2020年四川省凉山州中考数学试卷 24页

2020 年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中只有 一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1．（4 分） 20201 (  ) A．1 B． 1 C．2020 D． 2020 2．（4 分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是 ( ) A． B． C． D． 3．（4 分）点 P (2,3) 关于 x 轴对称的点 P 的坐标是 ( ) A． (2, 3) B． ( 2,3) C． ( 2, 3)  D． (3,2) 4．（4 分）已知一组数据 1，0，3， 1 ，x ，2，3 的平均数是 1，则这组数据的众数是 ( ) A． 1 B．3 C． 1 和 3 D．1 和 3 5．（4 分）一元二次方程 2 2x x 的根为 ( ) A． 0x  B． 2x  C． 0x  或 2x  D． 0x  或 2x   6．（4 分）下列等式成立的是 ( ) A． 81 9  B．| 5 2 | 5 2    C． 11( ) 22    D． 0(tan45 1) 1   7．（4 分）若一次函数 (2 1) 3y m x m    的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是 ( ) A． 1 2m   B． 3m  C． 1 32 m   D． 1 32 m  „ 8．（4 分）点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 AC 的三等分点．若线段 12AB cm ，则线 段 BD 的长为 ( ) A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D． 2cm 或 4cm 9．（4 分）下列命题是真命题的是 ( ) A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．圆的切线垂直于半径 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 10．（4 分）如图所示， ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tan A 的值为 ( ) A． 1 2 B． 2 2 C．2 D． 2 2 11．（4 分）如图，等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于 O ，则 : (AD AB  ) A． 2 2 : 3 B． 2 : 3 C． 3 : 2 D． 3 : 2 2 12．（4 分）二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，有如下结论： ① 0abc  ； ② 2 0a b  ； ③ 3 2 0b c  ； ④ 2 (am bm a b m … 为实数）． 其中正确结论的个数是 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．（4 分）函数 1y x  中，自变量 x 的取值范围是 ． 14．（4 分）因式分解： 3 2a ab  ． 15．（4 分）如图， ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ， / /OE AB 交 AD 于点 E ，若 1OA  ， AOE 的周长等于 5，则 ABCD 的周长等于 ． 16．（4 分）如图，点 C 、 D 分别是半圆 AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是 3 2  ，则 半圆的半径 OA 的长为 ． 17．（4 分）如图，矩形 OABC 的面积为100 3 ，对角线OB 与双曲线 ( 0, 0)ky k xx    相交于 点 D ，且 : 5:3OB OD  ，则 k 的值为 ． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 32 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（5 分）解方程： 2 2 112 3 x xx     ． 19．（5 分）化简求值： 2(2 3)(2 3) ( 2) 4( 3)x x x x      ，其中 2x  ． 20．（7 分）如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC ，边 120BC mm ，高 80AD mm ， 把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，这 个正方形零件的边长是多少？ 21．（7 分）某校团委在“五  四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全 校 20 个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取 A 、 B 、 C 、 D 四个班的征集作 品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图． （1）第一批所抽取的 4 个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示 C 班的扇形的圆心 角的度数为 ； （2）补全条形统计图； （3）第一批评比中， A 班 D 班各有一件、 B 班 C 班各有两件作品获得一等奖．现要在获 得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同 班级的概率． 22．（8 分）如图， AB 是半圆 AOB 的直径， C 是半圆上的一点， AD 平分 BAC 交半圆于 点 D ，过点 D 作 DH AC 与 AC 的延长线交于点 H ． （1）求证： DH 是半圆的切线； （2）若 2 5DH  ， 5sin 3BAC  ，求半圆的直径． 四、填空题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 23．