重庆市2021年中考数学模拟试题含答案（四） 16页

重庆市 2021 年初中学业水平暨高中招生考试数学 模拟题(四) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分) 1．－3 的绝对值是 （B） A．－3 B．3 C．1 3 D．－1 3 2．如图所示的 Rt△ABC 绕直角边 AC 旋转一周，所得的几何体从正 面看到的形状图是 （A） A B C D 第 2 题图 3．(2020·沙坪坝区校级一模)计算(4b)2 正确的是 （ D） A．16b B．8b2 C．4b2 D．16b2 4．如图，AC 是⊙O 的切线．切点为 C，AO 的延长线交⊙O 于点 B， 若∠B＝20°，则∠A 的度数为 （C） A．40° B．45° C．50° D．60° 第 4 题图 5．下列计算正确的是 （B） A．3a＋2b＝5ab B．(a3)2＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．(a＋b)2＝a2＋b2 6．(2020·沙坪坝区校级三模)如图，△ABC 与△DFE 是位似图形，且 位似中心为 O，OB∶OF＝2∶1，若线段 AC＝6，则线段 DE 为（D） A．2 B．4 C．6 D．3 7．估计(2 15 － 3 )× 3 的结果应在 （B） A．9.5 至 10 之间 B．10 至 10.5 之间 C．10.5 至 11 之间 D．11 至 11.5 之间 8．(2020·重庆巴蜀三模)根据如图所示的程序计算函数 y 的值，若输 入 x 的值是 7，则输出 y 的值是－2，若输入 x 的值是－4，则输出 y 的值是 （B） A．9 B．11 C．4 D．14 9．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度， 他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 27°，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48°，若斜坡 AF 的坡度 i＝1∶ 3 ，则大树的高度为(结果保留整数，参考数据： sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.5，sin 48°≈0.74，cos 48° ≈0.67，tan 48°≈1.1， 3 ≈1.7) （C） A．8 米 B．9 米 C．10 米 D．11 米 10．(2020·重庆南开中学段考)从－2，－1，－1 2 ，1，2 这五个数中， 随机抽取一个数，记为 a，若数 a 使关于 x 的不等式组 2x＋7≥9， x－a<0 无 解，且使分式方程 a 2x－3 ＋ a－2 2x－3 ＝－1 的解为正分数，那么这五个 数中所有满足条件的 a 的值之和是 （A） A．－3 B．－5 2 C．－2 D．－3 2 11．如图，在菱形 ABOC 中，∠A＝60°，它的一个顶点 C 在反比例 函数的图象上，若将菱形向下平移 1 个单位，点 A 恰好落在函数图 象上，则反比例函数的解析式为 （C） A．y＝－3 x B．y＝－ 3 2x C．y＝－3 3 4x D．y＝－4 3 9x 第 11 题图 第 12 题图 12．★如图，△ABC 中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D 是 AB 上的动点，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90°，得到线段 CE，连接 BE，则 BE 的最小值是 （A） A． 3 －1 B． 3 2 C． 3 D．2 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分) 13．计算： 27 － 1 2 －1 ＋| 3 －2|＝2 3 ． 14．为阻击新冠肺炎疫情，我国在 10 天内建成了一所建筑面积为 34 000 平方米的“火神山”医院，被世界称赞为“中国速度”．其中 34 000 这个数用科学记数法表示为 3.4×104． 15．“五一”节期间，刘杰老师准备自驾从甲地经过乙地到丙地旅 游．如图，甲地到乙地有两条路线，乙地到丙地有三条路线．如果刘 杰老师从中任选一条从甲地到丙地的路线，则这条路线恰好是最短路 线的概率为1 6 ． 16．(2020·凉山州)如图，点 C，D 分别是半圆 AOB 上的三等分点， 若阴影部分的面积是3 2 π，则半圆的半径 OA 的长为 3． 第 16 题图 第 17 题图 17．