中考数学试卷含答案及评分标准，精品大全集，高分必备 129页

中考数学试卷含答案 及评分标准,精品大全集，高分必备 中考数学试卷 一、选择题（共 6 小题，每小题 2 分，满分 12分） 1．（2.00 分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（ ） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 2．（2.00 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 3．（2.00 分）下列计算结果为 a6的是（ ） A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a2）3 4．（2.00 分）如图，将木条 a，b 与 c 钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条 a 与 b平行，木条 a 旋转的度数至少是（ ） A．10° B．20° C．50° D．70° 5．（2.00 分）如图，将△ABC 折叠，使点 A 与 BC 边中点 D 重合，折痕为 MN， 若 AB=9，BC=6，则△DNB 的周长为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（2.00 分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔 同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡 x 只，兔 y 只，可 列方程组为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分） 7．（3.00 分）计算： = ． 8．（3.00 分）买单价 3元的圆珠笔 m 支，应付 元． 9．（3.00 分）若 a+b=4，ab=1，则 a2b+ab2= ． 10．（3.00分）若关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 ． 11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点 A 为圆 心，AB 长为半径画弧，交 x轴的负半轴于点 C，则点 C 坐标为 ． 12．（3.00分）如图是测量河宽的示意图，AE 与 BC 相交于点 D，∠B=∠C=90°， 测得 BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽 AB= m． 13．（3.00 分）如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点， = ，若∠AOB=58°， 则∠BDC= 度． 14．（3.00 分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三 角形的“特征值”，记作 k，若 k= ，则该等腰三角形的顶角为 度． 三、解答题（共 12 小题，满分 84分） 15．（5.00 分）某同学化简 a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程 如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ； （2）写出此题正确的解答过程． 16．（5.00分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且 BE=CF， 求证：△ABE≌△BCF． 17．（5.00 分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母 A，B，C， 除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并 搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出 的小球所标字母相同的概率． 18．（5.00 分）在平面直角坐标系中，反比例函数 y= （k≠0）图象与一次函数 y=x+2 图象的一个交点为 P，且点 P 的横坐标为 1，求该反比例函数的解析式． 19．（7.00 分）如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的 方程． 根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的 x 表示 ，庆庆同学所列方程中的 y 表 示 ； （2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； （3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 20．（7.00 分）如图是由边长为 1的小正方形组成的 8×4网格，每个小正方形的 顶点叫做格点，点 A，B，C，D 均在格点上，在网格中将点 D按下列步骤移动： 第一步：点 D绕点 A 顺时针旋转 180°得到点 D1； 第二步：点 D1绕点 B 顺时针旋转 90°得到点 D2； 第三步：点 D2绕点 C顺时针旋转 90°回到点 D． （1）请用圆规画出点 D→D1→D2→D 经过的路径； （2）所画图形是 对称图形； （3）求所画图形的周长（结果保留π）． 21．（7.00 分）数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案， 使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含 a，b，α的代数 式表示旗杆 AB 的高度． 数学活动方案 活动时间：2018年 4 月 2 日 活动地点：学校操场 填表人：林平 课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 运用所学数学知识及方法解决实际问题 方案示意图 测量步 骤 （1）用 测得∠ADE=α； （2）用 测得 BC=a 米，CD=b 米． 计算过程 22．（7.00分）为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为 400g 奶粉的情况，质 检员进行了抽样调查，过程如下，请补全表一、表二中的空白，并回答提出的问 题． 收集数据： 从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取 10袋，测得实际质量（单位：g）如 下： 甲：400，400，408，406，410，409，400，393，394，395 乙：403，404，396，399，402，402，405，397，402，398 整理数据： 表一 质量（g） 频数 种类 393≤x ＜396 396≤x ＜399 399≤x ＜402 402≤x ＜405 405≤x ＜408 408≤x ＜411 甲 3 0 0 1 3 乙 0 1 5 0 分析数据： 表二 种类 平均数 中位数 众数 方差 甲 401.5 400 36.85 乙 400.8 402 8.56 得出结论： 包装机分装情况比较好的是 （填甲或乙），说明你的理由． 23．（8.00 分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而 行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用 30min．小东骑自行车以 300m/min的速度直接回家，两人离家的路程 y（m）与各自离开出发地的时间 x （min）之间的函数图象如图所示 （1）家与图书馆之间的路程为 m，小玲步行的速度为 m/min； （2）求小东离家的路程 y 关于 x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 24．（8.00 分）如图①，在△ABC 中，AB=AC，过 AB 上一点 D 作 DE∥AC 交 BC 于点 E，以 E为顶点，ED 为一边，作∠DEF=∠A，另一边 EF 交 AC 于点 F． （1）求证：四边形 ADEF 为平行四边形； （2）当点 D 为 AB 中点时，▱ ADEF的形状为 ； （3）延长图①中的 DE到点 G，使 EG=DE，连接 AE，AG，FG，得到图②，若 AD=AG， 判断四边形 AEGF的形状，并说明理由． 25．（10.00 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q 两点分别 从 A，B 同时出发，点 P 沿折线 AB﹣BC 运动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的速度是 2 cm/s；点 Q 在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动，过点 P 作 PN⊥AD，垂足为点 N．连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作▱ PQMN．设运动的时间 为 x（s），▱ PQMN与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y（cm2） （1）当 PQ⊥AB 时，x= ； （2）求 y 关于 x的函数解析式，并写出 x的取值范围； （3）直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3两部分时，直接写出 x的值． 26．（10.00 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与 x 轴相交于 A，B两点，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，直线 DC与 x 轴相交于点 E． （1）当 a=﹣1 时，抛物线顶点 D的坐标为 ，OE= ； （2）OE 的长是否与 a 值有关，说明你的理由； （3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求 a 的取值范围； （4）以 DE为斜边，在直线 DE的左下方作等腰直角三角形 PDE．设 P（m，n）， 直接写出 n关于 m 的函数解析式及自变量 m 的取值范围． 参考答案与试题解析 一、选择题（共 6 小题，每小题 2 分，满分 12分） 1．（2.00 分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（ ） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】根据“两数相乘，同号得正”即可求出结论． 【解答】解：（﹣1）×（﹣2）=2． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘法，牢记“两数相乘，同号得正，异号得负，并 把绝对值相乘”是解题的关键． 2．（2.00 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视 图中． 【解答】解：从正面看易得第一层有 3个正方形，第二层最右边有一个正方形． 故选：B． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．（2.00 分）下列计算结果为 a6的是（ ） A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a2）3 【分析】分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算 可得． 【解答】解：A、a2•a3=a5，此选项不符合题意； B、a12÷a2=a10，此选项不符合题意； C、（a2）3=a6，此选项符合题意； D、（﹣a2）3=﹣a6，此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相 除、幂的乘方的运算法则． 4．（2.00 分）如图，将木条 a，b 与 c 钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条 a 与 b平行，木条 a 旋转的度数至少是（ ） A．10° B．20° C．50° D．70° 【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2 的同位角的度数，然后用 ∠1减去即可得到木条 a 旋转的度数． 【解答】解：如图． ∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b， ∴要使木条 a与 b 平行，木条 a 旋转的度数至少是 70°﹣50°=20°． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求 出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键． 5．（2.00 分）如图，将△ABC 折叠，使点 A 与 BC 边中点 D 重合，折痕为 MN， 若 AB=9，BC=6，则△DNB 的周长为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】由 D 为 BC 中点知 BD=3，再由折叠性质得 ND=NA，从而根据△DNB 的 周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD可得答案． 