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  • 2021-11-10 发布

中考数学解题指导专题9:几何三大变换之对称探讨

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1 【2013 年中考攻略】专题 9:几何三大变换之轴对称探讨 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形,并使这两个 图形关于某一条直线成轴对称,这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质: (1)成轴对称的两个图形全等;(2)如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识,是中考数学的必考内容。 结合 2012 年全国各地中考的实例,我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换:(1)轴对称和轴对 称图形的识别和构造;(2)线段、角的轴对称性;(3)等腰(边)三角形的轴对称性;(4)矩形、菱形、 正方形的轴对称性;(5)等腰梯形的轴对称性;(6)圆的轴对称性;(7)折叠的轴对称性;(8)利用轴对 称性求最值;(9)平面解析几何中图形的轴对称性。 一、轴对称和轴对称图形的识别和构造: 典型例题: 例 1. (2012 重庆市 4 分)下列图形中,是轴对称图形的是【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】轴对称图形。 【分析】根据轴对称图形的概念,轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此, A、不是轴对称图形,故本选项错误; B、是轴对称图形,故本选项正确; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、不是轴对称图形,故本选项错误。 故选 B。 例 2. (2012 广东湛江 4 分)在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是【 】 A. B. C. D. 【答案】A。 【考点】轴对称图形。 【分析】根据轴对称图形的概念,轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合,因此 2 A、是轴对称图形,符合题意;B、不是轴对称图形,不符合题意; C、不是轴对称图形,不符合题意;D、不是轴对称图形,不符合题意。 故选 A。 例 3. (2012 四川达州 3 分)下列几何图形中,对称性与其它图形不同的是【 】 【答案】A。 【考点】轴对称图形,中心对称图形。 【分析】根据轴对称及中心对称的定义,分别判断各选项,然后即可得出答案: A、是轴对称图形,不是中心对称图形;B、既是轴对称图形也是中心对称图形; C、既是轴对称图形也是中心对称图形;D、既是轴对称图形也是中心对称图形。 故可得选项 A 与其他图形的对称性不同。故选 A。 例 4. (2012 广西柳州 3 分)娜娜有一个问题请教你,下列图形中对称轴只有两条的是【 】 【答案】C。 【考点】轴对称图形。 【分析】根据轴对称图形的概念,分别判断出四个图形的对称轴的条数即可: A、圆有无数条对称轴,故本选项错误; B、等边三角形有 3 条对称轴,故本选项错误; C、矩形有 2 条对称轴,故本选项正确; D、等腰梯形有 1 条对称轴,故本选项错误。 故选 C。 例 5. (2012 福建三明 8 分)如图,已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(-2,-1), B(-3,-3), C(-1,-3). 3 ①画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1,并写出点 A1 的坐标;(4 分) ②画出△ABC 关于原点 O 对称的△A2B2C2,并写出点 A2 的坐标.(4 分) 【答案】解:①如图所示,A1(-2,1)。 ②如图所示,A2(2,1)。 【考点】轴对称和中心对称作图。 【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图,写出 A1、A2 的坐标。 例 6. (2012 四川乐山 9 分)如图,在 10×10 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1,网格中有一 个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上). (1)在图中作出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1;(要求:A 与 A1,B 与 B1,C 与 C1 相对应) (2)在(1)问的结果下,连接 BB1,CC1,求四边形 BB1C1C 的面积. 【答案】解:(1)如图,△A1B1C1 是△ABC 关于直线 l 的对称图形。 4 (2)由图得四边形 BB1C1C 是等腰梯形,BB1=4,CC1=2,高是 4。 ∴S 四边形 BB1C1C    11 11BB +CC 4= 4+2 =1222   。 【考点】作图(轴对称变换)。 【分析】(1)关于轴对称的两个图形,各对应点的连线被对称轴垂直平分.作 BM⊥直线 l 于点 M,并延 长到 B1,使 B1M=BM,同法得到 A,C 的对应点 A1,C1,连接相邻两点即可得到所求的图形。 (2)由图得四边形 BB1 C1C 是等腰梯形,BB1=4,CC1=2,高是 4,根据梯形的面积公式进行计 算即可。 例 7. (2012 贵州安顺 4 分)在镜中看到的一串数字是“ ”,则这串数字是 ▲ . 【答案】309087。 【考点】镜面对称。 【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面,很容易从镜子里看到答案是 309087。 例 8. (2012 福建宁德 4 分)将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后,再沿图③中的虚线 裁剪,最后将图④中的纸片打开铺平,所得到的图案是【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】剪纸问题 【分析】根据题中所给剪纸方法,进行动手操作,答案就会很直观地呈现,展开得到的图形如选项 B 中所 5 示。故选 B。 例 9. (2012 福建龙岩 12 分)如图 1,过△ABC 的顶点 A 作高 AD,将点 A 折叠到点 D(如图 2), 这时 EF 为折痕,且△BED 和△CFD 都是等腰三角形,再将△BED 和△CFD 沿它们各自的对称轴 EH、FG 折 叠,使 B、C 两点都与点 D 重合,得到一个矩形 EFGH(如图 3),我们称矩形 EFGH 为△ABC 的边 BC 上的折合矩形. (1)若△ABC 的面积为 6,则折合矩形 EFGH 的面积为 ; (2)如图 4,已知△ABC,在图 4 中画出△ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH; (3)如果△ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形,且 BC=2a,那么,BC 边上的高 AD= , 正方形 EFGH 的对角线长为 . 【答案】解:(1)3。 (2)作出的折合矩形 EFGH: (3)2a ; 2a 。 【考点】新定义,折叠问题,矩形和正方形的性质,勾股定理。 【分析】(1)由折叠对称的性质,知折合矩形 EFGH 的面积为△ABC 的面积的一半, (2)按题意,作出图形即可。 (3)由如果△ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形,且 BC=2a,那么,正方形边长为 a, BC 边上的高 AD 为 EFGH 边长的两倍 2a。 根据勾股定理可得正方形 EFGH 的对角线长为 。 6 例 10.(2012 山东潍坊 3 分)甲乙两位同学用围棋子做游戏.如图所示,现轮到黑棋下子,黑棋下一子后 白棋再下一子,使黑棋的 5 个棋子组成轴对称图形,白棋的 5 个棋子也成轴对称图形.则下列下子方法不 正确的是【 】. [说明:棋子的位置用数对表示,如 A 点在(6,3)] A.黑(3,7);白(5,3) B.黑(4,7);白(6,2) C.黑(2,7);白(5,3) D.黑(3,7);白(2,6) 【答案】C。 【考点】利用轴对称设计图案。 【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形,再由轴对称的定义进行判断即可得出答: A、若放入黑(3,7),白(5,3),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对称图形; B、若放入黑(4,7);白(6,2),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对称图形; C、若放入黑(2,7);白(5,3),则此时黑棋不是轴对称图形,白棋是轴对称图形; D、若放入黑(3,7);白(6,2),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对称图形。 故选 C。 练习题: 1. (2012 浙江宁波 3 分)下列交通标志图案是轴对称图形的是【 】 A. B. C. D. 2. (2012 江苏连云港 3 分)下列图案是轴对称图形的是【 】 A. B. C. D. 3. (2012 贵州遵义 4 分)在 4×4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放,移动其中一个正方形到空 白方格中,与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形,这样的移法共有 ▲ 种. 7 4.(2012 贵州遵义 3 分)把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后,再如图③挖去一个三角形小孔,则 展开后图形是【 】 A. B. C. D. 5.(2012 广西钦州 3 分)如图所示,把一张矩形纸片对折,折痕为 AB,在把以 AB 的中点 O 为顶点的平 角∠AOB 三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形,那么剪 出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】 A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 6. (2012 四川广安 8 分)现有一块等腰三角形板,量得周长为 32cm,底比一腰多 2cm,若把这个三角形 纸板沿其对称轴剪开,拼成一个四边形,请画出你能拼成的各种四边形的示意图,并计算拼成的各个四边 形的两条对角线长的和. 7. (2012 浙江杭州 4 分)如图,平面直角坐标系中有四个点,它们的横纵坐标均为整数.若在此平面直 角坐标系内移动点 A,使得这四个点构成的四边形是轴对称图形,并且点 A 的横坐标仍是整数,则移动后 点 A 的坐标为 ▲ . 8 8. (2012 广东广州 12 分)如图,⊙P 的圆心为 P(﹣3,2),半径为 3,直线 MN 过点 M(5,0)且平行 于 y 轴,点 N 在点 M 的上方. (1)在图中作出⊙P 关于 y 轴对称的⊙P′.根据作图直接写出⊙P′与直线 MN 的位置关系. (2)若点 N 在(1)中的⊙P′上,求 PN 的长. 9. (2012 湖南郴州 6 分)作图题:在方格纸中:画出△ABC 关于直线 MN 对称的△A1B1C1. 二、线段、角的轴对称性: 典型例题: 例 1. (2012 湖北恩施 3 分)如图,AB∥CD,直线 EF 交 AB 于点 E,交 CD 于点 F,EG 平分∠BEF,交 CD 于点 G,∠1=50°,则∠2 等于【 】 9 A.50° B.60° C.65° D.90° 【答案】C。 