沪科版九年级数学上册第22章 相似形 教学课件 418页

22.1 比例线段 第 22 章 相似形 第 1 课时 相似图形 学习目标 1. 了解相似图形和相似比的概念 . 2. 理解相似多边形的定义 . 3. 能根据多边形相似进行相关的计算， 会根据条件 判断两个多边形是否相似 . ( 重点、难点 ) 问题 1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？ 导入新课 情境引入 问题 2 多啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？ 下面图形有什么相同和不同的地方？ 讲授新课 相似图形的概念 一 观察与思考 相同点：形状相同 不同点：大小不相同 形状相同的图形叫做 相似图形 . 相似图形的大小不一定相同. 归纳： 图形的放大 相似图形的关系 二 探究归纳 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 图形的缩小 两个图形相似 图形的缩小 归纳： 你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？ 思考： 放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ 练一练 放大镜下的角与原图 形中角是什么关系 ? 相似多边形与相似比 三 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 A B C D E F 多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的 ， 而多边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 是投射到银幕上的. 观察与思考 问题 1 这两个多边形相似吗？ 问题 2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？ 问题 3 在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成 比例？ A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 A B C D E F 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做 相似多边形 . 相似多边形的对应边的比叫作 相似比 . 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. ◑相似比： ◑相似多边形的特征： ◑相似多边形的定义： 归纳： 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？ a 1 a 2 a 3 a n … 分析： 已知等边三角形的每个角都为 60°, 三边都相等 . 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等 . 议一议 同理，任意两个正方形都相似 . 归纳： 任意两个边数相等的正多边形都相似. … a 1 a 2 a 3 a n 思考： 任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？ 例 1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α ， β 的大小和 EH 的长度 x . 典例精析 D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 在四边形 ABCD 中， ∠ β＝ 360°－ ( 78°＋83°＋118° ) ＝81°. ∠ α ＝∠ C ＝83°，∠ A ＝∠ E ＝118°. 解： ∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似， ∴ 它们的对 应角相等．由此可得 D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° ∵ 四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应边 成 比 例， 由此可得 解得 x ＝ 28 cm. ，即 . D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 如图所示的两个五边形相似，求未知边 a ， b ， c ， d 的长度． 5 3 2 c d 7.5 b a 6 9 练一练 解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得 解得： a =3， b =4.5， c =4， d =6. 所以未知边 a ， b ， c ， d 的长度分别为3，4.5，4，6. ， ， ， ， 当堂练习 1. 下 列图形中能够确定相似的是 ( ) A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形 C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形 E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形 ABDF 2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得 甲、乙两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际 距离是 ( ) A. 3000 m B. 3500 m C. 5000 m D. 7500 m D 3 . 如图所示的两个四边形是否相似？ 答案：不相似 . 4. 观察下面的图形 (a)~(g) ， 其中哪些是与图形 (1)、 (2) 或 (3) 相似的？ 5. 填空： ( 1 ) 如图① 是两个相似的四边 形 ，则 x = ， y = ， α = ； ( 2 ) 如图② 是两个相似的矩形 ， x = . ╰ 65 ° ╯ 80 ° α ╭ 6 125 ° ╯ 80 ° ╮ 3 x y 图① 3 5 30 20 15 x 图② 2.5 1.5 90° 22.5 6 . 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF ，若矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似， AB = 1． ( 1 ) 求 BC 长； A B C D E F 解： ∵ E 是 AD 的中点， ∴ . 又 ∵矩形 ABCD 与 矩形 EABF 相似， AB =1 ， ∴ ， ∴ AB 2 = AE · BC ， ∴ . 解得 ( 2 ) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比. A B C D E F 解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比为： 相似图形 形状相同的图形叫做 相似图形 相似图形的大小不一定相同 相似多边形对应边的比叫做 相似比 对应角相等，对应边成比例 课堂小结 图形的相似 相似多边形 22.1 比例线段 第 22 章 相似形 第 2 课时 比例线段 1. 知道线段的比的概念，会计算两条线段的比； （重点） 2 ．理解成比例线段的概念；（重点） 3 ．掌握成比例线段的判定方法．（难点） 学习目标 两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？ 导入新课 线段的比和成比例线段 如果选用同一个长度单位得两条先线段 AB , CD 的长度分别是 m , n , 那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 A B C D m n AB : CD= m : n 或 如果把 表示成比值 k , 那么 =k ，或 AB=k · CD , 两条线段的比实际上就是两个数的比 . 讲授新课 1. 若线段 AB ＝6 cm ， CD ＝ 4 cm ，则 . 2. 若线段 AB ＝ 8cm ， CD ＝2dm ，则 . 思考： 两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？ 有关 ？ 无关 ？ 求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一 在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同 . 注意： 虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数 . 练一练 4. 五边形 ABCDE 与五边形 A'B'C'D'E' 形状相同， AB ＝ 5cm ， A'B' ＝ 3cm ， AB ∶ A'B' ＝ . A B C D E A' B' C' D' E' 5∶3 3. 已知线段 AB ＝ 8cm ， A'B' ＝ 2cm ， AB ∶ A'B' 的比为 　　　 ， AB ∶ A'B' 的比值为 ， AB ＝ 　　 A'B' . 4∶1 4 4 练一练 做一做： 设小方格的边长为 1 ，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的顶点都在格点上，那么 AB ， AD , EF , EH 的长度分别是多少？ A B C D G H E F 计算　　 　　　 的值，你发现了什么？ A B C D G H E F 四条线段 a, b, c, d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a , b ,c , d 叫作 成比例线段 ，简称 比例线段 . 归纳总结 AB，EF，AD，EH 是成比例线段， AB，AD，EF，EH 也是成比例线段 . 注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 如果 或 a ： b=c ： d ， 那么 a 、 b 、 c 、 d 叫做 组成比例的项， a 、 d 叫做 比例外项， b 、 c 叫做 比例内项， d 叫做 a 、 b 、 c 的第四比例项 . 特殊情况： 若作为比例内项的两条线段相等，即 a : b = b : c ， 则 b 叫做 a,c 的 比例中项 . 相关概念 例 1 ： 判断下列线段 a 、 b 、 c 、 d 是否是成比例线段： 　 （ 1 ） a ＝ 4 ， b ＝ 6 ， c ＝ 5 ， d ＝ 10 ； 解： （ 1 ）　∵　 ∴ 　线段 a 、 b 、 c 、 d 不是成比例线段． ， ∴ 　 ， 典例精析 （ 2 ） a ＝ 2 ， b ＝ ， c ＝ ， d ＝ ． （ 2 ）　∵　 ∴ 　 ∴ 　线段 a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段． 注意 : 1. 若 a:b=k , 说明 a 是 b 的 k 倍 ； 2. 两条线段的比与所采用的 长度单位无关 ，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3. 两条线段的 比值是一个没有单位的正数 ； 4. 除了 a=b 外 , a : b≠b : a , 互为倒数 . 1. 判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？ 成比例线段 不成比例线段 2. 下列各组线段中成比例线段的是　　（　　） C 练一练 解：根据题意可知 , AB=a m , AE = a m , AD =1m . 由 ，得 即 开平方 , 得 例 2 ： 一块矩形绸布的长 AB=a m , 宽 AD =1m ，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么 a 的值应当是多少？ D A F E C B 当堂练习 1 . 一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（ ） A . 100:3 B. 1:3 C. 10:3 D. 1000:3 2 . 甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（ ） A . 