【解答】解：∵D为 BC 的中点，且 BC=6， ∴BD= BC=3， 由折叠性质知 NA=ND， 则△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12， 故选：A． 【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠是一 种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应 边和对应角相等． 6．（2.00 分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔 同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡 x 只，兔 y 只，可 列方程组为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题 意，列出相应的方程组． 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分） 7．（3.00 分）计算： = 4 ． 【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正 的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【解答】解：∵42=16， ∴ =4， 故答案为 4． 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概 念混淆而导致错误． 8．（3.00 分）买单价 3元的圆珠笔 m 支，应付 3m 元． 【分析】根据总价=单价×数量列出代数式． 【解答】解：依题意得：3m． 故答案是：3m． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 9．（3.00 分）若 a+b=4，ab=1，则 a2b+ab2= 4 ． 【分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案． 【解答】解：∵a+b=4，ab=1， ∴a2b+ab2=ab（a+b） =1×4 =4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 10．（3.00分）若关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 ﹣1 ． 【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，可知其 判别式为 0，据此列出关于 m 的不等式，解答即可． 【解答】解：∵关于 x的一元二次方程 x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=0， 即：22﹣4（﹣m）=0， 解得：m=﹣1， 故选答案为﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二 次方程根的情况． 11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点 A 为圆 心，AB 长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 C，则点 C 坐标为 （﹣1，0） ． 【分析】求出 OA、OB，根据勾股定理求出 AB，即可得出 AC，求出 OC 长即可． 【解答】解：∵点 A，B 的坐标分别为（4，0），（0，3）， ∴OA=4，OB=3， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB= =5， ∴AC=AB=5， ∴OC=5﹣4=1， ∴点 C的坐标为（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）， 【点评】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出 OC 的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 12．（3.00分）如图是测量河宽的示意图，AE 与 BC 相交于点 D，∠B=∠C=90°， 测得 BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽 AB= 100 m． 【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的 大致距离 AB． 【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴ ， ， 解得：AB= （米）． 故答案为：100． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的 两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 13．（3.00 分）如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点， = ，若∠AOB=58°， 则∠BDC= 29 度． 【分析】根据∠BDC= ∠BOC 求解即可； 【解答】解：连接 OC． ∵ = ， ∴∠AOB=∠BOC=58°， ∴∠BDC= ∠BOC=29°， 故答案为 29． 【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键 是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．（3.00 分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三 角形的“特征值”，记作 k，若 k= ，则该等腰三角形的顶角为 36 度． 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得 出 5∠A=180°，求出即可． 【解答】解： ∵△ABC 中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作 k， 若 k= ， ∴∠A：∠B=1：2， 即 5∠A=180°， ∴∠A=36°， 故答案为：36． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形 性质、三角形内角和定理和已知得出 5∠A=180°是解此题的关键． 三、解答题（共 12 小题，满分 84分） 15．（5.00 分）某同学化简 a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程 如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第 二 步开始出错，错误原因是 去括号时没有变 号 ； （2）写出此题正确的解答过程． 【分析】先计算乘法，然后计算减法． 【解答】解：（1）该同学解答过程从第 二步开始出错，错误原因是 去括号时没 有变号； 故答案是：二；去括号时没有变号； （2）原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） =a2+2ab﹣a2+b2 =2ab+b2． 【点评】考查了平方差公式和实数的运算，去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c， 括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；② a﹣（b﹣c）=a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉， 括号内各项都要变号． 16．（5.00分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且 BE=CF， 求证：△ABE≌△BCF． 【分析】根据正方形的性质，利用 SAS即可证明； 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， 在△ABE 和△BCF 中， ， ∴△ABE≌△BCF． 【点评】本题考查正方形的性质全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型． 17．（5.00 分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母 A，B，C， 除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并 搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出 的小球所标字母相同的概率． 【分析】列表得出所有等可能的情况数，再找出两次摸出的小球所标字母相同的 情况数，即可求出其概率． 【解答】解：列表得： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由列表可知可能出现的结果共 9 种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数 有 3种， 所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率= = ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的 列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完 成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概 率=所求情况数与总情况数之比． 18．（5.00 分）在平面直角坐标系中，反比例函数 y= （k≠0）图象与一次函数 y=x+2 图象的一个交点为 P，且点 P 的横坐标为 1，求该反比例函数的解析式． 【分析】先求出 P点的坐标，再把 P 点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求 出答案． 【解答】解：∵把 x=1 代入 y=x+2得：y=3， 即 P点的坐标是（1，3）， 把 P点的坐标代入 y= 得：k=3， 即反比例函数的解析式是 y= ． 【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和函数图象上点的坐标 特征，能求出 P点的坐标是解此题的关键． 19．（7.00 分）如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的 方程． 根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的 x 表示 甲队每天修路的长度 ，庆庆同学所列方 程中的 y 表示 甲队修路 400米所需时间 ； （2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； （3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【分析】（1）根据两人的方程思路，可得出：x 表示甲队每天修路的长度；y 表 示甲队修路 400米所需时间； （2）根据题意，可找出：（冰冰）甲队修路 400 米所用时间=乙队修路 600米所 用时间；（庆庆）乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米； （3）选择两个方程中的一个，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程， ∴x表示甲队每天修路的长度； ∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修 20米列出的分式方程， ∴y 表示甲队修路 400米所需时间． 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路 400米所需时间． （2）冰冰用的等量关系是：甲队修路 400米所用时间=乙队修路 600米所用时间； 庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20 米（选择 一个即可）． （3）选冰冰的方程： = ， 去分母，得：400x+8000=600x， 移项，x的系数化为 1，得：x=40， 检验：当 x=40时，x、x+20均不为零， ∴x=40． 答：甲队每天修路的长度为 40米． 选庆庆的方程： ﹣ =20， 去分母，得：600﹣400=20y， 将 y 的系数化为 1，得：y=10， 经验：当 y=10时，分母 y 不为 0， ∴y=10， ∴ =40． 答：甲队每天修路的长度为 40米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题 的关键． 20．（7.00 分）如图是由边长为 1的小正方形组成的 8×4网格，每个小正方形的 顶点叫做格点，点 A，B，C，D 均在格点上，在网格中将点 D按下列步骤移动： 第一步：点 D绕点 A 顺时针旋转 180°得到点 D1； 第二步：点 D1绕点 B 顺时针旋转 90°得到点 D2； 第三步：点 D2绕点 C顺时针旋转 90°回到点 D． （1）请用圆规画出点 D→D1→D2→D 经过的路径； （2）所画图形是 轴对称 对称图形； （3）求所画图形的周长（结果保留π）． 