2021年中考数学专题复习 专题41 概率问题（学生版） 13页

专题 41 概率问题 一、确定事件和随机事件 1．确定事件 (1)必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 (2)不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。 (1)有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件； (2)有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件； (3)有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件 二、概率 1.概率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 m n 会稳定在某个常数 p 附近，那 么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率。 即  p A P . 概率 各种情况出现的次数 某一事件发生的次数 2．确定事件概率 (1)当 A 是必然发生的事件时，P(A)=1 (2)当 A 是不可能发生的事件时，P(A)=0 3．古典概型的定义 某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的 可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。 4．古典概型的概率的求法 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为 P(A)= n m 5．列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 6．列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用列表法。 7．树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 8．运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用树状图法求概率。 9．利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这 个事件发生的概率。 【例题 1】(2020•徐州)在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同．小明通过 多次实验发现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中红球的个数最有可能是( ) A．5 B．10 C．12 D．15 【对点练习】(2019•湖北武汉)不透明的袋子中只有 4 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随 机从袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是( ) A．3 个球都是黑球 B．3 个球都是白球 C．三个球中有黑球 D．3 个球中有白球 【例题 2】(2020•德州)如图，在 4×4 的正方形网格中，有 4 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意 1 个白色 的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同)，使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率 是 ． 【对点练习】(2019•四川省达州市)如图所示的电路中，当随机闭合开关 S1、S2、S3 中的两个时，能够让灯 泡发光的概率为 ． 【对点练习】(2019 黑龙江哈尔滨)同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数, 则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_______________． 【例题 3】(2020 浙江杭州)一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球(只有编号不同)，编号分别为 1，2，3， 5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数 的概率是 ． 【对点练习】(2019•湖北省荆门市)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为 a，b．那么方 程 x2+ax+b＝0 有解的概率是( ) A． B． C． D． 【例题 4】(2020 贵州黔西南)新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设 课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A 级 为优秀，B 级为良好，C 级为及格，D 级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计 图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是________名； (2)扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整； (3)该校八年级共有学生 500 名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____； (4)某班有 4 名优秀的同学(分别记为 E，F，G，H，其中 E 为小明)，班主任要从中随机选择两名同学进行经 验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 【对点练习】(2019•广东广州)某中学抽取了 40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结 果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 频数分布表 组别 时间/小时 频数/人数 A 组 0≤t＜1 2 B 组 1≤t＜2 m C 组 2≤t＜3 10 D 组 3≤t＜4 12 E 组 4≤t＜5 7 F 组 t≥5 4 请根据图表中的信息解答下列问题： (1)求频数分布表中 m 的值； (2)求 B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图； (3)已知 F 组的学生中，只有 1 名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从 F 组中随机选取 2 名学生，恰好都是女生． 一、选择题 1.(2020 浙江绍兴)如图， 小球从 A 入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则 小球从 E 出口落出的概率是( ) A． B． C． D． 2.(2020 浙江宁波)一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸 出一个球是红球的概率为( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 3．(2020•泰州)如图，电路图上有 4 个开关 A、B、C、D 和 1 个小灯泡，同时闭合开关 A、B 或同时闭合开 关 C、D 都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( ) A．只闭合 1 个开关 B．只闭合 2 个开关 C．只闭合 3 个开关 D．闭合 4 个开关 4．(2020•营口)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环 以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环 以上”的频率 (结果保留两 位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( ) A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 5．(2020•牡丹江)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4．若随机摸 出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于 5 的概率为( ) A． B． C． D． 6．(2020•湘西州)从长度分别为 1cm、3cm、5cm、6cm 四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率 为( ) A． B． C． D． 7．(2020•攀枝花)下列事件中，为必然事件的是( ) A．明天要下雨 B．|a|≥0 C．﹣2＞﹣1 D．打开电视机，它正在播广告 8．(2020•武汉)两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为 1，2，3．从这 两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( ) A．两个小球的标号之和等于 1 B．两个小球的标号之和等于 6 C．两个小球的标号之和大于 1 D．两个小球的标号之和大于 6 9．(2020•枣庄)不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的 1 个红球和 2 个白球，搅匀后从中摸出一个球， 放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是( ) A． B． C． D． 10．(2020•齐齐哈尔)一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷 小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是( ) A． B． C． D． 11.(2019 广西北部湾) “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从 “图书馆，博物馆，科技馆”，三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 9 D. 2 9 二、填空题 12．