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- 2021-11-10 发布
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{来源}2019年湖北省荆门市中考数学试卷
{适用范围:3. 九年级}
{标题}2019年湖北省荆门市中考数学试卷
考试时间:120分钟 满分:120分
{题型:1-选择题}一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,合计36分.
{题目}1.(2019年荆门,T1)-的倒数的平方是( )
A.2 B. C.-2 D.-
{答案}B
{解析}本题考查了倒数的概念、二次根式的运算.-的倒数的平方=(-)2=.因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-15-2-1]分式的乘除}
{考点:倒数}
{考点:算术平方根的平方}
{类别:易错题}
{题目}2.(2019年荆门,T2)已知一天有86400秒,一年按365天计算共有31536000秒.科学计数法表示31536000正确的是( )
A.3.1536×106 B.3.1536×107 C.31.536×106 D.0.31536×108
{答案}B
{解析}本题考查了科学记数法.31536000=3.1536×10 000 000=3.1536×107.因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-1-5-2]科学计数法}
{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}3.(2019年荆门,T3)已知实数x,y满足方程组则x2-2y2的值为( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
{答案}A
{解析}本题考查了二元一次方程组的解法.用代入法或加减法解原方程组,得所以x2-2y2=12-2×12=1-2=-1.因此本题选A.
{分值}3
{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}
{考点:代入消元法}
{考点:加减消元法}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}4.(2019年荆门,T4)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,使得它们的直角边互相垂直,则∠1的度数是( )
A.95° B.100° C.105° D.110°
30°
45°
1
第4题图
30°
45°
1
图1
C
A
B
{答案}C
{解析}本题考查了三角形内角和定理的推论.如图1,∠1是△ABC的外角,其中∠B=45°,∠ACB=60°,∴∠1=∠B+∠CAB=105°.因此本题选C.
{分值}3
{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}
{考点:三角形的外角}
{考点:多边形的内角和}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}5.(2019年荆门,T5)抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
{答案}C
{解析}本题考查了.抛物线的解析式可改写为y=-(x-2)2.可见它与横轴交于点(2,0),与y轴交于点(0,4),即它与坐标轴的交点个数为2.因此本题选C.
{分值}3
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}
{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}
{考点:抛物线与一元二次方程的关系}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{难度:2-简单}
{题目}6.(2019年荆门,T6)不等式组的解集为( )
A.-<x<0 B.-<x≤0 C.-≤x<0 D.-≤x≤0
{答案}C
{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法.解第一个不等式,得x≥-.
解第二个不等式,得x<0.
所以原不等式组的解集是-≤x<0.因此本题选C.
{分值}3
{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}
{考点:解一元一次不等式组}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}7.(2019年荆门,T7)投掷一枚质地均匀的骰子两次,向上一面的点数依次记为a,b.那么方程x2+ax+b=0有解的概率是( )
A. B. C. D.
{答案}D
{解析}本题考查了概率的计算、一元二次方程的判别式.
列表如下:
a
b
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
原方程的判别式△=a2-4b.当a2-4b≥0时,原方程有解.
投掷一枚质地均匀的骰子两次,由表可知共有36种结果,其中每种结果出现的可能性相等,使△≥0的结果共有19种,即(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).所以所求概率P=.
因此本题选D.
{分值}3
{章节:[1-25-2]用列举法求概率}
{考点:根的判别式}
{考点:两步事件放回}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}8.(2019年荆门,T8)欣欣服装店某天用相同的价格a(a>0)卖出了两件服装,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是( )
A.盈利 B.亏损 C.不盈不亏 D.与售价a有关
{答案}B
{解析}本题考查了一元一次方程的应用.设盈利、亏损的服装进价分别为x元、y元,则
x(1+20%)=a,y(1-20%)=a.
解得x=,y=.
因为2a-(+)=-<0,即总售价小于总进价,
所以该服装店卖出这两件服装的盈利情况是亏损.