【分析】（1）利用旋转变换的性质画出图象即可； （2）根据轴对称图形的定义即可判断； （3）利用弧长公式计算即可； 【解答】解：（1）点 D→D1→D2→D 经过的路径如图所示： （2）观察图象可知图象是轴对称图形， 故答案为轴对称． （3）周长=4× =8π． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式、轴对称图形等知识，解题的关键 是理解题意，正确画出图形，属于中考常考题型． 21．（7.00 分）数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案， 使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含 a，b，α的代数 式表示旗杆 AB 的高度． 数学活动方案 活动时间：2018年 4 月 2 日 活动地点：学校操场 填表人：林平 课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 运用所学数学知识及方法解决实际问题 方案示意图 测量步 骤 （1）用 测角仪 测得∠ADE=α； （2）用 皮尺 测得 BC=a米，CD=b 米． 计算过程 【分析】在 Rt△ADE 中，求出 AE，再利用 AB=AE+BE 计算即可； 【解答】解：（1）用 测角仪测得∠ADE=α； （2）用 皮尺测得 BC=a 米，CD=b米． （3）计算过程：∵四边形 BCDE 是矩形， ∴DE=BC=a，BE=CD=b， 在 Rt△ADE 中，AE=ED•tanα=a•tanα， ∴AB=AE+EB=a•tanα+b． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加 常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 22．（7.00分）为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为 400g 奶粉的情况，质 检员进行了抽样调查，过程如下，请补全表一、表二中的空白，并回答提出的问 题． 收集数据： 从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取 10袋，测得实际质量（单位：g）如 下： 甲：400，400，408，406，410，409，400，393，394，395 乙：403，404，396，399，402，402，405，397，402，398 整理数据： 表一 质量（g） 频数 种类 393≤x ＜396 396≤x ＜399 399≤x ＜402 402≤x ＜405 405≤x ＜408 408≤x ＜411 甲 3 0 3 0 1 3 乙 0 3 1 5 1 0 分析数据： 表二 种类 平均数 中位数 众数 方差 甲 401.5 400 400 36.85 乙 400.8 402 402 8.56 得出结论： 包装机分装情况比较好的是 乙 （填甲或乙），说明你的理由． 【分析】整理数据：由题干中的数据结合表中范围确定个数即可得； 分析数据：根据众数和中位数的定义求解可得； 得出结论：根据方差的意义，方差小分装质量较为稳定即可得． 【解答】解：整理数据： 表一 质量（g） 频数 种类 393≤x ＜396 396≤x ＜399 399≤x ＜402 402≤x ＜405 405≤x ＜408 408≤x ＜411 甲 3 0 3 0 1 3 乙 0 3 1 5 1 0 分析数据： 将甲组数据重新排列为：393、394、395、400、400、400、406、408、409、410， ∴甲组数据的中位数为 400； 乙组数据中 402出现次数最多，有 3次， ∴乙组数据的众数为 402； 表二 种类 平均数 中位数 众数 方差 甲 401.5 400 400 36.85 乙 400.8 402 402 8.56 得出结论： 表二知，乙包装机分装的奶粉质量的方差小，分装质量比较稳定， 所以包装机分装情况比较好的是乙． 故答案为：乙． 【点评】本题考查了众数、中位数以及方差，掌握众数、中位数以及方差的定义 及数据的整理是解题的关键． 23．（8.00 分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而 行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用 30min．小东骑自行车以 300m/min的速度直接回家，两人离家的路程 y（m）与各自离开出发地的时间 x （min）之间的函数图象如图所示 （1）家与图书馆之间的路程为 4000 m，小玲步行的速度为 200 m/min； （2）求小东离家的路程 y 关于 x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 【分析】（1）认真分析图象得到路程与速度数据； （2）采用方程思想列出小东离家路程 y 与时间 x之间的函数关系式； （3）两人相遇实际上是函数图象求交点． 【解答】解：（1）结合题意和图象可知，线段 CD 为小玲路程与时间函数图象， 折现 O﹣A﹣B为为小东路程与时间图象 则家与图书馆之间路程为 4000m，小玲步行速度为 2000÷10=200m/s 故答案为：4000，200 （2）∵小东从离家 4000m 处以 300m/min的速度返回家，则 xmin时， ∴他离家的路程 y=4000﹣300x 自变量 x的范围为 0≤x≤ （3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前 ∴4000﹣300x=200x 解得 x=8 ∴两人相遇时间为第 8分钟． 【点评】本题是一次函数实际应用问题，考查了对一次函数图象代表意义的分析 和从方程角度解决一次函数问题． 24．（8.00 分）如图①，在△ABC 中，AB=AC，过 AB 上一点 D 作 DE∥AC 交 BC 于点 E，以 E为顶点，ED 为一边，作∠DEF=∠A，另一边 EF 交 AC 于点 F． （1）求证：四边形 ADEF 为平行四边形； （2）当点 D 为 AB 中点时，▱ ADEF的形状为 菱形 ； （3）延长图①中的 DE到点 G，使 EG=DE，连接 AE，AG，FG，得到图②，若 AD=AG， 判断四边形 AEGF的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE， 根据平行线的判定定理得到 AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到 DE= AC，得到 AD=DE，根据菱形的判定定理 证明； （3）根据等腰三角形的性质得到 AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是 矩形证明． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠BDE=∠A， ∵∠DEF=∠A， ∴∠DEF=∠BDE， ∴AD∥EF，又∵DE∥AC， ∴四边形 ADEF为平行四边形； （2）解：▱ ADEF 的形状为菱形， 理由如下：∵点 D为 AB 中点， ∴AD= AB， ∵DE∥AC，点 D 为 AB 中点， ∴DE= AC， ∵AB=AC， ∴AD=DE， ∴平行四边形 ADEF为菱形， 故答案为：菱形； （3）四边形 AEGF 是矩形， 理由如下：由（1）得，四边形 ADEF 为平行四边形， ∴AF∥DE，AF=DE， ∵EG=DE， ∴AF∥DE，AF=GE， ∴四边形 AEGF是平行四边形， ∵AD=AG，EG=DE， ∴AE⊥EG， ∴四边形 AEGF是矩形． 【点评】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是 解题的关键． 25．（10.00 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q 两点分别 从 A，B 同时出发，点 P 沿折线 AB﹣BC 运动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的速度是 2 cm/s；点 Q 在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动，过点 P 作 PN⊥AD，垂足为点 N．连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作▱ PQMN．设运动的时间 为 x（s），▱ PQMN与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y（cm2） （1）当 PQ⊥AB 时，x= s ； （2）求 y 关于 x的函数解析式，并写出 x的取值范围； （3）直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3两部分时，直接写出 x的值． 【分析】（1）当 PQ⊥AB 时，BQ=2PB，由此构建方程即可解决问题； （2）分三种情形分别求解即可解决问题； （3）分两种情形分别求解即可解决问题； 【解答】解：（1）当 PQ⊥AB 时，BQ=2PB， ∴2x=2（2﹣2x）， ∴x= s． 故答案为 s． （2）①如图 1 中，当 0＜x≤ 时，重叠部分是四边形 PQMN． y=2x× x=2 x2． ②如图②中，当 ＜x≤1 时，重叠部分是四边形 PQEN． y= （2﹣x+2tx× x= x2+ x ③如图 3中，当 1＜x＜2时，重叠部分是四边形 PNEQ． y= （2﹣x+2）×[ x﹣2 （x﹣1）]= x2﹣3 x+4 ； 综上所述，y= ． （3）①如图 4 中，当直线 AM 经过 BC 中点 E 时，满足条件． 则有：tan∠EAB=tan∠QPB， ∴ = ， 解得 x= ． ②如图 5中，当直线 AM 经过 CD 的中点 E时，满足条件． 此时 tan∠DEA=tan∠QPB， ∴ = ， 解得 x= ， 综上所述，当 x= s 或 时，直线 AM将矩形 ABCD 的面积分成 1：3两部分． 【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、 解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方 程的思想解决问题，属于中考压轴题． 26．（10.00 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与 x 轴相交于 A，B两点，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，直线 DC与 x 轴相交于点 E． （1）当 a=﹣1 时，抛物线顶点 D的坐标为 （﹣1，4） ，OE= 3 ； （2）OE 的长是否与 a 值有关，说明你的理由； （3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求 a 的取值范围； （4）以 DE为斜边，在直线 DE的左下方作等腰直角三角形 PDE．设 P（m，n）， 直接写出 n关于 m 的函数解析式及自变量 m 的取值范围． 【分析】（1）求出直线 CD 的解析式即可解决问题； （2）利用参数 a，求出直线 CD 的解析式求出点 E 坐标即可判断； （3）求出落在特殊情形下的 a 的值即可判断； （4）如图，作 PM⊥对称轴于 M，PN⊥AB 于 N．两条全等三角形的性质即可解 决问题； 【解答】解：（1）当 a=﹣1 时，抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3， ∴顶点 D（﹣1，4），C（0，3）， ∴直线 CD 的解析式为 y=﹣x+3， ∴E（3，0）， ∴OE=3， 故答案为（﹣1，4），3． （2）结论：OE 的长与 a 值无关． 理由：∵y=ax2+2ax﹣3a， ∴C（0，﹣3a），D（﹣1，﹣4a）， ∴直线 CD 的解析式为 y=ax﹣3a， 当 y=0时，x=3， ∴E（3，0）， ∴OE=3， ∴OE 的长与 a 值无关． （3）当β=45°时，OC=OE=3， ∴﹣3a=3， ∴a=﹣1， 当β=60°时，在 Rt△OCE 中，OC= OE=3 ， ∴﹣3a=3 ， ∴a=﹣ ， ∴45°≤β≤60°，a 的取值范围为﹣ ≤a≤﹣1． （4）如图，作 PM⊥对称轴于 M，PN⊥AB 于 N． ∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°， ∴∠DPM=∠EPN， ∴△DPM≌△EPN， ∴PM=PN，PM=EN， ∵D（﹣1，﹣4a），E（3，0）， ∴EN=4+n=3﹣m， ∴n=﹣m﹣1， 当顶点 D在 x 轴上时，P（1，﹣2），此时 m 的值 1， ∵抛物线的顶点在第二象限， ∴m＜1． ∴n=﹣m﹣1（m＜1）． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、 全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解 决问题，属于中考压轴题． 中考数学试卷 一、选择题（共 6小题，每小题 2分，满分 12 分） 1．（2.00 分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（ ） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 2．（2.00 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是 （ ） A． B． C． D． 3．（2.00 分）下列计算结果为 a6的是（ ） A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a2）3 4．