全国中学生物理竞赛课件21：说磁 52页

电流元引起的磁场的毕萨拉定律♠ 1 2 2 I l I lF k r     0 4 k    7 0 24 10 N/A   2 sinI lB k r   示例 qEa m  B q,m v0 匀变速直线运动 速度为vo的匀速直线运动 0a  匀变速曲线运动(类平抛) (轨迹为半支抛物线) 匀速圆周运动 (轨道圆平面与磁场垂直) 00 2; ; mvqv B ma R T m qB qB     匀变速曲线运动(类斜抛) 匀速圆运动与匀速直线运动合成 (轨迹为等距螺旋线) 0 0 0 sin sin; ; 2 cos qv B mva R m qB mh v qB        v0方向与场方 向成θ角 v0方向与场的 方向垂直 v0方向与场的 方向平行 匀强磁场中匀强电场中比较 qEa m  v0 θ q,m E θ qEa m  磁场对运动电荷及电流的力♠ 示例 由毕萨拉定律,距无限长直线电流a处磁感应强度 2n    P  i 2 sin i i i I l B k r    a 2 2i i n         tan tan 1l a i i        其中     sin cos cos 1 a i i          2cos a i          2 2 sin 2 cos cos Ia i k ai i                    cosi ar i     cosI i k a        1 2 lim cos n n i kIB i a        1 1sin cos2 2 2lim 2 2 sin 2 n n i n n kI a             0 2 I a B     I I a取元电流 2 aI l I n     BO 2 1 2 lim n n i ak I nB a      2 Ik a   0 2 I a   r P2 1 2 lim sin n n i ak I nB r         2 2 2 2 2k aI a a x a x        0 3 2 2 22 IS a x     解: O A解题方向: 两电流在 O点引起的磁场叠加 I1 AB的优弧与劣弧段电流与电 阻成反比,即 1 2 2 1 I L I L  由毕萨拉定律知,两弧上电流在O点引起的磁场磁感应 强度大小关系为: B I2 1 1 1 2 2 2 B I L B I L  1 2B B 0OB  　　　　　 两根长直导线沿半径方向引到铁环上A、B两点，并与很远的电源相连，如 图所示,求环中心的磁感应强度． 解: 解题方向: 变端 点为无限长通电 螺线管内部! P B0 0 0B B nI  0 2PB B  20 2P B R   　　　　　 如图所示，一恒定电流沿着一个长度为L，半径为R的螺线管流过，在螺线 管内部产生了磁感应强度大小为B0的磁场，试求线圈末端即图中P点的磁感应强度及以P为 中心的半径为R的圆上的磁通量 ． 解: 解题方向: 利用对称 性及磁场叠加! A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 10I 3 I 3 I 6 I 6 I 3 I 3 I 3 I 3 I 6 I 6 I 6 I 6 I 0OB  O 　　　　　 由相同导线构成的立方形框架如图所示，让电流I从顶点A流入、B流出，求立 方形框架的几何中心O处的磁感应强度． 解: 电流元所在处磁场设为B其它; iB B B 其余 Bi iB B iF I B其余 电流元内侧有 电流元外侧有 0 iB B 其余 2 BB 其余 解题方向: 求出电流元所处磁场磁感应强度,即可 求安培力及其对螺线管侧面压强 2i BF I l  0 N I L  2N r n  2 2 0 i rN I F nL    2 iFP L r     　　　　　 一N匝密绕的螺线管长L，半径r，且L r．当通有恒定电流I时，试求作用 在长螺线管侧面上的压强p ．  2 2 0 22 N I L  5 解: 1 2 3 4 6 B1B2 B3 B4 B5 B6 O 5 0 1 2 I B B R    2 4 cos15O iB B  0 6 24 2 4 I R      06 2 2 I R    　　　　　 如图，在半径为R的圆周上沿诸大圆绕有细导线，诸导线相交于同一直径 AB的两端，共有六个线圈，每相邻两线圈平面的夹角均为30°，导线上流过电流I，求在木 球球心O处磁感应强度的大小与方向 ． 