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  • 2021-11-10 发布

2019年湖北荆门中考数学试题(解析版)

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‎{来源}2019年湖北省荆门市中考数学试卷 ‎{适用范围:3. 九年级}‎ ‎{标题}2019年湖北省荆门市中考数学试卷 考试时间:120分钟 满分:120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,合计36分. ‎ ‎{题目}1.(2019年荆门,T1)-的倒数的平方是( )‎ A.2 B. C.-2 D.-‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了倒数的概念、二次根式的运算.-的倒数的平方=(-)2=.因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-1]分式的乘除}‎ ‎{考点:倒数}‎ ‎{考点:算术平方根的平方}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{题目}2.(2019年荆门,T2)已知一天有86400秒,一年按365天计算共有31536000秒.科学计数法表示31536000正确的是( )‎ A.3.1536×106 B.3.1536×107 C.31.536×106 D.0.31536×108‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了科学记数法.31536000=3.1536×10 000 000=3.1536×107.因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3.(2019年荆门,T3)已知实数x,y满足方程组则x2-2y2的值为( )‎ A.-1 B.1 C.3 D.-3‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了二元一次方程组的解法.用代入法或加减法解原方程组,得所以x2-2y2=12-2×12=1-2=-1.因此本题选A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}‎ ‎{考点:代入消元法}‎ ‎{考点:加减消元法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4.(2019年荆门,T4)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,使得它们的直角边互相垂直,则∠1的度数是( )‎ A.95° B.100° C.105° D.110°‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎1‎ 第4题图 ‎30°‎ ‎45°‎ ‎1‎ 图1‎ C A B ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了三角形内角和定理的推论.如图1,∠1是△ABC的外角,其中∠B=45°,∠ACB=60°,∴∠1=∠B+∠CAB=105°.因此本题选C.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{考点:多边形的内角和}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}5.(2019年荆门,T5)抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了.抛物线的解析式可改写为y=-(x-2)2.可见它与横轴交于点(2,0),与y轴交于点(0,4),即它与坐标轴的交点个数为2.因此本题选C.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6.(2019年荆门,T6)不等式组的解集为( )‎ A.-<x<0 B.-<x≤0 C.-≤x<0 D.-≤x≤0‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法.解第一个不等式,得x≥-.‎ 解第二个不等式,得x<0.‎ 所以原不等式组的解集是-≤x<0.因此本题选C.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7.(2019年荆门,T7)投掷一枚质地均匀的骰子两次,向上一面的点数依次记为a,b.那么方程x2+ax+b=0有解的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了概率的计算、一元二次方程的判别式.‎ 列表如下:‎ a b ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(2,1)‎ ‎(3,1)‎ ‎(4,1)‎ ‎(5,1)‎ ‎(6,1)‎ ‎2‎ ‎(1,2)‎ ‎(2,2)‎ ‎(3,2)‎ ‎(4,2)‎ ‎(5,2)‎ ‎(6,2)‎ ‎3‎ ‎(1,3)‎ ‎(2,3)‎ ‎(3,3)‎ ‎(4,3)‎ ‎(5,3)‎ ‎(6,3)‎ ‎4‎ ‎(1,4)‎ ‎(2,4)‎ ‎(3,4)‎ ‎(4,4)‎ ‎(5,4)‎ ‎(6,4)‎ ‎5‎ ‎(1,5)‎ ‎(2,5)‎ ‎(3,5)‎ ‎(4,5)‎ ‎(5,5)‎ ‎(6,5)‎ ‎6‎ ‎(1,6)‎ ‎(2,6)‎ ‎(3,6)‎ ‎(4,6)‎ ‎(5,6)‎ ‎(6,6)‎ 原方程的判别式△=a2-4b.