(2020•盐城)一只不透明的袋中装有 2 个白球和 3 个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸 出 1 个球．摸到白球的概率为 ． 13．(2020•扬州)大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码(绿码) 示意图，用黑白打印机打印于边长为 2cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区 域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的 总面积约为 cm2． 14．(2020•苏州)一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、 质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ． 15.(2020 浙江嘉兴)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得 食物的概率是 ． 16.(2019 湖南岳阳)分别写有数字 、 、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片， 从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 ． 17.(2019 湖南邵阳)不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、 蓝色、黄色，从中一次性随机取出 2 个小球，取出 2 个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是______． 18．(2019湖南娄底)五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片(除数字不同以外，其余都相同)，现从中任 意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是 ． 19.(2019 广东深圳)现有 8 张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个 不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字 2 的卡片的概率是____________． 20.(2019 广西省贵港市)若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的 6 个面上分别刻有 1，2，3，4，5，6 点，则点 数不小于 3 的概率是 ． 三、解答题 21．(2020•苏州)在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字 0、1、2，它们除数字外都相同．小 明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 A 的横坐标，将此球放回、搅匀，再 从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 A 的纵坐标．请用树状图或表格列出点 A 所有可能的坐标，并求出点 A 在坐标轴上的概率． 22．(2020•无锡)现有 4 张正面分别写有数字 1、2、3、4 的卡片，将 4 张卡片的背面朝上，洗匀． (1)若从中任意抽取 1 张，抽的卡片上的数字恰好为 3 的概率是 ； (2)若先从中任意抽取 1 张(不放回)，再从余下的 3 张中任意抽取 1 张，求抽得的 2 张卡片上的数字之和为 3 的倍数的概率．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程) 23．(2020•营口)随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志 愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”： ① 洗手监督岗， ② 戴口罩监督岗， ③ 就餐监督岗， ④ 操场活动监 督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗． (1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ； (2)用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 24．(2020•荆门)如图是某商场第二季度某品牌运动服装的 S 号，M 号，L 号，XL 号，XXL 号销售情况的扇 形统计图和条形统计图． 根据图中信息解答下列问题： (1)求 XL 号，XXL 号运动服装销量的百分比； (2)补全条形统计图； (3)按照 M 号，XL 号运动服装的销量比，从 M 号、XL 号运动服装中分别取出 x 件、y 件，若再取 2 件 XL 号运动服装，将它们放在一起，现从这(x+y+2)件运动服装中，随机取出 1 件，取得 M 号运动服装的概率为 ，求 x，y 的值． 25．(2020•孝感)有 4 张看上去无差别的卡片，上面分别写有数﹣1，2，5，8． (1)随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为 ； (2)随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之 差的绝对值大于 3 的概率． 26．(2020•辽阳)为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活 动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生 每周课外阅读的总时间为 x 小时，将它分为 4 个等级：A(0≤x＜2)，B(2≤x＜4)，C (4≤x＜6)，D(x≥6)，并 根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： (1)本次共调查了 名学生； (2)在扇形统计图中，等级 D 所对应的扇形的圆心角为 °； (3)请补全条形统计图； (4)在等级 D 中有甲、乙、丙、丁 4 人表现最为优秀，现从 4 人中任选 2 人作为学校本次读书活动的宣传员， 用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 27．(2020•随州)根据公安部交管局下发的通知，自 2020 年 6 月 1 日起，将在全国开展“一带一盔”安全守 护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了 50 名 不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题： 年龄 x(岁) 人数 男性占比 x＜20 4 50% 20≤x＜30 m 60% 30≤x＜40 25 60% 40≤x＜50 8 75% x≥50 3 100% (1)统计表中 m 的值为 ； (2)若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的 度数为 ； (3)在这 50 人中女性有 人； (4)若从年龄在“x＜20”的 4 人中随机抽取 2 人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰 好抽到 2 名男性的概率． 28．(2020•怀化)为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书 画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并 根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题： (1)本次被抽查的学生共有 名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 度； (2)请你将条形统计图补全； (3)若该校七年级共有 600 名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多 少名？ (4)本次调查中抽中了七(1)班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率． 29．(2020•青岛)小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个 “配紫色”游戏：A，B 是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两 个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小 颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 30．(2020•湘潭)生死守护，致敬英雄．湘潭 28 名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队， 精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红 旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一 男生和一女生．(温馨提示：用男 1、女 1；男 2、女 2 分别表示甲、乙两班 4 个学生) (1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果； (2)若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选 中一男一女的概率． 31．(2020•内江)我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为 A、B、C、D 四个等级， 并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． (1)成绩为“B 等级”的学生人数有 名； (2)在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中 m 的值为 ； (3)学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生只能怪，选出 2 名去参加市中学生知识竞赛．已知“A 等级” 中有 1 名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．