【考点】平行线的性质,角平分线的定义。 【分析】∵AB∥CD,∴∠BEF+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补)。 ∵∠1=50°,∴∠BEF=130°(等量代换)。 ∵EG 平分∠BEF,∴∠BEG= 1 2 ∠BEF=65°(角平分线的定义)。 ∴∠2=∠BEG=65°(两直线平行,内错角相等定理)。故选 C。 例 2. (2012 海南省 3 分)如图,在△ABC 中,∠B 与∠C 的平分线交于点 O. 过 O 点作 DE∥BC,分别交 AB、AC 于 D、E.若 AB=5,AC=4,则△ADE 的周长是 ▲ . 【答案】9。 【考点】角平分线定义,平行线的性质,等腰三角形的判定。 【分析】∵OB 是∠B 的平分线,∴∠DBO=∠OBC。 又∵DE∥BC,∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。 同理,EO=EC。 又∵AB=5,AC=4, ∴△ADE 的周长=AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9。 例 3.(2012 广东梅州 3 分)如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若 EC=1,则 EF= ▲ . 10 【答案】2。 【考点】角平分线的性质,平行的性质,三角形外角性质,含 30 度 角的直角三角形的性质。 【分析】作 EG⊥OA 于 F, ∵EF∥OB,∴∠OEF=∠COE=15°, ∵∠AOE=15°,∴∠EFG=15°+15°=30°。 ∵EG=CE=1,∴EF=2×1=2。 例 3.(2012 贵州铜仁 5 分)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉 M 到 广场的两个入口 A、B 的距离相等,且到广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一半,A、B、C 的 位置如图所示,请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉 M 的位置,(要求:不写已知、求作、作法和结论, 保留作图痕迹,必须用铅笔作图) 【答案】解:作图如下:M 即为所求。 【考点】作图(应用与设计作图)。 【分析】连接 AB,作出线段 AB 的垂直平分线,在矩形中标出点 M 的位置(以点 C 为圆心, 1 2 AB 长为 半径画弧交 AB 的垂直平分线于点 M)。 11 例 4.(2012 山东德州 8 分)有公路 l1 同侧、l2 异侧的两个城镇 A,B,如下图.电信部门要修建一座信号 发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇 A,B 的距离必须相等,到两条公路 l1,l2 的距离也必须相等, 发射塔 C 应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点 C 的位置.(保留作图痕迹, 不要求写出画法) 【答案】解:作图如下:C1,C2 就是所求的位置。 【考点】作图(应用与设计作图)。 【分析】根据题意知道,点 C 应满足两个条件,一是在线段 AB 的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的 平分线上,所以点 C 应是它们的交点。 (1)作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE;( 2)作线段 AB 的垂直平分线 FG。则射线 OD,OE 与 直线 FG 的交点 C1,C2 就是所求的位置。 练习题: 1. (2012 湖南怀化 3 分)如图,已知 AB∥CD,AE 平分∠CAB,且交 CD 于点 D,∠C=110°,则∠EAB 为【 】 12 A.30° B.35° C.40° D.45° 2. (2012 贵州黔南 4 分)如图,已知直线 AB∥CD,BE 平分∠ABC,交 CD 于 D,∠CDE=1500,则∠C 的度数是【 】 A.1500 B.1300 C.1200 D.1000 3. (2012 云南省 3 分)如图,在 ABC 中,B=67 , C=33 ,AD 是 的角平分线,则∠CAD 的 度数为【 】 4. (2012 浙江嘉兴、舟山 5 分)在直角△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,若 CD=4, 则点 D 到斜边 AB 的距离为 ▲ . 5.(2012 湖南娄底 4 分)如图,FE∥ON,OE 平分∠MON,∠FEO=28°,则∠MFE= ▲ 度. 三、等腰(边)三角形的轴对称性: 典型例题: 例 1. (2012 黑龙江牡丹江 6 分)已知一个等腰三角形的腰长为 5,底边长为 8,将该三角形沿底边上的高 剪成两个三角形,用这个两个三角形能拼成几种平行四边形?请画出所拼的平行四边形,直接写出它们的 对角线的长,并画出体现解法的辅助线 13 【答案】解:能拼成 3 种平行四边形,如图: 图 1 中,对角线的长为 5; 图 2 中,对角线的长为 3 和 73 ; 图 3 中,对角线的长为 4 和 2 13 【考点】拼图,等腰三角形的的性质,平行四边形、矩形的判定和性质,勾股定理。 【分析】根据平行四边形的性质拼图。图 1 中,拼成的平行四边形是矩形,对角线的长为 5;图 2 中,一 条对角线的长为 3,另一条对角线的长为 223 +8 = 73 ;图 2 中,一条对角线的长为 3,另一条对角线的 长为 224 +6 = 52=2 13 。 例 2.(2012 福建三明 4 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A 在第一象限,点 P 在 x 轴上,若以 P,O, A 为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点 P 共有【 】 A. 2 个 B. 3 个 C.4 个 D.5 个 【答案】C。 【考点】等腰三角形的判定。 【分析】如图,分 OP=AP(1 点),OA=AP(1 点),OA=OP(2 点)三种情况讨论。 14 ∴以 P,O,A 为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点 P 共有 4 个。故选 C。 例 3. (2012 湖北荆门 3 分)如图,△ABC 是等边三角形,P 是∠ABC 的平分线 BD 上一点,PE⊥AB 于 点 E,线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F,垂足为点 Q.若 BF=2,则 PE 的长为【 】 A. 2 B. 2 C. D. 3 【答案】C。 【考点】等边三角形的性质,角平分线的定义,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,线段垂直平分线的 性质。 【分析】∵△ABC 是等边三角形,点 P 是∠ABC 的平分线,∴∠EBP=∠QBF=30°, ∵BF=2,FQ⊥BP,∴BQ=BF•cos30°=2× 3 =32 。 ∵FQ 是 BP 的垂直平分线,∴BP=2BQ=2 3 。 在 Rt△BEF 中,∵∠EBP=30°,∴PE= 1 2 BP= 3 。故选 C。 例 4. (2012 上海市 4 分)我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距,在同一个平面内有两个边长 相等的等边三角形,如果当它们的一边重合时,重心距为 2,那么当它们的一对角成对顶角时,重心距为 ▲ . 【答案】4。 【考点】三角形的重心,等边三角形的性质。 【分析】设等边三角形的中线长为 a,则其重心到对边的距离为: 1 a3 , 15 ∵它们的一边重合时(图 1),重心距为 2, ∴ 12 a=23 ,解得 a=3。 ∴当它们的一对角成对顶角时(图 2)重心= 222 a=2 3=433   。 例 5. (2012 黑龙江牡丹江 3 分)矩形 ABCD 中,AB=10,BC=3,E 为 AB 边的中点,P 为 CD 边上的点, 且△AEP 是腰长为 5 的等腰三角形,则 DP= ▲ 【答案】4 或 1 或 9。 【考点】矩形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理。 【分析】如图,根据题意, ∵AB=10,BC=3,E 为 AB 边的中点, ∴AE=5,AD=3。 若 AE=AP=5,则在 Rt△ADP1 中, 由勾股定理,得 DP1=4。 若 AE=PE=5,A 作 EF⊥CD 于点 F,则 EF=3,DF=5 在 Rt△EFP2 中,P2F=4,∴DP2=DF-P2F=1:在 Rt△EFP3 中,P3F=4,∴DP3=DF+P3F=9。 另 AP=EP=5 不成立。 综上所述,DP=4 或 1 或 9。 例 6. (2012 湖北随州 8 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AD 上. 求证:(1)ΔABD≌ΔACD;(2)BE=CE 【答案】证明:(1)∵D 是 BC 的中点,∴BD=CD。 在△ABD 和△ACD 中,∵BD=CD,AB=AC,AD=AD(公共边), ∴△ABC≌△ACD(SSS)。 (2)由(1)知△ABD≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD,即∠BAE=∠CAE。 在△ABE 和△ACE 中, ∵AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AE, ∴△ABE≌△ACE (SAS)。 ∴BE=CE(全等三角形的对应边相等)。 16 【考点】等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质。 【分析】(1)根据全等三角形的判定定理 SSS 可以证得△ABD≌△ACD。 (2)由(1)的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE;根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 △ABE≌△ACE;由全等三角形的对应边相等知 BE=CE。 练习题: 1. (2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分)如图,△ABC 为等边三角形,点 E 在 BA 的延长线上, 点 D 在 BC 边上,且 ED=EC.若△ABC 的边长为 4,AE=2,则 BD 的长为【 】 A.2 B.3 C. 3 D. 3+1 2. (2012 湖北孝感 3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36º,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D.若 AC=2,则 AD 的长是【 】 3. (2012 江苏淮安 3 分)如图,△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点 D,若∠BAC=700,则∠BAD= ▲ 0。 4. (2012 四川泸州 5 分)如图,△ABC 是等边三角形,D 是 AB 边上的一点,以 CD 为边作等边三角形 CDE,使点 E、A 在直线 DC 的同侧,连结 AE。 求证:AE∥BC 17 5. (2012 甘肃白银 10 分)如图,已知△ABC 是等边三角形,点 D、F 分别在线段 BC、AB 上,∠EFB=60°, DC=EF. (1)求证:四边形 EFCD 是平行四边形; (2)若 BF=EF,求证:AE=AD. 四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性: 典型例题: 例 1. (2012 辽宁沈阳 3 分)如图,正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,则图中的等腰直角三 角形有【 】 A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.10 个 【答案】C。 