30 A B O 解: I0 h 取元线电流,对P张角为 2n    P i第i对元线电流之一在P处的磁感应强度 0 2 i i i I B r          0 0 tan tan 1 cos 2 I h i i i bh               0 0 2 cos I b i        第i对元线电流在P处的磁感应强度    0 0 cos cosi I B i b i           iB iB iB 00 00 2 lim n n i I B b I b            　　　　　 有一个宽为b、无限长薄铜片，通有电流I0．求铜片中心线正上方h（b h ） 处的P点的磁感应强度 ．  解:电荷随盘运动,形成环形电流: 2 qI    电流随盘半径分布为: 2 2 2i q R RI i R n n             元环电流在盘轴心处引起的磁感应强度为: 0 2 0 2 2 i i i q i I nB Rr i n       盘轴心处的总磁感应强度为: 0 1lim 2 n q B R n       0 2 q R     　　　　　 一个塑料圆盘，半径为R，带电q，均匀分布在盘表面上，圆盘绕通过圆心 垂直于盘面的轴转动，角速度为ω，试求圆盘中心处O 的磁感应强度． 解: x y O 在通电椭圆导线上取元电流I.Δl 元电流I.Δl对一个焦点 的张角为  n n      元电流I.Δl在焦点处引起的元磁感应 强度为 Bi 0 2 sin 4 i i i I l B r        i ir 0 24 i i I l r r l           0 4 i I r       由几何关系得    222 2 2 2 cosi i iA r r C r C i n               2 2 2 2 2cos cos i A C Br A C i A A B i          则焦点处  2 20 1 2 1 2 lim cos 4 n n i I B A A B i B n              0 22 AI B   　　　　　 试应用毕奥—萨伐尔定律，求解方程为 （ A＞B，其中A和B均为已知量）的椭圆形闭合导线当导 线中通以稳恒电流I时，椭圆导线焦点处磁感应强度B1的大 小 ． 2 2 2 2 1x y A B   　　　　　 长 直 圆 柱 形 载 流 导 线 内 磁 场 具 有 轴 对 称 性 ， 离 轴 r 处 的 磁 感 应 强 度 ．现有半径为a的金属长圆柱体内挖去一半径为b的圆柱体，两圆柱体的轴线 平行，相距d，如图所示．电流I沿轴线方向通过，且均匀分布在柱体的截面上，试求空心 部分中的磁感应强度 ． O ja 解:有空洞的圆柱体电流密度为  2 2 Ij a b   空洞处视作电流密度为j的两反向电流叠加:   0 a a2 2 B r 2 I a b        0 b b2 2 B r 2 I a b       a bB B BA   O ra A Ba BA Bb rb d jb    0 a b2 2 B r r 2 A I a b      則 完整电流j与反向电流-j在空洞中A处引起 磁场Ba、Bb:   0 2 2 d 2 I a b     返回 0 2 B j r    解: α d M 60 α M 60 d 2sin60 3 d dr   13 em vd eB  31 19 1 2 19 3 2 6 9.1 10 1.6 10 1000 T 5.0 10 1.6 10 em eU B de                2 2 cos60 emd n B ev   2 2 cos 60 2e em v m UnB n de d e      31 2 -3 2 19 2 9.1 10 1000 T 5 10 1.6 10 6.7 10 TB nn            21 2 eeU m v其中 αφ T d M 　　　　　 如图所示，经U＝1000 V电压加速的电子（加速前静止）从电子枪T射出， 其初速度沿直线α方向．若要求电子能击中在φ＝60°方向，与枪口相距d＝5.0 cm 的靶M， 试求以下两种情况下，所需的匀强磁场的磁感应强度的大小．