5:1 B. 1:5 C. 1:500000 D. 500000:1 A C 解：根据题意可知 , , AB = 15 , AC = 10 , BD = 6. 则 AD = AB – BD =15 – 6= 9. 则 3. 已知 ， AB =15 ， AC =10 ， BD =6 ．求 AE ． A B C D E 1. 一条线段的长度是另一条线段的 5 倍，则这两条线段的比等于 . 2. 已知 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a =3 cm ， b =2 cm ， c =6 cm ，则线段 d = . 3.已知三个数2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为 . 4cm ， 3 ， 12 5∶1 拓展练习 比例线段 两条线段的比： 比例线段 ① 长度单位统一； ② 与单位无关，本身没有单位； ③ 两条线段有顺序要求 . ① 概念：项、比例内项、比例外项； ② 四条线段有顺序要求； ③ 特别地：比例中项 . 课堂小结 22.1 比例线段 第 22 章 相似形 第 3 课时 比例的性质与黄金分割 1. 理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点） 2. 能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题 . （难点） 3. 知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比，能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点） 学习目标 导入新课 观察与思考 如图的 (1) 和 (2) 都是故宫太和殿的照片 ，(2) 是由 (1) 缩小得到的. （ 1 ） （ 2 ） P Q P ′ Q ′ 在照片 (1) 中任意取四个点 P ， Q ， A ,B 在照片 (2) 找出对应的两个点 P ′ ， Q ′ ， A ′ , B ′ 量出线段 PQ ， P ′ Q ′ ， AB ， A ′ B ′ 的长度 . 计算它们的长度的比值 . A A ' B' B 讲授新课 比例的基本性质 一 合作探究 问题 1 ： 如果四个数 a , b , c , d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc , 那么 a , b , c , d 四个数成比例吗？ 如果四个数 a , b , c , d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd , 得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad=bc. 由此可得到比例的基本性质： 如果 ad=bc （ a , b , c , d 都不等于 0 ），那么 . 如果 ad=bc , 那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a , b , c , d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 典例精析 例 1 ： 根据下列条件，求 a : b 的值： （1） 4 a= 5 b ； （2） （2）∵ ，∴8 a= 7 b ，∴ 解 （1）∵ 4 a= 5 b ，∴ 例 2 ： 已知 ，求 的值 . 解： 解法 1 ： 由比例的基本性质， 得 2 （ a +3 b ） =7×2 b . ∴ a =4 b ，∴ = 4 . 解法 2 ：由 ，得 . ∴ , ，那么 、 各等于多少？ 2 ．已知 1 ．已知：　线段 a 、 b 、 c 满足关系式 且 b ＝ 4 ，那么 ac ＝ ______ ． ， 练一练 16 , 还有什么其他性质吗？ 在等式两边同时加上 1 , 得 由此可得到比例的合比性质： 如果 ，那么 问题 2 ： 已知 a , b, c, d, e, f 六个数，如果 （ b+d+f≠0 ） , 那么 成立吗？为什么？ 设 , 则 a = kb, c = kd , e= kf . 所以 等比性质 二 由此可得到比例的又一性质： 例 3 ： 在△ ABC 与△ DEF 中，已知 ， 且 △ ABC 的周长为 18cm, 求△ DEF 得周长 . 解：∵ ∴ ∴ 4 ( AB + BC + CA )=3( DE + EF + FD ). 即 AB + BC + CA = ( DE + EF + FD ) ， 又 △ ABC 的周长为 18cm ， 即 AB + BC + CA = 18cm. ∴ △ DEF 的周长为 24cm . 例 4 ： 若 a ， b ， c 都是不等于零的数，且 ，求 k 的值 . 得 ， 则 k ＝＝ 2 ； 当 a ＋ b ＋ c ＝ 0 时，则有 a ＋ b ＝－ c . 此时 综上所述， k 的值是 2 或－ 1 . 解：当 a ＋ b ＋ c ≠0 时，由 ， 解：根据题意，得 即 例 5 ： 在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就是图上距离与实际距离的比，现在一长比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边：AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，这个图纸所反映的实际△A’B’C’的周长是多少？ 答：实际△ A'B'C' 的周长是 600m 黄金分割的概念 三 一个五角星如下图所示 . 问题 ： 度量 C 到点 A 、 B 的距离 , 与 相等吗？ A C B A B C A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC , 如果 , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 . 点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点 , AC 与 AB 的比称为 黄金比 . 概念学习 例 6 如图，已知线段 AB 的长度为 a ，点 P 是 AB 上一点 ，且使 AB : AP = AP : PB ，求线段 AB 的长和 的值 . A P B 解 设 AP = x ，那么 PB=a-x . 根据题意，得 a:x=x: ( a-x ) , 即 x 2 +ax-a 2 = 0 . 解方程，得 A P B 因为线段长不能是负值，所以取 即 于是 2. 如图所示 , 已知线段 AB 按照如下方法作图 : 1. 经过点 B 作 BD ⊥ AB , 使 BD = AB 2. 连接 AD , 在 AD 上截取 DE = DB . 3. 在 AB 上截取 AC = AE . 思考： 点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗 ? A B D E C 巴台农神庙 （ Parthenom Temple ） F C A E B D 想一想： 如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD ，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD ，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么 ? 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形 . A B C D E F 例 7 ： 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感 . 小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60 ，她的身高为 1.60m ，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解： 设肚脐到脚底的距离为 x m ，根据题意，得 ，解得 x = 0.96 . 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y ≈0.075 ，而 0.075m=7.5cm . 故她应该穿约为 7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美 . 1. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm ，则它的宽约为 ( ) (A)12.36 cm (B)13.6 cm (C)32.36 cm (D)7.64 cm 【 解析 】 选 A. 0.618×20=12.36(cm). A 练一练 2. 如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB=10 cm ，则 AC 的长约为 _____cm. （结果精确到 0.1 cm ） 【 解析 】 本题考查黄金分割的有关知识，由题意知 ∴AC 2 =(10-AC)×10 ，解得 AC≈6.2 cm. 6.2 3. 如图所示，乐器上的一根弦 AB=80 cm ，两个端点 A 、 B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC=______cm ， DC=_______cm. 【 解析 】 由黄金分割定义可知， AC=BD= ×AB= ( 40 -40 ) cm, AD=AB-BD=(120-40 ) cm, 所以 DC=AC-AD=(80 -160) cm. 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬 30 度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30 度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。 衔远山，吞长江的中国三大 淡水湖也恰好在这黄金分割 的纬度上。 大自然与黄金分割 图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比 , 普通树叶的宽与长之比也接近 0.618; 人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是 23℃( 体温 ) ，也是正常人体温 ( 37℃ ) 的黄金点 ( 23=37×0.618 ) . 这说明医学与 0.618 有千丝万缕联系 , 尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节 . 上肢与下肢长度之比均 近似 0.618 . 在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美． B C A 设计与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异 . 但这些 金字塔底面的边长与高的比都接近于 0.618. 东方明珠塔， 塔高 468 米 . 设计师在 263 米 处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观 . 人的俊美 , 体现在头部及躯干是否符合黄金分割 . 美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例 0.618 ，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美． 黄金分割的魅力 Apple logo 苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6 ，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。 1.(1) 已知 ，那么 = ， = . (3) 如果 ，那么 . (2) 如果 那么 . 当堂练习 2. 已知线段 AB ，点 P 是它的黄金分割点， AP>BP ，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1 ，以 PB 、 AB 为边的矩形面积为 S2 ，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A ． S1>S2 B ． S1 BC > CA ， 在 △ DEF 中， DE > EF > FD. ∴ △ ABC ∽ △ DEF . A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 ∵ ， ， ， ∴ . 