2013年海南省中考数学试卷（含答案） 17页

海南省2013年中考数学试卷 一、选择题（共14小题，每小题3分，满分41分）在下列各题的选项中，有且只有一个是正确的。‎ ‎1．（3分）（2013•海南）﹣5的绝对值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎﹣5‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 绝对值．‎ 分析：‎ 根据一个负数的绝对值是它的相反数求解即可．‎ 解答：‎ 解：﹣5的绝对值是5．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•海南）若代数式x+3的值为2，则x等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎﹣1‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎﹣5‎ 考点：‎ 解一元一次方程 分析：‎ 根据题意，列出关于x的一元一次方程x+3=2，通过解该方程可以求得x的值．‎ 解答：‎ 解：由题意，得 x+3=2，‎ 移项，得 x=﹣1．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•海南）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x2•x3=x6‎ B．‎ ‎（x2）3=x5‎ C．‎ x2+x3=x5‎ D．‎ x6÷x3=x3‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 分析：‎ 根据同底数幂的乘法、幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法求出每个式子的值，再进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、x2•x3=x5，故本选项错误；‎ B、（x2）3=x6，故本选项错误；‎ C、x2和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；‎ D、x6÷x3=x3，故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•海南）某班5位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是35、40、37、38、40．则这组数据的众数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎37‎ B．‎ ‎40‎ C．‎ ‎38‎ D．‎ ‎35‎ 考点：‎ 众数 分析：‎ 根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：在这组数据35、40、37、38、40中，‎ ‎40出现了2次，出现的次数最多，‎ 则这组数据的众数是40，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•海南）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图 分析：‎ 找到从上面看所得到的图形即可．‎ 解答：‎ 解：此几何体的俯视图有2列，从左往右小正方形的个数分别是2，2，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．‎ ‎　‎ ‎6．（2分）（2013•海南）下列各数中，与的积为有理数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎2﹣‎ 考点：‎ 实数的运算 分析：‎ 根据实数运算的法则对各选项进行逐一解答即可．‎ 解答：‎ 解：A、×=，故本选项错误；‎ B、×3=3，故本选项错误；‎ C、×2=6，故本选项正确；‎ D、×（2﹣）=2﹣3，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是实数的运算，熟知实数运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•海南）“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，标准排水量57000吨，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎675×102‎ B．‎ ‎67.5×102‎ C．‎ ‎6.75×104‎ D．‎ ‎6.75×105‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将67500用科学记数法表示为6.75×104．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•海南）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ BO=DO B．‎ CD=AB C．‎ ‎∠BAD=∠BCD D．‎ AC=BD 考点：‎ 平行四边形的性质 分析：‎ 根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；‎ B、∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD=AB，正确，不符合题意；‎ C、∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BAD=∠BCD，正确，不符合题意；‎ D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD，错误，符合题意；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的性质的应用，注意：平行四边形的性质是：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•海南）一个三角形的三条边长分别为1、2，则x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1≤x≤3‎ B．‎ ‎1＜x≤3‎ C．‎ ‎1≤x＜3‎ D．‎ ‎1＜x＜3‎ 考点：‎ 三角形三边关系 分析：‎ 已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：2﹣1＜x＜2+1，‎ 即1＜x＜3．