（5 分）若不等式组 2 3( 3) 1 3 2 4 x x x x a       恰有四个整数解，则 a 的取值范围是 ． 24．（5 分）如图，矩形 ABCD 中， 12AD  ， 8AB  ，E 是 AB 上一点，且 3EB  ，F 是 BC 上一动点，若将 EBF 沿 EF 对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到点 D 的最短距离为 ． 五、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．（8 分）如图，点 P 、 Q 分别是等边 ABC 边 AB 、 BC 上的动点（端点除外），点 P 、 点 Q 以相同的速度，同时从点 A 、点 B 出发． （1）如图 1，连接 AQ 、 CP ．求证： ABQ CAP   ； （2）如图 1，当点 P 、Q 分别在 AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点 M ， QMC 的 大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； （3）如图 2，当点 P 、Q 在 AB 、BC 的延长线上运动时，直线 AQ 、CP 相交于 M ， QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 26．（10 分）如图，已知直线 : 5l y x   ． （1）当反比例函数 ( 0, 0)ky k xx    的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时，求 k 的取值范围． （2）若反比例函数 ( 0, 0)ky k xx    的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 1(A x ， 1)y 、 2(B x ， 2 )y ，当 2 1 3x x  时，求 k 的值，并根据图象写出此时关于 x 的不等式 5 kx x    的 解集． 27．（10 分）如图， O 的半径为 R ，其内接锐角三角形 ABC 中， A 、 B 、 C 所对的 边分别是 a 、 b 、 c ． （1）求证： 2sin sin sin a b c RA B C      ； （2）若 60A   ， 45C   ， 4 3BC  ，利用（1）的结论求 AB 的长和 sin B 的值． 28．（12 分）如图，二次函数 2y ax bx c   的图象过 (0,0)O 、 (1,0)A 、 3(2B ， 3)2 三点． （1）求二次函数的解析式； （2）若线段 OB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C ，与二次函数的图象在 x 轴上方的部分相交 于点 D ，求直线 CD 的解析式； （3）在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P ，过点 P 作 PQ x 轴，交直线 CD 于 Q ，当线段 PQ 的长最大时，求点 P 的坐标． 2020 年四川省凉山州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中只有 一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1．（4 分） 20201 (  ) A．1 B． 1 C．2020 D． 2020 【解答】解： 20201 1   ． 故选： B ． 2．（4 分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A 、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意； B 、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意； C 、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意； D 、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意． 故选： B ． 3．（4 分）点 P (2,3) 关于 x 轴对称的点 P 的坐标是 ( ) A． (2, 3) B． ( 2,3) C． ( 2, 3)  D． (3,2) 【解答】解：点 (2,3)P 关于 x 轴对称的点 P 的坐标是 (2, 3) ． 故选： A ． 4．（4 分）已知一组数据 1，0，3， 1 ，x ，2，3 的平均数是 1，则这组数据的众数是 ( ) A． 1 B．3 C． 1 和 3 D．1 和 3 【解答】解：数据 1，0，3， 1 ， x ，2，3 的平均数是 1， 1 0 3 1 2 3 7 1x         ， 解得 1x   ， 则这组数据为 1，0，3， 1 ， 1 ，2，3， 这组数据的众数为 1 和 3， 故选： C ． 5．（4 分）一元二次方程 2 2x x 的根为 ( ) A． 0x  B． 2x  C． 0x  或 2x  D． 0x  或 2x   【解答】解： 2 2x x ， 2 2 0x x   ， 则 ( 2) 0x x   ， 0x  或 2 0x   ， 解得 1 0x  ， 2 2x  ， 故选： C ． 6．（4 分）下列等式成立的是 ( ) A． 81 9  B．| 5 2 | 5 2    C． 11( ) 22    D． 0(tan45 1) 1   【解答】解： A ． 81 9 ，此选项计算错误； B ．| 5 2 | 5 2   ，此选项错误； C ． 11( ) 22    ，此选项正确； D ． 0(tan45 1)  无意义，此选项错误； 故选： C ． 7．（4 分）若一次函数 (2 1) 3y m x m    的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是 ( ) A． 1 2m   B． 3m  C． 1 32 m   D． 1 32 m  „ 【解答】解：根据题意得 2 1 0 3 0 m m     „ ， 解得 1 32 m  „ ． 故选： D ． 8．