解： ∴ △ ABC ∽ △ A'B'C' . ∵ ， ， ∴ . (2) 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等 . 注意： 计算时 最长边 与 最长边 对应，最短边与最短边对应 . 归纳总结 已知 △ ABC 和 △ DEF ， 根据下列条件判断它们是否相似 . ( 3 ) AB =12 ， BC =15 ， AC ＝ 24 ， DE ＝ 16 ， EF ＝ 20 ， DF ＝ 30. ( 2 ) AB =4 ， BC =8 ， AC ＝ 10 ， DE ＝ 20 ， EF ＝ 16 ， DF ＝ 8 ； ( 1 ) AB =3 ， BC =4 ， AC ＝ 6 ， DE ＝ 6 ， EF ＝ 8 ， DF ＝ 9 ； 是 否 否 练一练 例 2: 如图 , 方格网的小方格是边长为 1 的正方形， △ ABC 与 △ A′B′C ′ 的顶点都在格点上， △ ABC 与 △ A′B′C ′ 相似吗 ? 为什么 ? C B A A′ B′ C′ 解： △ ABC 与 △ A′B′C ′ 的顶点都在格点上，根据勾股定理，得 ∴ △ ABC 与 △ A′B′C ′ 相似 . 例 3 如图，在 Rt△ ABC 与 Rt△ A′B′C′ 中， ∠ C =∠ C ′ = 90 ° ， 且 求证：△ A′B′C′ ∽△ ABC . 证明：由已知条件 得 AB = 2 A ′ B ′ ， AC = 2 A ′ C ′ ， ∴ BC 2 = AB 2 － AC 2 = ( 2 A ′ B ′ ) 2 － ( 2 A ′ C ′ ) 2 = 4 A ′ B ′ 2 － 4 A ′ C ′ 2 = 4 ( A ′ B ′ 2 － A ′ C ′ 2 ) = 4 B ′ C ′ 2 = ( 2 B ′ C ′ ) 2 . ∴ △ A′B′C′ ∽△ ABC . ( 三边对应 成比例的两个三角形相似 ) ∴ BC =2 B ′ C ′ ， ∴∠ BAC =∠ DAE ， ∠ BAC － ∠ DAC = ∠ DAE － ∠ DAC ， 即 ∠ BAD =∠ CAE . ∵∠ BAD =20° ， ∴∠ CAE =20°. ∴ △ ABC ∽△ ADE ( 三边成 比例的两个三角形相似 ). 例 4 如图，在 △ ABC 和 △ ADE 中， ∠ BAD =20° ， 求∠ CAE 的度数 . A B C D E 解：∵ 解：在 △ ABC 和 △ ADE 中， ∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE ， ∴ △ ABC ∽ △ ADE ， ∴∠ BAC =∠ DAE ， ∠ B =∠ D ， ∠ C =∠ E . ∴∠ BAC － ∠ CAD =∠ DAE － ∠ CAD ， ∴∠ BAD =∠ CAE . 故图中相等的角有 ∠ BAC =∠ DAE ， ∠ B =∠ D ， ∠ C =∠ E ， ∠ BAD =∠ CAE . 如图，已知 AB : A D = BC : DE = AC : AE ，找出图中相等的角 ( 对顶角除外 ) ，并说明你的理由 . 练一练 A B C D E 当堂练习 1. 如图，若 △ ABC ∽ △ DEF ，则 x 的值为 ( ) A B C D E F A. 20 B. 27 C. 36 D. 45 C 2. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三 角形的是 ( ) ① ② ③ ④ A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ C 3 . 如图，∠ APD =90°， AP = PB = BC = CD ，下列结论 正确的是 ( ) A. △ PAB ∽△ PCA B. △ PAB ∽△ PDA C. △ ABC ∽△ DBA D. △ ABC ∽△ DCA A C B P D C ∵ AB : BC = B D : AB = A D : A C ， ∴ △ ABC ∽ △ DBA ，故选 C. 解析：设 AP = PB = BC = CD =1 ， ∵ ∠ APD =90°， ∴AB= ， AC= ， AD= . 4. 根据下列条件，判断△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′ 是否相似： AB =4cm ， BC =6cm ， AC =8cm， A ′ B ′ =12cm ， B ′ C ′ =18cm ， A ′ C ′ =21cm. 答案：不相似 . 5. 如图，△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点，求证：△ ABC ∽△ EFD ． ∴ △ ABC ∽△ EFD . 证明：∵△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点， ∴ ∴ 6. 如图，某地四个乡镇 A ， B ， C ， D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米， AD = 28 千米， BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解： 公路 AB 与 CD 平行 . ∴ ∴ △ AB D ∽△ B D C ， ∴∠ ABD =∠ BDC ， ∴ AB∥DC . 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 22.2 相似三角形的判定 第 5 课时 判定两个直角三角形相似 1. 掌握直角三角形相似的判定；（重点） 2. 能熟练地运用直角三角形相似的判定定理 .( 难点 ) 学习目标 观察两副三角尺如图，其中同样角度（ 30° 与 60° ，或 45° 与 45° ）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？对于直角三角形， 类似于判定三角形全等的 HL 方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？ 导入新课 回顾与思考 利用边判定直角三角形相似 画一画： 在下图的边长为 1 的方格上任画一个直角三角形，再画出第二个三角形， 使它的一直角边和斜边长都是原三角形的对应边长的两倍． 画完之后，用量角器比较两个 三角形的对应角，你发现了什 么结论？大家的结论都一 样吗？ B C A F E D 发现这两个三角形相似 ． 讲授新课 证明：设 由勾股定理 ，得 在 Rt△ ABC 和 Rt△ A′B′C ′ 中 ∠ C =90°, ∠ C ′=90°. ，求证 : Rt△ ABC ∽Rt△ A′B′C ′. 探究 A' B' C' A B C ∴ ∴ ∴ Rt △ ABC ∽Rt △ A′B′C′. A' B' C' A B C 如果一个直角三角形的 斜边 和 一条直角边 与另一个直角三角形的 斜边 和 一条直角边对应成比例 ， 那么这两个直角三角形相似 . A B C 那么 △ ABC ∽△ A 1 B 1 C 1 . A 1 B 1 C 1 Rt△ ABC 和 Rt△ A 1 B 1 C 1 . 归纳 几何语言 典例精析 例 1 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10. 求证：△ABC∽△B′C′A′. 证明：在Rt△ABC中， 又 ∵∠ ABC ＝ ∠ A ′ C ′ B ′ ＝ 90° ， ∴Rt△ ABC ∽Rt△ B ′ C ′ A ′. 例 2 如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是( ) 【解析】设网格的边长是1，则 所以 AB:AC:BC=1:2: ∴△ABC是直角形三角，且AB∶ A C＝1∶2， ∵选项A、D选项不是直角三角形，∴排除A、D选项；∵B选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2， C选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2， ∴选项B正确． B 以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键． 方法总结 例 3 如图，∠ABC＝∠C DB= 90°， C B＝ a ，AC＝ b .问当 BD 与 a ， b 之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以C， D ， B 为顶点的三角形相似？ 解： ∵∠ ABC ＝ ∠ CDB ＝ 90° ， 当 时， △ ABC ∽△ CDB . 当 时， △ ABC ∽△ BDC . ∴ 解： ∵ ED ⊥ AB ， ∴ ∠ EDA =90 ° . 又 ∠ C =90 ° ， ∠ A = ∠ A ， ∴ △ AED ∽ △ ABC . 例 4 如图 ， 在 Rt △ ABC 中， ∠ C = 90° ， AB = 10 ， AC = 8. E 是 AC 上一点， AE = 5 ， ED ⊥ AB ，垂足为 D . 求 AD 的长 . D A B C E ∴ 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳总结 1. 在 Rt△ ABC 和 Rt△ A ′ B ′ C ′ 中，已知∠ C =∠ C ′=90°. 依据下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明理由 . （ 1 ）∠ A =25° ，∠ B ′=65° ； 当堂练习 解 : （ 1 ）∵ ∠ A =25° ，∠ C =90° ， ∴ ∠ B =65° ， ∴ ∠ B = ∠ B ′=65°, ∠ C = ∠ C ′=90°, ∴ Rt△ ABC ∽ Rt△ A′B′C ′. （ 2 ）∵ AC =3 ， BC =4 ， A′C ′=6 ， B′C ′=8 ， 且∠ C = ∠ C ′=90°, ∴ Rt△ ABC ∽ Rt△ A′B′C ′. （ 2 ） AC =3 ， BC =4 ， A′C′ =6 ， B′C′ =8 ； 2. 如图，已知 Rt△ ABC 和 Rt△ A′B′C ′ 中∠ A =∠ A ′=90°， AD ， A′D′ 分别是两个三角形斜边上的高，且 CD ∶ C ′ D ′= AC ∶ A ′ C ′ 请说明：△ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′． 相似图形三角形的判定方法： 通过定义 平行于三角形一边的直线 两角分别相等 两边对应成比例且夹角相等 三边对应成比 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （三边对应成比例，三角相等） （ AA ） （ SAS ） （ HL ） 课堂小结 （ SSS ） 22.3 相似三角形的性质 第 1 课时 相似三角形的性质定理 1 、 2 1. 明确相似三角形中对应线段与相似比的关系 . （重点） 2. 掌握相似三角形的周长比等于相似比及其在实际中的应用 . 2. 能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 学习目标 A C B A 1 C 1 B 1 问题 1 ： △ ABC 与 △ A 1 B 1 C 1 相似吗？ 导入新课 A C B A 1 C 1 B 1 相似三角形对应角相等、对应边成比例 . △ ABC ∽ △ A 1 B 1 C 1 思考： 三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 量一量，猜一猜 D 1 A 1 C 1 B 1 ∟ A C B D ∟ Δ ABC ∽ Δ A 1 B 1 C 1 , ,CD 和 C 1 D 1 分别是它们的高 , 你知道 等于多少吗？ 如图， △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ ，相似比为 k ，它们对应高的比各是多少？ 讲授新课 A B C A' B' C' 合作探究 相似三角形对应高的比等于相似比 一 ∵ △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ ， ∴∠ B ＝∠ B' ， 解：如图，分别作出 △ ABC 和 △ A' B' C' 的高 AD 和 A' D ' ． 