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- 2021-11-10 发布
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4.4
探究三角形相似的条件
第四章 图形的相似
第
3
课时 利用三边判定三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.
掌握相似三角形的判定定理
3
;(重点)
2.
能熟练运用相似三角形的判定定理
3
.(难点)
学习目标
⑴
定义法
:
三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形相似
.
问题
1
:
判定两个三角形相似我们学过了哪些方法
?
⑵
*
引理
:
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形
相似
.
(也可由
AA
证明得到相似)
复杂
烦琐!
具备两个条件:
(1) DE∥BC
;
(2)
两个三角形在同一图形中
.
A
B
D
C
E
限制条件啦!
导入新课
复习与回顾
思考:
类比全等三角形的判定方法,还有其他判定两个三角形相似的方法吗?
(3)
判定定理
1
:
两角分别相等的两个三角形相似
.
(4)
判定定理
2
:
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
.
导入新课
猜想:
△
ABC
∽△
A
1
B
1
C
1
A
1
B
1
C
1
C′
B′
A′
如果
:
相似三角形的判定定理
3
一
边边边
S
S
S
有效利用判定定理一去求证
证明:在△
A
1
B
1
C
1
的边
A
1
B
1
(或延长线)上截取
A
1
D=AB
,
过点
D
作
DE
∥
B
1
C
1
交
A
1
C
1
于点
E
.
∵
DE
∥
B
1
C
1
,
∴
△
ADE
∽△
A
1
B
1
C
1
.
A
B
C
A
1
B
1
C
1
D
E
∴
又
A
1
B
1
C
1
A
B
C
D
E
∴
∴
∴
(
SSS
)
∵
∴
判定三角形相似的定理
3:
三边成比例的两个三角形相似
.
△
ABC
∽△
A
1
B
1
C
1
.
∵
∴
A
1
B
1
C
1
A
B
C
归纳总结
几何语言:
例
1
判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由.
A
B
C
D
F
E
解:在
△
ABC
中
,
AB
>
BC
>
CA
,
在
△
DEF
中,
DE
>
EF
>
FD.
∴
△
ABC
∽ △
DEF.
3
1.8
3.5
2.1
4
2.4
相似三角形
的判定定理
3
的运用
二
判定三角形相似的方法之一:如果题中给出了两个三角形的三边的长,分别算出三条对应边的比值,看是否相等,
计算时最长边与最长边对应,最短边与最短边对应
.
方法归纳
已知
△
ABC
和
△
DEF
,
根据下列条件判断它们是否相似
.
(3)
AB
=12
,
BC
=15
,
AC
=
24.
DE
=
16
,
EF
=
20
,
DF
=
30.
(2)
AB
=4
,
BC
=8
,
AC
=
10.
DE
=
20
,
EF
=
16
,
DF
=
8.
(1)
AB
=3
,
BC
=4
,
AC
=
6.
DE
=
6
,
EF
=
8
,
DF
=
9.
是
否
否
(注意:大对大,小对小,中对中.)
练一练
例
2:
如图所示,在△
ABC
和△
ADE
中, ∠
BAD
=20°,
求∠
CAE
的度数
.
解:∵
∴△
ABC
∽△
ADE
(
三边成比例的两个三角形相似
).
∴∠
BAC
=
∠
DAE
.
∴∠
BAC
-
∠
DAC
=∠
DAE
-
∠
DAC
.
即 ∠
BAD
=∠
CAE
.
∵∠
BAD
=20°
.
∴∠
CAE
=20°
.
A
B
C
D
E
例
3:
如图,在
Rt△
ABC
与
Rt△
A′B′C
′
中,
∠
C
=∠
C
′
= 90
°
,
且
求证:△
A′B′C
′
∽△
ABC
.
证明:由已知条件得
AB
=2
A
′
B
′,
AC
=2
A
′
C
′
从而
BC
2
=
AB
2
-
AC
2
=
(
2
A
′
B
′
)
2
-
(
2
A
′
C
′
)
2
= 4
A
′
B
′
2
– 4
A
′
C
′
2
=4
(
A
′
B
′
2
-
A
′
C
′
2
)
= 4
B
′
C
′
2
=
(
2
B
′
C
′
)
2
.
从而
由此得出,
BC
=2
B
′
C
′
因此
△
A′B′C′
∽△
ABC
.
(
三边对应成比例的两个三角形相似
)
1.
如图
,
△
ABC
与
△
A′B′C
′
相似吗
?
你用什么方法来支持你的判断
?
C
B
A
A
′
B
′
C
′
解:这两个三角形相似.
设
1
个小方格的边长为
1
,则
当堂练习
2.
在△
ABC
和△
A′B′C
′
中,已知:
AB
=
6cm
,
BC
=
8cm
,
AC
=
10cm
,
A′B
′
=
18cm
,
B′C
′
=
24cm
,
A′C
′
=
30cm
.求证:△
ABC
与△
A′B′C
′
相似.
证明:
∵
∴
∴
△
ABC
∽△
A′B′C
′
(
三边成比例的两个三角形相似
)
.
A
C
B
C′
A′
B′
3
.
如图,某地四个乡镇建有公路,已知
AB=14
千米,
AD=28
千米,
BD=21
千米,
BC=42
千米
,DC=31.5
千米,公路
AB
与
CD
平行吗?说出你的理由
.
解:公路
AB
与
CD
平行
.
∵
14
28
21
42
31.5
A
B
C
D
∴ △ABD∽△BDC,
∴ ∠ABD=∠BDC
∴ AB∥DC
5.
已知:如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线.求证:△ABC∽△FED
D
A
B
C
E
F
证明:
∵
DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= BC,DF= AC,EF= AB
∴ △ABC∽△FED
利用三边判定三角形相似
定理:三边对应成比例的两个三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理
3
的运用
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