⑴磁场B1垂直于直线α与靶M 所确定的平面；⑵磁场B2平行于枪口T向靶M所引的直线TM ． ⑴ 33.7 10 T  ⑵ 解: x y O R 轨道设计：离子在进入磁场前离子做 直线运动，进入磁场区后，在洛伦兹 力作用下沿一段圆弧运动，而后离开 磁场区，沿直线运动至R．对不同的 离子射出角，以适当的圆弧与之衔接， 各轨道直线与圆弧对接点，即离子出、 入磁场的点的集合为所求磁场的边 界． P x y O RP r (x,y) mvr qB   22 2 cosr x r     tan y a x      2 22 2 2 2 mvx a x x y y qB          x 右 界> 0, 边   2 22 2 2 2 mvx a x x y y qB         x 左 界0, 边< mva qB 在 时 射出角范围为 0 ,90      mva qB 在 > 时 mva qB 在 时< 　　　　　 如图所示，一簇质量均为m，电量均为q的离子在P点以同一速率v沿xy上半平 面中的各个方向射出，垂直于xy平面的匀强磁场B将这些离子聚焦在R点，P点与R点相距为 2a，离子轨道应是轴对称的．试确定磁场区的边界．讨论当a＝ 情况下可聚焦的离子 发射角范围 ． mv qB T T Fa b 解:通电导线受力如图 其中安培力大小 为 2 sinF BI R   两端绳张力的合力为 2 sinTF Mg  2 sin 2 sinBI R Mg  由   R Mg BI  带电粒子要沿弧ab运动，须满足 2vqvB m R  p qMg I  　　　　　 如图所示，质量不计的柔韧细导线的一端悬挂质量为M的重物，给细线提供 张力T，另一端固定于天花板上．它的一段处于图中所示匀强磁场B中并通有电流I，求弧线 的曲率半径R．若带电量q、质量m的粒子从a点入射磁场，其动量如何才能使它沿弧线运动？ M a bI B   T T  FT 解: 设阻力Ff=kv，第一次位移为S1=10 cm， 由动量定理： 0ikv t mv   1 0kS mv即      2 2 1i i i iqBv kv t m v v     加一磁感应强度为B的匀强磁场，粒子受阻力与洛仑兹 力共同作用，两力方向始终互相垂直，轨迹为曲线， 元过程中有    2 2 1S v v ii iqB k m     全过程中有：    2 2 -1S v vi i iqB k m      2 2 0k qB S mv   同理过程3中有： 2 2 3 02 Bk q S mv       由上三式得 ① ② ③ 3 30= c m 3 3m 1 8.S  　　　　　 带电粒子进入介质中，受到的阻力跟它的速度成正比．在粒子完全停止前， 所通过的路程为S1＝10cm，如果在介质中有一个跟粒子速度方向垂直的磁场，当粒子以跟 原来相同的初速度进入这一带有磁场的介质时，它则停止在距入射点的距离为S2＝6 cm的 位置上，如果磁场强度减少1/2，那么该粒子应停留在离开入射点多远（S3）的位置上？ 　　　　　 如图所示，S为一离子源，它能机会均等地向各个方向持续发射大量质量为 m、电量为q、速率为v的正离子，在离子源的右侧有一半径为R的圆屏，离子源在其轴线 上．在离子源与圆屏之间的空间有范围足够大的方向水平向右并垂直于圆屏的匀强磁场， 磁感应强度为B，在发射的离子中有的离子不管SO距离如何改变，总能打在圆屏上．求这 样的离子数目与总发射离子数目之比． S 解:离子的运动是一系列等螺距的螺旋运动，若离子的初速度v与SO成θ角， 则其轨迹的螺距为 2 cosmh v qB   sinmvr qB  螺旋截面圆的半径为 只要向屏方向 sin2 mv R qB   B q,m v θ B O sinv  1sin 2 qBR mv   认为离子源附近射出离子各向均匀  a 总能打在屏上的离子占总数的比为 2 1 2 2 1 cossin 2 4 qBRa mvk a        2 1 1 2 2 qBR mv         S O 解: 电子轨道半径均为 mvR eB  (x,y) H x y R B         2 2 2 2 2 2 0 0 R y x R y R y x R y               2 2 2 2 2 0 0 2 0 0 x y Ry y x y Ry y              ,0 ,x H y H H    mvB eH  同样方法，在x＞０处，     2 2 2 2 4 0 0 4 0 0 x y Ry y x y Ry y           2 mvB eH      0,2 2 ,2x H y H H   B 　　　　　 如图所示，在xy平面上有一束稀疏的电子（其间的相互作用可以忽略），在 －H＜y＜H范围内，从x负半轴的远处以相同的速率v沿着x轴方向平行地向y轴射来．