则 ∠ ADB =∠ A' D ' B'= 90 ° . ∴△ ABD ∽△ A' B' D ' . A B C A' B' C' D' D 由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比． 　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比． 归纳总结 Δ ABC∽ Δ A 1 B 1 C 1 ， BD 和 B 1 D 1 是它们的中线， 已知 ,B 1 D 1 =4cm ，则 BD= cm. 6 2. Δ ABC∽ Δ A 1 B 1 C 1, AD 和 A 1 D 1 是对应角平分 线，已知 AD=8cm ， A 1 D 1 =3cm , 则 Δ ABC 与 Δ A 1 B 1 C 1 的对应高之比为 . 8:3 练一练 3. 如图、电灯 P 在横杆 AB 的正上方， AB 在灯光下的影子为 CD ， AB∥CD ， AB=2m ， CD=4m ，点 P 到 CD 的距离是 3m ，则 P 到 AB 的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 例 1 ： 如图， AD 是 Δ ABC 的高，点 P ， Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上， BC=60cm ， AD=40cm ，四边形 PQRS 是正方形 . (1)AE 是 Δ ASR 的高吗？为什么？ (2) Δ ASR 与 Δ ABC 相似吗？为什么？ (3) 求正方形 PQRS 的边长 . S R Q P E D C B A 典例精析 （ 1 ） AE 是 Δ ASR 的高吗？为什么？ 解： AE 是 Δ ASR 的高 . 理由： ∵AD 是 Δ ABC 的高 ∴ ∠ ADC=90° ∵ 四边形 PQRS 是正方形 ∴ SR∥BC ∴∠ AER= ∠ ADC=90° ∴ AE 是 Δ ASR 的高 . BC=60cm ， AD=40cm ， 四边形 PQRS 是正方形 . S R Q P E D C B A BC=60cm ， AD=40cm ，四边形 PQRS 是正方形 . （ 2 ） Δ ASR 与 Δ ABC 相似吗？为什么？ 解： Δ ASR 与 Δ ABC 相似 . 理由 : ∵ SR∥BC ∴ ∠ ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ Δ ASR 与 Δ ABC 相似 . S R Q P E D C B A （ 3 ）求正方形 PQRS 的边长 . 是方程思想哦！ 解：∵ Δ ASR ∽ Δ ABC AE 、 AD 分别是 Δ ASR 和 Δ ABC 对应边上的高 ∴ 设正方形 PQRS 的边长为 x cm , 则 SR=DE= x cm ,AE=(40- x )cm ∴ 解得： x =24 ∴正方形 PQRS 的边长为 24cm. S R Q P E D C B A 变式： 如图， AD 是 Δ ABC 的高，点 P ， Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上， BC=5cm ， AD=10cm ，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍，你能求出这个矩形的面积吗？ S R Q P E D C B A 如图， AD 是 Δ ABC 的高， BC=5cm ， AD=10cm. 设 SP= x cm ，则 SR=2 x cm 得到： 所以 x =2 2 x =4 S 矩形 PQRS= 2×4=8cm 2 S R Q P E D C B A 分析： 情况一： SR=2SP 设 SR= x cm ，则 SP=2 x cm 得到： 所以 x =2.5 2 x =5 S 矩形 PQRS=2.5×5=12.5cm 2 原来是分类思想呀！ S R Q P E D C B A 分析： 情况二： SP=2SR 如图， AD 是 Δ ABC 的高， BC=5cm ， AD=10cm 例 2 ： 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边长 BC=80cm ，高 AD=60cm ，要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为 2:1 ，且矩形的一边位于边 BC 上，另两个顶点分别在边 AB,AC 上，求这个矩形的边长 . S R Q P E D C B A 解 如图，矩形 PQRS 为加工后的零件，边 SR 在边 BC 上，顶点 P,Q 分别在边 AB , AC 上，△ ABC 的高 AD 交 PQ 于点 E . 设 PS = x cm ，则 PQ 为 2 x cm. S R Q P E D C B A ∵ PQ ∥ BC ， ∴∠ APQ =∠ ABC ,∠ AQP =∠ ACB, ∴ △ APQ ∽△ ABC . 解方程，得 x =24,2 x =48. 答：这个矩形的零件的边长分别是 48cm 和 24cm. 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比 二 问题： 把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中 △ ABC 和 △ A′B′C ′ 相似， AD 、 A′D ′ 分别为对应边上的中线， BE 、 B′E ′ 分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 已知： △ ABC ∽△ A′B′C ′ ，相似比为 k ， 求证： 证明：∵ △ ABC ∽△ A′B′C ′. ∴ ∠ B ′ = ∠ B , ． 又 AD , AD ′ 分别为对应边的中线 . ∴ △ ABD ∽△ A′B′D ′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想 1 由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相似比． 同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比． 归纳总结 已知： △ ABC ∽△ A′B′C ′ ，相似比为 k ，即 求证： 证明：∵ △ ABC ∽△ A′B′C ′ ∴ ∠ B ′ = ∠ B , ∠ B ′ A′C ′ = ∠ B AC ． 又 AD , AD ′ 分别为对应角的平方线 ∴ △ ABD ∽△ A′B′D ′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想 2 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 归纳总结 例 2 ： 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6cm 和 8cm ，如果它们对应的两条角平分线的和为 42cm ，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解： 设较短的角平分线长为 x cm ， 则由相似性质有 . 解得 x ＝ 18. 较长的角平分线长为 24cm. 故这两条角平分线的长分别为 18cm ， 24cm. 相似三角形周长比等于相似比 三 问题： 图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1 ， 2 ， 3 的等边三角形 , 它们都相似吗？ (1) (2) (3) 1 2 3 (1) 与 (2) 的相似比 =______, (1) 与 (2) 的周长比 =______ ， (1) 与 (3) 的相似比 =______, (1) 与 (3) 的周长比 =______. 1∶ 2 结论： 相似三角形的 周长比 等于 ______ ． 相似比 （都相似） 1∶ 3 1∶ 2 1∶ 3 有什么规律吗？ 证明：设 △ ABC ∽△ A 1 B 1 C 1 ，相似比为 k ， 求证：相似三角形的周长比等于相似比 . A B C A 1 B 1 C 1 想一想： 怎么证明这一结论呢？ 相似三角形周长的比等于相似比 . 归纳总结 ∴ △ DEF ∽△ ABC ，相似比为 ∴△ DEF 的周长 = △ ABC 的周长， △ DEF 的周长 =12. 例 3 . 如图，在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ 2 DE ， AC ＝ 2DF ，∠ A ＝∠ D ，△ ABC 的周长是 24 ，求△ DEF 的周长． A B C D E F 又 ∠ D ＝∠ A 解：在△ ABC 和△ DEF 中， ∵ AB ＝ 2 DE ， AC ＝ 2 DF ∴ 3 ．两个相似三角形对应中线的比为 ， 则对应高的比为 ______ . 当堂练习 2. 相似三角形对应边的比为 2∶3 , 那么对应角的角平分线的比为 ______. 2∶ 3 1 ．两个相似三角形的相似比为 , 则对应高的比为 _________, 则对应中线的比为 _________. 解：∵ △ ABC ∽△ DEF ， 　 解得 , EH ＝ 3.2(cm) . 答： EH 的长为 3.2cm . A G B C D E F H 4. 已知 △ ABC ∽△ DEF ， BG 、 EH 分△ ABC 和△ DEF 的角平分线， BC =6cm, EF =4cm, BG =4.8cm . 求 EH 的长 . 5 . 若 △ ABC ∽△ A′B′C ′ ，它们的周长分别为 60cm 和 72cm ，且 AB =15cm ， B′C ′ =24cm ，求 BC ， AC ， A′B ′, A′C ′ 的长. B A C 解： ∵ △ ABC ∽△ A′B′C ′ ，它们的周长分别为 60cm 和 72cm ， ∵ AB =15cm ， B′C ′ =24cm， ∴ BC = 20cm， AC = 25cm， A′B ′= 18 cm， A′C ′= 30cm. 6. 如图， AD 是 △ ABC 的高， A D=h, 点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上， S R ⊥ A D ， 垂足为 E. 当 时，求 DE 的长 . 如果 呢？ 　 ∴△ A SR ∽△ ABC ( 两角分别相等的两个三角形相似 ). 解： ∵ SR ⊥ AD ， BC ⊥ AD ， B A E R C D S ∴ SR∥BC . ∴∠ A SR=∠B, ∠ A RS=∠C. ( 相似三角形对应高的比等于相似比 ) ， 当 时，得 解得 B A E R C D S 当 时，得 解得 选做题： 7. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5m ，面积为 1.5m 2 , 要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（ 1 ）、（ 2) 所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留） F A B C D E （ 1 ） F G B A C E D （ 2 ） 相信自己是最棒的！ S R Q P E D C B A 8.AD 是 Δ ABC 的高， BC=60cm ， AD=40cm ，求图中小正方形的边长 . A C B D (1) A C B D (5) D C B A (4) A C B D (3) D C B A (1) A C B D (2) 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比 课堂小结 相似三角形周长之比等于相似比 22.3 相似三角形的性质 第 2 课时 相似三角形的性质定理 3 1. 掌握相似三角形的性质定理 3 ；（重点） 2. 运用相似三角形的面积比解决实际问题 .( 难点 ) 学习目标 导入新课 问题： 我们知道， 如果两个三角形相似，它们周长的比等于相似比 . 那么它们面积之比之间有什么关系？也等于相似比吗？ A B C A 1 B 1 C 1 问题引入 (1) 与 (2) 的相似比 =______, (1) 与 (2) 的面积比 =______ (1) 与 (3) 的相似比 =______, (1) 与 (3) 的面积比 =______ 相似三角形的面积比等于相似比的平方 1 2 3 1∶ 2 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 1∶ 4 1∶ 3 1∶ 9 问题： 图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1 ， 2 ， 3 的等边三角形 , 回答以下问题： 结论： 相似三角形的面积 比 等于 __________ ． 相似比的平方 讲授新课 证明：设 △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ ，相似比为 k , 如图，分别作出 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 的高 AD 和 A ′ D ′. ∵△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′ 都是直角三角形，并且 ∠ B = ∠ B ′ ， ∴△ ABD ∽△ A ′ B ′ D ′. A B C A′ B′ C′ D D′ 想一想： 怎么证明这一结论呢？ ∵△ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ . 相似三角形的面积比等于相似比的平方 . 归纳总结 例 1 ： 如图 , △ ABC 的面积为 25 ，直线 DE//BC , 如果 △ ADE 的面积为 9 ，求 的值 . A B C D ∴ △ ADE ∽ △ ABC . 解 ∵ DE//BC ， E 典例精析 1. 已知 ΔABC 与 ΔA′B′C′ 的相似比为 2 ： 3 ，则对 应边上中线之比 ，面积之比为 . 2. 如果两个相似三角形的面积之比为 1:9 ， 周长的比为 ______ . 1:3 2:3 4:9 练一练 如图，四边形 ABCD 相似于四边形 A ′ B ′ C ′ D ′ ，相似比为 k ， 它们面积的比是多少？ 相似多边形面积的比等于相似比的平方 . A B C A′ B′ C′ D D′ 延伸探究 例 2 ： 将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DEF ，△ ABC 与△ DEF 重叠部分的面积是△ ABC 的面积的一半 . 已知 BC =2 ，求 △ ABC 平移的距离 . 　 解：根据题意，可知 EG∥AB . ∴∠ GEC=∠B, ∠ EGC=∠A. ∴△ GEC ∽△ ABC 即， △ ABC 平移的距离为 解：在 △ ABC 和 △ DEF 中， ∵ AB =2 DE ， AC =2 DF ， 又 ∵∠ D =∠ A ， ∴ △ DEF ∽ △ ABC ，相似比为 1 : 2. A B C D E F ∴ 例 3 如图，在 △ ABC 和 △ DEF 中， AB = 2 DE ， AC = 2 DF ， ∠ A = ∠ D . 若 △ ABC 的边 BC 上的高为 6 ，面积为 ，求 △ DEF 的边 EF 上的高和面积 . A B C D E F ∵ △ ABC 的边 BC 上的高为 6 ，面积为 ， ∴ △ DEF 的边 EF 上的高为 × 6 = 3 ， 面积为 如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______ . 练一练 例 4 如图， D ， E 分别是 AC ， AB 上的点，已知 △ ABC 的面积为 100 cm 2 ，且 ，求 四边形 BCDE 的面积. 　 ∴ △ ADE ∽ △ ABC . ∵ 它们的相似比为 3 : 5 ， ∴ 面积比为 9 : 25 . B C A D E 解： ∵ ∠ BA C = ∠ DAE ，且 又 ∵ △ ABC 的面积为 1 00 cm 2 ， ∴ △ A DE 的面积为 36 cm 2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 ( cm 2 ) . B C A D E 如图，△ ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 AB 、 AC 、 BC 上，且 DE∥BC ， EF∥AB . 当 D 点为 AB 中点时，求 S 四边形 BFED : S △ ABC 的值 . A B C D F E 练一练 解：∵ DE∥BC ， D 为 AB 中点， ∴ △ ADE ∽ △ ABC ， 相似比为 1 : 2 ， 面积比为 1 : 4. ∴ A B C D F E 又 ∵ EF∥AB ， ∴ △ EFC ∽ △ ABC ，相似比为 1 : 2 ， 面积比为 1 : 4. 设 S △ ABC = 4 ，则 S △ ADE = 1 ， S △ EFC = 1 ， S 四边形 BFED = S △ ABC － S △ ADE － S △ EFC = 4 － 1 － 1 = 2 ， ∴ S 四边形 BFED : S △ ABC = 2 : 4 = 1. 判断： ( 1 ) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) ( 2 ) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( ) √ × 当堂练习 3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于 ______ ， 面积 比等于 _____. 1 : 2 1 : 4 2. 在 △ ABC 和 △ DEF 中， AB ＝ 2 DE ， AC ＝ 2 DF ， ∠ A ＝∠ D ， AP ， DQ 是中线，若 AP ＝ 2 ，则 DQ 的值为 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 1 D. C 4 . 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm ， 若较大三角形的周长是 42 cm ，面积是 12 cm 2 ，则 较小三角形的周长 ____ cm ，面积为 ____ cm 2 . 14 5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 ( 点 A ) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米， 则地面上阴影部分的面积约为多少 ( 结果保留两位 小数 ) ？ A D E F C B H 解： ∵ FH = 1 米， AH = 3 米， 桌面的直径为 1.2 米， ∴ AF = AH － FH = 2 ( 米 ) ， DF = 1.2 ÷ 2 = 0.6 ( 米 ). ∵ DF∥CH ， ∴ △ ADF ∽ △ ACH ， A D E F C B H ∴ 即 解得 CH = 0.9 米 . ∴ 阴影部分的面积为： ( 平方米 ). 答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米 . 6. △ ABC 中， DE∥BC ， EF∥AB ，已知 △ ADE 和 △ EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ ABC 的面积 . A B C D F E 解： ∵ DE∥BC ， EF∥AB ， ∴ △ ADE ∽ △ ABC ， ∠ ADE =∠ EFC ， ∠ A =∠ CEF ， ∴ △ ADE ∽ △ EFC . 又 ∵ S △ ADE : S △ EFC = 4 : 9 ， ∴ AE : EC =2:3 ， 则 AE : AC =2 : 5 ， ∴ S △ ADE : S △ ABC = 4 : 25 ， ∴ S △ ABC = 25. 7. 如图，△ ABC 中， DE∥BC ， DE 分别交 AB 、 AC 于 点 D 、 E ， S △ ADE ＝ 2 S △ DCE ，求 S △ ADE ∶ S △ ABC . 解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F ，则 ∴ 又∵ DE∥BC ， ∴ △ ADE ∽△ ABC . A B C D E ∴ 即 S △ ADE : S △ ABC ＝4 : 9 . A B C D E 相似三角形的性质 2 课堂小结 相似三角形面积之比等于相似比的平方 性质的应用 22.4 图形的位似变换 第 1 课时 位似图形 1. 掌握位似图形的概念、性质和画法 . ( 重点 ) 2. 掌握位似与相似的联系与区别 . ( 难点 ) 学习目标 导入新课 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？ 图片引入 连接图片上对应的点，你有什么发现？ 问题 1 ： 下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？ 位似图形的概念 一 观察与思考 讲授新课 问题 2 ： 下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于 点 O . 有什么关系？ A B C D E E' D' C' B' A' O 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P ， P̍ 所在的直线都过同一点 O , 且 OP ̍ = k · OP （ k≠0 ） , 那么这样的两个多边形叫做 位似多边形 ，点 O 叫做 位似中心 . 其中 k 为相似多边形的相似比 . 概念学习 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 1. 画出下列图形的位似中心： 练一练 2. 如图， BC∥ED ，下列说法不正确的是 ( ) A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. B 与 D 、 C 与 E 是对应位似点 D. AE : AD 是相似比 D D E A B C 位似图形的性质 二 合作探究 从左图中我们可以看到，△ OAB∽ △ OA′B′ ， 则 ， AB∥A ′ B ′. 右图呢？你得到了什么？ A B E C D O A′ B′ C′ D′ E′ A B C O A′ B′ C′ 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似 图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比 相等． 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于相似比．（ 位似图形的相似比也 叫做位似比） 3. 对应线段平行或者在一条直线上 ． 归纳： 如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形 A ′ B ′ C ′ D ′ ，若 OB : O ′ B ′ ＝ 1 : 2 ，则四边形 ABCD 的面积与四边形 A ′ B ′ C ′ D ′ 的面积比为 ( ) A ． 4∶1 B ． ∶ 1 C ． 1∶ D ． 1∶4 D O 练一练 例 1 ： 如图，已知△ ABC ，以点 O 为位似中心画△ DEF ，使其与△ ABC 位似，且位似比为 2 . 解：画射线 OA , OB , OC ; 在射线 OA , OB , OC 上分别取点 D , E , F , 使 OD = 2 OA , OE = 2 OB , OF = 2 OC ; 顺序连接 D , E , F , 使△ DEF 与△ ABC 位似 , 相似比为 2 . A B C F E D O 想一想： 你还有其他的画法吗？ 位似多边形的画法 三 A B C 画法二： △ ABC 与△ DEF 异侧 解：画射线 OA , OB , OC ; 沿着射线 OA , OB , OC 反方向上分别取点 D , E , F , OD = 2 OA , OE = 2 OB , OF = 2 OC ; 顺序连接 D , E , F , 使△ DEF 与△ ABC 位似 , 相似比为 2 . O E F D (3 ) 顺次连接点 A' 、 B' 、 C' 、 D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形． O D A B C A' B' C' D' 例 2 把四边形 ABCD 缩小到原来的 1/2 . (1 ) 在四边形外任选一点 O ( 如图 ) ； (2 ) 分别在线段 OA 、 OB 、 OC 、 OD 上取点 A' 、 B' 、 C' 、 D' ，使得 ； 利用位似，可以将一个图形放大或缩小 思考： 对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O ，分别在 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的反 向延长线上取 A′ 、 B′ 、 C′ 、 D ′ ，使得 呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形． O D A B C A' B' C' D' O D A B C A' B' C' D' 如图，△ ABC . 