当a2-4b≥0时,原方程有解.‎ 投掷一枚质地均匀的骰子两次,由表可知共有36种结果,其中每种结果出现的可能性相等,使△≥0的结果共有19种,即(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).所以所求概率P=.‎ 因此本题选D.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{考点:两步事件放回}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8.(2019年荆门,T8)欣欣服装店某天用相同的价格a(a>0)卖出了两件服装,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是( )‎ A.盈利 B.亏损 C.不盈不亏 D.与售价a有关 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了一元一次方程的应用.设盈利、亏损的服装进价分别为x元、y元,则 x(1+20%)=a,y(1-20%)=a.‎ 解得x=,y=.‎ 因为2a-(+)=-<0,即总售价小于总进价,‎ 所以该服装店卖出这两件服装的盈利情况是亏损.‎ 因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程}‎ ‎{考点:一元一次方程的应用(商品利润问题)}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9.(2019年荆门,T9)如果函数y=kx+b(k,b是常数)的图象不经过第二象限,那么k,b应满足的条件是( )‎ A.k≥0且b≤0 B.k>0且b≤0 C.k≥0且b<0 D.k>0且b<0‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了一次函数的图象和性质.①当k≠0时,k>0,b≤0;‎ ‎②当k=0时,y=b是经过点(0,b)且平行于y轴的直线,因此b≤0.‎ 综上所述,k≥0且b≤0.因此本题选A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:正比例函数的图象}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10.(2019年荆门,T10)如图,Rt△OCB的斜边在y轴上,OC=,含30°角的顶点与原点重合,直角顶点C在第二象限,将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′,则B点的对应点B′的坐标是( )‎ A.(,-1) B.(1,-3) C.(2,0) D.(,0)‎ x O y C B ‎30°‎ 第10题图 x O y C B ‎30°‎ 图2‎ B′‎ C′‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了旋转的性质.如图2,旋转后点C′在横轴上,点B′在第二象限,且OC′=OC=,‎ B′C′=BC=OC·tan∠BOC=×=1.所以点B′的坐标为(,-1).因此本题选A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-1]图形的旋转}‎ ‎{{考点:坐标系内的旋转}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}11.(2019年荆门,T11)下列运算不正确的是( )‎ A.xy+x-y-1=(x-1)(y+1)‎ B.x2+y2+z2+xy+yz+zx=(x+y+z)2‎ C.(x+y)(x2-xy+y2)=x3+y3‎ D.(x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3‎ ‎{答案}B ‎{解析}(x+y+z)2=x2+y2+z2+xy+yz+zx,可见选项B中的运算不正确.因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:多项式乘以多项式}‎ ‎{考点:因式分解-完全平方式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}12.(2019年荆门,T12)如图,△ABC内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是( )‎ A.DI=DB B.DI>DB C.DI<DB D.不确定 I D C A B 第12题图 ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了内心的概念、圆周角定理等知识.连结BI.∠DIB=∠DAB+∠IBA,∠DBI=∠DBC+∠IBC.‎ ‎∵点I为△ABC的内心,‎ ‎∴∠DAB=∠DAC=∠DBC,∠IBA=∠IBC.‎ ‎∴∠DIB=∠DBI.‎ ‎∴DI=DB.因此本题答案是A.因此本题选A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:三角形的内切圆与内心}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,合计15分.‎ ‎{题目}13.(2019年荆门,T13)计算:+|sin30°-π0|+=______.