（2.00 分）如图，将木条 a，b与 c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条 a与 b平行，木条 a旋转的度数至少是（ ） A．10° B．20° C．50° D．70° 5．（2.00 分）如图，将△ABC 折叠，使点 A与 BC 边中点 D重合，折痕为 MN，若 AB=9，BC=6，则△DNB 的周长为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（2.00 分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有 鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡 x 只，兔 y 只，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 8小题，每小题 3分，满分 24 分） 7．（3.00 分）计算： = ． 8．（3.00 分）买单价 3元的圆珠笔 m支，应付 元． 9．（3.00 分）若 a+b=4，ab=1，则 a2b+ab2= ． 10．（3.00 分）若关于 x的一元二次方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 ． 11．（3.00 分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点 A为圆 心，AB 长为半径画弧，交 x轴的负半轴于点 C，则点 C坐标为 ． 12．（3.00 分）如图是测量河宽的示意图，AE 与 BC 相交于点 D，∠B=∠C=90°， 测得 BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽 AB= m． 13．（3.00 分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点， = ，若∠AOB=58°，则 ∠BDC= 度． 14．（3.00 分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三 角形的“特征值”，记作 k，若 k= ，则该等腰三角形的顶角为 度． 三、解答题（共 12 小题，满分 84分） 15．（5.00 分）某同学化简 a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程 如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ； （2）写出此题正确的解答过程． 16．（5.00 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在 BC，CD 上，且 BE=CF， 求证：△ABE≌△BCF． 17．（5.00 分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母 A，B，C， 除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并 搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出 的小球所标字母相同的概率． 18．（5.00 分）在平面直角坐标系中，反比例函数 y= （k≠0）图象与一次函数 y=x+2 图象的一个交点为 P，且点 P的横坐标为 1，求该反比例函数的解析式． 19．（7.00 分）如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的 方程． 根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的 x 表示 ，庆庆同学所列方程中的 y 表 示 ； （2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； （3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 20．（7.00 分）如图是由边长为 1的小正方形组成的 8×4 网格，每个小正方形的 顶点叫做格点，点 A，B，C，D均在格点上，在网格中将点 D按下列步骤移动： 第一步：点 D绕点 A顺时针旋转 180°得到点 D1； 第二步：点 D1绕点 B顺时针旋转 90°得到点 D2； 第三步：点 D2绕点 C顺时针旋转 90°回到点 D． （1）请用圆规画出点 D→D1→D2→D经过的路径； （2）所画图形是 对称图形； （3）求所画图形的周长（结果保留π）． 21．（7.00 分）数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案， 使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含 a，b，α的代 数式表示旗杆 AB 的高度． 数学活动方案 活动时间：2018 年 4 月 2 日 活动地点：学校操场 填表人：林平 课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 运用所学数学知识及方法解决实际问题 方案示意图 测量步 骤 （1）用 测得∠ADE=α； （2）用 测得 BC=a 米，CD=b 米． 计算过程 22．（7.00 分）为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为 400g 奶粉的情况， 质检员进行了抽样调查，过程如下，请补全表一、表二中的空白，并回答提出的 问题． 收集数据： 从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取 10 袋，测得实际质量（单位：g）如 下： 甲：400，400，408，406，410，409，400，393，394，395 乙：403，404，396，399，402，402，405，397，402，398 整理数据： 表一 质量（g） 频数 种类 393≤x ＜396 396≤x ＜399 399≤x ＜402 402≤x ＜405 405≤x ＜408 408≤x ＜411 甲 3 0 0 1 3 乙 0 1 5 0 分析数据： 表二 种类 平均数 中位数 众数 方差 甲 401.5 400 36.85 乙 400.8 402 8.56 得出结论： 包装机分装情况比较好的是 （填甲或乙），说明你的理由． 23．（8.00 分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而 行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用 30min．小东骑自行车以 300m/min 的速度直接回家，两人离家的路程 y（m）与各自离开出发地的时间 x （min）之间的函数图象如图所示 （1）家与图书馆之间的路程为 m，小玲步行的速度为 m/min； （2）求小东离家的路程 y关于 x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 24．（8.00 分）如图①，在△ABC 中，AB=AC，过 AB 上一点 D作 DE∥AC 交 BC 于 点 E，以 E为顶点，ED 为一边，作∠DEF=∠A，另一边 EF 交 AC 于点 F． （1）求证：四边形 ADEF 为平行四边形； （2）当点 D为 AB 中点时，▱ ADEF 的形状为 ； （3）延长图①中的 DE 到点 G，使 EG=DE，连接 AE，AG，FG，得到图②，若 AD=AG， 判断四边形 AEGF 的形状，并说明理由． 25．（10.00 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，点 P沿折线 AB﹣BC 运动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的 速度是 2 cm/s；点 Q在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D运动，过点 P作 PN⊥AD， 垂足为点 N．连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作▱ PQMN．设运动的时间为 x（s），▱ PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y（cm2） （1）当 PQ⊥AB 时，x= ； （2）求 y关于 x的函数解析式，并写出 x的取值范围； （3）直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3两部分时，直接写出 x的值． 26．（10.00 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与 x轴相交于 A，B两点，与 y轴相交于点 C，顶点为 D，直线 DC 与 x 轴相交于点 E． （1）当 a=﹣1 时，抛物线顶点 D的坐标为 ，OE= ； （2）OE 的长是否与 a值有关，说明你的理由； （3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求 a的取值范围； （4）以 DE 为斜边，在直线 DE 的左下方作等腰直角三角形 PDE．设 P（m，n）， 直接写出 n关于 m的函数解析式及自变量 m的取值范围． 参考答案与试题解析 一、选择题（共 6小题，每小题 2分，满分 12 分） 1．（2.00 分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（ ） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】根据“两数相乘，同号得正”即可求出结论． 【解答】解：（﹣1）×（﹣2）=2． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘法，牢记“两数相乘，同号得正，异号得负，并 把绝对值相乘”是解题的关键． 2．（2.00 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是 （ ） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视 图中． 【解答】解：从正面看易得第一层有 3个正方形，第二层最右边有一个正方形． 故选：B． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．（2.00 分）下列计算结果为 a6的是（ ） A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a2）3 【分析】分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算 可得． 【解答】解：A、a2•a3=a5，此选项不符合题意； B、a12÷a2=a10，此选项不符合题意； C、（a2）3=a6，此选项符合题意； D、（﹣a2）3=﹣a6，此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相 除、幂的乘方的运算法则． 4．（2.00 分）如图，将木条 a，b与 c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条 a与 b平行，木条 a旋转的度数至少是（ ） A．10° B．20° C．50° D．70° 【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用 ∠1减去即可得到木条 a旋转的度数． 【解答】解：如图． ∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b， ∴要使木条 a与 b平行，木条 a旋转的度数至少是 70°﹣50°=20°． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求 出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键． 5．（2.00 分）如图，将△ABC 折叠，使点 A与 BC 边中点 D重合，折痕为 MN，若 AB=9，BC=6，则△DNB 的周长为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】由 D 为 BC 中点知 BD=3，再由折叠性质得 ND=NA，从而根据△DNB 的周 长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD 可得答案． 【解答】解：∵D为 BC 的中点，且 BC=6， ∴BD= BC=3， 由折叠性质知 NA=ND， 则△DNB 的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12， 故选：A． 【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠是一 种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应 边和对应角相等． 6．（2.00 分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有 鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡 x 只，兔 y 只，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题 意，列出相应的方程组． 