根据要求作△ A'B'C' ，使△ A' B' C' ∽△ ABC ，且相似比为 1 : 5. ( 1 ) 位似中心在△ ABC 的一条边 AB 上； 练一练 A C B O ● A′ B′ C′ ● ● 假设位似中心点 O 为 AB 中点 ，点 O 位置如图所示 . 根据相似比可确定 A ′ ， B ′ ， C ′ 的位置 . ● ( 2 ) 以点 C 为位似中心 . C A B A′ B′ ( C′ ) ● ● ● 例 3 ： 如图，四边形 ABCD 是一个待测绘的小区.在区内选一个测绘点 O （图中已被图板遮住），将图板上测绘图纸的点O 1 对准测绘点O，再由点 O 1 对准点 A ， B ， C ， D 在纸上作射线 O 1 A ， O 1 B，O 1 C，O 1 D 的距离，并按同一比例缩小，在图纸的对应射线上定出点 A 1 ，B 1 ，C 1 ，D 1 ，依次连接 A 1 B 1 ，B 1 C 1 ，C 1 D 1 ，D 1 A 1 ，即得该小区缩小的平面图. D O 1 A C A 1 B 1 C 1 D 1 B ◑画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关 键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的 关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 归纳： ◑利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点． ◑位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. 当堂练习 A B C D 1. 选出下面不同于其他三组的图形 ( ) B 2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位似图形，若 AB : FG = 2 : 3 ，则下列结论正确的是 ( ) A. 2 DE = 3 MN B. 3 DE = 2 MN C. 3∠ A = 2∠ F D. 2∠ A = 3∠ F B A B E C D N F G H M 3. 下列说法： ①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ 位似，则其中 △ ABC 与 △ A′B′C′ 也是位似的，且位似比相等 . 其中正确的有 . ①④ 4. 如图，△ ABC 与△ DEF 是位似图形，位似比为 2 : 3 ，已知 AB ＝ 4 ，则 DE 的长为 _____ ． 6 5. 已知点 O 在△ ABC 内，以点 O 为位似中心画一个三角形，使它与△ ABC 位似，且位似比为 1 : 2 . A B C 解：画射线 OA , OB , OC ; 在射线 OA , OB , OC 上分别取点 D , E , F , 使 OA = 2 OD , OB = 2 OE , OC = 2 OF ; 顺序连接 D , E , F , 使△ DEF 与△ ABC 位似 , 位似比为 1 ： 2 . D E F 6. 如图， F 在 BD 上， BC 、 AD 相交于点 E ，且 AB∥CD∥EF ， ( 1 ) 图中有哪几对位似三角形 ? 选其中一对加 以证明； 答案： △ DFE 与 △ DBA ，△ BFE 与 △ BDC ，△ AEB 与 △ DEC 都是位似图形；证明略 . ( 2 ) 若 AB =2， CD =3，求 EF 的长 . 解：∵ △ BFE ∽△ BDC ，△ AEB ∽△ DEC ， AB =2， CD =3， ∴ ∴ 解得 位似的概念及画法 位似图形的概念 课堂小结 位似图形的性质 画位似图形 22.4 图形的位似变换 第 2 课时 图形在平面直角坐标系中的位似变换 1 . 理解平面直角坐标系中，位似图形对应 点的坐标之 间的联系． 2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握 把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变 化的规律 . ( 重点、难点 ) 3. 了解四种 图形变换 ( 平移、轴对称、旋转和位似 ) 的 异同，并能在复杂图形中找出来这些变换 . 学习目标 导入新课 复习引入 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相 交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ， 这个交点叫做 ． 位似图形上任意一对对应 点到位似中心的距离之比等于 ， 对应线段 . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形 ? 位似图形 位似中心 相似比 ( 或位似比 ) 平行或者在一条直线上 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型： 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些 平移、轴对称和旋转 ( 中心对称 ) . 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ 平面直角坐标系中的位似变换 一 讲授新课 1. 在平面直角坐标系中，有两点 A ( 6 ， 3) ， B (6 ， 0) ． 以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩 小，观察对应点之间坐标的变化 . 合作探究 2 4 6 4 6 B' － 2 － 4 － 4 x y A B A' A" B" O 如图，把 AB 缩小后 A ， B 的对应点为 A′ ( ， ) ， B' ( ， ) ； A" ( ， ) ， B" ( ， ). 2 1 2 0 －2 － 1 － 2 0 2. △ ABC 三个顶点坐标分别为 A ( 2 ， 3) ， B ( 2 ， 1) ， C (5 ， 2) ，以点 O 为位似中心，相似比为 2 ，将 △ ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化 . 2 4 6 4 6 － 2 － 4 － 4 x y A B 2 8 10 C － 2 － 6 － 8 － 10 － 8 B' A' C' A" B" C" 如图，把 △ ABC 放大后 A ， B ， C 的对应点为 A' ( ， ) ， B' ( ， ) ， C' ( ， ) ； A" ( ， ) ， B" ( ， ) ， C" ( ， ). 4 6 4 2 10 4 － 4 － 6 － 4 － 2 － 10 － 4 问题 1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 问题 2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个 图形的位似图形可以作两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比为 k ；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的 坐标的比为－ k ． 3. 当 k ＞ 1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0 ＜ k ＜ 1 时，图形缩小为原来的 k 倍． 归纳： 1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A ( 4，4 ) ， B ( 6，2 ) ，以原点 O 为位似中心，在第一象限内 将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD ，则 端点 D 的坐标为 ( ) A . ( 2，2 ) B . ( 2，1 ) C . ( 3，2 ) D . ( 3，1 ) 练一练 D x y A B C D 2. △ ABC 三个顶点 A (3 ， 6) ， B ( 6，2 ) ， C (2 ，－ 1) ， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △ A′B′C′ 三 个顶点分别为 A′ (1 ， 2) ， B′ (2 ， ) ， C′ ( ， ) ， 则 △ A′B′C′ 与 △ ABC 的位似比是 . 1 : 3 典例精析 例 1 如图， 在平面直角坐标系中，△ ABO 三个 顶点的坐标分别为 A ( － 2 ， 4 ) ， B ( － 2 ， 0 ) ， O (0 ， 0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ AB O 的相似比为 3 : 2. 2 4 6 2 － 2 － 4 x y A B O 2 4 6 2 － 2 － 4 x y A B O 提示： 画三角形关键 是确定它各顶点的坐 标 . 根据前面的归纳 可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ， 即 ( － 3 ， 6) ，类似地， 可以确定其他顶点的 坐标 . 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ ( － 3 ， 6) ， B′ ( － 3 ， 0) ， O (0 ， 0). A′ B′ 顺次连接点 A′ ， B′ ， O ，所得的 △ A′ B′ O 就是要画的一个图形 . 还有其他画法吗？自己试一试. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0 ， 0) ， A (6 ， 0) ， B (3 ， 6) ， C ( － 3 ， 3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3. 练一练 O C 解： 画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面直 角坐标系中描点 O (0 ， 0) ， A' (4 ， 0) ， B' (2 ， 4) ， C′ ( － 2 ， 2) ， 用线段顺次连接 O ， A' ， B' ， C' . 2 4 6 4 6 B' － 2 － 4 － 4 x y A B A' C' 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面 直角坐标系中描点 O (0 ， 0) ， A″ ( － 4 ， 0) ， B″ ( － 2 ，－ 4) ， C″ (2 ，－ 2) ， 用线段顺次连接 O ， A″ ， B″ ， C″ . O C 2 4 6 4 6 B″ － 2 － 4 － 4 x y A B A″ C″ 平面直角坐标系中的图形变换 二 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 将图中的 △ ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． ( 1 ) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； ( 2 ) 关于 x 轴对称； ( 3 ) 以 C 为位似中心，将 △ ABC 放大 2 倍； ( 4 ) 以 C 为中心，将 △ ABC 顺时针旋 转 180° ． 练一练 x y A B C 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘以 2 ，横坐标不变 B . 将各点的横坐标除以 2 ，纵坐标不变 C . 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2 D . 