因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程}
{考点:一元一次方程的应用(商品利润问题)}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}9.(2019年荆门,T9)如果函数y=kx+b(k,b是常数)的图象不经过第二象限,那么k,b应满足的条件是( )
A.k≥0且b≤0 B.k>0且b≤0 C.k≥0且b<0 D.k>0且b<0
{答案}A
{解析}本题考查了一次函数的图象和性质.①当k≠0时,k>0,b≤0;
②当k=0时,y=b是经过点(0,b)且平行于y轴的直线,因此b≤0.
综上所述,k≥0且b≤0.因此本题选A.
{分值}3
{章节:[1-19-2-2]一次函数}
{考点:正比例函数的图象}
{类别:思想方法}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}10.(2019年荆门,T10)如图,Rt△OCB的斜边在y轴上,OC=,含30°角的顶点与原点重合,直角顶点C在第二象限,将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′,则B点的对应点B′的坐标是( )
A.(,-1) B.(1,-3) C.(2,0) D.(,0)
x
O
y
C
B
30°
第10题图
x
O
y
C
B
30°
图2
B′
C′
{答案}A
{解析}本题考查了旋转的性质.如图2,旋转后点C′在横轴上,点B′在第二象限,且OC′=OC=,
B′C′=BC=OC·tan∠BOC=×=1.所以点B′的坐标为(,-1).因此本题选A.
{分值}3
{章节:[1-23-1]图形的旋转}
{{考点:坐标系内的旋转}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}11.(2019年荆门,T11)下列运算不正确的是( )
A.xy+x-y-1=(x-1)(y+1)
B.x2+y2+z2+xy+yz+zx=(x+y+z)2
C.(x+y)(x2-xy+y2)=x3+y3
D.(x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
{答案}B
{解析}(x+y+z)2=x2+y2+z2+xy+yz+zx,可见选项B中的运算不正确.因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-14-3]因式分解}
{考点:多项式乘以多项式}
{考点:因式分解-完全平方式}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}12.(2019年荆门,T12)如图,△ABC内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是( )
A.DI=DB B.DI>DB C.DI<DB D.不确定
I
D
C
A
B
第12题图
{答案}A
{解析}本题考查了内心的概念、圆周角定理等知识.连结BI.∠DIB=∠DAB+∠IBA,∠DBI=∠DBC+∠IBC.
∵点I为△ABC的内心,
∴∠DAB=∠DAC=∠DBC,∠IBA=∠IBC.
∴∠DIB=∠DBI.
∴DI=DB.因此本题答案是A.因此本题选A.
{分值}3
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}
{考点:圆周角定理}
{考点:三角形的内切圆与内心}
{考点:几何选择压轴}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,合计15分.
{题目}13.(2019年荆门,T13)计算:+|sin30°-π0|+=______.
{答案}1-
{解析}原式=2-+|-1|-
=2-+-
=1-.
{分值}3
{章节:[1-28-2-1]特殊角}
{考点:二次根式的混合运算}
{考点:特殊角的三角函数值}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}14.(2019年荆门,T14)已知x1,x2是关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0的两个不相等实数根,且满足(x1-1)(x2-1)=8k2,则k的值为______.
{答案}1
{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等.
由根与系数的关系,得x1+x2=-(3k+1),x1x2=2k2+1.
∵(x1-1)(x2-1)=8k2,
∴x1x2-(x1+x2)+1=8k2.
∴2k2+1+(3k+1)+1=8k2.整理,得2k2-k-1=0.
解得k1=1,k2=-.
当k=-时,原方程没有实数根,舍去.
∴k=1.
因此本题答案是1.
{分值}3
{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}
{考点:根的判别式}
{考点:根与系数关系}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{类别:新定义}
{难度:3-中等难度}
{题目}15.(2019年荆门,T15)如图,在平面直角坐标系中,函数y=(k>0,x>0)的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为______.
x
O
y
M
N
A
B
第15题图
x
O
y
M
N
A
D
C
B
图3
{答案}
{解析}本题考查了反比例函数的性质、三角函数、一元二次方程等知识.