‎ ‎{答案}1-‎ ‎{解析}原式=2-+|-1|-‎ ‎=2-+-‎ ‎=1-.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{考点:二次根式的混合运算}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}14.(2019年荆门,T14)已知x1,x2是关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0的两个不相等实数根,且满足(x1-1)(x2-1)=8k2,则k的值为______.‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等.‎ 由根与系数的关系,得x1+x2=-(3k+1),x1x2=2k2+1.‎ ‎∵(x1-1)(x2-1)=8k2,‎ ‎∴x1x2-(x1+x2)+1=8k2.‎ ‎∴2k2+1+(3k+1)+1=8k2.整理,得2k2-k-1=0.‎ 解得k1=1,k2=-.‎ 当k=-时,原方程没有实数根,舍去.‎ ‎∴k=1.‎ 因此本题答案是1.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{考点:根与系数关系}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15.(2019年荆门,T15)如图,在平面直角坐标系中,函数y=(k>0,x>0)的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为______.‎ x O y M N A B 第15题图 x O y M N A D C B 图3‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数的性质、三角函数、一元二次方程等知识.‎ 如图3,分别过点M,N作x轴的垂线,垂足依次为C,D.‎ 依题意可知OM=2,∠OMC=30°,∴OC=1,MC=.‎ ‎∴k=1×=.‎ 于是设N(a,)(1<a<3),则OD=a,ND=,DB=.‎ ‎∵OB=AB=3,∴a+=3.‎ 解得a=(舍去).‎ 因此本题答案是.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:公式法}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}16.(2019年荆门,T16)如图,等边三角形ABC的边长为2,以A为圆心,1为半径作圆分别交AB,AC边于D,E,再以点C为圆心,CD长为半径作圆交BC边于F,连接E,F,那么图中阴影部分的面积为______.‎ F D E C A B 第16题图 F D E C A B 图4‎ H ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了曲边三角形面积的计算.‎ ‎]S阴影=S扇CDF+S△ACD-S扇ADE-S△CEF.‎ 如图4,连结CD,过点E作EH⊥BC于点H.‎ ‎∵CF=CD=,∠BCD=30°,CE=1,EH=.‎ ‎∴S阴影=+×1×--××=+--=.‎ 因此本题答案是.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:扇形的面积}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}17.(2019年荆门,T17)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的顶点为P,且抛物线经过点A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)(1<m<3,n<0).下列结论:‎ ‎①abc>0,②3a+c<0,③a(m-1)+2b>0,④a=-1时,存在点P使△PAB为直角三角形.‎ 其中正确结论的序号为______.‎ ‎{答案}②③‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的图象和性质.‎ 依题意画出如图5所示的图形.‎ ‎(1)∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴在y轴侧,∴->0.∴b>0.∵抛物线与y轴正半轴相交,∴c>0.∴abc<0.可见结论①错误.‎ ‎(2)∵抛物线经过点A(-1,0),‎ ‎∴a-b+c=0,即b=a+c①,或者c=b-a②.‎ ‎∵x=3时,y<0,∴9a+3b+c<0.‎ 将①代入,得12a+4c<0,即3a+c<0.可见结论②正确.‎ ‎(3)∵抛物线经过点B(m,0),∴am2+bm+c=0.‎ 将②代入,得am2+bm+b-a=0.化简,得a(m-1)+b=0.‎ ‎∴a(m-1)+2b=b>0.可见结论③正确.‎ ‎(4)当a=-1时,由①知b=c-1,此时抛物线的解析式为 y=-x2+(c-1)x+c.令y=0,解得x1=-1,x2=c.‎ 又抛物线与y轴交于点D(0,c).∴OB=OD,∠DBO=45°.‎ 由正切可知∠PBO>∠DBO=45°,‎ ‎∴△PAB不可能是直角三角形.可见结论④错误.‎ 综上所述,正确结论的序号是②③.‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x O y C A B P 图5‎ D 因此本题答案是②③.