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- 2021-11-10 发布
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2020年重庆市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A.-3 B.0 C.1 D.2
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为（ ）
A.26×103 B.2.6×103 C.2.6×104 D.0.26×105
4. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A.10 B.15 C.18 D.21
5. 如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B＝20∘，则∠AOB的度数为（ ）
A.40∘ B.50∘ C.60∘ D.70∘
6. 下列计算中，正确的是（ ）
A.2+3=5 B.2+2=22 C.2×3=6 D.23-2=3
7. 解一元一次方程12(x+1)＝1-13x时，去分母正确的是（ ）
A.3(x+1)＝1-2x B.2(x+1)＝1-3x C.2(x+1)＝6-3x D.3(x+1)＝6-2x
8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1, 2)，B(1, 1)，C(3, 1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（ ）
A.5 B.2 C.4 D.25
9. 如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1:0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28∘，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28∘≈0.47，cos28∘≈0.88，tan28∘≈0.53）（ ）
A.76.9m B.82.1m C.94.8m D.112.6m
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10. 若关于x的一元一次不等式组3x-12≤x+3,x≤a 的解集为x≤a；且关于y的分式方程y-ay-2+3y-4y-2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A.7 B.-14 C.28 D.-56
11. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A.55 B.255 C.455 D.433
12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx(k>0, x>0)的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A.6 B.12 C.18 D.24
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：(π-1)0+|-2|＝________．
14. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．
15. 现有四张正面分别标有数字-1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P(m, n)在第二象限的概率为________．
16. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为________．（结果保留π）
17. A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y(km)与甲货车出发时间x(h)之间的函数关系如图中的折线CD-DE-EF所示．其中点C的坐标是(0, 240)，点D的坐标是(2.4, 0)，则点E的坐标是________．
18. 火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总
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营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是________．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）(x+y)2+x(x-2y)；
（2）(1-mm+3)÷m2-9m2+6m+9．
20. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50∘，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
22. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y=6xx2+1性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
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（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
y=6xx2+1
…
-1513
-2417
________-95
-125-303125________95 24171513…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝-1时，函数取得最小值-3．
③当x<-1或x>1时，y随x的增大而减小；当-12x-1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
23. 在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：14÷5＝2...4，14÷3＝4...2，所以14是“差一数”；
19÷5＝3...4，但19÷3＝6...1，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
24. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%．求a的值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A(-3, -4)，B(0, -1)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90∘，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点
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A逆时针旋转90∘，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF=22AD；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
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参考答案与试题解析
2020年重庆市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1.A
2.A
3.C
4.B
5.D
6.C
7.D
8.D
9.B
10.A
11.B
12.B
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13.3
14.6
15.316
16.4-π
17.(4, 160)
18.1:8
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19.(x+y)2+x(x-2y)，
＝x2+2xy+y2+x2-2xy，
＝2x2+y2；
(1-mm+3)÷m2-9m2+6m+9，
＝(m+3m+3-mm+3)×(m+3)2(m+3)(m-3)，