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 考查了三角形三边关系，本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•海南）今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获8600kg和9800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg？设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出分式方程 分析：‎ 根据关键描述语是：“两块面积相同的荔枝园”；等量关系为：甲试验田的面积=乙试验田的面积，假设出甲试验田每亩收获荔枝x千克，求出即可．‎ 解答：‎ 解：设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程：‎ ‎=．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•海南）现有四个外观完全一样的粽子，其中有且只有一个有蛋黄．若从中一次随机取出两个，则这两个粽子都没有蛋黄的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法 分析：‎ 根据概率的求法，先画出树状图，求出所有出现的情况，即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：用A表示没蛋黄，B表示有蛋黄的，画树状图如下：‎ ‎∵一共有12种情况，两个粽子都没有蛋黄的有6种情况，‎ ‎∴则这两个粽子都没有蛋黄的概率是=‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了画树状图求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•海南）如图，在⊙O中，弦BC=1．点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 圆周角定理；等边三角形的判定与性质 分析：‎ 连接OB，OC，先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再OB=OC判断出△BOC的形状，故可得出结论．‎ 解答：‎ 解：连接OB，OC，‎ ‎∵∠BAC=30°，‎ ‎∴∠BOC=2∠BAC=60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴△BOC是等边三角形，‎ ‎∴OB=BC=1．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•海南）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ AB=BC B．‎ AC=BC C．‎ ‎∠B=60°‎ D．‎ ‎∠ACB=60°‎ 考点：‎ 菱形的判定；平移的性质 分析：‎ 首先根据平移的性质得出ABCD，得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，‎ ‎∴ABCD，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形，‎ 当AB=BC时，‎ 平行四边形ABCD是菱形．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出ABCD是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•海南）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 分析：‎ 分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．‎ 解答：‎ 解：别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC=BC，‎ ‎∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，‎ ‎∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，‎ 在△BCE与△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCE≌△ACF（ASA）‎ ‎∴CF=BE=3，CE=AF=4，‎ 在Rt△ACF中，‎ ‎∵AF=4，CF=3，‎ ‎∴AC===5，‎ ‎∵AF⊥l3，DG⊥l3，‎ ‎∴△CDG∽△CAF，‎ ‎∴=，=，解得CD=，‎ 在Rt△BCD中，‎ ‎∵CD=，BC=5，‎ ‎∴BD===．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分）‎ ‎15．（4分）（2013•海南）因式分解：a2﹣b2=　（a+b）（a﹣b）　．‎ 考点：‎ 因式分解-运用公式法 专题：‎ 因式分解．‎ 分析：‎ 利用平方差公式直接分解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．‎ 故答案为：（a+b）（a﹣b）．‎ 点评：‎ 此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2013•海南）点（2，y1），（3，y2）在函数y=﹣的图象上，则y1　＜　y2（填“＞”或“＜”或“=”）．‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征 分析：‎ 根据反比例函数图象所经过的象限与函数图象的增减性进行填空．‎ 解答：‎ 解：∵函数y=﹣中的﹣2＜0，‎ ‎∴函数y=﹣的图象经过第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，‎ ‎∴点（2，y1），（3，y2）同属于第四象限，‎ ‎∵2＜3，‎ ‎∴y1＜y2．‎ 故填：＜．‎ 点评：‎ 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．解答该题时，利用了反比例函数图象的增减性．当然了，解题时也可以把已知两点的坐标分别代入函数解析式，求得相应的y值后，再来比较它们的大小．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2013•海南）如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=　40　°．