如图3,分别过点M,N作x轴的垂线,垂足依次为C,D.
依题意可知OM=2,∠OMC=30°,∴OC=1,MC=.
∴k=1×=.
于是设N(a,)(1<a<3),则OD=a,ND=,DB=.
∵OB=AB=3,∴a+=3.
解得a=(舍去).
因此本题答案是.
{分值}3
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{考点:公式法}
{考点:双曲线与几何图形的综合}
{类别:常考题}
{难度:4-较高难度}
{题目}16.(2019年荆门,T16)如图,等边三角形ABC的边长为2,以A为圆心,1为半径作圆分别交AB,AC边于D,E,再以点C为圆心,CD长为半径作圆交BC边于F,连接E,F,那么图中阴影部分的面积为______.
F
D
E
C
A
B
第16题图
F
D
E
C
A
B
图4
H
{答案}
{解析}本题考查了曲边三角形面积的计算.
]S阴影=S扇CDF+S△ACD-S扇ADE-S△CEF.
如图4,连结CD,过点E作EH⊥BC于点H.
∵CF=CD=,∠BCD=30°,CE=1,EH=.
∴S阴影=+×1×--××=+--=.
因此本题答案是.
{分值}3
{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}
{考点:扇形的面积}
{类别:常考题}
{难度:4-较高难度}
{题目}17.(2019年荆门,T17)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的顶点为P,且抛物线经过点A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)(1<m<3,n<0).下列结论:
①abc>0,②3a+c<0,③a(m-1)+2b>0,④a=-1时,存在点P使△PAB为直角三角形.
其中正确结论的序号为______.
{答案}②③
{解析}本题考查了二次函数的图象和性质.
依题意画出如图5所示的图形.
(1)∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴在y轴侧,∴->0.∴b>0.∵抛物线与y轴正半轴相交,∴c>0.∴abc<0.可见结论①错误.
(2)∵抛物线经过点A(-1,0),
∴a-b+c=0,即b=a+c①,或者c=b-a②.
∵x=3时,y<0,∴9a+3b+c<0.
将①代入,得12a+4c<0,即3a+c<0.可见结论②正确.
(3)∵抛物线经过点B(m,0),∴am2+bm+c=0.
将②代入,得am2+bm+b-a=0.化简,得a(m-1)+b=0.
∴a(m-1)+2b=b>0.可见结论③正确.
(4)当a=-1时,由①知b=c-1,此时抛物线的解析式为
y=-x2+(c-1)x+c.令y=0,解得x1=-1,x2=c.
又抛物线与y轴交于点D(0,c).∴OB=OD,∠DBO=45°.
由正切可知∠PBO>∠DBO=45°,
∴△PAB不可能是直角三角形.可见结论④错误.
综上所述,正确结论的序号是②③.
-1
-2
1
2
3
x
O
y
C
A
B
P
图5
D
因此本题答案是②③.
{分值}3
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}
{考点:二次函数的系数与图象的关系}
{考点:抛物线与一元二次方程的关系}
{考点:代数填空压轴}
{类别:思想方法}
{类别:常考题}
{难度:5-高难度}
{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共7小题,合计69分.
{题目}18.(2019年荆门,T18)先化简,再求值:
()2·-÷,其中a=,b=.
{解析}本题考查了分式的混合运算及求值.
{答案}解: 原式=()2·-×
=-=
=.
当a=,b=时,
原式==.
{分值}8
{章节:[1-15-2-2]分式的加减}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:分式的混合运算}
{题目}19.(2019年荆门,T19)如图,已知平行四边形ABCD中,AB=5,BC=3,AC=2.
(1)求平行四边形ABCD的面积;
(2)求证:BD⊥BC.