二、填空题（共 8小题，每小题 3分，满分 24 分） 7．（3.00 分）计算： = 4 ． 【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正 的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【解答】解：∵42=16， ∴ =4， 故答案为 4． 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概 念混淆而导致错误． 8．（3.00 分）买单价 3元的圆珠笔 m支，应付 3m 元． 【分析】根据总价=单价×数量列出代数式． 【解答】解：依题意得：3m． 故答案是：3m． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 9．（3.00 分）若 a+b=4，ab=1，则 a2b+ab2= 4 ． 【分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案． 【解答】解：∵a+b=4，ab=1， ∴a2b+ab2=ab（a+b） =1×4 =4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 10．（3.00 分）若关于 x的一元二次方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 ﹣1 ． 【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，可知其 判别式为 0，据此列出关于 m的不等式，解答即可． 【解答】解：∵关于 x的一元二次方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=0， 即：22﹣4（﹣m）=0， 解得：m=﹣1， 故选答案为﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二 次方程根的情况． 11．（3.00 分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点 A为圆 心，AB 长为半径画弧，交 x轴的负半轴于点 C，则点 C坐标为 （﹣1，0） ． 【分析】求出 OA、OB，根据勾股定理求出 AB，即可得出 AC，求出 OC 长即可． 【解答】解：∵点 A，B的坐标分别为（4，0），（0，3）， ∴OA=4，OB=3， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB= =5， ∴AC=AB=5， ∴OC=5﹣4=1， ∴点 C的坐标为（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）， 【点评】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出 OC 的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 12．（3.00 分）如图是测量河宽的示意图，AE 与 BC 相交于点 D，∠B=∠C=90°， 测得 BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽 AB= 100 m． 【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大 致距离 AB． 【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴ ， ， 解得：AB= （米）． 故答案为：100． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的 两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 13．（3.00 分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点， = ，若∠AOB=58°，则 ∠BDC= 29 度． 【分析】根据∠BDC= ∠BOC 求解即可； 【解答】解：连接 OC． ∵ = ， ∴∠AOB=∠BOC=58°， ∴∠BDC= ∠BOC=29°， 故答案为 29． 【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键 是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．（3.00 分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三 角形的“特征值”，记作 k，若 k= ，则该等腰三角形的顶角为 36 度． 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得 出 5∠A=180°，求出即可． 【解答】解： ∵△ABC 中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作 k，若 k= ， ∴∠A：∠B=1：2， 即 5∠A=180°， ∴∠A=36°， 故答案为：36． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形 性质、三角形内角和定理和已知得出 5∠A=180°是解此题的关键． 三、解答题（共 12 小题，满分 84分） 15．（5.00 分）某同学化简 a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程 如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第 二 步开始出错，错误原因是 去括号时没有变 号 ； （2）写出此题正确的解答过程． 【分析】先计算乘法，然后计算减法． 【解答】解：（1）该同学解答过程从第 二步开始出错，错误原因是 去括号时没 有变号； 故答案是：二；去括号时没有变号； （2）原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） =a2+2ab﹣a2+b2 =2ab+b2． 【点评】考查了平方差公式和实数的运算，去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c， 括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号； ②a﹣（b﹣c）=a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一 起去掉，括号内各项都要变号． 16．（5.00 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在 BC，CD 上，且 BE=CF， 求证：△ABE≌△BCF． 【分析】根据正方形的性质，利用 SAS 即可证明； 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， 在△ABE 和△BCF 中， ， ∴△ABE≌△BCF． 【点评】本题考查正方形的性质全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型． 17．（5.00 分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母 A，B，C， 除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并 搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出 的小球所标字母相同的概率． 【分析】列表得出所有等可能的情况数，再找出两次摸出的小球所标字母相同的 情况数，即可求出其概率． 【解答】解：列表得： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由列表可知可能出现的结果共 9种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数 有 3种， 所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率= = ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的 列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完 成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概 率=所求情况数与总情况数之比． 18．（5.00 分）在平面直角坐标系中，反比例函数 y= （k≠0）图象与一次函数 y=x+2 图象的一个交点为 P，且点 P的横坐标为 1，求该反比例函数的解析式． 【分析】先求出 P点的坐标，再把 P点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求 出答案． 【解答】解：∵把 x=1 代入 y=x+2 得：y=3， 即 P点的坐标是（1，3）， 把 P点的坐标代入 y= 得：k=3， 即反比例函数的解析式是 y= ． 【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和函数图象上点的坐标 特征，能求出 P点的坐标是解此题的关键． 19．（7.00 分）如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的 方程． 根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的 x表示 甲队每天修路的长度 ，庆庆同学所列方 程中的 y表示 甲队修路 400 米所需时间 ； （2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； （3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【分析】（1）根据两人的方程思路，可得出：x 表示甲队每天修路的长度；y 表 示甲队修路 400 米所需时间； （2）根据题意，可找出：（冰冰）甲队修路 400 米所用时间=乙队修路 600 米所 用时间；（庆庆）乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20 米； （3）选择两个方程中的一个，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程， ∴x表示甲队每天修路的长度； ∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修 20 米列出的分式方程， ∴y表示甲队修路 400 米所需时间． 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路 400 米所需时间． （2）冰冰用的等量关系是：甲队修路 400 米所用时间=乙队修路 600 米所用时间； 庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20 米（选择 一个即可）． （3）选冰冰的方程： = ， 去分母，得：400x+8000=600x， 移项，x的系数化为 1，得：x=40， 检验：当 x=40 时，x、x+20 均不为零， ∴x=40． 答：甲队每天修路的长度为 40 米． 选庆庆的方程： ﹣ =20， 去分母，得：600﹣400=20y， 将 y的系数化为 1，得：y=10， 经验：当 y=10 时，分母 y不为 0， ∴y=10， ∴ =40． 答：甲队每天修路的长度为 40 米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题 的关键． 20．（7.00 分）如图是由边长为 1的小正方形组成的 8×4 网格，每个小正方形的 顶点叫做格点，点 A，B，C，D均在格点上，在网格中将点 D按下列步骤移动： 第一步：点 D绕点 A顺时针旋转 180°得到点 D1； 第二步：点 D1绕点 B顺时针旋转 90°得到点 D2； 第三步：点 D2绕点 C顺时针旋转 90°回到点 D． （1）请用圆规画出点 D→D1→D2→D经过的路径； （2）所画图形是 轴对称 对称图形； （3）求所画图形的周长（结果保留π）． 【分析】（1）利用旋转变换的性质画出图象即可； （2）根据轴对称图形的定义即可判断； （3）利用弧长公式计算即可； 【解答】解：（1）点 D→D1→D2→D经过的路径如图所示： （2）观察图象可知图象是轴对称图形， 故答案为轴对称． （3）周长=4× =8π． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式、轴对称图形等知识，解题的关键 是理解题意，正确画出图形，属于中考常考题型． 21．（7.00 分）数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案， 使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含 a，b，α的代 数式表示旗杆 AB 的高度． 