=3m+3×m+3m-3，
=3m-3．
20.∵ 七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴ a＝7，
由条形统计图可得，b＝(7+8)÷2＝7.5，
c＝(5+2+3)÷20×100%＝50%，
即a＝7，b＝7.5，c＝50%；
八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；
∵ 从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，
∴ 参加此次测试活动成绩合格的学生有1200×(20-2)+(20-2)20+20=1080（人），
即参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．
21.∵ AE⊥BD，
∴ ∠AEO＝90∘，
∵ ∠AOE＝50∘，
∴ ∠EAO＝40∘，
∵ CA平分∠DAE，
∴ ∠DAC＝∠EAO＝40∘，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
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∴ AD // BC，
∠ACB＝∠DAC＝40∘，
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC，
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴ ∠AEO＝∠CFO＝90∘，
∵ ∠AOE＝∠COF，
∴ △AEO≅△CFO(AAS)，
∴ AE＝CF．
22.,
根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝-1时，函数取得最小值-3，说法正确；
③当x<-1或x>1时，y随x的增大而减小；当-12x-1的解集为x<-1或-0.3<1.8．
23.49÷5＝9...4，但49÷3＝16...1，所以49不是“差一数”；
74÷5＝14...4，74÷3＝24...2，所以74是“差一数”．
大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399，
其中除以3余数为2的有314，329，344，359，374，389．
故大于300且小于400的所有“差一数”有314，329，344，359，374，389．
24.A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
a的值为10
25.将点A、B的坐标代入抛物线表达式得-4=9-3b+cc=-1 ，解得b=4c=-1 ，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x-1；
设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则-4=-3k+tt=-1 ，解得k=1t=-1 ，
故直线AB的表达式为：y＝x-1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设点P(x, x2+4x-1)，则H(x, x-1)，
△PAB面积S=12×PH×(xB-xA)=12(x-1-x2-4x+1)×(0+3)=-32x2-92x，
∵ -32<0，故S有最大值，当x=-32时，S的最大值为278；
抛物线的表达式为：y＝x2+4x-1＝(x+2)2-5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2-5，
联立上述两式并解得：x=-1y=-4 ，故点C(-1, -4)；
设点D(-2, m)、点E(s, t)，而点B、C的坐标分别为(0, -1)、(-1, -4)；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D(E)向右平移1个单位向上平移3个单位得到E(D)，
即-2+1＝s且m+3＝t①或-2-1＝s且m-3＝t②，
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当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+(t+1)2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+(m+1)2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝-1，t＝2或-4（舍去-4），故点E(-1, 3)；
联立②④并解得：s＝1，t＝-4±6，故点E(1, -4+6)或(1, -4-6)；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：-1＝s-2且-4-1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+(m+1)2＝s2+(t+1)2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝-3，
故点E(1, -3)，
综上，点E的坐标为：(-1, 2)或(1, -4+6)或(1, -4-6)或(1, -3)．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26.∵ AB＝AC，∠BAC＝90∘，
∴ ∠ABC＝∠ACB＝45∘，
∵ 把AD绕点A逆时针旋转90∘，得到AE，
∴ AD＝AE，∠DAE＝90∘＝∠BAC，
∴ ∠BAD＝∠CAE，DE=2AD，
又∵ AB＝AC，
∴ △BAD≅△CAE(SAS)，
∴ ∠ABD＝∠ACE＝45∘，
∴ ∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90∘，
∵ 点F是DE的中点，
∴ CF=12DE=22AD；
AG=26BC，
理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，
∵ BD＝2CD，
∴ 设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，
∵ ∠BAC＝90∘，AB＝AC，
∴ AB＝AC=BC2=322a，
由
可知：△BAD≅△CAE，
∴ BD＝CE＝2a，
∵ CF＝DF，
∴ ∠FDC＝∠FCD，
∴ tan∠FDC＝tan∠FCD，
∴ CECD=GHCH=2，
∴ GH＝2CH，
∵ GH⊥BC，∠ABC＝45∘，
∴ ∠ABC＝∠BGH＝45∘，
∴ BH＝GH，
∴ BG=2BH
∵ BH+CH＝BC＝3a，
∴ CH＝a，BH＝GH＝2a，
∴ BG＝22a，
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∴ AG＝BG-AB=22a=22CD=26BC；
（1）如图3-1，将△BPC绕点B顺时针旋转60∘得到△BNM，连接PN，
∴ BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60∘，
∴ △BPN是等边三角形，
∴ BP＝PN，
∴ PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴ 当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，
此时，如图3-2，连接MC，
∵ 将△BPC绕点B顺时针旋转60∘得到△BNM，
∴ BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60∘＝∠CBM，
∴ △BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴ ∠BPN＝∠BNP＝60∘，BM＝CM，
∵ BM＝CM，AB＝AC，
∴ AM垂直平分BC，
∵ AD⊥BC，∠BPD＝60∘，
∴ BD=3PD，
∵ AB＝AC，∠BAC＝90∘，AD⊥BC，
∴ AD＝BD，
∴ 3PD＝PD+AP，
∴ PD=3+12m，
∴ BD=3PD=3+32m，
由（2）可知：CE＝BD=3+32m．
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