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的系数与图象的关系}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{考点:代数填空压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共7小题,合计69分.‎ ‎{题目}18.(2019年荆门,T18)先化简,再求值:‎ ‎()2·-÷,其中a=,b=.‎ ‎{解析}本题考查了分式的混合运算及求值.‎ ‎{答案}解: 原式=()2·-×‎ ‎=-=‎ ‎=.‎ 当a=,b=时,‎ 原式==.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{题目}19.(2019年荆门,T19)如图,已知平行四边形ABCD中,AB=5,BC=3,AC=2.‎ ‎(1)求平行四边形ABCD的面积;‎ ‎(2)求证:BD⊥BC.‎ D C A B 第19题图 D C A B 图5‎ F E ‎{解析}本题考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理.‎ ‎{答案}解: 如图5.(1)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.设BE=x,CE=h.‎ 由勾股定理,得 解得 ‎∴S□ABCD=AB·h=12;‎ ‎(2)过点D作DF⊥AB于点F.‎ ‎∵△ADF≌△BCE,∴AF=BE=,DF=,BF=.‎ 在Rt△DFB中,BD===4.‎ ‎∵42+32=52,即BD2+BC2=CD2,‎ ‎∴BD⊥BC.‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:勾股定理逆定理}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{题目}20.(2019年荆门,T20)高尔基说:“书,是人类进步的阶梯”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处.为了解学生的课外阅读情况,某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况,并绘制出如下统计图.其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书的人数.‎ ‎(1)求条形图中丢失的数据,并写出阅读书册数的众数和中位数;‎ ‎(2)根据随机抽查的这个结果,请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数;‎ ‎(3)若学校又补查了部分同学的课外阅读情况,得知这部分同学中课外阅读最少的是6册,将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变,试求最多补查了多少人?‎ 册数 人数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎4册 ‎5册 ‎6册 ‎7册 ‎4册 ‎5册 ‎6册 ‎7册 ‎30%‎ 第20题图 ‎{解析}本题考查了众数、中位数、样本估计总体的思想.‎ ‎{答案}解:(1)观察两个图中阅读6册书的人数和百分比,可知调查的人数=12÷30%=40(人).‎ 因此,阅读5册书的人数=40-(8+12+6)=14(人).‎ 由此可知阅读书册数的众数和中位数都是5(册).‎ ‎(2)×1200=420(人).‎ ‎(3)设补查人为y人,依题意,得 ‎12+6+y<8+14.解得y<4.‎ ‎∴最多补查了3人. ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{题目}21.(2019年荆门,T21)已知锐角△ABC的外接圆圆心为O,半径为R.‎ ‎(1)求证:=2R;‎ ‎(2)若△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,AC=,求BC的长及sinC的值.‎ O C A B 第21题图 O C A B 图6‎ D O C A B 图7‎ H E ‎{解析}本题考查了圆的性质、垂径定理、三角函数等知识.‎ ‎{答案}(1)证明:如图6,连结CO并延长交⊙O于点D.则 ‎∠D=∠B,∠DAC=90°.‎ 在Rt△ADC中,∵=sinD,‎ ‎∴=sinB,即=2R.‎ ‎(2)解:如图7,连结OB,OC,分别过点C,O作AB的垂线,垂足依次为E,H,则AH=BH,∠BOH=∠ACB.‎ 在Rt△ACE中,∵AC=,∠A=45°,‎ ‎∴AE=CE=AC·sin45°=.‎ 在Rt△BCE中,∵∠ABC=60°,∴BE==.‎ ‎∴BC=2BE=.‎ ‎∵∠BOC=2∠A=90°,∴OB=1.‎ ‎∵BH=AB=(AE+BE)=,‎ ‎∴sinC=sin∠BOH==. ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:垂径定理}‎ ‎{考点:圆的其它综合题}‎ ‎{考点:正弦}‎ ‎{题目}22.(2019年荆门,T22)如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上).测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF(即DG)为1.6m,试确定楼的高度OE.‎ G F D O E C A B 第22题图 ‎{解析}本题考查了相似三角形的应用.