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- 2021-11-10 发布
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4.2用配方法解一元二次方程(2)
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;.
(重点)
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.
(难点)
学习目标
复习引入
(1) 9x2=1 ; (2) (x-2)2=2.
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) x2+6x+9 =5;
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成
(x+n)2=p(p≥0)的
形式,再利用开平方
导入新课
问题1:观察下面两个是一元二次方程的联系和区别:
① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +8x-3 = 0.
问题2:用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解:移项,得 x2 + 6x = -8 ,
配方,得 (x + 3)2 = 1.
开平方, 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 , x2= -4.
想一想怎么来解
3x2 +8x-3 = 0.
讲授新课
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程知识点1
试一试:解方程: 3x2 + 8x -3 = 0.
解:两边同除以3,得
x2 + x - 1=0.
配方,得
x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0,
(x + )2 - =0.
移项,得
x + =± ,
即 x + = 或 x + = .
所以 x1= , x2 = -3 .
3
4
3
4
3
8
3
4
9
25
3
4
3
5
3
4
3
4
3
5
3
5
3
8
3
1
配方,得 2 2
2 3 3 1 3 ,
2 4 2 4
x x
23 1 ,
4 16
x
3 1,
4 4
x 由此可得
21
11, .
2
x x
二次项系数化为1,得 2 3 1 ,
2 2
x x
2 1 2 1 3 x x ;
解:移项,得 2x2-3x=-1,
即
移项和二次项系数
化为1这两个步骤
能不能交换一下呢?
例1 解下列方程:
配方,得 2 2 242 1 1 ,
3
x x
2 11 .
3
x
因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时,
上式都不成立,所以原方程无实数根.
解:移项,得 23 6 4,x x
二次项系数化为1,得
2 42 ,
3
x x
2 2 3 6 4 0.x x
为什么方程
两边都加12?
即
思考1:用配方法解一元二次方程时,移项时要
注意些什么?
思考2:用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项,二次项系数化为1;
②左边配成完全平方式;
③左边写成完全平方形式;
④降次;
⑤解一次方程.
一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 ,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两
个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
x n p
1 2,x n p x n p
规律总结
引例:一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上
弹出,它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系:
h=15t - 5t2
.
小球何时能达到10m高?
解:将 h = 10代入方程式中.
15t - 5t2 =10.
两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2,
配方,得 t2 - 3t + ( )2= ( )2 - 2,
(t - )2 =
2
3
2
3
2
3 .
4
1
配方法的应用知识点2
移项,得 (t - )2 =
即 t - = ,或 t - = .
所以 t1= 2 , t2 = 1 .
2
3 ,
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
即在1s或2s时,小球可达10m高.
例2.试用配方法说明:不论k取何实数,多项式
k2-4k+5 的值必定大于零.
解:k2-4k+5=k2-4k+4+1
=(k-2)2+1
因为(k-2)2≥0,所以(k-2)2+1≥1.
所以k2-4k+5的值必定大于零.
例3.若a,b,c为△ABC的三边长,且
试判断△ABC的形状.
解:对原式配方,得
由代数式的性质可知
,0543 22 cba
,05,04,03 22 cba
,543 cba ,,
所以,△ABC为直角三角形.
,025586 22 cbbaa
,543 222222 cba
1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0,则
m的值为( )
A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值; (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
练一练
C
解:原式 = 2(x - 1)2 +3
当x =1时有最小值3
解:原式= -3(x - 2)2 - 4
当x =2时有最大值-4
归纳总结 配方法的应用
类别 解题策略
1.求最值或
证明代数式
的值为恒正
(或负)
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
+n的形式后,(x+m)2≥0,n为常数,当a>0时,
可知其最小值;当a<0时,可知其最大值.
2.完全平方
式中的配方
如:已知x2-2mx+16是一个完全平方式,所以
一次项系数一半的平方等于16,即m2=16,m=±4.
3.利用配方
构成非负数
和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式,求未知数
的值,解题突破口往往是配方成多个完全平方式
得其和为0,再根据非负数的和为0,各项均为0,
从而求解.如:a2+b2-4b+4=0,则a2+(b-2)2=0,
即a=0,b=2.
例4.读诗词解题:
(通过列方程,算出周瑜去世时的年龄.)
大江东去浪淘尽,
千古风流数人物。
而立之年督东吴,
早逝英年两位数。
十位恰小个位三,
个位平方与寿符。
哪位学子算得快,
多少年华属周瑜?
解:设个位数字为x,十位数字为(x-3)
x1=6, x2=5
x2-11x=-30
x2-11x+5.52=-30+5.52
(x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5
x2=10(x-3)+x
∴这个两位数为36或25,
∴周瑜去世的年龄为36岁.
∵周瑜30岁还攻打过东吴,
1.解下列方程:
(1)x2+4x-9=2x-11;(2)x(x+4)=8x+12;
(3)4x2-6x-3=0; (4) 3x2+6x-9=0.
解:x2+2x+2=0,
(x+1)2=-1.
此方程无解;
解:x2-4x-12=0,
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2;
2 3 3 0
2 4
解: , x x
23 21( ) .
4 16
x
1 2
3 21 3 21,
4 4
x x
;
解:x2+2x-3=0,
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
随堂练习
2.利用配方法证明:不论x取何值,代数式-x2-x-1
的值总是负数,并求出它的最大值.
解:-x2-x-1=-(x2+x+ )+ -1
所以-x2-x-1的值必定小于零.
1
4
1
4
21( ) 0,
2
∵ x+
21 3( ) ,
2 4
= x+
21 3( ) 0,
2 4
< x+
当 时,-x2-x-1有最大值
1
2
x= 3 .
4
3.若 ,求(xy)z 的值.013264 22 zyyxx
解:对原式配方,得 2 2
2 3 2 0x y z
由代数式的性质可知
2 2
2 0, 3 0, 2 0x y z
2, 3, 2.x y z
2 2
2 3 6 36.
z
xy
4.如图,在一块长35m、宽26m的矩形地面上,修建同
样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要
使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少?
解:设道路的宽为xm, 根据题意得
(35-x)(26-x)=850,
整理得 x2-61x+60=0.
解得 x1=60(不合题意,舍去), x2=1.
答:道路的宽为1m.
5.已知a,b,c为△ABC的三边长,且
试判断△ABC的形状.
,0222 bcacabcba
解:对原式配方,得
由代数式的性质可知
2 2 21
0,
2
a b a c b c
2 2 2
0, 0, 0,a b a c b c
,a b c
所以,△ABC为等边三角形.
配
方
法
方 法
步 骤
一移常数项;
二配方[配上 ];
三写成(x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
2
2
二次项系数
( )
特别提醒:
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应 用 求代数式的最值或证明
在方程两边都配上 2.
2
二次项系数
( )
课堂小结
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