D
C
A
B
第19题图
D
C
A
B
图5
F
E
{解析}本题考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理.
{答案}解: 如图5.(1)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.设BE=x,CE=h.
由勾股定理,得
解得
∴S□ABCD=AB·h=12;
(2)过点D作DF⊥AB于点F.
∵△ADF≌△BCE,∴AF=BE=,DF=,BF=.
在Rt△DFB中,BD===4.
∵42+32=52,即BD2+BC2=CD2,
∴BD⊥BC.
{分值}9
{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}
{难度:3-中等难度}
{类别:高度原创}
{考点:勾股定理}
{考点:勾股定理逆定理}
{考点:平行四边形边的性质}
{题目}20.(2019年荆门,T20)高尔基说:“书,是人类进步的阶梯”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处.为了解学生的课外阅读情况,某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况,并绘制出如下统计图.其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书的人数.
(1)求条形图中丢失的数据,并写出阅读书册数的众数和中位数;
(2)根据随机抽查的这个结果,请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数;
(3)若学校又补查了部分同学的课外阅读情况,得知这部分同学中课外阅读最少的是6册,将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变,试求最多补查了多少人?
册数
人数
2
4
6
8
10
14
12
4册
5册
6册
7册
4册
5册
6册
7册
30%
第20题图
{解析}本题考查了众数、中位数、样本估计总体的思想.
{答案}解:(1)观察两个图中阅读6册书的人数和百分比,可知调查的人数=12÷30%=40(人).
因此,阅读5册书的人数=40-(8+12+6)=14(人).
由此可知阅读书册数的众数和中位数都是5(册).
(2)×1200=420(人).
(3)设补查人为y人,依题意,得
12+6+y<8+14.解得y<4.
∴最多补查了3人.
{分值}10
{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:用样本估计总体}
{考点:中位数}
{考点:众数}
{题目}21.(2019年荆门,T21)已知锐角△ABC的外接圆圆心为O,半径为R.
(1)求证:=2R;
(2)若△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,AC=,求BC的长及sinC的值.
O
C
A
B
第21题图
O
C
A
B
图6
D
O
C
A
B
图7
H
E
{解析}本题考查了圆的性质、垂径定理、三角函数等知识.
{答案}(1)证明:如图6,连结CO并延长交⊙O于点D.则
∠D=∠B,∠DAC=90°.
在Rt△ADC中,∵=sinD,
∴=sinB,即=2R.
(2)解:如图7,连结OB,OC,分别过点C,O作AB的垂线,垂足依次为E,H,则AH=BH,∠BOH=∠ACB.
在Rt△ACE中,∵AC=,∠A=45°,
∴AE=CE=AC·sin45°=.
在Rt△BCE中,∵∠ABC=60°,∴BE==.
∴BC=2BE=.
∵∠BOC=2∠A=90°,∴OB=1.
∵BH=AB=(AE+BE)=,
∴sinC=sin∠BOH==.
{分值}10
{章节:[1-28-3]锐角三角函数}
{难度:4-较高难度}
{类别:发现探究}
{类别:常考题}
{考点:垂径定理}
{考点:圆的其它综合题}
{考点:正弦}
{题目}22.(2019年荆门,T22)如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上).测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF(即DG)为1.6m,试确定楼的高度OE.
G
F
D
O
E
C
A
B
第22题图
{解析}本题考查了相似三角形的应用.
{答案}解:设OE=x,OA=a,BC=b,则AB=2-a,CD=2.1-a.CO=2+a.
由光反射定律可知△AFB∽△AEO,△CGD∽△COE,
∴=,①
=.②
由①、②得a=20(2-b).③
将③代入①,得
=.解得x=32.
∴楼的高度OE是32m.