甲、乙两辆汽车从 A 地出发前往相距 250 千米的 B 地，乙车先 出发匀速行驶，一段时间后，甲车出发匀速追赶，途中因油料不足， 甲到服务区加油花了 6 分钟，为了尽快追上乙车，甲车提高速度仍保 持匀速行驶，追上乙车后继续保持这一速度直到 B 地，如图是甲、 乙两车之间的距离 s(km)，乙车出发时间 t(h)之间的函数关系图象， 则甲车比乙车早到 11.5 分钟． 18．★某超市促销活动，将车厘子、波罗蜜、山竹三种水果采用三种 不同方式搭配成礼盒，分别是蒸蒸日上礼盒、独占鳌头礼盒、吉祥如 意礼盒，将礼盒进行销售，每盒的总成本为盒中车厘子、波罗蜜、山 竹三种水果成本之和，盒子成本忽略不计，蒸蒸日上每盒分别装有车 厘子、波罗蜜、山竹三种水果 8 千克，4 千克，3 千克；独占鳌头每 盒装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果 3 千克，8 千克，6 千克；蒸 蒸日上每盒的总成本是每千克车厘子水果成本的 14 倍，每盒蒸蒸日 上的销售利润是 60%，每盒独占鳌头的售价是成本的4 3 倍，每盒吉祥 如意在成本上提高 60%标价后打八折出售，获利为每千克车厘子水果 成本的 2.8 倍，当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数 量之比为 5∶2∶5，则销售的总利润率为 44%． 三、解答题(本大题共 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分) 19．(本题满分 10 分，每小题 5 分)计算： (1) 1 2 －3 ×(π－ 2 )0＋ 8 ； 解：原式＝8×1＋2 2 ＝8＋2 2 . (2)a2＋2a a＋3 ÷ a－1－2a＋1 a＋3 . 解：原式＝a（a＋2） a＋3 ÷ （a－1）（a＋3） a＋3 －2a＋1 a＋3 ＝a（a＋2） a＋3 ÷a2－4 a＋3 ＝a（a＋2） a＋3 ÷ （a＋2）（a－2） a＋3 ＝a（a＋2） a＋3 · a＋3 （a＋2）（a－2） ＝ a a－2 . 20．(本小题满分 10 分)如图所示，在△ABC 中，AE，BF 是角平分 线，它们相交于点 O，AD 是高，∠BAC＝80°，∠C＝54°，求∠DAC， ∠BOA 的度数． 解：∵AD 是高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝54°， ∴∠DAC＝90°－54°＝36°， ∵∠BAC＝80°，∠C＝54°，AE 是角平分线， ∴∠BAO＝40°， ∠ABC＝46°， ∵BF 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABO＝23°， ∴∠BOA＝180°－∠BAO－∠ABO＝117°. 21．(本小题满分 10 分)新型冠状病毒爆发，教育部部署了“停课不 停学”的有关工作，各地都在进行在线教育．小依同学为了了解网课 学习情况，对本班部分同学最喜爱的课程进行了调查，调查课程分别 是网上授课、体育锻炼、名著阅读、艺术欣赏和其他课程，并制成以 下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)本次调查中一共调查了 名学生，其中“名著阅读”所占的圆 心角度数为 ． (2)请把条形统计图补全． (3)在调查的同学中随机选取一名学生，求他恰好最喜爱的课程是 “艺术欣赏”的概率． (4)若该校一共有 3 000 名学生，请估算出全校最喜爱的课程是“体育 锻炼”的人数． 解：(1)2÷10%＝20(名)， 所以本次调查中一共调查了 20 名学生， 其中“名著阅读”的人数为 20－5－6－4－2＝3(名)， 所以在扇形统计图中， 3 20 ×360°＝54°； 故答案为 20，54°； (2)补全条形统计图如图所示． (3)他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率＝ 4 20 ＝1 5 ； (4)3 000× 6 20 ＝900(人)， 所以估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数为 900 人． 22．(本小题满分 10 分)设函数 y＝k1x＋ k2 x－1 ，且 k1·k2≠0，自变 量 x 与函数值 y 满足以下表格： x … －2 －3 2 －1 －1 2 0 1 2 3 2 2 5 2 3 7 2 … y … － － m －1 3 1 3 1 n 13 3 11 2 33 5 … 11 3 13 5 (1)根据表格直接写出 y 与 x 的函数解析式及自变量 x 的取值范 围 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，请根据表格中的数据补全函数 图象，并写出该函数的一条性质： . (3)结合函数图象，直接写出关于 x 的不等式 k1x＋ k2 x－1 ≥x＋1 的解 集为_____________． 