【考点】等腰直角三角形的判定,正方形的性质。 【分析】∵正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O, ∴AB=BC=CD=AD,OA=OB=OC=OD,四个角都是直角,AC⊥BD。 ∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA 八个。故选 C。 例 2. (2012 安徽省 4 分)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖, 更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为 a ,则阴影部分的面积为 18 【 】 A.2 2a B. 3 2a C. 4 D.5 【答案】A。 【考点】正多边形和圆,等腰直角三角形的性质,正方形的性质。 【分析】图案中间的阴影部分是正方形,面积是 2a ,由于原来地砖更换成正八边形,四周一个阴影部分是 对角线为 a 的正方形的一半,它的面积用对角线积的一半来计算: 2 2 211 4222a a a    。故选 A。 例 3. (2012 山西省 2 分)如图,已知菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 的长分别为 6cm、8cm,AE⊥BC 于 点 E,则 AE 的长是【 】 A.5 3cm B. 2 5cm C. 48 cm5 D. 24 cm5 【答案】D。 【考点】菱形的性质,勾股定理。 【分析】∵四边形 ABCD 是菱形,∴CO= 1 2 AC=3,BO= BD=,AO⊥BO, ∴ 2 2 2 2BC= CO +BO 3 +4 5。∴ ABCD 11S BD AC 6 8 2422     菱形 。 又∵ ABCDS BC AE菱形 ,∴BC·AE=24,即  24AE cm5 。故选 D。 例 4. (2012 江苏南通 3 分)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC=8cm,∠AOD=120º,则 AB 的长为【 】 A. 3cm B.2cm C.2 3cm D.4cm 19 【答案】D。 【考点】矩形的性质,平角定义,等边三角形的判定和性质。 【分析】在矩形 ABCD 中,AO=BO= 1 2 AC=4cm, ∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-120°=60°。∴△AOB 是等边三角形。 ∴AB=AO=4cm。故选 D。 例 5. (2012 湖北恩施 3 分)如图,菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3,∠A=120°,则图中阴 影部分的面积是【 】 A. 3 B.2 C.3 D. 2 【答案】A。 【考点】菱形的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】如图,设 BF、CE 相交于点M, ∵菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3, ∴△BCM∽△BGF,∴ CM BC GF BG ,即 CM 2 3 2+3 。 解得 CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。 ∵∠A=120°,∴∠ABC=180°﹣120°=60°。 ∴菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60°=2× 3 32  , 菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60°=3× 3 3 3 22 。 ∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM= 1 2 ×0.8× 3 + ×0.8×33 32  。故选 A。 例 6. (2012 广东深圳 3 分)如图,Rt△ABC 中,C= 90o,以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE,且正方 形对角线交于点 D,连接 OC,已知 AC=5,OC=6 2 ,则另一直角边 BC 的长为 ▲ . 20 例 7. (2012 上海市 12 分)己知:如图,在菱形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD,∠BAF=∠DAE, AE 与 BD 交于点 G. (1)求证:BE=DF; (2)当 DF AD FC DF 时,求证:四边形 BEFG 是平行四边形. 21 【答案】证明:(1)∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB=AD,∠ABC=∠ADF, ∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF,即:∠BAE=∠DAF。 ∴△BAE≌△DAF(ASA)。 ∴BE=DF。 (2)∵四边形 ABCD 是菱形,∴AD∥BC。∴△ADG∽△EBG。∴ AD DG BE BG 。 又∵BE=DF , DF AD FC DF ,∴ DF AD DG FC BE BG。∴GF∥BC。 ∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。 又∵BE=DF ,∴BE=GF。∴四边形 BEFG 是平行四边形。 【考点】菱形的性质,全等三角形的判定和性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形 的判定,平行四边形的判定。 【分析】(1)由菱形的性质和∠BAF=∠DAE,证得△ABF 与△AFD 全等后即可证得结论。 (2)由 AD∥BC 证得△ADG∽△EBG,从而 ;由 和 BE=DF 即可得证得 。从而根据平行线分线段成比例定理证得 FG∥BC,进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC, 根据等腰三角形等角对等边的判定和 BE=DF ,证得 BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边 形。 例 8. (2012 湖南娄底 9 分)如图,在矩形 ABCD 中,M、N 分别是 AD.BC 的中点,P、Q 分别是 BM、 DN 的中点. (1)求证:△MBA≌△NDC; (2)四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形?请说明理由. 【答案】解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∵AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°。 ∵在矩形 ABCD 中,M、N 分别是 AD.BC 的中点,∴AM= 1 2 AD,CN= BC。 ∴AM=CN。 在△MAB 和△NDC 中, ∵AB=CD,∠A=∠C=90°,AM=CN ∴△MAB≌△NDC(SAS)。 (2)四边形 MPNQ 是菱形,理由如下: 22 连接 AN,易证:△ABN≌△BAM, ∴AN=BM。 ∵△MAB≌△NDC,∴BM=DN。 ∵P、Q 分别是 BM、DN 的中点,∴PM=NQ。 ∵DM=BN,DQ=BP,∠MDQ=∠NBP, ∴△MQD≌△NPB(SAS)。 ∴MQ=PN。 ∴四边形 MPNQ 是平行四边形。 ∵M 是 AB 中点,Q 是 DN 中点,∴MQ= 1 2 AN,∴MQ= BM。 又∵MP= BM,∴MP=MQ。∴四边形 MQNP 是菱形。 【考点】矩形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线性质,菱形的判定。 【分析】(1)根据矩形的性质和中点的定义,利用 SAS 判定△MBA≌△NDC。 (2)四边形 MPNQ 是菱形,连接 AN,由(1)可得到 BM=CN,再有中点得到 PM=NQ,再通过 证明△MQD≌△NPB 得到 MQ=PN,从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形,利用三角形中位线的性质可 得:MP=MQ,从而证明四边形 MQNP 是菱形。 例9.(2012湖北黄冈7分)如图,在正方形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,E、F 分别在OD、OC 上,且DE=CF,连接DF、AE,AE 的延长线交DF于点M. 求证:AM⊥DF. 【答案】证明:∵ABCD 是正方形,∴OD=OC。 又∵DE=CF,∴OD-DE=OC-CF,即OF=OE。 在Rt△AOE和Rt△DOF中,∵AO=DO ,∠AOD=∠DOF, OE=OF , ∴△AOE≌△DOF(SAS)。 ∴∠OAE=∠ODF。 ∵∠OAE+∠AEO=90°,∠AEO=∠DEM,∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。 【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角的关系。 【分析】由DE=CF,根据正方形的性质可得出OE=OF,从而证明△AOE≌△DOF,得出∠OAE=∠ODF, 然后利用等角代换可得出∠DME=90°,即得出了结论。 23 例 10.(2012 贵州贵阳 10 分)如图,在正方形 ABCD 中,等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上. (1)求证:CE=CF; (2)若等边三角形 AEF 的边长为 2,求正方形 ABCD 的周长. 练习题: 1. (2012 陕西省 3 分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,OE⊥AB,垂足为 E,若 24 ∠ADC=1300,则∠AOE 的大小为【 】 A.75° B.65° C.55° D.50° 2. (2012 江苏苏州 3 分)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,CE∥BD,DE∥AC.若 AC=4, 则四边形 CODE 的周长是【 】 B O D E C A A.4 B.6 C.8 D. 10 3. (2012 江苏徐州 3 分)如图,在正方形 ABCD 中,E 是 CD 的中点,点 F 在 BC 上,且 FC= 1 4 BC。图 中相似三角形共有【 】 A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 4. (2012 贵州毕节 3 分)如图,在正方形 ABCD 中,以 A 为顶点作等边△AEF,交 BC 边于 E,交 DC 边于F;又以 A 为圆心,AE 的长为半径作 EF 。若△AEF 的边长为 2,则阴影部分的面积约是【 】 (参考数据: 2 1.414 3 1.732 , ,π 取 3.14) 25 A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36 5. (2012 安徽省 5 分)如图,P 是矩形 ABCD 内的任意一点,连接 PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、 △PCD、△PDA,设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4,给出如下结论: ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若 S3=2 S1,则 S4=2 S2 ④若 S1= S2,则 P 点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 ▲ (把所有正确结论的序号都填在横线上). 