数学活动方案 活动时间：2018 年 4 月 2 日 活动地点：学校操场 填表人：林平 课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 运用所学数学知识及方法解决实际问题 方案示意图 测量步 骤 （1）用 测角仪 测得∠ADE=α； （2）用 皮尺 测得 BC=a 米，CD=b 米． 计算过程 【分析】在 Rt△ADE 中，求出 AE，再利用 AB=AE+BE 计算即可； 【解答】解：（1）用 测角仪测得∠ADE=α； （2）用 皮尺测得 BC=a 米，CD=b 米． （3）计算过程：∵四边形 BCDE 是矩形， ∴DE=BC=a，BE=CD=b， 在 Rt△ADE 中，AE=ED•tanα=a•tanα， ∴AB=AE+EB=a•tanα+b． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加 常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 22．（7.00 分）为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为 400g 奶粉的情况， 质检员进行了抽样调查，过程如下，请补全表一、表二中的空白，并回答提出的 问题． 收集数据： 从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取 10 袋，测得实际质量（单位：g）如 下： 甲：400，400，408，406，410，409，400，393，394，395 乙：403，404，396，399，402，402，405，397，402，398 整理数据： 表一 质量（g） 频数 种类 393≤x ＜396 396≤x ＜399 399≤x ＜402 402≤x ＜405 405≤x ＜408 408≤x ＜411 甲 3 0 3 0 1 3 乙 0 3 1 5 1 0 分析数据： 表二 种类 平均数 中位数 众数 方差 甲 401.5 400 400 36.85 乙 400.8 402 402 8.56 得出结论： 包装机分装情况比较好的是 乙 （填甲或乙），说明你的理由． 【分析】整理数据：由题干中的数据结合表中范围确定个数即可得； 分析数据：根据众数和中位数的定义求解可得； 得出结论：根据方差的意义，方差小分装质量较为稳定即可得． 【解答】解：整理数据： 表一 质量（g） 频数 种类 393≤x ＜396 396≤x ＜399 399≤x ＜402 402≤x ＜405 405≤x ＜408 408≤x ＜411 甲 3 0 3 0 1 3 乙 0 3 1 5 1 0 分析数据： 将甲组数据重新排列为：393、394、395、400、400、400、406、408、409、410， ∴甲组数据的中位数为 400； 乙组数据中 402 出现次数最多，有 3次， ∴乙组数据的众数为 402； 表二 种类 平均数 中位数 众数 方差 甲 401.5 400 400 36.85 乙 400.8 402 402 8.56 得出结论： 表二知，乙包装机分装的奶粉质量的方差小，分装质量比较稳定， 所以包装机分装情况比较好的是乙． 故答案为：乙． 【点评】本题考查了众数、中位数以及方差，掌握众数、中位数以及方差的定义 及数据的整理是解题的关键． 23．（8.00 分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而 行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用 30min．小东骑自行车以 300m/min 的速度直接回家，两人离家的路程 y（m）与各自离开出发地的时间 x （min）之间的函数图象如图所示 （1）家与图书馆之间的路程为 4000 m，小玲步行的速度为 200 m/min； （2）求小东离家的路程 y关于 x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 【分析】（1）认真分析图象得到路程与速度数据； （2）采用方程思想列出小东离家路程 y与时间 x之间的函数关系式； （3）两人相遇实际上是函数图象求交点． 【解答】解：（1）结合题意和图象可知，线段 CD 为小玲路程与时间函数图象， 折现 O﹣A﹣B为为小东路程与时间图象 则家与图书馆之间路程为 4000m，小玲步行速度为 2000÷10=200m/s 故答案为：4000，200 （2）∵小东从离家 4000m 处以 300m/min 的速度返回家，则 xmin 时， ∴他离家的路程 y=4000﹣300x 自变量 x的范围为 0≤x≤ （3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前 ∴4000﹣300x=200x 解得 x=8 ∴两人相遇时间为第 8分钟． 【点评】本题是一次函数实际应用问题，考查了对一次函数图象代表意义的分析 和从方程角度解决一次函数问题． 24．（8.00 分）如图①，在△ABC 中，AB=AC，过 AB 上一点 D作 DE∥AC 交 BC 于 点 E，以 E为顶点，ED 为一边，作∠DEF=∠A，另一边 EF 交 AC 于点 F． （1）求证：四边形 ADEF 为平行四边形； （2）当点 D为 AB 中点时，▱ ADEF 的形状为 菱形 ； （3）延长图①中的 DE 到点 G，使 EG=DE，连接 AE，AG，FG，得到图②，若 AD=AG， 判断四边形 AEGF 的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根 据平行线的判定定理得到 AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到 DE= AC，得到 AD=DE，根据菱形的判定定理证 明； （3）根据等腰三角形的性质得到 AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是 矩形证明． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠BDE=∠A， ∵∠DEF=∠A， ∴∠DEF=∠BDE， ∴AD∥EF，又∵DE∥AC， ∴四边形 ADEF 为平行四边形； （2）解：▱ ADEF 的形状为菱形， 理由如下：∵点 D为 AB 中点， ∴AD= AB， ∵DE∥AC，点 D为 AB 中点， ∴DE= AC， ∵AB=AC， ∴AD=DE， ∴平行四边形 ADEF 为菱形， 故答案为：菱形； （3）四边形 AEGF 是矩形， 理由如下：由（1）得，四边形 ADEF 为平行四边形， ∴AF∥DE，AF=DE， ∵EG=DE， ∴AF∥DE，AF=GE， ∴四边形 AEGF 是平行四边形， ∵AD=AG，EG=DE， ∴AE⊥EG， ∴四边形 AEGF 是矩形． 【点评】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是 解题的关键． 25．（10.00 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，点 P沿折线 AB﹣BC 运动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的 速度是 2 cm/s；点 Q在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D运动，过点 P作 PN⊥AD， 垂足为点 N．连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作▱ PQMN．设运动的时间为 x（s），▱ PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y（cm2） （1）当 PQ⊥AB 时，x= s ； （2）求 y关于 x的函数解析式，并写出 x的取值范围； （3）直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3两部分时，直接写出 x的值． 【分析】（1）当 PQ⊥AB 时，BQ=2PB，由此构建方程即可解决问题； （2）分三种情形分别求解即可解决问题； （3）分两种情形分别求解即可解决问题； 【解答】解：（1）当 PQ⊥AB 时，BQ=2PB， ∴2x=2（2﹣2x）， ∴x= s． 故答案为 s． （2）①如图 1中，当 0＜x≤ 时，重叠部分是四边形 PQMN． y=2x× x=2 x2． ②如图②中，当 ＜x≤1 时，重叠部分是四边形 PQEN． y= （2﹣x+2tx× x= x2+ x ③如图 3中，当 1＜x＜2时，重叠部分是四边形 PNEQ． y= （2﹣x+2）×[ x﹣2 （x﹣1）]= x2﹣3 x+4 ； 综上所述，y= ． （3）①如图 4中，当直线 AM 经过 BC 中点 E时，满足条件． 则有：tan∠EAB=tan∠QPB， ∴ = ， 解得 x= ． ②如图 5中，当直线 AM 经过 CD 的中点 E时，满足条件． 此时 tan∠DEA=tan∠QPB， ∴ = ， 解得 x= ， 综上所述，当 x= s 或 时，直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3两部分． 【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、 解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方 程的思想解决问题，属于中考压轴题． 26．（10.00 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与 x轴相交于 A，B两点，与 y轴相交于点 C，顶点为 D，直线 DC 与 x 轴相交于点 E． （1）当 a=﹣1 时，抛物线顶点 D的坐标为 （﹣1，4） ，OE= 3 ； （2）OE 的长是否与 a值有关，说明你的理由； （3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求 a的取值范围； （4）以 DE 为斜边，在直线 DE 的左下方作等腰直角三角形 PDE．设 P（m，n）， 直接写出 n关于 m的函数解析式及自变量 m的取值范围． 【分析】（1）求出直线 CD 的解析式即可解决问题； （2）利用参数 a，求出直线 CD 的解析式求出点 E坐标即可判断； （3）求出落在特殊情形下的 a的值即可判断； （4）如图，作 PM⊥对称轴于 M，PN⊥AB 于 N．两条全等三角形的性质即可解决 问题； 【解答】解：（1）当 a=﹣1 时，抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3， ∴顶点 D（﹣1，4），C（0，3）， ∴直线 CD 的解析式为 y=﹣x+3， ∴E（3，0）， ∴OE=3， 故答案为（﹣1，4），3． （2）结论：OE 的长与 a值无关． 理由：∵y=ax2+2ax﹣3a， ∴C（0，﹣3a），D（﹣1，﹣4a）， ∴直线 CD 的解析式为 y=ax﹣3a， 当 y=0 时，x=3， ∴E（3，0）， ∴OE=3， ∴OE 的长与 a值无关． （3）当β=45°时，OC=OE=3， ∴﹣3a=3， ∴a=﹣1， 当β=60°时，在 Rt△OCE 中，OC= OE=3 ， ∴﹣3a=3 ， ∴a=﹣ ， ∴45°≤β≤60°，a 的取值范围为﹣ ≤a≤﹣1． （4）如图，作 PM⊥对称轴于 M，PN⊥AB 于 N． ∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°， ∴∠DPM=∠EPN， ∴△DPM≌△EPN， ∴PM=PN，PM=EN， ∵D（﹣1，﹣4a），E（3，0）， ∴EN=4+n=3﹣m， ∴n=﹣m﹣1， 当顶点 D在 x轴上时，P（1，﹣2），此时 m的值 1， ∵抛物线的顶点在第二象限， ∴m＜1． ∴n=﹣m﹣1（m＜1）． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、 全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解 决问题，属于中考压轴题． 中考模拟数学卷 一、选择题（共 40 分） 1．a的绝对值可表示为（ ） A．–a B． a C． a D． a 1 2．下列光线所形成的投形是平行投影的是（ ） A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电简的光线 D．路灯的光线 3．木匠有 32米的木材，想要在花圃周围做边界，以下四种设计方案中，设计不合理的是 （ ） A． B． C． D． 4．关于 x的一元二次方程 x2+bx-1=0根的判别式为（ ） A．1–b2 B．b2–4 C．b2+4 D．b2+1 5．在平面直角坐标系 xO y中， □ABCD的对角线相交于点 O，A(2，-1)，则点 C的坐标为 （ ） A．(1, –2) B．(2,1) C．(2,1) D．(–2, –1) 6．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图 1的折 线 统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A．暗箱中有 1个红球和 2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球; B．去掉大小王的一副普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃; C．