将各点的纵坐标减去 2 ，横坐标加上 2 C 当堂练习 2. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位 似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( ) A ． (4 ，－ 3) B ． (4 ，－ 2) C ． (4 ，－ 4) D ． (4 ，－ 6) A 3. 如图所示，某学习小组在讨论 “ 变化的鱼 ” 时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 ( a ， b ) 对应大鱼上的点 . ( － 2 a ，－ 2 b ) 4. 原点 O 是 △ ABC 和 △ A′B′C′ 的位似中心，点 A ( 1，0 ) 与点 A′ ( －2，0 ) 是对应点， △ ABC 的面积 是 ，则 △ A′B′C′ 的面积是 . 6 5 . 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中 ， 点 A 和 点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正 方形的位似中心的坐标是_____ ____ __________． (1 ， 0) 或 ( － 5 ，－ 2) O x 6. △ ABC 三个顶点坐标分别为 A ( 2 ，－ 2 ) ， B (4 ，－ 5) ， C ( 5 ，－ 2) ，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放 大为原来的 2 倍． C 2 4 6 － 4 x y A B 2 － 2 答案： A' ( 4 ，－ 4) ， B' ( 8 ， － 10) ， C' ( 10 ，－ 4) ； B' A' C' A" B" C" A″ ( － 4 ， 4) ， B″ ( － 8 ， 10) ， C″ ( － 10 ， 4). 7. 在 13×13 的网格图中，已知 △ ABC 和点 M ( 1，2 ). x y A B C ( 1 ) 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ ABC 的 位似图形 △ A′B′C′ ； M A ′ B′ C′ 解：如图所示 . ( 2 ) 写出 △ A′B′C′ 的各顶点坐标 . 答：△ A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3 ， 6) ， B′ (5 ， 2) ， C′ (11 ， 4). 8. 如图，点 A 的坐标为 (3 ， 4)，点 O 的坐标为 (0 ， 0)， 点 B 的坐标为 (4 ， 0). 4 x y A B 4 3 ( 1 ) 将 △ AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位长度后得 △ A 1 O 1 B 1 ， 则点 A 1 的坐标为 ， △ A 1 O 1 B 1 的面积为 ； (2 ， 4) 8 ( 2 ) 将 △ AOB 绕原点旋转 180° 后得 △ A 2 O 2 B 2 ，则点 A 2 的 坐标为 ； ( － 3 ，－ 4) ( 3 ) 将 △ AOB 沿 x 轴翻折 后得 △ A 3 O 3 B 3 ，则点 A 3 的 坐标为 ； ( 4 ) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △ AOB 放大 后得 △ A 4 O 4 B 4 ，若点 B 在 x 轴负半轴上，则点 A 4 的坐标为 ，△ A 4 O 4 B 4 的面积为 . 4 x y A B 4 3 (3 ，－ 4) ( － 6 ，－ 8) 32 平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换 课堂小结 平面直角坐标系中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中的位似图形的画法 第 22 章 相似形 22.5 综合与实践 1. 通过测量旗杆的高度的活动，并复习巩固相似三角形有关知识 . （重点） 2. 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题 . （难点） 学习目标 世界上最高的树 —— 红杉 导入新课 乐山大佛 台北 101 大楼 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题 . 利用相似三角形测量高度 一 讲授新课 据传说 ， 古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理 ， 在金字塔影子的顶部立一根木杆 ， 借助太阳光线构成两个相似三角形 ， 来测量金字塔的高度 . 例 1 如图，木杆 EF 长 2 m ， 它的影长 FD 为 3m ， 测得 OA 为 201 m ， 求金字塔的高度 BO . 怎样测出 OA 的长？ 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠ BAO =∠ EDF . 又 ∠ AOB =∠ DFE = 90° ， ∴△ ABO ∽△ DEF . ∴ ， ∴ =134 (m) . 因此金字塔的高度为 134 m. 表达式： 物 1 高 ：物 2 高 = 影 1 长 ：影 2 长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“ 在同一时刻物高与影长成正比例 ”的原理解决 . 归纳： 1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE ， 测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即 可，则下面能用来求 AB 长的等 式是 ( ) A ． B ． C ． D ． C 练一练 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米， AB = 10 米，则旗杆的高度是 ______ 米． 8 例 2 如图， 左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m ， 两树底部的距离 BD = 5 m ， 一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m ，她 沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了 ? 分析： 如图，设观察者眼睛的位置 ( 视点 ) 为点 F ， 画出观察者的水平视线 FG ， 它交 AB ， CD 于点 H ， K . 视线 FA ， FG 的夹角 ∠ AFH 是观察点 A 的仰角 . 类似地 ， ∠ CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 ( 盲区 ) 之内 . 再往前走就根本看不到 C 点了 . 由此可知，如果观察者继续前进， 当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树 的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A ， C 恰在一条 直线上． ∵ AB ⊥ l ， CD ⊥ l ， ∴ AB∥CD . ∴ △ AEH ∽ △ CEK . ∴ ， 即 解得 EH =8. 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“ 利用标杆测量高度 ”的原理解决 . 练一练： 如图，小明为了测量一棵树 CD 的高度，他在距树 24m 处立了一根高为 2m 的标杆 EF ，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距 27m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上 . 已知小明的眼高 1.6m ，求树的高度 . 解析： 人、树、标杆相互平行，添加辅助线，过点 A 作 AN ∥ BD 交 I D 于 N ，交 EF 于 M ，则可得△ AEM ∽△ ACN. A E C D F B N A E C D F B N 解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N ，交 EF 于 M ，因为人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ ABF=∠EFD=∠CDF =90°, ∴ AB∥EF∥CD, ∴∠ EMA=∠CNA. ∵ ∠ EAM=∠CAN, ∴△ AEM ∽△ ACN , ∴ . ∵ AB =1.6m , EF =2m , BD =27m , FD =24m , ∴ , ∴ CN =3.6 （ m ）， ∴ CD =3.6+1.6=5.2 （ m ） . 故树的高度为 5.2m. A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ ABO ∽△ AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 例 3 ： 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图， ①在距离树 AB 底部 15m 的 E 处放下镜子； ②该同学站在距离镜子 1.2m 的 C 处，目高 CD 为 1.5m ； ③观察镜面，恰好看到树的顶端 . 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？ 解：∵∠ 1=∠2,∠ DCE =∠ BAE =90°, ∴△ DCE ∽△ BAE . ∴ , 解得 BA =18.75 （ m ） . 因此，树高约为 18.75m. D B A C E 2 1 测高方法三： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“ 利用镜子的反射测量高度 ”的原理解决 . 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米， D P = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 B 试一试： 利用三角形相似测高的模型： 归纳总结 测量倾斜角（下一章讲计算） 二 0 30 30 60 60 90 90 P Q 度盘 铅锤 支杆 问题 1 ： 如何测量倾斜角？ 测量倾斜角可以用测倾器， ---- 简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成 0 30 30 60 60 90 90 1. 把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的 0° 刻度线重合，这时度盘的顶线 PQ 在水平位置 . P Q 问题 2 ： 如何使用测倾器？ 0 30 30 60 60 90 90 2. 转动转盘，使度盘的直径对准目标 M ，记下此时铅垂线所指的度数 . M 30° 问题 3 ： 如何测量旗杆的高度？ A C M N E 在现实生活中，我们可以直接在旗杆下来回行走，所以只需测量一次角度（如图中的α）就可以确定旗杆的高度 . α 所谓 “ 底部可以到达 ” ，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图 CE 的长度 . A C M N 1. 在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角 ∠MCE=α ； E 2. 量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l ； 3 . 量出测倾器的高度 AC = a ，可求出 MN 的高度 . MN = ME + EN = l ·tan α + a α 问题 4 ： 测量旗杆的高度的步骤是怎么样的呢？ 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高 度应为 ( ) A . 45米 B . 40米 C . 90米 D . 80米 当堂练习 2 . 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m A A 3. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点光源的反射光线，并测得 AB ＝10 c m， BC ＝ 20 cm， PC ⊥ AC ，且 PC ＝24 cm，则点光源 S 到平 面镜的距离 SA 的长度为 . 12 cm 4. 如 图 ，利用标杆 BE 测量建筑物的高度。如果标杆 BE 高 1.2m ，测得 AB =1.6m ， BC =12.4m ，楼高 CD 是多少？ 解： ∴ EB ∥ CD ∴△ ABE ∽△ ACD CD =10.5m. ∵ EB ⊥ AC , CD ⊥ AC 1.2m 12.4m 1.6m 5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调 整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度 . A B C D G E F A B C D G E F 解：由题意可得：△ DEF ∽△ DCA ， ∵ DE =0.5米， EF =0.25米， DG =1.5米， DC =20米， 则 解得： AC = 10， 故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 ( m ). 答：旗杆的高度为 11.5 m . ∴ 6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影 长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面 长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗 杆的高度． A B C D E 解：如图：过点 D 作 DE ∥ BC ，交 AB 于点 E ， ∴ DE = CB = 9.6 m ， BE = CD = 2 m ， ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例， ∴ EA : ED =1 : 1.2， ∴ AE = 8 m ， ∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m) ， ∴ 学校旗杆的高度为 10 m. A B C D 利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 课堂小结 利用标杆 利用镜子的反射 利用测角器 ( 下章讲如何计算 ) 小结与复习 第 22 章 相似形 ( 1 ) 形状相同的图形 ( 2 ) 相似多边形 要点梳理 ( 3 ) 相似比：相似多边形对应边的比 1. 图形的相似 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各 对应角相等 、各 对应边成比例 . ◑ 通过定义 ◑ 平行于三角形一边的直线 ◑ 三边成比例 ◑ 两边成比例且夹角相等 ◑ 两角分别相等 ◑ 两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 ( 三个角分别相等，三条边成比例 ) 2. 相似三角形的判定 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、 角 平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 3. 相似三角形的性质 ( 1 ) 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. ( 不能直接使用皮尺或刻度尺量的 ) ( 不能直接测量的两点间的距离 ) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. ( 2 ) 测距 4. 相似三角形的应用 ( 1 ) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，那么这样的两个图形叫做 位 似图形 ，这个点叫做 位似中心 . ( 这时的相似 比也称为 位似比 ) 5. 位似 ( 2 ) 性质 ： 位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上. ( 3 ) 位似性质的 应用 ：能将一个图形 放大 或 缩小. A B G C E D F ● P B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C E D F ● P ( 4 ) 平面直角坐标系中的 位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k ；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－ k. 例 1 如图，△ ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC ＝120 mm，高 AD ＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ A B C D E F G H 解：设正方形 EFHG 为加工成的 正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E 、 F 分别在 AB 、 AC 上，△ ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M ，设正方形的 边长为 x mm. M 考点讲练 考点一 相似三角形的判定和性质 ∵ EF // BC ， ∴△ AEF ∽△ ABC ， 又 ∵ AM ＝ AD － MD ＝ 80 － x ， 解得 x = 48. 即这个正方形零件的边长是 48 mm. A B C D E F G H M 则 ∴ 证明： ∵ △ ABC 是等边三角形， ∴∠ BAC ＝∠ ACB ＝ 60° ， ∠ ACF ＝ 120° ． ∵ CE 是外角平分线， ∴∠ ACE ＝ 60° ， ∴∠ BAC ＝∠ ACE ． 又 ∵∠ ADB ＝∠ CDE ， ∴△ ABD ∽△ CED ． 例 2 如图，△ ABC 是等边三角形， CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E . ( 1 ) 求证：△ ABD ∽△ CED ； A B C D F E ( 2 ) 若 AB = 6， AD = 2 CD ，求 BE 的长. 解：作 BM ⊥ AC 于点 M . ∵ AC ＝ AB ＝6， ∴ AM ＝ CM ＝3 . ∵ AD ＝ 2 CD ， ∴ CD ＝ 2 ， AD ＝ 4 ， MD ＝ 1. A B C D F E M 在 R t △ BDM 中， 由 (1) △ ABD ∽ △ C ED 得， 即 ∴ A B C D F E M 针对训练 1 ． 如图所示 , 当满足下列条件之一时，都可判定 △ ADC ∽△ ACB ． ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) . ∠ ACD =∠ B ∠ ACB =∠ ADC B C A D 或 AC 2 = AD · AB 2. △ ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的 △ DEF 的最小边长为 15，则 △ DEF 的其他两条 边长为 ． 36 和 39 3 . 如图，△ ABC 中， AB =9， AC =6，点 E 在 AB 上 且 AE =3，点 F 在 AC 上，连接 EF ，若 △ AEF 与 △ ABC 相似，则 AF = 　　　　 . B C A E 2 或 4.5 4 . 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上， BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F ，则 △ BFE 的面积 与 △ DFA 的面积之比为 . 　　　　　　 1 : 9 考点二 相似的应用 例 3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长． 2m 1.2 m 3.6 m 2m 1.2 m 3.6 m 解：如图， CD ＝3.6m， ∵△ BDC ∽△ FGE ， ∴ BC ＝6m. 在 Rt△ ABC 中， ∵ ∠ A ＝30°， ∴ AB ＝2 BC ＝12 m， 即树长 AB 是 12 m. 即 ∴ 例 4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度 (画出示意图)，并说明理由． 解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜 子 E ，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑 顶 A . 若人眼距地面距离为 CD ，测量出 CD 、 DE 、 BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 根据 ，即可算出 AB 的高． 你还有其他方法吗？ 理由：测量出 CD 、 DE 、 BE 的长，因为∠ CED ＝∠ AEB ，∠ D ＝∠ B ＝90°，易得△ ABE ∽△ CDE . 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？ 针对训练 A B O C D 2m 6m 1.8m 解： ∵∠ ABO =∠ CDO =90° ， ∠ AOB =∠ COD ， ∴△ AOB ∽△ COD . ∴ ∴ 解得 CD = 5.4m. 故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方． A B O C D 2m 6m 1.8m 考点三 位似的性质及应用 针对训练 1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 2. 已知 △ ABC ∽ △ A′B′C′ ，下列图形中， △ ABC 和 △ A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( ) B' A ( A' ) C' B C B' A ( A' ) C' B C B' A ( A' ) C' B C B' A C' B C A' A B C D B 3. 如图， DE∥AB ， CE = 3 BE ，则 △ ABC 与 △ DEC 是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为 ，面积比为 . D A E B C C 4 : 3 16 : 9 4. 在平面直角坐标系中，点 A ， B 的坐标分别为 ( － 6 ， 3) ， ( － 12 ， 9) ，△ AB O 和 △ A′B′ O 是以原点 O 为 位似中心的位似图形 . 若点 A′ 的坐标为 (2 ，－ 1) 则 点 B′ 的坐标为 . (4 ，－ 3) 5. 找出下列图形的位似中心. 6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1， 点 O 和 △ ABC 的顶点均为小正方形的顶点. A B C ( 1 ) 在图中 △ ABC 内部作 △ A′B′ C′ ，使 △ A′B′ C′ 和 △ ABC 位似，且位似中心为点 O ，位似比为 2 : 3. O A′ B′ C′ 解：如图所示 . ( 2 ) 线段 AA′ 的长度是 . 7. 如图，△ ABC 在方格纸中. ( 1 ) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A (2，3)， C (6，2)，并求出 B 点坐标； 解：如图所示， B (2 ， 1). x y O ( 2 ) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内 将 △ ABC 放大，画出放大后的图形 △ A′B′C′ ； x y O A′ B′ C′ 解：如图所示 . ( 3 ) 计算△ A′B′C′ 的面积 S . x y O A′ B′ C′ 解： 课堂小结 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 应用 性质 判定 平行线分线段成比例 定义 定义、判定、性质 见 章末 练习 课后作业