6. (2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分)如图,线段 AC=n+1(其中 n 为正整数),点 B 在线段 AC 上,在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF,连接 AM、ME、EA 得到△AME.当 AB=1 时, △AME 的面积记为 S1;当 AB=2 时,△AME 的面积记为 S2;当 AB=3 时,△AME 的面积记为 S3;…; 当 AB=n 时,△AME 的面积记为 Sn.当 n≥2 时,Sn﹣Sn﹣1= ▲ . 7. (2012 重庆市 10 分)已知:如图,在菱形 ABCD 中,F 为边 BC 的中点,DF 与对角线 AC 交于点 M, 过 M 作 ME⊥CD 于点 E,∠1=∠2. (1)若 CE=1,求 BC 的长; (2)求证:AM=DF+ME. 8. (2012 四川凉山 7 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,AD=12,点 E 在 AD 边上,且 AE=8,EF⊥BE 交 CD 于 F. 26 (1)求证:△ABE∽△DEF; (2)求 EF 的长. 9.(2012 四川内江 9 分)如图,矩形 ABCD 中,E 是 BD 上的一点,∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED, 点 G 是 BC、AE 延长线的交点,AG 与 CD 相交于点 F。 (1)求证:四边形 ABCD 是正方形; (2)当 AE=2EF 时,判断 FG 与 EF 有何数量关系?并证明你的结论。 10. (2012 贵州黔南 12 分)如图 1,在边长为 5 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是 BC、CD 边上的点, 且 AE⊥EF,BE=2 (1)求 EC:CF 值; (2)延长 EF 交正方形∠BCD 的外角平分线 CP 于点 P(图 2),试判断 AE 与 EP 大小关系,并说明理由; (3)在图 2 的 AB 边上是否存在一点 M,使得四边形 DMEP 是平行四边形?若存在,请给予证明;若不 存在,请说明理由。 五、等腰梯形的轴对称性: 27 典型例题: 例 1. (2012 广东广州 3 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,BC∥AD,AD=5,DC=4,DE∥AB 交 BC 于 点 E,且 EC=3,则梯形 ABCD 的周长是【 】 A.26 B.25 C.21 D.20 【答案】C。 【考点】等腰梯形的性质,平行四边形的判定和性质。 【分析】∵BC∥AD,DE∥AB,∴四边形 ABED 是平行四边形。∴BE=AD=5。 ∵EC=3,∴BC=BE+EC=8。 ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴AB=DC=4。 ∴梯形 ABCD 的周长为:AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故选 C。 例 2. (2012 福建漳州 4 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,∠B=80o,则∠D 的度数 是【 】 A.120o B.110o C.100o D.80o 【答案】C。 【考点】等腰梯形的性质,平行的性质。 【分析】∵AD∥BC,∠B=80°,∴∠A=180°-∠B=180°-80°=100°。 ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴∠D=∠A=100°。故选 C。 例 3. (2012 山东临沂 3 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC.BD 相交于点 O,下列 结论不一定正确的是【 】 A.AC=BD B.OB=OC C.∠BCD=∠BDC D.∠ABD=∠ACD 28 【答案】C。 【考点】等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定,三角形边角关系,三角形内角 和定理。 【分析】A.∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴AC=BD,故本选项正确。 B.∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB, ∵在△ABC 和△DCB 中,AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS)。 ∴∠ACB=∠DBC。∴OB=OC。故本选项正确。 C.∵BC 和 BD 不一定相等,∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等,故本选项错误。 D.∵∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,∴∠ABD=∠ACD。故本选项正确。 故选 C。 例 4. (2012 山东烟台 3 分)如图,在平面直角坐标中,等腰梯形 ABCD 的下底在 x 轴上,且 B 点坐标为 (4,0), D 点坐标为(0,3),则 AC 长为【 】 A.4 B.5 C.6 D.不能确定 【答案】B。 【考点】等腰梯形的性质,坐标与图形性质,勾股定理。 【分析】如图,连接 BD, 由题意得,OB=4,OD=3,∴根据勾股定理,得 BD=5。 又∵ABCD 是等腰梯形,∴AC=BD=5。故选 B。 例 5. (2012 内蒙古呼和浩特 3 分)已知:在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7, 则梯形的面积是【 】 A.25 B.50 C. 25 2 D. 30 2 4 【答案】A。 【考点】等腰梯形的性质,平行四边形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质。 【分析】 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E,作 DF⊥BC 于 F。 ∵AD∥BC,DE∥AC, 29 ∴四边形 ACED 是平行四边形。∴AD=CE=3,AC=DE。 在等腰梯形 ABCD 中,AC=DB,∴DB=DE。 ∵AC⊥BD,AC∥DE,∴DB⊥DE。 ∴△BDE 是等腰直角三角形。∴DF= 1 2 BE=5。 S 梯形 ABCD= 1 2 (AD+BC)•DF= 1 2 (3+7)×5=25。故选 A。 例 6. (2012 江苏南京 8 分)如图,梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=CD,对角线 AC、BD 交于点 O,AC  BD, E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点 (1)求证:四边形 EFGH 为正方形; (2)若 AD=2,BC=4,求四边形 EFGH 的面积。 【答案】(1)证明:在△ABC 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点,EF= 1 2 AC。 同理 FG= BD,GH= AC,HE= BD。 ∵在梯形 ABCD 中,AB=DC,∴AC=BD。 ∴EF=FG=GH=HE,∴四边形 EFGH 是菱形。 设 AC 与 EH 交于点 M, 在△ABD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,则 EH∥BD,同理 GH∥AC。 又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。 ∴四边形 EFGH 是正方形。 (2)解:连 接 EG。 在梯形 ABCD 中,∵E、F 分别是 AB、DC 的中点, ∴ 1EG AD BC 32  ( ) 。 在 Rt△EHG 中,∵EH2+GH2=EG2,EH=GH, ∴ 2 9EH 2 ,即四边形 EFGH 的面积为 9 2 。 【考点】三角形中位线定理,等腰梯形的性质,正方形的判定,梯形中位线定理,勾股定理。 30 【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由 AC⊥BD 入手,进行正方形的判断。 (2)连接 EG,利用梯形的中位线定理求出 EG 的长,然后结合(1)的结论求出 2 9EH 2 ,也 即得出了正方形 EHGF 的面积。 例 7. (2012 湖南永州 8 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 E、F、G 分别在边 AB、BC、CD 上,且 AE=GF=GC.求证:四边形 AEFG 为平行四边形. 【答案】证明:∵梯形 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC, ∴∠B=∠C(等腰梯形底角相等)。 ∵GF=GC,∴∠GFC=∠C(等边对等角)。∴∠GFC=∠B(等量代换)。 ∴AB∥GF(同位角相等,两直线平行)。 又∵AE=GF, ∴四边形 AEFG 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。 【考点】等腰梯形和三角形的性质,平行的判定,平行四边形的判定。 【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C,再 根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC,所以∠B=∠GFC, 故可得出 AB∥GF,再由 AE=GF 即可得出结论。 练习题: 1. (2012 江苏无锡 3 分)如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD 的垂直平分线交 BC 于 E,连接 DE,则四边形 ABED 的周长等于【 】 A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 2. (2012 福建厦门 4 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若 OB =3,则 OC= ▲ . 31 3. (2012 辽宁营口 3 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,过点 D 作 DF⊥BC 于 F.若 AD=2, BC=4,DF=2,则 DC 的长为 ▲ . 4. (2012 江苏苏州 6 分)如图,在梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AB=CD,延长线段 CB 到 E,使 BE=AD, 连接 AE、AC. ⑴求证:△ABE≌△CDA; ⑵若∠DAC=40°,求∠EAC 的度数. E D CB A 5. (2012 湖南怀化 10 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,点 E 为底边 BC 的中点,连结 AE、DE.求证: AE=DE. 6. (2012 四川南充 6 分)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 E 是 AD 延长线上的一点,且 CE=CD, 求证:∠B=∠E 六、圆的轴对称性: 32 典型例题: 例 1. (2012 陕西省 3 分)如图,在半径为 5 的圆 O 中,AB,CD 是互相垂直的两条弦,垂足为 P,且 AB=CD=8, 则 OP 的长为【 】 A.3 B.4 C.32 D. 24 例 2. (2012 江苏泰州 3 分)如图,△ABC 内接于⊙O,OD⊥BC 于 D,∠A=50°,则∠OCD 的度数是 【 】 A.40° B.45° C.50° D.60° 【答案】A。 【考点】圆周角定理,垂径定理,三角形内角和定理。 【分析】连接 OB, ∵∠A 和∠BOC 是弧 BC 所对的圆周角和圆心角,且∠A=50°, 33 ∴∠BOC=2∠A=100°。 