‎ 考点：‎ 平行线的性质；等腰三角形的性质 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据平行线的性质得∠C=∠EFB=110°，再利用邻补角的定义得∠AFE=180°﹣110°=70°，由AE=AF，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠AFE=70°，然后根据三角形内角和定理计算∠A．‎ 解答：‎ 解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠C=∠EFB=110°，‎ ‎∴∠AFE=180°﹣110°=70°，‎ ‎∵AE=AF，‎ ‎∴∠E=∠AFE=70°，‎ ‎∴∠A=180°﹣∠E﹣∠AFE=40°．‎ 故答案为40．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．也考查了三角形内角和定理以及等腰三角形性质．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）（2013•海南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5，∠B=60°，则BC=　10　．‎ 考点：‎ 梯形 分析：‎ 作DE∥AB交BC与点E．则四边形ABCD是平行四边形，△DEC是等边三角形，即可求得CE，BE的长度，从而求解．‎ 解答：‎ 解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，‎ ‎∴∠C=∠B=60°．‎ 如图，过点D作DE∥AB交BC于点E．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形，‎ ‎∴BE=AD，AB=DE，‎ ‎∴DE=DC，‎ ‎∴△DEC是等边三角形．‎ ‎∴EC=DC=AB=5．‎ ‎∴BC=BE+EC=2AD=10．‎ 故答案是：10．‎ 点评：‎ 本题考查等腰梯形的有关计算，正确作出辅助线，转化成平行四边形与等边三角形是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分63分）‎ ‎19．（10分）（2013•海南）计算：‎ ‎（1）4×（﹣）﹣+3﹣2； ‎ ‎（2）a（a﹣3）﹣（a﹣1）2．‎ 考点：‎ 整式的混合运算；实数的运算；负整数指数幂 分析：‎ ‎（1）根据算术平方根的定义以及负指数幂的性质分别化简求出即可；‎ ‎（2）首先去括号，进而合并同类项即可．‎ 解答：‎ 解：（1）4×（﹣）﹣+3﹣2‎ ‎=﹣﹣5+‎ ‎=﹣﹣5+‎ ‎=﹣5；‎ ‎（2）a（a﹣3）﹣（a﹣1）2‎ ‎=a2﹣3a﹣（a2﹣2a+1）‎ ‎=﹣a﹣1．‎ 点评：‎ 此题主要考查了实数的计算以及整式的混合运算，熟练掌握公式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•海南）据悉，2013年财政部核定海南省发行的60亿地方政府“债券资金”，全部用于交通等重大项目建设．以下是60亿“债券资金”分配统计图：‎ ‎（1）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（2）在扇形统计图中，a=　36.7　，b=　20.5　（都精确到0.1）；‎ ‎（3）在扇形统计图中，“教育文化”对应的扇形圆心角的度数为　64　°（精确到°1）‎ 考点：‎ 条形统计图；扇形统计图．‎ 分析：‎ ‎（1）根据60亿“债券资金”分配统计图，利用条形图数据得出城乡“债券资金”即可；‎ ‎（2）根据条形图数据直接得出交通和城乡部分所占百分比即可；‎ ‎（3）根据扇形统计图中，“教育文化”所占比例，即可得出对应的扇形圆心角的度数．‎ 解答：‎ 解：（1）∵是60亿“债券资金”分配统计图，‎ ‎∴城乡“债券资金”为：60﹣22﹣10.7﹣6.3﹣3.3﹣5.4=12.3，‎ 如图所示：‎ ‎（2）由题意可得出：×100%≈36.7%，×100%=20.5%，‎ 则a=36.7，b=20.5，‎ ‎（3）“教育文化”对应的扇形圆心角的度数为：360°×17.8%≈64°．‎ 点评：‎ 此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的应用，根据图象得出正确的信息是解题关键．‎ ‎　‎ ‎21．（9分）（2013•海南）如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；‎ ‎（3）点C1的坐标是　（1，4）　；点C2的坐标是　（1，﹣4）　；过C、C1、C2三点的圆的圆弧的长是　π　（保留π）．‎ 考点：‎ 作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换 专题：‎ 作图题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；‎ ‎（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；‎ ‎（3）根据平面直角坐标系写出点C1、C2的坐标，利用勾股定理求出OC的长，再根据过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）△A1B1C1如图所示；‎ ‎（2）△A2B2C2如图所示；‎ ‎（3）C1（1，4），C2（1，﹣4），‎ 根据勾股定理，OC==，‎ 过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，‎ 的长=π．‎ 故答案为：（1，4）；（1，﹣4）；π．‎ 点评：‎ 本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2013•海南）为迎接6月5日的“世界环境日”，某校团委开展“光盘行动”，倡议学生遏制浪费粮食行为．该校七年级（1）、（2）、（3）三个班共128人参加了活动．其中七（3）班48人参加，七（1）班参加的人数比七（2）班多10人，请问七（1）班和七（2）班各有多少人参加“光盘行动”？‎ 考点：‎ 一元一次方程的应用．3718684‎ 分析：‎ 首先确定相等关系：该校七年级（1）、（2）、（3）三个班共128人参加了活动，由此列一元一次方程求解．‎ 解答：‎ 解：设七（2）班有x人参加“光盘行动”，则七（1）班有（x+10）人参加“光盘行动”，依题意有 ‎（x+10）+x+48=128，‎ 解得x=35，‎ 则x+10=45．‎ 答：七（1）班有45人参加“光盘行动”，七（2）班有35人参加“光盘行动”．‎ 点评：‎ 此题考查的知识点是一元一次方程组的应用，关键是先确定相等关系，然后列方程求解．