{分值}10
{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}
{难度:4-较高难度}
{类别:高度原创}
{考点:相似三角形的应用}
{题目}23.(2019年荆门,T23)为落实“精准扶贫”精神,市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据市场调查,在草莓上市销售的30天中,其销售价格m(元/公斤)与第x
天之间满足m=x为正整数.销售量n(公斤)与第x天之间的函数关系如图所示:
A(1,12)
B(10,30)
C(30,2)
x
O
n
2
30
30
10
1
第23题图
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.
(1)求销售量n与第x天之间的函数关系式;
(2)求在草莓上市销售的30天中,每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式;(日销售利润=日销售额-日维护费)
(3)求日销售利润y的最大值及相应的x.
{解析}本题考查了二次函数的应用.
{答案}解: (1)当1≤x≤10时,设n=kx+b,
由图可知解得
∴n=2x+10.
同理,当10<x≤30时,n=-1.4x+44.
∴n=
(2)∵y=mn-80,∴y=
即y=
(3)①当1≤x≤10时,∵y=6x2+60x+70的对称轴是x=-5,
∴y的最大值是y10=1270.
②当10<x<15时,∵y=-4.2x2+111x+580的对称轴是x=≈13.2<13.5,
∴y的最大值是y13=1313.2.
③当15≤x≤30时,∵y=1.4x2-149x+3220的对称轴是x=>30,
∴y的最大值是y15=1300.
综上,草莓销售第13天时,日销售利润最大,最大值是1313.2元.
{分值}10
{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}
{难度:5-高难度}
{类别:常考题}
{考点:分段函数}
{考点:商品利润问题}
{题目}24.(2019年荆门,T24)已知抛物线y=ax2+bx+c顶点(2,-1),经过点(0,3),且与直线y=x-1交于A,B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若在抛物线上恰好存在三点Q,M,N,满足S△QAB=S△MAB=S△NAB=S,求S的值;
(3)在A,B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB=90°?若存在,求点P的横坐标,若不存在,请说明理由.
(坐标平面内两点M(x1,y1),N(x2,y2)之间的距离MN=)
{解析}本题考查了二次函数的图象和性质、面积的最大值、高次方程.
{答案}解: (1)依题意y=ax2+bx+c=a(x-2)2-1(a>0),将点(0,3)代入得:
4a-1=3,∴a=1.
∴函数的解析式为y=x2-4x+3.
(2)如图8,作直线AB的平行线l,当l与抛物线有两个交点时,由对称性可知:l位于直线AB两侧且与l等距离时,会有四个点符合题意,因为当位于直线AB上方时,l与抛物线总有两个交点M,N满足S△MAB=S△NAB,所以只有当位于直线AB下方且与抛物线只有一个交点Q时符合题意,此时△QAB面积最大.
设Q(t,t2-4t+3),作QC∥y轴交AB于C(t,t-1),
那么S△QAB=QC(xB-xA)=[(t-1)-(t2-4t+3)]=(-t2+5t-4).
当t=时,△QAB面积最大,最大面积为.
∴S=.
x
O
y
Q
M
N
C
A
B
图8
(3)若存在点P满足条件,设P(t,(t-2)2-1)(1<1<4).
∵PA⊥PB,PA2+PB2=AB2.
即(t-1)2+[(t-2)2-1]2+(t-4)2+[(t-2)2-4]2=18.
设t-2=m(-1<m<2),代入上式,得
(m+1)2+(m2-1)2+(m-2)2+(m2-4)2=18.
∴m4-4m2-m+2=0,即m2(m2-4)-(m-2)=0.
∴(m-2)(m3+m2+m2-1)=0,即(m-2)(m+1)(m2+m-1)=0.
∵-1<m<2,∴m-2<0,m+1>0.m2+m-1=0.
解得m=或m=<-1(舍去).
代入t-2=m,得t=.
综上所述,存在点P满足条件,点P的横坐标为.
{分值}12
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}
{难度:6-竞赛题}
{类别:常考题}
{考点:二次函数中讨论直角三角形}
{考点:代数综合}
{考点:几何综合}
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