又∵OD⊥BC,∴根据垂径定理,∠DOC= 1 2 ∠BOC=50°。 ∴∠OCD=1800-900-500=400。故选 A。 例 3. (2012 四川内江 3 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥A,∠CDB=300,CD= 23,则阴影部分 图形的面积为【 】 A. 4 B. 2 C. D. 2 3  【答案】D。 【考点】垂径定理,圆周角定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,扇形面积公式。 【分析】连接 OD。 ∵CD⊥AB,CD= 23,∴CE=DE= 1 CD 32  (垂径定理)。 ∴ OCE CDESS 。∴阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积。 又∵∠CDB=30°,∠COB=∠BOD,∴∠BOD=60°(圆周角定理)。 ∴OC=2。 ∴ 2 OBD 60 2 2S 360 3 扇形 ,即阴影部分的面积为 2 3  。故选 D。 例 4. (2012 山东泰安 3 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 M,下列结论不成立的是【 】 A.CM=D M B.CB=DB C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD 【答案】D。 34 【考点】垂径定理,弦、弧和圆心角的关系,全等三角形的判定和性质。 【分析】∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 M, ∴M 为 CD 的中点,即 CM=DM,选项 A 成立; ∵B 为CD的中点,即CB=DB,选项 B 成立; 在△ACM 和△ADM 中,∵AM=AM,∠AMC=∠AMD=90°,CM=DM, ∴△ACM≌△ADM(SAS), ∴∠ACD=∠ADC,选项 C 成立。 而 OM 与 MD 不一定相等,选项 D 不成立。 故选 D。 例 5. (2012 浙江衢州 4 分)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是 10mm,测 得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 ▲ mm. 【答案】8。 【考点】垂径定理的应用,勾股定理。 【分析】连接 OA,过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,则 AB=2AD, ∵钢珠的直径是 10mm,∴钢珠的半径是 5mm。 ∵钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm,∴OD=3mm。 在 Rt△AOD 中,∵ 2 2 2 2AD OA OD 5 3 4     mm, ∴AB=2AD=2×4=8mm。 例 6. (2012 山东东营 4 分)某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图 1),若不计木条的厚 度,其俯视图如图 2 所示,已知 AD 垂直平分 BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值 是 ▲ cm. 35 【答案】30。 【考点】垂径定理的应用,勾股定理。 【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时,圆外接于△ABC;连接外心与 B 点,可通过勾股定理即可求 出圆的半径: 如图,连接 OB, 当⊙O 为△ABC 的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。 ∵AD 垂直平分 BC,AD=BC=48cm,∴O 点在 AD 上,BD=24cm。 在 Rt△0BD 中,设半径为 r,则 OB=r,OD=48-r。 ∴r2=(48-r)2+242,解得 r=30。 ∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为 30cm。 例 7. (2012 青海省 2 分)如图,已知点 E 是圆 O 上的点,B、C 分别是劣弧 AD 的三等分点,∠BOC=46°, 则∠AED 的度数为 ▲ 度. 【答案】69。 【考点】圆周角定理。 【分析】∵B、C 分别是劣弧 AD 的三等分点,∠BOC=46°,∴∠AOD=138°(等弧所对圆心角相等)。 ∴∠AED=138°÷2=69°(同弧所对圆周角是圆心角的一半)。 例 8. (2012 江苏南通 8 分)如图,⊙O 的半径为 17cm,弦 AB∥CD,AB=30cm,CD=16cm,圆心 O 位于 AB、CD 的上方,求 AB 和 CD 间的距离. 【答案】解:分别作弦 AB、CD 的弦心距,设垂足为 E、F,连接 OA,OC。 ∵AB=30,CD=16,∴AE= 1 2 AB=15,CF= CD=8。 36 又∵⊙O 的半径为 17,即 OA=OC=17。 ∴在 Rt△AOE 中, 2 2 2 2OE OA AE 17 15 8     。 在 Rt△OCF 中, 2 2 2 2OF OC CF 17 8 15     。 ∴EF=OF-OE=15-8=7。 答:AB 和 CD 的距离为 7cm。 【考点】垂径定理,勾股定理。 【分析】分别作弦 AB、CD 的弦心距,设垂足为 E、F;由于 AB∥CD,则 E、O、F 三点共线,EF 即为 AB、CD 间的距离;由垂径定理,易求得 AE、CF 的长,可连接 OA、ODC 在构建的直角三角形中,根据 勾股定理即可求出 OE、OF 的长,也就求出了 EF 的长,即弦 AB、CD 间的距离。 例 9. (2012 湖南岳阳 6 分)如图所示,在⊙O 中, AD AC ,弦 AB 与弦 AC 交于点 A,弦 CD 与 AB 交于点 F,连接 BC. (1)求证:AC2=AB•AF; (2)若⊙O 的半径长为 2cm,∠B=60°,求图中阴影部分面积. 【答案】(1)证明:∵ AD AC ,∴∠ACD=∠ABC。 又∵∠BAC=∠CAF,∴△ACF∽△ABC。 ∴ AC AF=AB AC ,即 AC2=AB•AF。 (2)解:如图,连接 OA,OC,过 O 作 OE⊥AC,垂足为点 E, ∵∠ABC=60°,∴∠AOC=120°。 又∵OA=OC,∴∠AOE=∠COE= 1 2 ×120°=60°。 在 Rt△AOE 中,OA=2, OE=OAcos60°=1 ∴ 22AE= OA OE = 3 。∴AC=2AE=2 3 。 ∴  2 2 AOCOAC 120 2 1 4S S S 2 3 1 3 cm360 2 3          扇形影阴 。 37 【考点】圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理, 锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,扇形面积的计算。 【分析】(1)由 AD AC ,利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等,再由一对公共角相等,利用两对 对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC,根据相似得比例可得证。 (2)连接 OA,OC,过 O 作 OE 垂直于 AC,垂足为点 E,由扇形 AOC 的面积﹣△AOC 的面积表 示出阴影部分的面积,利用等腰三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义求出各线段长即可。 例 10. (2012 四川攀枝花 4 分)如图,以 BC 为直径的⊙O1 与⊙O2 外切,⊙O1 与⊙O2 的外公切线交于点 D,且 ∠ADC=60°,过 B 点的⊙O1 的切线交其中一条外公切线于点 A.若 ⊙O2 的面积为 π,则四边形 ABCD 的面积是 ▲ . 【答案】12 3 。 【考点】相切两圆的性质,矩形的判定和性质,含 30 度角的直角三角形的性质,勾股定理;;切线长定理。 【分析】∵⊙O2 的面积为 π,∴⊙O2 的半径是 1。 ∵AB 和 AH 是⊙O1 的切线,∴AB=AH。 设⊙O2 的半径是 R,连接 DO2,DO1,O2E,O1H,AO1,作 O2F⊥BC 于 F。 ∵⊙O1 与⊙O2 外切,⊙O1 与⊙O2 的外公切线 DC、DA,∠ADC=60° ∴D.O2、O1 三点共线,∠CDO1=30°。 ∴∠DAO1=60°,∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°。 ∴四边形 CFO2E 是矩形, ∴O2E=CF,CE=FO2,∠FO2O1=∠CDO1=30°。 ∴DO2=2O2E=2,∠HAO1=60°,R+1=2(R﹣1),解得:R=3。 即 DO1=2+1+3=6, 在 Rt△CDO1 中,由勾股定理得:CD=33。 38 ∵∠HO1A=90°﹣60°=30°,HO1=3,∴AH= 3 =AB。 ∴四边形 ABCD 的面积是: 1 2 ×(AB+CD)×BC= ×( +33)×(3+3)=12 。 例 11.(2012 广东佛山 11 分)(1)按语句作图并回答:作线段 AC(AC=4),以 A 为圆心 a 为半径作圆, 再以 C 为圆心 b 为半径作圆(a<4,b<4,圆 A 与圆 C 交于 B、D 两点),连接 AB、BC、CD、DA. 若能作出满足要求的四边形 ABCD,则 a、b 应满足什么条件? (2)若 a=2,b=3,求四边形 ABCD 的面积. 【答案】解:(1)作图如下: 能作出满足要求的四边形 ABCD,则 a、b 应满足的条件是 a+b>4。 (2)连接 BD,交 AC 于 E, ∵⊙A 与⊙C 交于 B、D,∴AC⊥DB,BE=DE。 设 CE=x,则 AE=4-x, ∵BC= b=3,AB= a=2, ∴由勾股定理得: 2 2 2 2 2BE 3 x 2 4 x    ( ) 解得: 21x 8 。 ∴ 2 2 21 3 15BE 3 88    。 ∴四边形 ABCD 的面积是 1 3 15 3 152 AC BE 42 8 2      。 答:四边形 ABCD 的面积是 3 15 2 。 【考点】作图(复杂作图),相交两圆的性质,勾股定理。 【分析】(1)根据题意画出图形,只有两圆相交,才能得出四边形,即可得出答案; (2)连接 BD,根据相交两圆的性质得出 DB⊥AC,BE=DE,设 CE= x,则 AE=4-x,根据勾股 定理得出关于 x 的方程,求出 x,根据三角形的面积公式求出即可。 39 练习题: 1. (2012 湖北恩施 3 分)如图,两个同心圆的半径分别为 4cm 和 5cm,大圆的一条弦 AB 与小圆相切, 则弦 AB 的长为【 】 A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm 2. (2012湖北黄冈3分)如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于E,已知CD=12,则 ⊙O 的直径为【 】 A. 8 B. 10 C.16 D.20 3. (2012 河北省 2 分)如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是弦(不是直径),AB⊥CD 于点 E,则下列结论正 确的是【 】 A.AE>BE B. AD BC C.∠D= 1 2 ∠AEC D.△ADE∽△CBE 4. (2012 浙江台州 5 分)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知 EF=CD=16 厘米,则球的半径为 ▲ 厘米. 5. (2012 辽宁朝阳 3 分)如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦,CD⊥AB,垂足为 E,已知 CD=6, AE=1,则⊙O 的半径为 ▲ 。 