试设计 一磁场区域，使得⑴所有电子都能在磁场力的作用下通过坐标原点O；⑵这一片电子最后扩 展到－2H＜y＜2H范围内继续沿着x轴方向向x 正半轴的远处平行地以相同速率射去． B 解: 两种离子经同一有界磁场偏转的轨道半径不 同,故离开磁场时发散 φ R R1 α α O D   D O  1 2 1 0 2 0 1 2 2 2 , m E m E R R qB qB   1 sin sin R R         1 sinsin R R       由图示几何关系: 发散角很小,故 2 1 1 sin m m m    0.04 两同位素的发散角 2 4   　　　　　 如图所示，一窄束单能氩离子通过一扇形匀强磁场，此束射线的轴在进、出磁 场时离子束的轴线都与场的边界垂直．求质量数m1＝36和m2＝40的氩同位素的发散角．已 知φ=60°． ※在正交的匀强电场与匀强磁场中，电荷以垂直 于两场 方向进入，可能做匀速直线运动： 0 Ev B  Fe E B v0 fB ※在正交的匀强电场与匀强磁场中，电荷以垂直 于两场 方向进入，可能做轨迹为摆线的运动： 示例 规律 如图(a)所示，两块水平放置的平行金属板A、B，板长L=18.5cm，两板间距d=3 cm，两板之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感在强度B=6.0×10-2 T，两板间加上如 图(b)所示的周期性电压，带电时A板带正电，当t=0时，有一个质量m=1.0×10-12 kg，带 电荷量q=1.0×10-6 C的粒子，以速度v=600 m/s，从距A板2.5 cm处沿垂直于磁场、平行于 两板的方向射入两板之间，若不计粒子重力，取，求⑴粒子在0～1×10-4 s内做怎样的运 动？位移多大？⑵带电粒子从射入到射出极板间所用时间？ B A 53.6 10 Ne UF q d   53.6 10 NBf Bqv   有电场时： 粒子做匀速直线运动！ 6 cmS vT  无电场时，粒子做匀速圆周运动： 4 0 1.0 12 0 smT Bq    0 1cmmvr Bq   1cm 0.5cm 30 45.08 10 s5 12 Tt T    解: 返回 4/ 10 st  /VU O 1 2 3 4 1.08 1 Ev B 2 1v v  B E qE qvB qvB 2 mT qB   (x,y) sin 1 cos E mv qBx t t B qB m mv qBy t qB m                     x y ωt2E mL B qB    O 2 08 R BR m  2 08 R BR m    2 1 1 cos 1 cos sin sin x y qBRv v v t t m qBRv v t t m               x y O 2m 1v 1v 2v xv yv t B a b E P 小球必带正电!小球从A点下滑进入板间做直线 运动必有 amg qv B qE  小球从b点下滑进入板间时速度小于va mg Fe fB 故轨迹开始一段向下弯曲! bmg qv B qE> 如图所示，带电平行板间匀强电场方向竖直向上，匀强磁场方向垂直纸面向 里．一带电小球从光滑绝缘轨道上的a点自由下滑，经轨道端点P进入板间后恰好沿水 平方向做直线运动．现使小球从较低的b点开始下滑，经P点进入板间后，下列判断正 确的是 A．在开始一段时间内，小球动能将会增大 B．在开始一段时间内，小球势能将会增大 C．若板间电场和磁场范围足够大，小球始终克服电场力做功 D．若板间电场和磁场范围足够大，小球所受洛仑兹力将一直增大 则重力与电场力的总功为 正功,动能增加! 小球重力势能减少,电势能 增加!总势能减少! ⑴∵洛伦兹力不做功，电场力做功与路径无关,则由动能定理： c O x B E a b d y21 2 qE y mv  2 bv qyE m  ⑵离子的运动是x方向匀速运动与匀速圆周运动的 合成，两运动速率均为 Ev B  在a点时两分速度方向均为+x方向,则 2av E B  又解： 21 2a aqE y mv  2 2 a a a vqv B qE m y   2av E B  解: 　　如图所示，质量为m、电量为q的正离子，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中沿曲线 oabcd从静止开始运动．