在“石头、剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”; D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 4． 7．若 62887=P，则 62886的值可表示为（ ） A．P–1 B．P÷87 C．P÷628 D．P–628 8．小明在计算一组样本数据的方差时，列出的公式如下： S2= n 1 [(7– x )2+(8– x )2 +(8– x )2 +(8– x )2+(9– x )2]，根据公式信息，下列说法错误．．的是（ ） A．样本容量是 5 B．样本平均数是 8 C．样本的众数是 8 D．样本方差是 0 9．某培植基地出售幼苗的销售价格 y(元)与销售数量 x(棵) 的函数图象如图所示，则该培植基地的销售单价描述正确是（ ） A．每棵销售单价为 7.2元 B．每棵销售单价为 8元 C．销售不题过 20棵，每棵 8元；超 20棵的部分，每棵 6.4元 D．销售不题过 20棵，每棵 8元；超 20棵的部分，每棵 7.2元 10．命题“如果△ABC中，AB=AC，AD⊥DC交边 BC于 D．那么 AD+BC>AB+AC”能说明 “此命题是假命题”的反例是 A．∠B=30° B．45° C．∠A=60° D．90° 二、填空题(共 24 分) 11．计算： 1 1 1    xx x =________． 12．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出： 可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数，如图， 根据刘徽的这种表示法，观察图①，可准算图②中所得的数值为________． 13．在某次知识竞赛中，10名学生的成绩统计如下表： 得分/分 60 70 80 90 100 人数 1 1 5 2 1 这 10名学生成绩的中位数为_______分． 14．如图，⊙O与正五边形 ABCDE的两边 AE、CD分别相切 于 A、C两点，则∠OCB 的度数为_______度． 15．若 a，b，c为实数，a+2b=2 6 ，ab= c +1，若 c≥4，则 a-2b的值为________． 16．在△ABC中，∠C=90°，BC= 3，AC=3，将△ABC绕点 C时针旋转 (0< <90°) 得△A'B'C，边 CA的对应边 CA'与 AB交于点 D，BD= 3，作 DE∥A'B'交 B'C 于点 E， 连接 BE，则 BE的长为________． 二、解答题（共 86 分） 17．(8分)先化简，再求值；a(1–a)+(2a3b–a2b)÷ab，其中 a= 2018 0 10 20 30 40 x( 棵) y（元） 288 160 18．(8分)古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七 个字。有一本诗集，五言绝句比七言绝句多 13首，总字数却反而少了 20个字，则这本 诗集中两种诗各多少首? 19．(8分)在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求∠B的余弦值 20．(8分)某超市出售甲，乙，丙三种糖果，每种糖果的售价如下表所示 种类 甲 乙 丙 售价（元/千克） 5 12 20 为满足顾客多样化需求，超市打算把糖果混合成杂拌糖出售，如果按照如图所示的扇形统计 图中甲，乙，丙三种糖果的比例混合，这种新混合的杂拌糖的售价应该为多少元/千克？ 21．（8分)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠C=67.5°，AD⊥BC， (1)作∠ABC的平分线交 AD于 E (用尺线作图，保留作图痕迹) (2)在(1)题的条件下，求证：△ACD≌△BED 22．（10分)矩形 ABCD中，AB=4，BC=3，P是 CD边上一个动点(点 E不与点 C、D重合)， CE⊥AP的延长线于 E点，连接 BE，过 B作 BF⊥BE交 EA的延长线于 F点． (1)求证：AF= 3 4 CE； (2)用含 BE、CE的代数式表示 AE，并说明理由． 甲 乙 丙 50%30% C B A D P E F A B CD 23．（10分) 【问题情境】为已知矩形的面积为 a(a为常数，a>0)当矩形的长为多少时，它 的周长最小？最小值是多少? 【数学模型】设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y与 x的函数表达式为 y=2(x+ x a ) (x>0) ． 【探索研究】小彬利用描点作图的方式分别画出了下列函数图象上的点，通过观察图像发现： ①函数 y=x+ x4 1 (x>0) 最低点坐标为( 4 1 ，1)； ②函数 y= x+ x 4 (x>0)最低点坐标为( 4 ，4)； 【类比推理】在小彬研究基础上，继续探索函数 y= x+ x 1 的图象性质： 函数 y= x+ x 1 的自变量 x的取值范围是 x>0，下表是 y与 x的几组对应值． x … 4 1 3 1 2 1 1 2 3 m … y … 4 4 1 3 3 1 2 2 1 2 2 2 1 3 3 1 4 4 1 … ①写出 m的值； ②下图坐标系中已经描出 y= x+ x 1 (x>0)的部分点，请根据表格数 据将图象补充完整．结合图象，猜想：当 x=______时， y有最小值，y 最小=______； 【解决问题】根据以上探究，请直接写出“问题情境中问题的结论”． 24．(12分)在等边△ABC中，以 BC为弦的⊙O分别与 AB，AC交于点 D和 E．点 F是 BC 延 长线上一点，CF=AE，连接 EF． (1)如图 1，BC为直径，求证：EF是⊙O的切线； (2)如图 2，EF与⊙O交于点 G，⊙O的半径为 1，BC的长为  6 5 ，求 BF的长． x y (图 1) (图 2) G 4 3 2 1 1 2 3 4O 25．(14分)已知直线解析式为 y1=ax+b，抛物线解析式为 y2=3ax2+2bx+c (1)若 a=1，4b=c=–2，求该抛物线 y2与 x轴公共点的坐标； (2)若 a<0，当–1≤x≤1时，直线 y1对应的取值范围是 0≤y1≤2，此时抛物线 y2与 x轴有且只有 一个公共点，求 c的取值范围； (3)若 a–b+c=0，当 x=–1时，y2>y1>0：当 x=0时，y1>y2>0，试判断当–10）的 图象与 AB 相交于点 D，与 BC 相交于点 E，且 BE=CE.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 （1）求证：BD=AD；（2）若四边形 ODBE 的面积是 9，求 k的值. 中考数学试题分类解析专题 2：代数式和因式分解 专题 2：代数式和因式分解 一、选择题 1. （2001 江苏南通 3 分）下列运算正确旳是【 】 A、 a a a b a b     B、 2 4 1 x x 2   C、 2 2 a a b b  D、 1 1 1 2m m m   P DC B A 图 1 图 2 【答案】B. 【考点】分式运算法则. 【分析】根据分式运算法则逐一作出判断： A、 a a a b a b     ，选项错误； B、 2 4 2 x 1 x x x 4 2     ，选项正确； C、 2 2 a a b b  ，选项错误； D、 1 1 1 2 1 2m m 2m 2m m      ，选项错误. 故选 B. 2.（江苏省南通市 2004 年 2 分）若分式 x 1 3x 2   旳值为零，则 x等于【 】 A、0 B、1 C、 3 2 D、－1 【答案】D. 【考点】分式旳值为零旳条件. 【分析】分式旳值为 0，则要使分子为 0，分母不为 0，解得 x旳值： 由题意知，x+1=0 且 3x-2≠0，解得 x=－1.故选 D. 3.（江苏省南通市大纲卷 2005 年 2 分）把多项式 2 22 1a ab b   分解因式,结果是【 】 A、 ( 1)( 1)a b a b    B、 ( 1)( 1)a b a b    C、 ( 1)( 1)a b a b    D、 ( 1)( 1)a b a b    【答案】A. 【考点】分组分解法因式分解. 【分析】当一个多项式超过 3 项时，应该考虑分组分解法，把能够运用公式或者含有公因式 旳一些项分为一组后，再利用公式或者提公因式法进行分解因式：     22 22 1= 1= 1 1a ab b a b a b a b         .故选 A. 4. （江苏省南通市大纲卷 2005 年 2 分）已知 2x  ,则化简 2 4 4x x  旳结果是【 】 A、 2x  B、 2x  C、 2x  D、 2 x 【答案】D. 【考点】二次根式旳性质与化简. 【分析】把被开方数配方，再根据 x旳取值判断开方后旳式子旳符号，看是否要加上负号 ∵ x＜2，∴ x－2＜0. ∴  22 4 4= 2 =2x x x x    .故选 D. 5. （江苏省南通市课标卷 2005 年 2 分）计算 3a a ，结果是【 】 A．a B． 2a C． 3a D． 4a 【答案】B. 【考点】同底数幂旳除法. 【分析】根据同底数旳幂相除，底数不变指数相减计算： 3 3 1 2a a a a   故选 B. 6. （江苏省南通市课标卷 2006 年 2 分）计算 a3•a2，正确旳结果是【 】 A．a3 B．a4 C．a5 D．a6 【答案】C. 【考点】同底数幂旳乘法. 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后直接选出答案： a3•a2=a3+2=a5.故选 C. 7. （江苏省南通市课标卷 2006 年 2 分）若分式 2x 1 x 1   旳值为零，则 x旳值为【 】 A．0 B．1 C．－1 D．±1 【答案】B. 【考点】分式旳值为零旳条件. 【分析】分式旳值是 0 旳条件是：分子为 0，分母不为 0，由此条件解出 x： 由 x2－1=0，得 x=±1. 当 x=－1 时，分母 x＋1=0，故 x=-1 不合题意； 当 x=1 时，分母 x＋1=2≠0，所以 x=1 时分式旳值为 0. 故选 B. 8. （江苏省南通市 2007 年 3 分）(m2)3•m4等于【 】． A、m9 B、m10 C、m12 D、m14 【答案】B. 【考点】幂旳乘方，同底数幂旳乘法. 【分析】根据幂旳乘方和同底数幂旳乘法法则计算即可：（m2）3•m4=m6•m4=m10.故选 B. 9. （江苏省 2009 年 3 分）计算 2 3( )a 旳结果是【 】 A． 5a B． 6a C． 8a D． 23a 【答案】B. 【考点】幂旳乘方. 【分析】根据幂旳乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案： 2 3 2 3 6( )a a a  . 故选 B. 10. （江苏省 2009 年 3 分）下面是按一定规律排列旳一列数： 第 1 个数： 1 11 2 2       ； 第 2 个数： 2 31 1 ( 1) ( 1)1 1 1 3 2 3 4                  ； 第 3 个数： 2 3 4 51 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 1 1 1 4 2 3 4 5 6                            ； …… 第 n个数： 2 3 2 11 1 ( 1) ( 1) ( 1)1 1 1 1 1 2 3 4 2 n n n                           ． 那么，在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大旳数是【 】 A．第 10 个数 B．第 11 个数 C．第 12 个数 D．第 13 个数 【答案】A. 【考点】分类归纳（数字旳变化类）. 【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较： 第 1 个数： 1 11 0 2 2        ； 第 2 个数： 2 31 1 ( 1) ( 1) 1 1 11 1 1 3 2 3 4 3 2 6                      ； 第 3 个 数 ： 2 3 4 51 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 11 1 1 1 1 4 2 3 4 5 6 4 2 4                                ； 按此规律， 第 1n  个 数 ： 2 3 2 31 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 21 1 1 1 2 3 4 2 2 2 2 n n n n n n                               ； 第 n 个 数 ：   2 3 2 11 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 11 1 1 1 1 2 3 4 2 1 2 2 1 n n n n n n                                . ∵             2 1 12 1 1 0 2 2 1 2 1 1 n n n nn n > n n n n n n            ， ∴ n越大，第 n个数越小，所以选 A. 11.（江苏省南通市2010年 3分）若 3x 6 在实数范围内有意义，则 x旳取值范围是【 】 A． x 2  B． x 2  C． x 2 D． x 2 【答案】C. 【考点】二次根式有意义旳条件. 【分析】要使 3x 6 在实数范围内有意义，只要满足代数式 3x－6≥0，解其不等式即得 x 2 .故选 C. 12. （江苏省南通市 2011 年 3 分）设 0m>n> ， 2 2 4m n mn  ，则 2 2m n mn  ＝【 】 A．