aA E BE R     ,  2sin a RA  , 同理: 2sin b RB  , 2sin c RC  ,  2sin sin sin a b c RA B C      ; (2)解:由(1)得: sin sin AB BC C A  , 即 4 3 2sin 45 sin 60 AB R   , 24 3 2 4 2 3 2 AB     , 4 32 8 3 2 R   , 过 B 作 BH AC 于 H , 90AHB BHC     , 1cos60 4 2 2 22AH AB      , 2 2 62CH BC  , 2( 2 6)AC AH CH     , 2( 2 6) 2 6sin 2 8 4 ACB R       . 28.(12 分)如图,二次函数 2y ax bx c   的图象过 (0,0)O 、 (1,0)A 、 3(2B , 3)2 三点. (1)求二次函数的解析式; (2)若线段 OB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C ,与二次函数的图象在 x 轴上方的部分相交 于点 D ,求直线 CD 的解析式; (3)在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P ,过点 P 作 PQ x 轴,交直线 CD 于 Q ,当线段 PQ 的长最大时,求点 P 的坐标. 【解答】解:(1)将点 O 、 A 、 B 的坐标代入抛物线表达式得 0 0 3 9 3 2 4 2 c a b c a b c            ,解得 2 3 3 2 3 3 0 a b c            , 故抛物线的表达式为: 22 3 2 3 3 3y x x  ; (2)由点 B 的坐标知,直线 BO 的倾斜角为30 ,则OB 中垂线 ( )CD 与 x 负半轴的夹角为 60 , 故设 CD 的表达式为: 3y x b   ,而 OB 中点的坐标为 3(4 , 3)4 , 将该点坐标代入 CD表达式并解得: 3b  , 故直线 CD的表达式为: 3 3y x   ; (3)设点 22 3 2 3( , )3 3P x x x ,则点 ( , 3 3)Q x x  , 则 2 22 3 2 3 2 3 33 3 ( ) 33 3 3 3PQ x x x x x         ,  2 3 03   ,故 PQ 有最大值,此时点 P 的坐标为 1( 4  , 5 3 )24 .