已知电场强度E与y 平行，磁感应强度B垂直于xoy平面，试求 ⑴离 子经过任意点b(x,y)时速度的大小；⑵若a点是曲线上纵坐标最大的位置，且曲线在a点的曲 率半径是a点纵坐标的两倍，则离子经过a点时的速率是多大？ 解:解题方向: 将两带电质点视为双星系统,其质心初速度为零，在磁场中做轨迹 为摆线的运动 未加磁场时,双电荷质心速度 为零,角速度由 2 2 2 2 34 4 kq kqmR R mR     加磁场后,双电荷质心初速度为零,受到洛 伦兹力大小为 2F qBR 方向在xy平面,是有心力! x y O 2m 2qB R R R 将质心初速度分解为大小为 2 2 qBR qBRv R R m m     轨迹方程: qBRr m     sin 1 cos qBR qBRx t t m m qBRy t m              　　 如图所示，质量均为m，电量为-q和+q的两个带电质点相距2R．开始时，系统的 质心静止地位于坐标原点O处，且两带电质点在xOy平面上绕质心C沿顺时针方向做圆周运 动．设当系统处于图示位置时，规定为t＝０时刻，从该时刻起在所讨论的空间加上沿z轴方 向的弱匀强磁场B．试求：质心C的速度分量vx和vy随时间t的变化关系及运动轨迹方程，定 性画出质心C的运动轨迹．设两带电质点绕质心的圆周运动保持不变，忽略一切万有引 力．两带电质点间的相互作用力视作库仑力． v0 　z 　y xx0 　O 带电微粒处于匀强磁场与重力场中， B、g、v0三矢量两两垂直，可将v0分 解为 1 mgv qB  2 0 mgv v qB   mg fB1 fB2 带电微粒的运动为v1匀速运动与v2匀 速圆周运动的合成 能到达x0须满足 00 1 2x qB mn mg x nT v qB    （与v0无关） 解: 　　 如图所示的空间直角坐标系中，z轴为竖直方向，空间存在着匀强磁场，磁 感应强度B的方向沿y轴正方向，一个质量为m、带电量为q的带电微粒从原点O处以初速度 v0射出，初速度方向为x轴正方向，试确定各物理量间满足什么条件，就能保证v0的大小不 论取何值，带电微粒运动过程中都可以经过x轴上的x0点？ 初速为零的带电小球处在重力场与磁 场的复合场将做轨道迹为滚轮线的运 动! 1 mgv qB  mg fB1 fB2 解: 若小球滚轮线轨道恰与地面相切，就不会和地面相碰 ! v1v2 圆运动半径应满足 2 2mv mR g qB qB         2 h  min 2mB g q h  2sin 2 2 21 cos 2 gh h gx t t h h gy t h                轨迹方程: B 　　　　　 质量为m、电量为q（q＞０）的小球，在离地面高度为h处从静止开始下落， 为使小球始终不会和地面相碰，可设想在它开始下落时就加上一个足够强的水平匀强磁 场．试求该磁场磁感应强度的最小可取值B0，并求出当磁场取B0时小球的运动轨道． 槽下部与水银接触面达到稳定时，其电流所受磁 场力（竖直向上）与水银柱压力平衡： UgH al Bl l ah       解: h l B BUhH lg  6 3 0.1 1 4 0.1 m 10 0.05 14 10 10         2 m H 如图所示的磁动力泵是高h＝0.1 m的矩形槽，槽相对的两壁是导电的，它 们之间距离＝0.05 m．两导电壁加上电势差U＝1.4 V，垂直于两非导电壁加上磁感应强度 B＝0.1 T的均匀磁场．槽的下部与水银面接触，上部与竖直的非导电管相连．试问水银上 升多高？（水银的电阻率 ，水银密度 ， 重力加速度g=10m/s2 ） a 61 10 m    3 3 kg14 10 m   B vx 若电子沿纵向磁场的运动路径长l，可以调节磁感应强度B，使所有电子在l 路径 上完成整数个圆周运动，即比值为整数，这样，被横向交变电场偏转发散的电 子束经磁场作用，可会聚到离入射点l 远的同一处，这就是磁聚焦． 2 e x leB n m v  阅读:利用磁聚焦测电子的比荷 ~ 　　　　　 如图所示，在螺线环的平均半径R处有电子源P，由P点沿磁感线方向注入 孔径角2α（2α 1°）的一电子束，束中的电子都是以电压U0加速后从P点发出的．