‎ ‎　‎ ‎23．（14分）（2013•海南）（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；‎ ‎（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．‎ ‎①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF；‎ ‎②若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1，△DPE的面积为S2．求证：S1=（n+1）S2．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质 分析：‎ ‎（1）利用SAS，证明△BCP≌△DCE；‎ ‎（2）在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF；‎ ‎（3）设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，分别求出S1与S2的值，得S1=（n2﹣1），S2=（n﹣1），所以S1=（n+1）S2结论成立．‎ 解答：‎ 证明：（1）在△BCP与△DCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCP≌△DCE（SAS）．‎ ‎（2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，‎ ‎∴∠CPE=45°，‎ ‎∴∠FPD=∠CPE=45°，‎ ‎∴∠PFD=45°，‎ ‎∴FD=DP．‎ ‎∵CD=2PC，‎ ‎∴DP=CP，‎ ‎∴FD=CP．‎ 在△BCP与△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCP≌△CDF（SAS）．‎ ‎∴∠FCD=∠CBP，‎ ‎∵∠CBP+∠BPC=90°，‎ ‎∴∠FCD+∠BPC=90°，‎ ‎∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．‎ ‎②证法一：设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1．‎ 易知△FDP为等腰直角三角形，‎ ‎∴FD=DP=n﹣1．‎ S1=S梯形BCDF﹣S△BCP﹣S△FDP ‎=（BC+FD）•CD﹣BC•CP﹣FD•DP ‎=（n+n﹣1）•n﹣n×1﹣（n﹣1）2‎ ‎=（n2﹣1）；‎ S2=DP•CE=（n﹣1）×1=（n﹣1）．‎ ‎∵n2﹣1=（n+1）（n﹣1），‎ ‎∴S1=（n+1）S2．‎ 证法二：‎ ‎∵AD∥BE，‎ ‎∴△FDP∽△ECP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴S1=S△BEF．‎ 如下图所示，连接BD．‎ ‎∵BC：CE=CD：CP=n，‎ ‎∴S△DCE=S△BED，‎ ‎∵DP：CP=n﹣1，‎ ‎∴S2=S△DCE，‎ ‎∴S2=S△BED．‎ ‎∵AD∥BE，∴S△BEF=S△BED，‎ ‎∴S1=（n+1）S2．‎ 点评：‎ 本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点，试题的难度不大．‎ ‎　‎ ‎24．（14分）（2013•海南）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；‎ ‎（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，‎ ‎①求t的值；‎ ‎②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用交点式求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）证明四边形POQC是平行四边形，则结论得证；‎ ‎（3）①求出△AMN面积的表达式，利用二次函数的性质，求出△AMN面积最大时t的值．注意：由于自变量取值范围的限制，二次函数并不是在对称轴处取得最大值；‎ ‎②由于直线PQ上的点到∠AQC两边的距离不相等，则直线PQ不能平分∠AQC，所以直线PQ不能垂直平分线段MN．‎ 解答：‎ ‎（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1），‎ ‎∵抛物线经过点C（0，3），‎ ‎∴3=a×3×1，解得a=1．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3．‎ ‎（2）证明：在抛物线解析式y=x2+4x+3中，当x=﹣4时，y=3，∴P（﹣4，3）．‎ ‎∵P（﹣4，3），C（0，3），‎ ‎∴PC=4，PC∥x轴．‎ ‎∵一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4，‎ ‎∴Q（4，0），OQ=4．‎ ‎∴PC=OQ，又∵PC∥x轴，‎ ‎∴四边形POQC是平行四边形，‎ ‎∴∠OPC=∠AQC．‎ ‎（3）解：①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．‎ 如答图1所示，过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥OC，‎ ‎∴△QND∽△QCO，‎ ‎∴，即，解得：ND=3﹣t．‎ 设S=S△AMN，则：‎ S=AM•ND=•3t•（3﹣t）=﹣（x﹣）2+．‎ 又∵AQ=7，∴点M到达终点的时间为t=，‎ ‎∴S=﹣（x﹣）2+（0＜t≤）．‎ ‎∵﹣＜0，＜，且x＜时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当t=时，△AMN的面积最大．‎ ‎②假设直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．‎ 由QM=QN，得：7﹣3t=5﹣t，解得t=1．‎ 此时点M与点O重合，如答图2所示：‎ 设PQ与OC交于点E，由（2）可知，四边形POQC是平行四边形，‎ ‎∴OE=CE．‎ ‎∵点E到CQ的距离小于CE，‎ ‎∴点E到CQ的距离小于OE，而OE⊥x轴，‎ ‎∴PQ不是∠AQC的平分线，这与假设矛盾．‎ ‎∴直线PQ不能垂直平分线段MN．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大，需要注意的是（3）①问中，需要注意在自变量取值区间上求最大值，而不能机械地套用公式．‎ ‎　‎