40 6. (2012 辽宁锦州 3 分)如图,∠PAC=30°,在射线 AC 上顺次截取 AD=3 ㎝,DB=10 ㎝,以 DB 为直径 作⊙O 交射线 AP 于 E、F 两点,则线段 EF 的长是 ▲ ㎝. 7. (2012 青海西宁 2 分)如图是某风景区的一个圆拱形门,路面 AB 宽为 2m,净高 CD 为 5m,则圆拱 形门所在圆的半径为 ▲ m. 8. (2012 辽宁沈阳 10 分)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点,OD⊥AC, 垂足为 E,连接 BD. (1)求证:BD 平分∠ABC; (2) 当∠ODB=30°时,求证:BC=OD. 9. (2012 吉林长春 5 分)如图,在同一平面内,有一组平行线 l1、l2、l3,相邻两条平行线之间的距离均 为 4,点 O 在直线 l1 上,⊙O 与直线 l3 的交点为 A、B,AB=12,求⊙O 的半径. 10. (2012 广西桂林 10 分)如图,等圆⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点,⊙O1 经过⊙O2 的圆心,顺次连接 41 A、O1、B、O2. (1)求证:四边形 AO1BO2 是菱形; (2)过直径 AC 的端点 C 作⊙O1 的切线 CE 交 AB 的延长线于 E,连接 CO2 交 AE 于 D,求证:CE=2O2D; (3)在(2)的条件下,若△AO2D 的面积为 1,求△BO2D 的面积. 七、折叠的轴对称性: 典型例题: 例 1. (2012 广东梅州 3 分)如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点 D、E 分别是边 AB、 AC 上,将△ABC 沿着 DE 折叠压平,A 与 A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=【 】 A.150° B.210° C.105° D.75° 【答案】A。 【考点】翻折变换(折叠问题),三角形内角和定理。 【分析】∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成,∴∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,∠A=∠A′=75°。 ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°,∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。 故选 A。 例 2. (2012 江苏南京 2 分)如图,菱形纸片 ABCD 中,∠A=600,将纸片折叠,点 A、D 分别落在 A’、 D’处,且 A’D’经过 B,EF 为折痕,当 D’F  CD 时, CF FD 的值为【 】 42 A. 31 2  B. 3 6 C. 2 3 1 6  D. 31 8  【答案】A。 【考点】翻折变换(折叠问题),菱形的性质,平行的性质,折叠的性质,锐角三角函数定义,特殊角的 三角函数值。 【分析】延长 DC 与 A′D′,交于点 M, ∵在菱形纸片 ABCD 中,∠A=60°, ∴∠DCB=∠A=60°,AB∥CD。 ∴∠D=180°-∠A=120°。 根据折叠的性质,可得 ∠A′D′F=∠D=120°, ∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。 ∵D′F⊥CD,∴∠D′FM=90°,∠M=90°-∠FD′M=30°。 ∵∠BCM=180°-∠BCD=120°,∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。 ∴BC=CM。 设 CF=x,D′F=DF=y, 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y, 在 Rt△D′FM 中,tan∠M=tan30°= D F y 3 FM 2x y 3   ,∴ 3-1xy2 。 ∴ CF x 3-1 FD y 2 。故选 A。 43 例 3. (2012 湖北荆门 3 分)如图,已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 ,将正方形 ABCD 沿直线 EF 折 叠,则图中阴影部分的周长为【 】 A. 8 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】C。 【考点】翻折变换(折叠问题),折叠的对称性质,正方形的性质,勾股定理。 【分析】如图,∵正方形 ABCD 的对角线长为 2 2 , 即 BD=2 ,∠A=90°,AB=AD,∠ABD=45°, ∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2 22 =22 。 ∴AB=BC=CD=AD=2。 由折叠的性质:A′M=AM,D′N=DN,A′D′=AD, ∴图中阴影部分的周长为 A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。 故选 C。 例 4.(2012 山东泰安 3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使点 B 与 CD 的中点重合,若 AB=2, BC=3,则△FCB′与△B′DG 的面积之比为【 】 A.9:4 B.3:2 C.4:3 D.16:9 【答案】D。 【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,勾股定理,相似三角形的判定 和性质。 【分析】设 BF=x,则由 BC=3 得:CF=3﹣x,由折叠对称的性质得:B′F=x。 44 ∵点 B′为 CD 的中点,AB=DC=2,∴B′C=1。 在 Rt△B′CF 中,B′F2=B′C2+CF2,即 22x 1 (3 x)   ,解得: 5x 3 ,即可得 CF= 543 33。 ∵∠DB′G=∠DGB′=90°,∠DB′G+∠CB′F=90°,∴∠DGB′=∠CB′F。∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′。 根据面积比等于相似比的平方可得: 2 2PCB B DG S FC 4 16()S B D 3 9      。故选 D。 例 5.(2012 青海西宁 3 分)折纸是一种传统的手工艺术,也是每一个人从小就经历的事,它是一种培养手 指灵活性、协调能力的游戏,更是培养智力的一种手段.在折纸中,蕴涵许多数学知识,我们还可以通过 折纸验证数学猜想.把一张直角三角形纸片按照图①~④的过程折叠后展开,请选择所得到的数学结论 【 】 A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B.在直角三角形中,如果一个锐角等于 30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半 C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 【答案】C。 【考点】翻折变换(折叠问题)。 【分析】如图②,∵△CDE 由△ADE 翻折而成,∴AD=CD。 如图③,∵△DCF 由△DBF 翻折而成,∴BD=CD。 ∴AD=BD=CD,点 D 是 AB 的中点。∴CD= 1 2 AB,即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 故选 C。 例 6.(2012 黑龙江绥化 3 分)长为 20,宽为 a 的矩形纸片(10<a<20),如图那样折一下,剪下一个边 长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时 矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去,若在第 n 次操作后,剩下的矩形为正方形, 则操作停止.当 n=3 时,a 的值为 ▲ . 45 例 7. (2012 海南省 11 分)如图(1),在矩形 ABCD 中,把∠B、∠D 分别翻折,使点 B、D 分别落在 对角线 BC 上的点 E、F 处,折痕分别为 CM、AN. (1)求证:△AND≌△CBM. (2)请连接 MF、NE,证明四边形 MFNE 是平行四边形,四边形 MFNE 是菱形吗?请说明理由? (3)P、Q 是矩形的边 CD、AB 上的两点,连结 PQ、CQ、MN,如图(2)所示,若 PQ=CQ,PQ∥MN。 且 AB=4,BC=3,求 PC 的长度. 46 【答案】(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠D=∠B,AD=BC,AD∥BC。 ∴∠DAC=∠BCA。 又由翻折的性质,得∠DAN=∠NAF,∠ECM=∠BCM,∴∠DAN=∠BCM。 ∴△AND≌△CBM(ASA)。 (2)证明:∵△AND≌△CBM,∴DN=BM。 又由翻折的性质,得 DN=FN,BM=EM, ∴FN=EM。 又∠NFA=∠ACD+∠CNF=∠BAC+∠EMA=∠MEC, ∴FN∥EM。∴四边形 MFNE 是平行四边形。 四边形 MFNE 不是菱形,理由如下: 由翻折的性质,得∠CEM=∠B=900, ∴在△EMF 中,∠FEM>∠EFM。 ∴FM>EM。∴四边形 MFNE 不是菱形。 (3)解:∵AB=4,BC=3,∴AC=5。 设 DN=x,则由 S△ADC=S△AND+S△NAC 得 3 x+5 x=12,解得 x= 3 2 ,即 DN=BM= 。 过点 N 作 NH⊥AB 于 H,则 HM=4-3=1。 在△NHM 中,NH=3,HM=1, 由勾股定理,得 NM= 10 。 ∵PQ∥MN,DC∥AB, ∴四边形 NMQP 是平行四边形。∴NP=MQ,PQ= NM= 。 又∵PQ=CQ,∴CQ= 。 在△CBQ 中,CQ= ,CB=3,由勾股定理,得 BQ=1。 47 ∴NP=MQ= 1 2 。∴PC=4- 3 2 - =2。 【考点】翻折问题,翻折的性质,矩形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判 定和性质,菱形的判定,勾股定理。 【分析】(1)由矩形和翻折对称的性质,用 ASA 即可得到△AND≌△CBM。 (2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。 (3)设 DN=x,则由 S△ADC=S△AND+S△NAC 可得 DN=BM= 。过点 N 作 NH⊥AB 于 H,则由勾 股定理可得 NM= 10 ,从而根据平行四边形的性质和已知 PQ=CQ,即可求得 CQ= 。因此,在△CBQ 中,应用勾股定理求得 BQ=1。从而求解。 例 8. (2012 广东深圳 8 分)如图,将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕交 AD 于点 E、交 BC 于点 F,连接 AF、CE. (1)求证:四边形 AFCE 为菱形; (2)设 AE=a,ED=b,DC=c.请写出一个 a、b、c 三者之间的数量关系式. 【答案】(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∴∠AEF=∠EFC。 由折叠的性质,可得:∠AEF=∠CEF,AE=CE,AF=CF,∴∠EFC=∠CEF。 ∴CF=CE。∴AF=CF=CE=AE。∴四边形 AFCE 为菱形。 (2)解:a、b、c 三者之间的数量关系式为:a2=b2+c2。理由如下: 由折叠的性质,得:CE=AE。 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠D=90°。 ∵AE=a,ED=b,DC=c,∴CE=AE=a。 在 Rt△DCE 中,CE2=CD2+DE2,∴a、b、c 三者之间的数量关系式可写为:a2=b2+c2。 【考点】翻折变换(折叠问题),矩形的性质,折叠的性质,平等的性质,菱形的判定,勾股定理。 【分析】(1)由矩形 ABCD 与折叠的性质,易证得△CEF 是等腰三角形,即 CE=CF,即可证得 AF=CF=CE=AE,即可得四边形 AFCE 为菱形。 (2)由折叠的性质,可得 CE=AE=a,在 Rt△DCE 中,利用勾股定理即可求得:a、b、c 三者之 48 间的数量关系式为:a2=b2+c2。(答案不唯一) 例 9.(2012 广东珠海 9 分) 已知,AB 是⊙O 的直径,点 P 在弧 AB 上(不含点 A、B),把△AOP 沿 OP 对折,点 A 的对应点 C 恰好落在⊙O 上. (1)当 P、C 都在 AB 上方时(如图 1),判断 PO 与 BC 的位置关系(只回答结果); (2)当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时(如图 2),( 1)中结论还成立吗?证明你的结论; (3)当 P、C 都在 AB 上方时(如图 3),过 C 点作 CD⊥直线 AP 于 D,且 CD 是⊙O 的切线,证明:AB=4PD. 【答案】解:(1)PO 与 BC 的位置关系是 PO∥BC。 (2)( 1)中的结论 PO∥BC 成立。理由为: 由折叠可知:△APO≌△CPO,∴∠APO=∠CPO。 又∵OA=OP,∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。 又∵∠A 与∠PCB 都为 PB所对的圆周角,∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。 ∴PO∥BC。 (3)证明:∵CD 为圆 O 的切线,∴OC⊥CD。 又∵AD⊥CD,∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。 由折叠可得:∠AOP=∠COP,∴∠APO=∠AOP。 又∵OA=OP,∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO 为等边三角形。 ∴∠AOP=60°。 又∵OP∥BC,∴∠OBC=∠AOP=60°。 又∵OC=OB,∴△BC 为等边三角形。∴∠COB=60°。 ∴∠POC=180°﹣(∠AOP+∠COB)=60°。 又∵OP=OC,∴△POC 也为等边三角形。∴∠PCO=60°,PC=OP=OC。 又∵∠OCD=90°,∴∠PCD=30°。 在 Rt△PCD 中,PD= 1 2 PC, 49 又∵PC=OP= 1 2 AB,∴PD= 1 4 AB,即 AB=4PD。 练习题: 1. (2012 江苏连云港 3 分)小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 上的点 E 处,还原后,再沿过点 E 的直线折叠,使点 A 落在 BC 上的点 F 处,这样就可以求出 67.5°角的正切值是【 】 A. 3 +1 B. 2 +1 C.2.5 D. 5 50 2. (2012 福建南平 4 分)如图,正方形纸片 ABCD 的边长为 3,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,将 AB、 AD 分别和 AE、AF 折叠,点 B、D 恰好都将在点 G 处,已知 BE=1,则 EF 的长为【 】 A. 3 2 B. 5 2 C. 9 4 D.3 3. (2012 湖北武汉 3 分)如图,矩形 ABCD 中,点 E 在边 AB 上,将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠,点 A 恰好落在边 BC 的点 F 处.若 AE=5,BF=3,则 CD 的长是【 】 A.7 B.8 C.9 D.10 4. (2012 四川内江 3 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=5 点 E、F 分别在 AB、CD 上,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1、D1 处,则阴影部分图形的周长为【 】 A.15 B.20 C.25 D.30 5. (2012 山东潍坊 3 分)已知矩形 ABCD 中,AB=1,在 BC 上取一点 E,沿 AE 将 ΔABE 向上折叠,使 B 点落在 AD 上的 F 点,若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似,则 AD=【 】. 51 A. 51 2  B. 5+1 2 C . 3 D.2 6. (2012 广东省 9 分)如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=6,BC=8.把△BCD 沿对角线 BD 折叠,使点 C 落在 C′处,BC′交 AD 于点 G;E、F 分别是 C′D 和 BD 上的点,线段 EF 交 AD 于点 H,把△FDE 沿 EF 折叠,使点 D 落在 D′处,点 D′恰好与点 A 重合. (1)求证:△ABG≌△C′DG; (2)求 tan∠ABG 的值; (3)求 EF 的长. 7. (2012 吉林省 8 分)如图,在扇形 OAB 中,∠AOB=90°,半径 OA=6.将扇形 OAB 沿过点 B 的直 线折叠,点 O 恰好落在 AB 上点 D 处,折痕交 OA 于点 C,求整个阴影部分的周长和面积. 8.(2012 江西南昌 12 分)已知,纸片⊙O 的半径为 2,如图 1,沿弦 AB 折叠操作. (1)①折叠后的 AB 所在圆的圆心为 O′时,求 O′A 的长度; ②如图 2,当折叠后的 经过圆心为 O 时,求 AOB 的长度; ③如图 3,当弦 AB=2 时,求圆心 O 到弦 AB 的距离; (2)在图 1 中,再将纸片⊙O 沿弦 CD 折叠操作. ①如图 4,当 AB∥CD,折叠后的 与CD 所在圆外切于点 P 时,设点 O 到弦 AB.CD 的距离之和为 d, 求 d 的值; ②如图 5,当 AB 与 CD 不平行,折叠后的 与 所在圆外切于点 P 时,设点 M 为 AB 的中点,点 N 为 CD 的中点,试探究四边形 OMPN 的形状,并证明你的结论. 52 八、利用轴对称性求最值: 典型例题: 例 1. (2012 甘肃兰州 4 分)如图,四边形 ABCD 中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在 BC、CD 上分 别找一点 M、N,使△AMN 周长最小时,则∠AMN+∠ANM 的度数为【 】 A.130° B.120° C.110° D.100° 【答案】B。 【考点】轴对称(最短路线问题),三角形三边关系,三角形外角性质,等腰三角形的性质。 【分析】根据要使△AMN 的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M +∠A″)即可得出答案: 如图,作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′,A″,连接 A′A″,交 BC 于 M,交 CD 于 N,则 A′A″即为 △AMN 的周长最小值。作 DA 延长线 AH。 ∵∠BAD=120°,∴∠HAA′=60°。 ∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°。 ∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″, 且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN, ∠NAD+∠A″=∠ANM, ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°。 53 故选 B。 例 2. (2012 福建莆田 4 分)点 A、B均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角 坐标系如图所示.若 P 是 x 轴上使得 PA PB 的值最大的点,Q 是 y 轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点, 则 OP OQ = ▲ . 【答案】5。 【考点】轴对称(最短路线问题),坐标与图形性质,三角形三边关系,待定系数法,直线上点的坐标与 方程的关系。 【分析】连接 AB 并延长交 x 轴于点 P,作 A 点关于 y 轴的对称点 A′连接 A′B 交 y 轴于点 Q,求出点 Q 与 y 轴的交点坐标即可得出结论: 连接 AB 并延长交 x 轴于点 P, 由三角形的三边关系可知,点 P 即为 x 轴上使得|PA-PB|的值最大的点。 ∵点 B 是正方形 ADPC 的中点, ∴P(3,0)即 OP=3。 作 A 点关于 y 轴的对称点 A′连接 A′B 交 y 轴于点 Q,则 A′B 即为 QA+QB 的最小值。 ∵A′(-1,2),B(2,1), 设过 A′B 的直线为:y=kx+b, 则 2 k b 1 2k b      ,解得 1k 3 5b 3     。∴Q(0, 5 3 ),即 OQ= 5 3 。 ∴OP•OQ=3× 5 3 =5。 54 例 3.(2012 四川攀枝花 4 分)如图,正方形 ABCD 中,AB=4,E 是 BC 的中点,点 P 是对角线 AC 上一 动点,则 PE+PB 的最小值为 ▲ . 【答案】 25。 【考点】轴对称(最短路线问题),正方形的性质,勾股定理。 【分析】连接 DE,交 BD 于点 P,连接 BD。 ∵点 B 与点 D 关于 AC 对称,∴DE 的长即为 PE+PB 的最小值。 ∵AB=4,E 是 BC 的中点,∴CE=2。 在 Rt△CDE 中, 2 2 2 2DE= CD +CE 4 +2 2 5。 例 4. (2012 四川凉山 8 分)在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题。 如图(1),要在燃气管道 l 上修建一个泵站,分别向 A、B 两镇供气.泵站修在管道的什么地方, 可使所用的输气管线最短? 你可以在 l 上找几个点试一试,能发现什么规律?你可以在l 上找几个点试一试,能发现什么规 律? 聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道 l 看成一条直线(图(2)),问 题就转化为,要在直线 l 上找一点 P,使 AP 与 BP 的和最小.他的做法是这样的: ①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′. ②连接 AB′交直线 l 于点 P,则点 P 为所求. 请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点,BC=6,BC 边上的高为 4,请你在 BC 边上确定一点 P,使△PDE 得周长最小. 55 (1)在图中作出点 P(保留作图痕迹,不写作法). (2)请直接写出△PDE 周长的最小值: . 【答案】解:(1)作 D 点关于 BC 的对称点 D′,连接 D′E,与 BC 交于点 P,P 点即为所求。 (2)8. 【考点】轴对称(最短路线问题),三角形三边关系,三角形中位线定理,勾股定理。 【分析】(1)根据提供材料 DE 不变,只要求出 DP+PE 的最小值即可,作 D 点关于 BC 的对称点 D′,连 接 D′E,与 BC 交于点 P,P 点即为所求。 (2)利用中位线性质以及勾股定理得出 D′E 的值,即可得出答案: ∵点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点,∴DE 为△ABC 中位线。 ∵BC=6,BC 边上的高为 4,∴DE=3,DD′=4。 ∴ 2 2 2 2D E DE DD 3 4 5       。 ∴△PDE 周长的最小值为:DE+D′E=3+5=8。 例 5. (2012 山东青岛 3 分)如图,圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm,在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 ▲ cm. 56 【答案】15。 【考点】圆柱的展开,矩形的性质,轴对称的性质,三角形三边关系,勾股定理。 