假设 螺线环内磁场磁感应强度B的大小为常量，设U0＝3 kV，R＝50 mm． ，并假设电子束中 各电子间的静电相互作用可以忽略． ⑴为了使电子束沿环形磁场运动，需要另加一个使 电子束偏转的均匀磁场B1．对于在环内沿半径为R的圆形轨道运动的一个电子，试计算所 需的B1大小； ⑵当电子束沿环形磁场运动时，为了使电子束每绕一圈有四个聚焦点，即 如图所示，每绕过π/2的周长聚焦一次，环内磁场B应有多大？（这里考虑电子轨道时， 可忽略B1，忽略磁场B的弯曲）  R 2α P v 解答 解:⑴对于在环内沿半径为R的圆形轨道运动的一个电子,维持其运动的向心力是垂直 于环面的磁场洛伦兹力,其大小满足 2 1 e vevB m R  2 0 1 2 eeU m v而 0 1 21 em U B R e 则 代入数据得 1 3 3 11 1 2 3000 T 50 10 1.76 10 3.7 10 TB        ⑵电子束与B有一小角度,故做轨迹为螺旋线的运动: 电子束每四分之一周聚焦一次即应沿B方向绕行一周的同时沿满足: 垂直B方向完 成四个圆周 22 4 cos emR v eB    024 cosem U B R e 则 024 em U R e  14B 31.48 10 T 读题 B b + + + + + + + + + + + + + + + Fm Fe h v －－－－－－－－－－－ EH HeE evB H HU E b Bvb  I nevbh由 1 H BIU ne h   H H BIU R h   I 解:样品中多数载流子是电子，是 N型半导体! B b Fm a EH BIU nea 由 H BIn eaU  191.25 10 HU evB e b 由 HU v bB  Fe 333 m/s 　　　　　 如图所示的一块半导体样品放在垂直于竖直面向外的匀强磁场中，磁感应强 度为B=5×10-3 T，当有恒定电流I=2.0 mA通过样品时，产生的霍耳电势差UH=5.0mV，极 性如图中标示，a=1.00 mm，b=3.00 mm．这块样品是N型半导体还是P型半导体？载流子密 度是多少，载流子定向运动速度是多少？ 带电粒子在非匀强磁场中向磁场较强方 向运动时，做半径渐小的螺旋运动！ mvr qB 由 Fm v Fm v 　　　　　 围绕地球周围的磁场是两极强、中间弱的空间分布．1958年，范·阿伦通 过人造卫星搜集到的资料研究了带电粒子在地球磁场空间中的运动情况后，得出了在距地 面几千公里和几万公里的高空存在着电磁辐射带（范·阿伦辐射带）的结论．有人在实验 室中通过实验装置，形成了如图所示的磁场分布区域MM′，在该区域中，磁感应强度B的 大小沿z轴从左到右，由强变弱，由弱变强，对称面为PP ′ ．已知z轴上Ｏ点磁感应强度B 的大小为B0，两端M(M′)点的磁感应强度为BM．现有一束质量均为m，电量均为q，速度 大小均为v0的粒子，在O点以与z轴成不同的投射角α0向右半空间发射．设磁场足够强，粒 子只能在紧邻z轴的磁感线围成的截面积很小的“磁力管”内运动．试分析说明具有不同的 投射角α0的粒子在磁场区MM ′间的运动情况． 提示：理论上可证明：在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度v⊥的平方与磁 力管轴上的磁感应强度的大小B之比为一常量． 解答 O v0 M  M z v0 P P  0 0  2 0 02 2 0 0 sin M v v v B B    = 0 解: 由题给条件  22 0 0 0 0sinv kB v    O v0 M  M z v0  2 0 0 0 sin B k v   做螺旋运动速度不变,在磁感应 强度为B处  2 0 02 0 sinv v B B     2 0 02 2 0 0 sinv v v B B    0 0 0 sin 1mv R q BB   随着B增大 讨论:  2 0 02 2 0 0 sin M v v v B B    > 01 0 0sin M B B  < 1 0 0sin M B B  = 1 0 0sin M B B   可约束在管内 读题 U E d  解: HU Bvd 0E Bv 电中性的液体以速度v通过两板之间 1r 若介质 ，则两板之间不会有电势差;， 若为“容易”极化的介质即导体，则产生霍耳电势差 板间电场为 介电常数εr>1的中性分子进入磁场在洛伦兹力作用下被极化 B + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + -E  0 0 r E E E     11 r BU vd          　　　　　 一个初始时未充电的电容器的两个极板之间的距离为d ．