2 3 B． 3 C． 6 D．3 【答案】A. 【考点】代数式变换，完全平方公式，平方差公式，根式计算. 【 分 析 】 由 2 2 4m n mn  有    2 26 2m n mn m n mn    ， ， 因 为 0m>n> ， 所 以 6m n mn  ， 2m n mn  ，则   2 2 6 2 12 2 3 m n m nm n mn mn mn mn mn        .故选 A. 13.（2012 江苏南通 3 分）计算(－x)2·x3旳结果是【 】 A．x5 B．－x5 C．x6 D．－x6 【答案】A. 【考点】幂旳乘方和积旳乘方，同底数幂旳乘法. 【分析】根据幂旳乘方和积旳乘方，同底数幂旳乘法运算法则，计算后直接选取答案： （－x）2•x3=x 2•x3=x2+3=x5.故选 A. 14.（2012 江苏南通 3 分）已知 x2＋16x＋k 是完全平方式，则常数 k 等于【 】 A．64 B．48 C．32 D．16 【答案】A. 【考点】完全平方式. 【分析】∵x2＋16x＋k 是完全平方式， ∴对应旳一元二次方程 x2＋16x＋k=0 根旳判别式△=0. ∴△=162－4×1×k=0，解得 k=64.故选 A. 也可配方求解：x2＋16x＋k=（x2＋16x＋64）－64＋k= （x＋8）2－64＋k， 要使 x2＋16x＋k 为完全平方式，即要－64＋k=0，即 k=64. 二、填空题 1. （2001 江苏南通 2 分）分解因式： 2 2x a = ▲ . 【答案】    x a x a  . 【考点】应用公式法因式分解. 【分析】直接应用平方差公式即可：    2 2x a x a x a    . 2.（江苏省南通市 2002 年 3 分）当 0≤x＜1 时，化简 2x x 1  旳结果是 ▲ ． 【答案】1. 【考点】二次根式和绝对值旳性质. 【分析】由已知范围判断 x、x－1 旳符号，再根据二次根式和绝对值旳性质计算： ∵0≤x＜1，∴ x2 =x；|x－1|=1－x.∴ 2x x 1 =x 1 x=1    . 3. （江苏省南通市 2003 年 2 分）分解因式：mn+nm2= ▲ ； a2＋4ab＋4b2= ▲ . 【答案】mn（1+m）；（a+2b）2. 【考点】提公因式法和运用公式法因式分解. 【分析】（1）提取公因式 mn 即可：mn+nm2= mn（1+m）； （2）运用完全平方公式即可：a2+4ab+4b2=（a+2b）2. 4. （江苏省南通市 2004 年 3 分）如图，是一个简单旳数值运算程序 当输入 x 旳值为－1时，则输出旳数值为 ▲ 【答案】1. 【考点】代数式求值. 【分析】由题意知，计算过程可以表示为：－3x－2，然后代入 x 旳值计算，当 x=-1 时，原 式=3－2=1. 5. （江苏省南通市 2004 年 3 分）化简 ab babab   )( 2 旳结果为 ▲ 【答案】 2ab . 【考点】分式旳乘除法. 【分析】将分式旳除法运算转化为乘法运算，将第一项提取公因式，然后进行约分计算即可：  2 2( ) = =a b abab b b a b ab ab a b       . 6. （江苏省南通市 2004 年 3 分）请任意写一个能在实数范围内分解因式旳二次三项式 ▲ （该 二次三项式旳字母、系数不限） 【答案】x2－3x＋2（答案不唯一）. 【考点】因式分解和多项式乘法旳关系. 【分析】根据因式分解与多项式相乘是互为逆运算，写出两个单项式乘积展开即可： 例如∵（x－1）（x－2）=x2－3x＋2，∴二次三项为 x2－3x＋2（答案不唯一）. 7. （江苏省南通市课标卷 2005 年 3 分）若 x∶y =1∶2，则 x y x y   = ▲ ． 【答案】 1 3  . 【考点】比例旳性质，分式旳值. 【分析】根据题意，设 x=k，y=2k．直接代入即可求得 x y k 2k 1= = x y k 2k 3      . 8. （江苏省南通市课标卷 2005 年 3 分）计算 2 2 1 4 2 a a a     ▲ ． 【答案】 1 2a  . 【考点】分式旳加减法. 【分析】首先找到最简公分母把式子通分，然后进行加减运算：            2 2 1 2 2 2 1= = 4 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a               . 9. （江苏省南通市大纲卷 2006 年 3 分）一个篮球需要 m 元，买一个排球需要 n元，则买 3 个篮球和 5个排球共需要 ▲ 元． 【答案】3m+5n. 【考点】列代数式. 【分析】根据题意，得 3 个篮球需要 3m 元，5 个排球需要 5n 元．则共需（3m+5n）元. 10. （江苏省南通市 2008 年 3 分）计算： 3(2 )a ＝ ▲ ． 【答案】 38a . 【考点】幂旳乘方与积旳乘方 【分析】根据积旳乘方，等于把积旳每一个因式分别乘方，再把所得旳幂相乘，计算即可： 3 3 3 3(2 ) =2 =8a a a . 13. （江苏省南通市 2010 年 3 分）分解因式： 2ax ax ＝ ▲ ． 【答案】  ax x 1 . 【考点】提取公因式法因式分解. 【分析】直接提取公因式分解：  2ax ax=ax x 1  . 14. （江苏省南通市 2011 年 3 分）分解因式：  2 23 2 3m x y mn  ＝ ▲ ． 【答案】   3 2 2m x y n x y n    . 【考点】提取公因式法和应用公式法因式分解. 【分析】       2 22 23 2 3 3 2 3 2 2m x y mn m x y n m x y n x y n            . 15.（2012 江苏南通 3 分）单项式 3x2y 旳系数为 ▲ ． 【答案】3. 【考点】单项式. 【分析】根据单项式旳概念，把原题单项式变为数字因式与字母因式旳积，其中数字因式即 为单项式旳系数，所以单项式 3x2y 旳系数为 3. 三、解答题 1. （2001 江苏南通 6 分）计算 3 21 4a 16a 3 a a 2 a   【答案】解：原式＝ 21 24a a 3a a a a 4a a 3a a a a 6a a 2 a        . 【考点】二次根式化简. 【分析】先将各根式化为最简二次根式，再合并同类根式. 2.（江苏省南通市 2002 年 5 分）计算：（1）  a 2b 3a 7b＋ － ；（2） 2 3 3 2 2 216x y z 8x y z 8x y（ ＋ ） ． 【答案】解：（1）    2 2 2 2a 2b 3a 7b =3a 7ab 6ab 14b 3a ab 14b        . （2） 2 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 216x y z 8x y z 8x y =16x y z 8x y 8x y z 8x y =2yz+xz   （ ＋ ） . 【考点】多项式乘多项式，整式旳除法. 【分析】（1）根据多项式乘多项式，先把一个多项式旳每一项乘以另一个多项式旳每一项， 再把所得旳积相加计算. （2）根据多项式除以单项式，用多项式旳每一项除以单项式，再把所得旳商相加计 算. 3.（江苏省南通市 2002 年 5 分）当 x= 2 1 时，求 2 2 x x 3 x 1 x 1 x 1 x 4x 3         旳值． 【答案】解：原式=       x 1 x 1x x 3 x x 1 1= = x 1 x 1 x 1 x 3 x 1 x 1 x 1              . 当 x= 2 1 时，原式= 1 1 1= = 2 22 1 1 2  . 【考点】分式旳化简求值，分母有理化. 【分析】把分式化简，然后把 x 旳值代入化简后旳式子求值即可. 4. （江苏省南通市 2002 年 3 分） y xxy 2 xy x y          ． 【答案】解：原式= =xy 2y x  . 【考点】二次根式旳混合运算. 【分析】可以运用乘法分配律进行计算. 5. （江苏省南通市 2003 年 7 分）先化简代数式    2 2 2 2 2 a b a b 2ab( ) a ba b a b a b        ， 然后请你自取一组 a，b 旳值代入求值． 【 答 案 】 解 ： 原 式 =                 2 2 22 2 a b a b a b a b a ba b 2ab = =a b a b a b a b a b 2ab a b a b 2ab                   . 取 a=1，b=2 时，原式=1+2=3. 【考点】分式旳化简求值 【分析】先对 a2－b2分解因式，再通分进行化简求值．关键是正确进行分式旳通分、约分， 并准确代值计算.要注意：a、b 旳取值需使原式及化简过程中旳每一步都有意义. 6. （江苏省南通市大纲卷 2005 年 5 分）计算 3 2 2 2 23 ( 3 5 )a b a b a b ab a b     【答案】解：原式= 3ab2 ＋b·（－3ab－4a2b）= 3ab2 －3ab2 －4a2b2 = －4a2b2 . 【考点】整式旳混合运算. 【分析】根据单项式旳除法，单项式乘多项式旳运算法则计算. 7.（江苏省南通市大纲卷 2005 年 6 分）先化简,再求值: 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2 a b a b a b ab ab      ,其中 5 11a   , 3 11b    . 【答案】解：原式= 2 2( )( ) 2 ( ) 2 a b a b a ab b ab a b ab       = 2 2 ( ) a b ab ab a b    = 2 a b . 当 a=5 11 ，b= 3 11  时，原式= 2 a b = 2 5 11 3 11   =1. 【考点】分式旳化简求值，二次根式旳化简求值. 【分析】正确进行分式旳通分、约分，并准确代值计算. 8. （江苏省南通市大纲卷 2006 年 10 分）已知 A=a＋2，B=a 2 －a＋5，C=a 2 ＋5a－19，其中 a＞2． （1）求证：B﹣A＞0，并指出 A 与 B 旳大小关系； （2）指出 A 与 C 哪个大？说明理由． 【答案】解：（1）∵B－A=（a－1） 2 ＋2＞0，∴B＞A. （2）C－A=a 2 ＋5a－19－a－2=a 2 ＋4a－21=（a＋7）（a－3）， ∵a＞2，∴a＋7＞0. ∴当 2＜a＜3 时，A＞C； 当 a=3 时，A=C； 当 a＞3 时，A＜C. 【考点】因式分解旳应用，整式旳加减. 【分析】计算 B﹣A 后结论，从而判断 A 与 B旳大小；同理计算 C﹣A，根据结果来比较 A与 C旳大小. 11.（江苏省南通市 2007年 5分）已知 x＝2007，y＝2008，求 2 2 2 2 x 2xy+y x y x y 5x 4y x5x 4xy       旳值． 【答案】解：原式=     2 2 2x+y 5x 4y x y x x= =x+1 x 5x 4y x y x x        ∴当 x=2007，y=2008 时，原式=2007+1=2008. 【考点】分式旳化简求值. 【分析】先把分式化简，再把给定旳值代入求值. 12. （江苏省南通市 2008 年 5 分）分解因式 2( 2)( 4) 4x x x    ． 【答案】解：原式＝ ( 2)( 4) ( 2)( 2)x x x x     ＝ ( 2)(2 2)x x  ＝ 2( 2)( 1)x x  . 【考点】提公因式法因式分解. 【分析】提取公因式 2x  ，化简后，再提取公因式 2. 13. （江苏省 2009 年 4 分） 21 2 1a aa a a        【答案】解：原式 2 2 2 1 ( 1) ( 1)( 1) 1 ( 1) 1 a a a a a a a a a a a             . 【考点】分式旳混合运算. 【分析】先将括号里面旳通分后，将除法转换成乘法，约分化简. 14. （江苏省南通市 2010 年 5 分） 2 2 a 9 31 aa 6a 9         ． 【答案】解：原式=     2 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3= = a a 3 a 3 a 3a 3          . 【考点】分式旳混合运算. 【分析】把第一个分式旳分子、分母分别因式分解，约分，从而化简第一个分式，再通分进 行计算. 15.（江苏省南通市2011年5分）先化简，再求值：(4 a b 3 －8 a 2 b 2 )÷4 a b＋(2 a＋b )(2 a －b )，其中 a＝2，b＝1． 【答案】解：原式＝4 a b ( b 2 －2 a b )÷4 a b＋4 a 2 －b 2 ＝ b 2 －2 a b＋4 a 2 － b 2 ＝4 a 2 －2 a b 当 a＝2，b＝1 时，原式＝4×2 2 －2×2×1＝16－4＝12. 【考点】代数式化简，平方差公式. 【分析】利用提取公因式先把分式化简，应用平方差公式把多项式乘多项式化简，然后合并 同类项，再代入. 16.（2012 江苏南通 8 分）先化简，再求值： 2 2x 4 x 31 (x 1)(x 2) x 1          ，其中 x＝6． 【 答 案 】 解 ： 原 式 ＝     2(x 1)(x 2)+ 2x 4 x+3 x 2(x 1)(x 1) x +x 6 x 1 x 1= = =x 1 (x 1)(x 2) x 3 x 2 x 3 x 2 x 3                    . 当 x＝6 时，原式＝6－1＝5. 【考点】分式旳化简求值. 【分析】先把括号里面旳分子分解因式，再约分化简，然后再通分计算，再把括号外旳除法 运算转化成乘法运算，再进行约分化简，最后把 x=6 代入即可求值.