解：(1)把(0，1)， 1 2 ，3 代入函数 y＝k1x＋ k2 x－1 得， －k2＝1， 1 2k1－2k2＝3， 解得 k1＝2， k2＝－1. 答：y 与 x 的函数表达式为 y＝2x－ 1 x－1 ， 自变量 x 的取值范围是 x≠1. (2)将 x＝2 代入得 n＝3，描点补全函数图象如图． 观察图象可知： 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大；x＜1 时，y 随 x 的增大而增大； 故答案为当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大；x＜1 时，y 随 x 的增大 而增大； (3)观察图象可知： 不等式 k1x＋ k2 x－1 ≥x＋1 的解集为 0≤x＜1 或 x≥2， 故答案为 0≤x＜1 或 x≥2. 23．(本小题满分 10 分)一个四位数，记千位和百位的数字之和为 a， 十位和个位的数字之和为 b，如果 a＝b，那么称这个四位数为“心平 气和数”．例如：1 625，a＝1＋6，b＝2＋5，因为 a＝b，所以，1 625 是“心平气和数”． (1)直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和 数” ； (2)将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百 位与千位的数字交换，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相 关心平气和数”．例如：1 625 与 6 152 为一组“相关心平气和数”， 求证：任意的一组“相关心平气和数”之和是 11 的倍数． (3)求千位数字是个位数字的 3 倍，且百位数字与十位数字之和是 14 的倍数的所有“心平气和数”． (1)解：最小的“心平气和数”必须以 1 为千位，而 1 000 显然不符合 题意，所以最小的只能是 1001，最大的“心平气和数”必须以 9 开 头，后面的数字要尽可能在 0～9 这九个数字中选最大的，所以最大 的“心平气和数”一定是 9 999.故答案为 1 001；9 999. (2)证明：设千位和百位的数字之和为 m，十位和个位的数字之和为 m，千位数字为 a，十位数字为 b，所以个位数字为(m－b)，百位数 字为(m－a)，依题意可得，这组“相关心平气和数”之和为(m－b) ＋10b＋100(m－a)＋1 000a＋b＋10(m－b)＋100a＋1 000(m－a)＝ 11(m－b)＋11b＋1 100a＋1 100(m－a)＝11(m－b＋b＋100a＋100m －100a)＝11×101m，因为 m 为整数，所以 11×101m 是 11 的倍数， 所以任意的一组“相关心平气和数”之和是 11 的倍数． (3)解：设个位数字为 x，则千位数字为 3x，显然 1≤3x≤9，且 x 为 正整数，故 x＝1，2，3.又因为百位数字与十位数字之和是 14 的倍数， 而百位数字与十位数字之和最大为 18，所以百位数字与十位数字之 和只能是 14.故可设十位数字为 n，则百位数字为 14－n，依题意可得， x＋n＝14－n＋3x，整理得，n－x＝7，故当 x＝1 时，n＝8，当 x＝2 时，n＝9，当 x＝3 时，n＝10(不合题意舍去)，综上所述 x＝1，n＝8 时“心平气和数”为 3 681，x＝2，n＝9 时，“心平气和数”为 6 592. 所以满足题中条件的所有“心平气和数”为 3 681 和 6 592. 24．(本小题满分 10 分)(2020 春·北碚区校级期末)每年农历五月初五， 是中国民间传统节日——端午节．今年端午节，某蛋糕店推出了蛋黄 肉粽和白粽两种粽子，其中蛋黄肉粽的销售单价为每千克 30 元，白 粽的销售单价为每千克 20 元.5 月份，蛋黄肉粽和白粽共销售了 100 千克，销售总额为 2 600 元． (1)5 月份蛋黄肉粽的销售数量是多少千克？ (2)为迎接端午节的到来，6 月份该蛋糕店将蛋黄肉粽的销售单价降低 了 1 3 a%，其销量在 5 月份的基础上增加了 4 3 a%；白粽的销售单价保 持不变，其销量在 5 月份的基础上增加了 1 2 a%.6 月份两种粽子的销 售总额比 5 月份两种粽子的销售总额增加了 9 13 a%，求 a 的值． 解：(1)设 5 月份，蛋黄肉粽的销售数量是 x 千克，白粽的销售数量是 y 千克，依题意，得 x＋y＝100， 30x＋20y＝2 600， 解得 x＝60， y＝40. 