有一个磁感应强度 为B的磁场，平行于电容器的极板，如图所示．当一电中性的相对介电常数为的液体以速度 v流过两个极板之间时，连接在电容器两个极板间的电压表的读数是多少？ ⑴电流方向沿轴向,在距轴r处磁场有   0 2rB j r   解: 0 22 I r R     在距轴r处粒子受到洛伦兹力 q m m rF qvB mF 0 22r I Lv qv r vR m     粒子到达右端面历时 Lt v  粒子出右端面时径向速度 粒子到达轴线时有 r r S v v  2 0 2 mvRS qIL    各处粒子到达轴线有共同的S! 　　　　　 如图所示,长为L、截面半径为R的圆柱体内，沿轴向流过均匀电流I，忽略边缘 效应，已知L R．一束质量为m、电量为+q的粒子以速度v平行于主轴从圆柱体左端入射， 不考虑粒子间的相互作用及与圆柱体内部微粒的作用，且忽略圆柱体内电场；⑴忽略粒子 在圆柱体内的径向移动距离及粒子轴向速度的变化，试证明通过圆柱体后粒子将聚焦于一 点；⑵考虑粒子在圆柱体内的径向运动而不计粒子轴向速度的变化求粒子束聚焦在圆柱右 端所需满足的条件．  解答 ⑵考虑粒子径向运动,由于粒子径向所受洛伦兹力为 0 22r qv I F r R    k r  所有粒子径向运动为 聚焦在右端面应满足  2 1 4 L Tn v   2 0 2 1 22 4 L n mR v qv I          0 22 1 2 1,2L R m nn v qv I       读题 　　　　　 有一正点电荷Q和细长磁棒的磁极处于同一位置，在它们所生成的电磁场中， 有一质量为m、电量为q的质点，沿圆轨道运动，圆轨道直径对产生电磁场的电荷及磁极 所在点张角为2θ，已知细长磁铁的一个磁极产生的磁场 ，a为常量，求质点运动 的轨道半径．（质点重力不计） 解: 磁单极的磁感线分布与点电荷的电场线分布相似 3B ra r  由 3E rkQ r    r v Fm F  q Fe S 2 04e QqF r  2m qvaF qvB r   tan e m F F  而 2 sin sin eF vm R R r     由 0 cot 4 Qv a   则 2 204 tan sin qa mQ R    3B ra r   ⑴把两个相互作用（吸引）的磁极视为“点磁荷”，对A而言，处于准静态平 衡中，受力分析如图 ： n d s x kmg l x    解:  n S x kmg l d x      mg A Fm 当x=d时， n s kmg l d  当有一小位移Δx时, 1n k xn dd      x xn S d    4dn S   ⑵此时B 处于悬浮平衡状态 4 4m sd mgF mg lx   4mgsk d l  4 1.3cmsx d l   　　　　　 如图所示,一个非常短的磁铁A，质量为m，被一根长l=1 m的线水平地悬 起．移动另一个非常短的磁铁B慢慢地靠近A保持两磁铁的磁极相互之间始终在同一水平线 上．当两个磁极间的距离为d=4 cm时，磁铁A与最初的水平距离s=1 cm，此后磁铁A可自发 地慢慢向B移动．⑴磁铁间的相互作用力与其间距离的关系为Fm(x)= ，正负表示两磁铁磁 极间为引力或斥力．试确定n的值；⑵现将两磁铁放在开口向上的玻璃管中，B在上方，并 使两个磁铁相互排斥，磁铁A在玻璃管中有掉转方向的趋势，求两个磁铁处于平衡时所能分 开的距离． n k x  　　　　　 如图所示的无限大匀强磁场磁感应强度为B，一个质量为m、电量为q＜0的粒 子以初速度v0从y轴上Q点开始运动，运动中受到大小恒定的阻力F，已知出发点坐标为 (0， )．⑴试确定粒子运动的轨迹方程；⑵若 ，求粒子的最终位置． 