（4 分）点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 AC 的三等分点．若线段 12AB cm ，则线 段 BD 的长为 ( ) A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D． 2cm 或 4cm 【解答】解： C 是线段 AB 的中点， 12AB cm ， 1 1 12 6( )2 2AC BC AB cm      ， 点 D 是线段 AC 的三等分点， ①当 1 3AD AC 时，如图， 2 6 4 10( )3BD BC CD BC AC cm       ； ②当 2 3AD AC 时，如图， 1 6 2 8( )3BD BC CD BC AC cm        ． 所以线段 BD 的长为10cm或8cm ， 故选： C ． 9．（4 分）下列命题是真命题的是 ( ) A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．圆的切线垂直于半径 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 【解答】解： A 、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题； B 、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题； C 、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题； D 、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题； 故选： D ． 10．（4 分）如图所示， ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tan A 的值为 ( ) A． 1 2 B． 2 2 C．2 D． 2 2 【解答】解：如图，连接 BD ，由网格的特点可得， BD AC ， 2 22 2 2 2AD    ， 2 21 1 2BD    ， 2 1tan 22 2 BDA AD     ， 故选： A ． 11．（4 分）如图，等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于 O ，则 : (AD AB  ) A． 2 2 : 3 B． 2 : 3 C． 3 : 2 D． 3 : 2 2 【解答】解：连接 OA 、 OB 、 OD ，过 O 作 OH AB 于 H ，如图所示： 则 1 2AH BH AB  ， 正方形 ABCD 和等边三角形 AEF 都内接于 O ， 120AOB   ， 90AOD  ， OA OD OB  ， AOD 是等腰直角三角形， 1 120 602AOH BOH        ， 2AD OA  ， 3sin60 2AH OA OA   ， 32 2 32AB AH OA OA     ，  2 2 3 3 AD OA AB OA   ， 故选： B ． 12．（4 分）二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，有如下结论： ① 0abc  ； ② 2 0a b  ； ③ 3 2 0b c  ； ④ 2 (am bm a b m … 为实数）． 其中正确结论的个数是 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解答】解：①对称轴在 y 轴右侧， a 、 b 异号， 0ab  ， 0c  ， 0abc  ， 故①正确； ②对称轴 12 bx a    ， 2 0a b   ； 故②正确； ③ 2 0a b  ， 1 2a b   ， 当 1x   时， 0y a b c    ， 1 02b b c    ， 3 2 0b c   ， 故③正确； ④根据图象知，当 1x  时， y 有最小值； 当 m 为实数时，有 2am bm c a b c   … ， 所以 2 (am bm a b m … 为实数）． 故④正确． 本题正确的结论有：①②③④，4 个； 故选： D ． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．（4 分）函数 1y x  中，自变量 x 的取值范围是 1x … ． 【解答】解：由题意得， 1 0x  … ， 解得 1x … ． 故答案为： 1x … ． 14．（4 分）因式分解： 3 2a ab  ( )( )a a b a b  ． 【解答】解： 3 2 2 2( ) ( )( )a ab a a b a a b a b      ． 15．（4 分）如图， ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ， / /OE AB 交 AD 于点 E ，若 1OA  ， AOE 的周长等于 5，则 ABCD 的周长等于 16 ． 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD  ， AD BC ， OB OD ， / /OE AB ， OE 是 ABD 的中位线， 2AB OE  ， 2AD AE ， AOE 的周长等于 5， 5OA AE OE    ， 5 5 1 4AE OE OA       ， 2 2 8AB AD AE OE     ， ABCD 的周长 2 ( ) 2 8 16AB AD      ； 故答案为：16． 16．（4 分）如图，点 C 、 D 分别是半圆 AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是 3 2  ，则 半圆的半径 OA 的长为 3 ． 【解答】解：连接 OC 、 OD 、 CD ． COD 和 CBD 等底等高， COD BCDS S   ． 点 C ， D 为半圆的三等分点， 180 3 60COD      ， 阴影部分的面积 CODS 扇形 ， 阴影部分的面积是 3 2  ，  260 3 360 2 r  ， 3r  ， 故答案为 3． 17．（4 分）如图，矩形 OABC 的面积为100 3 ，对角线OB 与双曲线 ( 0, 0)ky k xx    相交于 点 D ，且 : 5:3OB OD  ，则 k 的值为 12 ． 