答：5 月份蛋黄肉粽的销售数量是 60 千克． (2) 依题意得： 30 1－1 3a% ×60(1＋4 3 a%)＋20×40(1＋1 2 a%) ＝2 600(1＋ 9 13 a%)， 整理，得 a2－50a＝0， 解得 a1＝0(不合题意，舍去)，a2＝50. 答：a 的值为 50. 25．(本小题满分 10 分)已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与 x 轴交 于 A，B(1，0)两点，与 y 轴交于点 C(0，－3). (1)求二次函数的解析式及 A 点坐标； (2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点 D 到直线 AC 的 距离取得最大值时点 D 的坐标； (3)★M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在 点 N.使以 M，N，B，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请 写出点 N 的坐标(不写求解过程). 图① 图② 解：(1)把 B(1，0)，C(0，－3)代入 y＝x2＋bx＋c，则有 c＝－3， 1＋b＋c＝0， 解得 b＝2， c＝－3， ∴二次函数的解析式为 y＝x2＋2x－3， 令 y＝0，得到 x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3 或 1， ∴A(－3，0). (2)如图①中，连接 AD，CD. ∵点 D 到直线 AC 的距离取得最大， ∴此时△DAC 的面积最大． 设直线 AC 解析式为 y＝kx＋b， ∵A(－3，0)，C(0，－3)，∴ b＝－3， －3k＋b＝0， 解得 k＝－1， b＝－3， ∴直线 AC 的解析式为 y＝－x－3. 过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于点 G，设点 D 的坐标为(x，x2＋2x－3)， 则 G(x，－x－3)， ∵点 D 在第三象限， ∴DG＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x－3－x2－2x＋3＝－x2－3x， ∴S△ACD＝1 2 ·DG·OA＝1 2 (－x2－3x)×3＝－3 2 x2－9 2 x ＝－3 2 x＋3 2 2 ＋27 8 ， ∴当 x＝－3 2 时，S 最大＝27 8 ，点 D －3 2 ，－15 4 ， ∴点 D 到直线 AC 的距离取得最大时， D －3 2 ，－15 4 . (3)存在，如图②中，当 OB 是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB ∥MN，可得 N(－2，－3)或 N′(0，－3)，当 OB 为对角线时，点 N″ 的横坐标为 2，x＝2 时，y＝4＋4－3＝5，∴N″(2，5). 综上所述，满足条件的点 N 的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5). 四、解答题(本大题 1 个小题，共 8 分) 26．如图，在▱ABCD 中，AB⊥AC，过点 D 作 DE⊥AD 交 AC 的延 长线于点 E，点 O 是对角线 AC 的中点，点 F 是线段 AD 上一点， 连接 FO 并延长交 BC 于点 G，点 H 为 DC 延长线上一点，连接 HF. (1)若 AC＝8，tan ∠CAD＝3 4 ，求△CDE 的面积； (2)若∠H＝30°，DE＝BG，求证：DH＝CE＋ 3 2 FH. (1)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AD＝BC， ∴∠CAD＝∠ACB， ∵AB⊥AC，∴CD⊥AC， 在 Rt△ACD 中， tan ∠CAD＝CD AC ＝3 4 ，AC＝8，∴CD＝6， ∵∠ADC＋∠CDE＝90°，∠ADC＋∠CAD＝90°， ∴∠CDE＝∠CAD，∴在 Rt△CDE 中， tan ∠CDE＝CE CD ＝3 4 ，AC＝8，∴CE＝9 2 ， ∴S△CDE＝1 2 CE·CD＝1 2 ×9 2 ×6＝27 2 ； (2)证明：如图，过点 F 作 FK⊥DH 于点 K， ∵∠H＝30°，∴∠HFK＝60°. ∴HK＝sin 60°·FH＝ 3 2 FH. 连接 BD，则 OB＝OD，∠OBG＝∠ODF， ∠BOG＝∠DOF， 在△BOG 和△DOF 中， ∠OBG＝∠ODF， OB＝OD， ∠BOG＝∠DOF， ∴△BOG≌△DOF(ASA)，∴BG＝DF. ∵DE＝BG，∴DE＝DF. ∵AB⊥AC，AB∥CD，∴CD⊥AC， ∴∠DCE＝∠FKD＝90°. ∵∠CDE＋∠CED＝90°，∠CDE＋∠KDF＝90°，∴∠CED＝∠KDF.