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  • 2021-11-10 发布

九年级上册青岛版数学课件4-2用配方法解一元二次方程(2)

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4.2用配方法解一元二次方程(2) 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;. (重点) 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程. (难点) 学习目标 复习引入 (1) 9x2=1 ; (2) (x-2)2=2. 1.用直接开平方法解下列方程: (1) x2+6x+9 =5; (2)x2+6x+4=0. 把两题转化成 (x+n)2=p(p≥0)的 形式,再利用开平方 导入新课 问题1:观察下面两个是一元二次方程的联系和区别: ① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +8x-3 = 0. 问题2:用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解:移项,得 x2 + 6x = -8 , 配方,得 (x + 3)2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4. 想一想怎么来解 3x2 +8x-3 = 0. 讲授新课 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程知识点1 试一试:解方程: 3x2 + 8x -3 = 0. 解:两边同除以3,得 x2 + x - 1=0. 配方,得 x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0, (x + )2 - =0. 移项,得 x + =± , 即 x + = 或 x + = . 所以 x1= , x2 = -3 . 3 4 3 4 3 8 3 4 9 25 3 4 3 5 3 4 3 4 3 5  3 5 3 8 3 1 配方,得 2 2 2 3 3 1 3 , 2 4 2 4 x x               23 1 , 4 16 x      3 1, 4 4 x 由此可得 21 11, . 2 x x  二次项系数化为1,得 2 3 1 , 2 2 x x     2 1 2 1 3 x x    ; 解:移项,得 2x2-3x=-1, 即 移项和二次项系数 化为1这两个步骤 能不能交换一下呢? 例1 解下列方程: 配方,得 2 2 242 1 1 , 3 x x     2 11 . 3 x  因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时, 上式都不成立,所以原方程无实数根. 解:移项,得 23 6 4,x x   二次项系数化为1,得 2 42 , 3 x x     2 2 3 6 4 0.x x     为什么方程 两边都加12? 即 思考1:用配方法解一元二次方程时,移项时要 注意些什么? 思考2:用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项,二次项系数化为1; ②左边配成完全平方式; ③左边写成完全平方形式; ④降次; ⑤解一次方程. 一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 ,方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两 个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根. x n p   1 2,x n p x n p      规律总结 引例:一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上 弹出,它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系: h=15t - 5t2 . 小球何时能达到10m高? 解:将 h = 10代入方程式中. 15t - 5t2 =10. 两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2, 配方,得 t2 - 3t + ( )2= ( )2 - 2, (t - )2 = 2 3 2 3 2 3 . 4 1 配方法的应用知识点2 移项,得 (t - )2 = 即 t - = ,或 t - = . 所以 t1= 2 , t2 = 1 . 2 3 , 2 1  2 3 2 1 2 3 2 1  即在1s或2s时,小球可达10m高. 例2.试用配方法说明:不论k取何实数,多项式 k2-4k+5 的值必定大于零. 解:k2-4k+5=k2-4k+4+1 =(k-2)2+1 因为(k-2)2≥0,所以(k-2)2+1≥1. 所以k2-4k+5的值必定大于零. 例3.若a,b,c为△ABC的三边长,且 试判断△ABC的形状. 解:对原式配方,得 由代数式的性质可知     ,0543 22  cba     ,05,04,03 22  cba ,543  cba ,, 所以,△ABC为直角三角形. ,025586 22  cbbaa ,543 222222 cba  1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0,则 m的值为( ) A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值; (2) -3x2 + 5x +1的最大值. 练一练 C 解:原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3 解:原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4 归纳总结 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 (或负) 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 +n的形式后,(x+m)2≥0,n为常数,当a>0时, 可知其最小值;当a<0时,可知其最大值. 2.完全平方 式中的配方 如:已知x2-2mx+16是一个完全平方式,所以 一次项系数一半的平方等于16,即m2=16,m=±4. 3.利用配方 构成非负数 和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式,求未知数 的值,解题突破口往往是配方成多个完全平方式 得其和为0,再根据非负数的和为0,各项均为0, 从而求解.如:a2+b2-4b+4=0,则a2+(b-2)2=0, 即a=0,b=2. 例4.读诗词解题: (通过列方程,算出周瑜去世时的年龄.) 大江东去浪淘尽, 千古风流数人物。 而立之年督东吴, 早逝英年两位数。 十位恰小个位三, 个位平方与寿符。 哪位学子算得快, 多少年华属周瑜? 解:设个位数字为x,十位数字为(x-3) x1=6, x2=5 x2-11x=-30 x2-11x+5.52=-30+5.52 (x-5.5)2=0.25 x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5 x2=10(x-3)+x ∴这个两位数为36或25, ∴周瑜去世的年龄为36岁. ∵周瑜30岁还攻打过东吴, 1.解下列方程: (1)x2+4x-9=2x-11;(2)x(x+4)=8x+12; (3)4x2-6x-3=0; (4) 3x2+6x-9=0. 解:x2+2x+2=0, (x+1)2=-1. 此方程无解; 解:x2-4x-12=0, (x-2)2=16. x1=6,x2=-2; 2 3 3 0 2 4 解: ,  x x 23 21( ) . 4 16 x   1 2 3 21 3 21, 4 4 x x    ; 解:x2+2x-3=0, (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 随堂练习 2.利用配方法证明:不论x取何值,代数式-x2-x-1 的值总是负数,并求出它的最大值. 解:-x2-x-1=-(x2+x+ )+ -1 所以-x2-x-1的值必定小于零. 1 4 1 4 21( ) 0, 2 ∵ x+ 21 3( ) , 2 4  = x+ 21 3( ) 0, 2 4 <  x+ 当 时,-x2-x-1有最大值 1 2 x= 3 . 4  3.若 ,求(xy)z 的值.013264 22  zyyxx 解:对原式配方,得    2 2 2 3 2 0x y z      由代数式的性质可知    2 2 2 0, 3 0, 2 0x y z      2, 3, 2.x y z         2 2 2 3 6 36. z xy          4.如图,在一块长35m、宽26m的矩形地面上,修建同 样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要 使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少? 解:设道路的宽为xm, 根据题意得 (35-x)(26-x)=850, 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60(不合题意,舍去), x2=1. 答:道路的宽为1m. 5.已知a,b,c为△ABC的三边长,且 试判断△ABC的形状. ,0222  bcacabcba 解:对原式配方,得 由代数式的性质可知      2 2 21 0, 2 a b a c b c             2 2 2 0, 0, 0,a b a c b c      ,a b c  所以,△ABC为等边三角形. 配 方 法 方 法 步 骤 一移常数项; 二配方[配上 ]; 三写成(x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 2 2 二次项系数 ( ) 特别提醒: 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应 用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 2. 2 二次项系数 ( ) 课堂小结