【解答】解：设 D 的坐标是 (3 ,3 )m n ，则 B 的坐标是 (5 ,5 )m n ． 矩形 OABC 的面积为 100 3 ， 1005 5 3m n  ， 4 3mn  ． 把 D 的坐标代入函数解析式得： 3 3 kn m  ， 49 9 123k mn     ． 故答案为 12． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 32 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（5 分）解方程： 2 2 112 3 x xx     ． 【解答】解：去分母，得： 6 3( 2) 6 2(2 1)x x x     ， 去括号，得： 6 3 6 6 4 2x x x     ， 移项，得： 6 3 4 6 6 2x x x     ， 合并同类项，得： 2x   ， 系数化为 1，得： 2x  ． 19．（5 分）化简求值： 2(2 3)(2 3) ( 2) 4( 3)x x x x      ，其中 2x  ． 【解答】解：原式 2 24 9 ( 4 4) 4 12x x x x       2 24 9 4 4 4 12x x x x       23 1x  ， 当 2x  时， 原式 23 ( 2) 1   3 2 1   6 1  5 ． 20．（7 分）如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC ，边 120BC mm ，高 80AD mm ， 把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，这 个正方形零件的边长是多少？ 【解答】解：四边形 EGFH 为正方形， / /BC EF ， AEF ABC ∽ ； 设正方形零件的边长为 x mm ，则 KD EF x  ， 80AK x  ， / /EF BC ， AEF ABC ∽ ， AD BC ，  EF AK BC AD  ，  80 120 80 x x ， 解得： 48x  ． 答：正方形零件的边长为 48mm ． 21．（7 分）某校团委在“五  四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全 校 20 个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取 A 、 B 、 C 、 D 四个班的征集作 品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图． （1）第一批所抽取的 4 个班共征集到作品 24 件；在扇形统计图中表示 C 班的扇形的圆 心角的度数为 ； （2）补全条形统计图； （3）第一批评比中， A 班 D 班各有一件、 B 班 C 班各有两件作品获得一等奖．现要在获 得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同 班级的概率． 【解答】解：（1）第一批所抽取的 4 个班共征集到作品 6 25% 24  （件 ) ， 则 C 班级作品数为 24 (4 6 4) 10    （件 ) ， 在扇形统计图中表示 C 班的扇形的圆心角的度数为 10360 15024    ， 故答案为：24、150 ； （2）补全图形如下： （3）列表如下： A B B C C D A BA BA CA CA DA B AB BB CB CB DB B AB BB CB CB DB C AC BC BC CC DC C AC BC BC CC DC D AD BD BD CD CD 由表可知，共有 30 种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有 26 种结果， 抽取的作品来自两个不同班级的概率为 26 13 30 15  ． 22．（8 分）如图， AB 是半圆 AOB 的直径， C 是半圆上的一点， AD 平分 BAC 交半圆于 点 D ，过点 D 作 DH AC 与 AC 的延长线交于点 H ． （1）求证： DH 是半圆的切线； （2）若 2 5DH  ， 5sin 3BAC  ，求半圆的直径． 【解答】（1）证明：连接 OD ， OA OD ， DAO ADO   ， AD 平分 BAC ， CAD OAD   ， CAD ADO   ， / /AH OD ， DH AC ， OD DH  ， DH 是半圆的切线； （2）解：连接 BC 交OD 于 E ， AB 是半圆 AOB 的直径， 90ACB   ， 四边形 CEDH 是矩形， 2 5CE DH   ， 90DEC  ， OD BC  ， 2 4 5BC CE   ， 5sin 3 BCBAC AB    ， 12AB  ， 即半圆的直径为 12． 四、填空题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 23 ．（ 5 分 ） 若 不 等 式 组 2 3( 3) 1 3 2 4 x x x x a       恰 有 四 个 整 数 解 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 11 5 4 2a  „ ． 【解答】解：解不等式 2 3( 3) 1x x   ，得： 8x  ， 解不等式 3 2 4 x x a   ，得： 2 4x a  ， 不等式组有 4 个整数解， 12 2 4 13a   „ ， 解得： 11 5 4 2a  „ ， 故答案为： 11 5 4 2a  „ ． 24．（5 分）如图，矩形 ABCD 中， 12AD  ， 8AB  ，E 是 AB 上一点，且 3EB  ，F 是 BC 上一动点，若将 EBF 沿 EF 对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到点 D 的最短距离为 10 ． 【解答】解：如图，连接 PD ， DE ， 四边形 ABCD 是矩形， 90A  ， 8AB  ， 3BE  ， 5AE  ， 12AD  ， 2 25 12 13DE    ， 由折叠得： 3EB EP  ， EP DP ED … ， 当 E 、 P 、 D 共线时， DP 最小， 13 3 10DP DE EP      ； 故答案为：10． 五、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．