0mv qB 0qv B F   解:⑴粒子在运动切向受阻力F，法向受洛伦兹力， 则 0 , i t n FqB v t qBvF ma a m m m        0 Fm v t m q B       x y Q O O D i 1i     ,x y 曲率半径设为ρ q B m   v0 0 0 m v q B   1i i F t qB      V t   r   曲率中心以速率 FV qB  做半径为 2 2 F mFr qB q B   的匀速圆周运动  sin 1 cos cos sin x t r t y t r t              0 2 2 0 2 2 sin 1 cos cos sin mv Ft qB mF qBx t t qB m q B m mv Ft qB mF qBy t t qB m q B m             续解 ⑵由动能定理： 2 0 1 2 Fs mv 2 0 0 2 2 mv mv S F Bq   得 0 0 2 2 2 2t mvS m m Tt a qB qBv qB         02 0 mv x qB y         0 2 2 0 2 2 sin 1 cos cos sin mv Ft qB mF qBx t t qB m q B m mv Ft qB mF qBy t t qB m q B m             读题 直线电流的磁场 0 2 IB r    解: 0im iF B ev r x O Fm v0 r0 v0 磁场洛伦兹力的x分量使电子速度从0→v0; r分量使 电子速度从 v0 → 0！速度方向变化90°！ 取一元过程   12i ii n n             2 2 0 0 0 0 1 1 sin cos cos 2 2 i i i i i i qv I v v r r rm          i 沿-r方向由运动学 导出公式  10 0 sin i ii i r rqv I m r      0 1 0 cos 2 2 2 i i i q I r r i n n mv r           1 lim cos 1 2 2 n n i i n n            1 N 1 0 0 2 1i i r mv r q IN      0 0 21 2 mv q Ie     0 0 ln 2 2 q I v m    　　　　　 在一个真空箱内，电流I流过一根电阻很小的长直导线，初速度为v0的电子 垂直于导线从距导线的径向距离为r0的一点开始运动．已知电子不能比r0/2更靠近导线，试 确定电子初速度v0．不考虑地磁场的影响． 　　　　　 在外磁场中的超导体，平衡后超导体内部的磁感应强度处处为零，超导体表 面外侧的磁感应强度与表面平行．如图所示的O—xyz直角坐标中，xy平面是水平面，其中 有一超导平板，z轴竖直向上，超导平板在z＝0处，在z＝h处有一质量为m、半径为r、环心 在z轴上、环平面为水平面的匀质金属圆环，且有r h ．在圆环内通以稳恒电流，刚好使圆 环漂浮在z＝h处．⑴试求圆环中的电流强度；⑵若使圆环保持水平，从平衡位置稍稍偏上 或偏下，则圆环将上、下振动，试求振动周期T1；⑶当圆环处在平衡位置时，其中与x 轴平 行的直径标为P1P2，与y轴平行的直径标为Q1Q2．若保持P1P2不动，使圆环绕P1P2稍有倾 斜，即使Q1Q2与y轴有很小的夹角， 则圆环将以P1P2为轴摆动，试求周期T2．  O x y z Q1 Q2 P2 P1 h I m 超导平板 解答 ⑴通电圆环悬浮在z=h处，超导体的内部磁感应强度为零而表面外侧磁感应强度 与表面平行，这可等效为通电圆环与它的像电流——在z=－h虚设一个相同的通 以反向电流的环——共同产生的结果，如图，通电圆环必有其所受重力与像电 流施予的磁场力相平衡，由r<< h这个条件，将两环形电流近似为反向平行电流： 0 2 2 2 Img F I r h         解: 0 2mgI h r  I I ⑵ 若令圆环水平地上下振动，当与平衡位置有任一位移（如向下x）时:   2 2 0 2 0 2 0 1 2 2 2 rI rI xF mg mg h x h h rI x h               1 2T h g mg  读题 续解 ⑶当以P1P2为轴做小幅摆动时，圆环转动惯量 I I 21 2 J mr  F1 F2 当圆环转离平衡面一小角度时   2 2 0 1 2 1 1 2 2 2 I r M F F r h r h r               2 2 0 1 1 4 2 2 I r r r h h h                         2 3 0 24 I r h     2 2 mgr h    2 2 2 1 22 2 2 mrJT mgrK h    2 h g  读题