‎ ‎{答案}解:设OE=x,OA=a,BC=b,则AB=2-a,CD=2.1-a.CO=2+a.‎ 由光反射定律可知△AFB∽△AEO,△CGD∽△COE,‎ ‎∴=,①‎ ‎=.②‎ 由①、②得a=20(2-b).③‎ 将③代入①,得 ‎=.解得x=32.‎ ‎∴楼的高度OE是32m. ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:相似三角形的应用}‎ ‎{题目}23.(2019年荆门,T23)为落实“精准扶贫”精神,市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据市场调查,在草莓上市销售的30天中,其销售价格m(元/公斤)与第x 天之间满足m=x为正整数.销售量n(公斤)与第x天之间的函数关系如图所示:‎ A(1,12)‎ B(10,30)‎ C(30,2)‎ x O n ‎2‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎1‎ 第23题图 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.‎ ‎(1)求销售量n与第x天之间的函数关系式;‎ ‎(2)求在草莓上市销售的30天中,每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式;(日销售利润=日销售额-日维护费)‎ ‎(3)求日销售利润y的最大值及相应的x.‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的应用.‎ ‎{答案}解: (1)当1≤x≤10时,设n=kx+b,‎ 由图可知解得 ‎∴n=2x+10.‎ 同理,当10<x≤30时,n=-1.4x+44.‎ ‎∴n=‎ ‎(2)∵y=mn-80,∴y=‎ 即y=‎ ‎(3)①当1≤x≤10时,∵y=6x2+60x+70的对称轴是x=-5,‎ ‎∴y的最大值是y10=1270.‎ ‎②当10<x<15时,∵y=-4.2x2+111x+580的对称轴是x=≈13.2<13.5,‎ ‎∴y的最大值是y13=1313.2.‎ ‎③当15≤x≤30时,∵y=1.4x2-149x+3220的对称轴是x=>30,‎ ‎∴y的最大值是y15=1300.‎ 综上,草莓销售第13天时,日销售利润最大,最大值是1313.2元.‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分段函数}‎ ‎{考点:商品利润问题}‎ ‎{题目}24.(2019年荆门,T24)已知抛物线y=ax2+bx+c顶点(2,-1),经过点(0,3),且与直线y=x-1交于A,B两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若在抛物线上恰好存在三点Q,M,N,满足S△QAB=S△MAB=S△NAB=S,求S的值;‎ ‎(3)在A,B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB=90°?若存在,求点P的横坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎(坐标平面内两点M(x1,y1),N(x2,y2)之间的距离MN=)‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的图象和性质、面积的最大值、高次方程.‎ ‎{答案}解: (1)依题意y=ax2+bx+c=a(x-2)2-1(a>0),将点(0,3)代入得:‎ ‎4a-1=3,∴a=1.‎ ‎∴函数的解析式为y=x2-4x+3.‎ ‎(2)如图8,作直线AB的平行线l,当l与抛物线有两个交点时,由对称性可知:l位于直线AB两侧且与l等距离时,会有四个点符合题意,因为当位于直线AB上方时,l与抛物线总有两个交点M,N满足S△MAB=S△NAB,所以只有当位于直线AB下方且与抛物线只有一个交点Q时符合题意,此时△QAB面积最大.‎ 设Q(t,t2-4t+3),作QC∥y轴交AB于C(t,t-1),‎ 那么S△QAB=QC(xB-xA)=[(t-1)-(t2-4t+3)]=(-t2+5t-4).‎ 当t=时,△QAB面积最大,最大面积为.‎ ‎∴S=.‎ x O y Q M N C A B 图8‎ ‎(3)若存在点P满足条件,设P(t,(t-2)2-1)(1<1<4).‎ ‎∵PA⊥PB,PA2+PB2=AB2.‎ 即(t-1)2+[(t-2)2-1]2+(t-4)2+[(t-2)2-4]2=18.‎ 设t-2=m(-1<m<2),代入上式,得 ‎(m+1)2+(m2-1)2+(m-2)2+(m2-4)2=18.‎ ‎∴m4-4m2-m+2=0,即m2(m2-4)-(m-2)=0.‎ ‎∴(m-2)(m3+m2+m2-1)=0,即(m-2)(m+1)(m2+m-1)=0.‎ ‎∵-1<m<2,∴m-2<0,m+1>0.m2+m-1=0.‎ 解得m=或m=<-1(舍去).‎ 代入t-2=m,得t=.‎ 综上所述,存在点P满足条件,点P的横坐标为.‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{难度:6-竞赛题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:二次函数中讨论直角三角形}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:几何综合}‎