（8 分）如图，点 P 、 Q 分别是等边 ABC 边 AB 、 BC 上的动点（端点除外），点 P 、 点 Q 以相同的速度，同时从点 A 、点 B 出发． （1）如图 1，连接 AQ 、 CP ．求证： ABQ CAP   ； （2）如图 1，当点 P 、Q 分别在 AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点 M ， QMC 的 大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； （3）如图 2，当点 P 、Q 在 AB 、BC 的延长线上运动时，直线 AQ 、CP 相交于 M ， QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【解答】解：（1）证明：如图 1， ABC 是等边三角形 60ABQ CAP     ， AB CA ， 又点 P 、 Q 运动速度相同， AP BQ  ， 在 ABQ 与 CAP 中， AB CA ABQ CPA AP BQ       ， ( )ABQ CAP SAS   ； （2）点 P 、 Q 在 AB 、 BC 边上运动的过程中， QMC 不变． 理由： ABQ CAP   ， BAQ ACP   ， QMC 是 ACM 的外角， QMC ACP MAC BAQ MAC BAC           60BAC   ， 60QMC   ； （3）如图 2，点 P 、 Q 在运动到终点后继续在射线 AB 、 BC 上运动时， QMC 不变 理由：同理可得， ABQ CAP   ， BAQ ACP   ， QMC 是 APM 的外角， QMC BAQ APM     ， 180 180 60 120QMC ACP APM PAC               ， 即若点 P 、 Q 在运动到终点后继续在射线 AB 、 BC 上运动， QMC 的度数为120 ． 26．（10 分）如图，已知直线 : 5l y x   ． （1）当反比例函数 ( 0, 0)ky k xx    的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时，求 k 的取值范围． （2）若反比例函数 ( 0, 0)ky k xx    的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 1(A x ， 1)y 、 2(B x ， 2 )y ，当 2 1 3x x  时，求 k 的值，并根据图象写出此时关于 x 的不等式 5 kx x    的 解集． 【解答】解：（1）将直线 l 的表达式与反比例函数表达式联立并整理得： 2 5 0x x k   ， 由题意得：△ 25 4 0k  … ，解得： 25 4k„ ， 故 k 的取值范围 250 4k „ ； （2）设点 ( , 5)A m m  ，而 2 1 3x x  ，则点 ( 3, 2)B m m   ， 点 A 、 B 都在反比例函数上，故 ( 5) ( 3)( 2)m m m m      ，解得： 1m  ， 故点 A 、 B 的坐标分别为 (1,4) 、 (4,1) ； 将点 A 的坐标代入反比例函数表达式并解得： 4 1 4k    ， 观察函数图象知，当 5 kx x    时， 0 1x  或 4x  ． 27．（10 分）如图， O 的半径为 R ，其内接锐角三角形 ABC 中， A 、 B 、 C 所对的 边分别是 a 、 b 、 c ． （1）求证： 2sin sin sin a b c RA B C      ； （2）若 60A   ， 45C   ， 4 3BC  ，利用（1）的结论求 AB 的长和 sin B 的值． 【解答】（1）证明：作直径 BE ，连接 CE ，如图所示： 则 90BCE   ， E A   ， sin sin 2 BC aA E BE R     ，  2sin a RA  ， 同理： 2sin b RB  ， 2sin c RC  ，  2sin sin sin a b c RA B C      ； （2）解：由（1）得： sin sin AB BC C A  ， 即 4 3 2sin 45 sin 60 AB R   ， 24 3 2 4 2 3 2 AB     ， 4 32 8 3 2 R   ， 过 B 作 BH AC 于 H ， 90AHB BHC     ， 1cos60 4 2 2 22AH AB      ， 2 2 62CH BC  ， 2( 2 6)AC AH CH     ， 2( 2 6) 2 6sin 2 8 4 ACB R       ． 28．（12 分）如图，二次函数 2y ax bx c   的图象过 (0,0)O 、 (1,0)A 、 3(2B ， 3)2 三点． （1）求二次函数的解析式； （2）若线段 OB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C ，与二次函数的图象在 x 轴上方的部分相交 于点 D ，求直线 CD 的解析式； （3）在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P ，过点 P 作 PQ x 轴，交直线 CD 于 Q ，当线段 PQ 的长最大时，求点 P 的坐标． 【解答】解：（1）将点 O 、 A 、 B 的坐标代入抛物线表达式得 0 0 3 9 3 2 4 2 c a b c a b c            ，解得 2 3 3 2 3 3 0 a b c            ， 故抛物线的表达式为： 22 3 2 3 3 3y x x  ； （2）由点 B 的坐标知，直线 BO 的倾斜角为30 ，则OB 中垂线 ( )CD 与 x 负半轴的夹角为 60 ， 故设 CD 的表达式为： 3y x b   ，而 OB 中点的坐标为 3(4 ， 3)4 ， 将该点坐标代入 CD表达式并解得： 3b  ， 故直线 CD的表达式为： 3 3y x   ； （3）设点 22 3 2 3( , )3 3P x x x ，则点 ( , 3 3)Q x x  ， 则 2 22 3 2 3 2 3 33 3 ( ) 33 3 3 3PQ x x x x x         ，  2 3 03   ，故 PQ 有最大值，此时点 P 的坐标为 1( 4  ， 5 3 )24 ．