【分析】如图,圆柱形玻璃杯展开(沿点 A 竖直剖开)后侧面是一个长 18 宽 12 的矩形,作点 A 关于杯 上沿 MN 的对称点 B,连接 BC 交 MN 于点 P,连接 BM,过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP+PC 为蚂 蚁到达蜂蜜的最短距离,且 AP=BP。 由已知和矩形的性质,得 DC=9,BD=12。 在 Rt△BCD 中,由勾股定理得 2 2 2 2BC DC BD 9 12 15     。 ∴AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短 距离为 15cm。 练习题: 1. (2012 广西贵港 2 分)如图,MN 为⊙O 的直径,A、B 是 O 上的两点,过 A 作 AC⊥MN 于点 C, 过 B 作 BD⊥MN 于点 D,P 为 DC 上的任意一点,若 MN=20,AC=8,BD=6,则 PA+PB 的最小值是 ▲ 。 57 2. (2012 浙江台州 4 分)如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠A=120°,点 P,Q,K 分别为线段 BC,CD, BD 上的任意一点,则 PK+QK 的最小值为【 】 A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 +1 3. (2011 辽宁本溪 3 分)如图,正方形 ABCD 的边长是 4,∠DAC 的平分线交 DC 于点 E,若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点,则 DQ+PQ 的最小值【 】 A、2 B、4 C、 22 D、 42 4.(2011 辽宁阜新 3 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,点 E 是 BC 中点,点 F 是边 CD 上的 任意一点,当△AEF 的周长最小时,则 DF 的长为【 】 A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2011 贵州六盘水 3 分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC=6,BD=8,点 E、F 分别是边 AB、BC 的 中点,点 P 在 AC 上运动,在运动过程中,存在 PE+PF 的最小值,则这个最小值是 【 】 58 A.3 B.4 C.5 D.6 6.(2011 甘肃天水 4 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=6,对角线 AC 平分∠BAD, 点 E 在 AB 上,且 AE=2(AE<AD),点 P 是 AC 上的动点,则 PE+PB 的最小值是 ▲ . 九、解析几何中图形的轴对称性: 典型例题: 例 1. (2012 广东深圳 3 分)已知点 P(a+l,2a -3)关于 x 轴的对称点在第一象限,则 a 的取值范围是【 】 A.a1 B. 31a 2   C. 3 a12   D. 3a 2 例 2. (2012 江苏南通 3 分)线段 MN 在直角坐标系中的位置如图所示,线段 M1N1 与 MN 关于 y 轴对 称, 则点 M 的对应的点 M1 的坐标为【 】 59 A.(4,2) B.(-4,2) C.(-4,-2) D.(4,-2) 【答案】D。 【考点】平面坐标系与坐标,关于 y 轴对称的点的坐标特征。 【分析】关于 y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变,横坐标互为相反数,从而点 M(-4,-2)关于 y 轴 对称的点 M1 的坐标是(4,-2)。故选 D。 例 3. (2012 青海西宁 2 分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,AC=12,BD=16, E 为 AD 的中点,点 P 在 x 轴上移动.小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的 P 点坐标为(-5,0) 和(5,0).请你写出其余所有符合这个条件的 P 点的坐标 ▲ . 【答案】(8,0),( 25 8 ,0)。 【考点】菱形的性质,坐标与图形的性质,勾股定理,等腰三角形的判定。 【分析】∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,OA= 1 2 AC= ×12=6,OD= BD= ×16=8。 ∴在 Rt△AOD 中,AD= 22OA OD 10。 ∵E 为 AD 中点,∴OE= AD= ×10=5。 ①当 OP=OE 时,P 点坐标(-5,0)和(5,0)。 ②当 OE=PE 时,此时点 P 与 D 点重合,即 P 点坐标为(8,0)。 ③如图,当 OP=EP 时,过点 E 作 EK⊥BD 于 K,作 OE 的垂直平分线 PF,交 OE 于点 F,交 x 轴于点 P。 60 ∴EK∥OA。∴EK:OA=ED:AD=1:2。∴EK= 1 2 OA=3。 ∴OK= 22OE EK 4。 ∵∠PFO=∠EKO=90°,∠POF=∠EOK,∴△POF∽△EOK。 ∴OP:OE=OF:OK,即 OP:5= 5 2 :4,解得:OP= 25 8 。 ∴P 点坐标为( ,0)。 ∴其余所有符合这个条件的 P 点坐标为:(8,0),( ,0)。 例 4. (2012 江苏常州 2 分)已知二次函数    2y=a x 2 +c a 0> ,当自变量 x 分别取 2 ,3,0 时,对应 的值分别为 1 2 3y y y, , ,则 的大小关系正确的是【 】 A. 3 2 1y y y<< B. 1 2 3y y y<< C. 213y y y<< D. 3 1 2y y y<< 【答案】 B。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】由二次函数    2y=a x 2 +c a 0> 知, 它的图象开口向上,对称轴为 x=2,如图所示。 根据二次函数的对称性,x=3 和 x=1 时,y 值相等。 由于二次函数 在对称轴 x=2 左侧,y 随 x 的增大而减小,而 0<1< 2 , 61 因此, 1 2 3y y y<<。故选 B。 例 5.(2012 吉林长春 3 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A 是抛物线  2y=a x 3 +k 与 y 轴的交点,点 B 是这条抛物线上的另一点,且 AB∥x 轴,则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 ▲ . 【答案】18。 【考点】二次函数的性质,等边三角形的性质。 【分析】根据二次函数的性质,抛物线  2y=a x 3 +k 的对称轴为 x=3。 ∵A 是抛物线 与 y 轴的交点,点 B 是这条抛物线上的另一 点,且 AB∥x 轴。 ∴A,B 关于 x=3 对称。∴AB=6。 又∵△ABC 是等边三角形,∴以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 6×3=18。 例 6.(2012 山东滨州 10 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(﹣2,﹣4), O(0, 0), B(2,0)三点. (1)求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式; (2)若点 M 是该抛物线对称轴上的一点,求 AM+OM 的最小值. 62 【答案】解:(1)把 A(﹣2,﹣4), O(0,0), B(2,0)三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中,得 4a+2b+c=0 4a 2b+c= 4 c=0     ,解这个方程组,得 1a= 2 b=1 c=0        。 ∴抛物线的解析式为 y=﹣ 1 2 x2+x。 (2)由 y=﹣ 1 2 x2+x=﹣ 1 2 (x﹣1)2+ 1 2 ,可得 抛物线的对称轴为 x=1,并且对称轴垂直平分线段 OB。 ∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点,则此时 OM+AM 最小。 过点 A 作 AN⊥x 轴于点 N, 在 Rt△ABN 中, 2 2 2 2AB= AN +BN 4 +4 4 2, 因此 OM+AM 最小值为 42。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,解方程组,二次函数的性质,线段中垂线的性 质,三角形三边关系,勾股定理。 【分析】(1)已知抛物线上不同的三点坐标,利用待定系数法可求出该抛物线的解析。 (2)根据 O、B 点的坐标发现:抛物线上,O、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称,那么只需 连接 A、B,直线 AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的 M 点,而 AM+OM 的最小值正好是 AB 的长。 63 对 x=1 上其它任一点 M′,根据三角形两边之和大于第三边的性质,总有: O M′+A M′= B M′+A M′>AB=OM+AM, 即 OM+AM 为最小值。 例 7. (2012 黑龙江牡丹江 6 分)如图,抛物线 y=x2+bx+c 经过点(1,-4)和(-2,5),请解答下列问 题: (1)求抛物线的解析式; (2)若与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴交于点 C.在该抛物线上是否存在点 D,使得△ABC 与△ABD 全等?若存在,求出 D 点的坐标;若不存在,请说明理由 注:抛物线 2y=ax +bx+c的对称轴是 bx= 2a 【答案】解:(1)∵抛物线 y=x2+bx+c 经过点(1,-4)和(-2,5), ∴ 1+b+c= 4 4 2b+c=5    ,解得, b= 2 c= 3    。 ∴抛物线的解析式为 2y=x 2x 3。 (2)存在。 ∵抛物线 的对称轴为 2x= =121   , ∴根据轴对称的性质,点 C 关于 x=1的对称点 D 即为所求,此时, 64 ∵AB=BA,AC=BD,BC=AD,∴△ABC≌△BAD(SSS)。 在 2y=x 2x 3中令 x=0 ,得 y= 3 ,∴C(0,-3)。 ∴D(2,-3)。 【考点】二次函数综合题,曲线上点有坐标与方程的关系,二次函数的性质,轴对称的性质。 【分析】(1)用待定系数法,将(1,-4)和(-2,5)分别代入 y=x2+bx+c 得方程组,解之即可求得 抛物线的解析式。 (2)根据抛物线的轴对称性质即可求解。 例8. (2012湖北黄冈14分)如图,已知抛物线的方程C1:    1y x 2 (x m) m 0m     与x 轴相交于点B、 C,与y 轴相交于点E,且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m 的值. (2)在(1)的条件下,求△BCE的面积. (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标. (4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在, 求m的值;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)∵抛物线 C1 过点 M(2,2),∴  12 2 2 (2 m)m    ,解得 m=4。 (2)由(1)得  1y x 2 (x 4)4    。 令 x=0,得 y2 。∴E(0,2), OE=2。 令 y=0,得  10 x 2 (x 4)4    ,解得 x1=-2,x=4。 ∴B(-2,, 0), C(4,0), BC=6。 ∴△BCE 的面积= 1 6 2 62    。 65 (3)由(2)可得  1y x 2 (x 4)4    的对称轴为 x=1。 连接 CE,交对称轴于点 H,由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质,知此时 BH+EH 最小。 设直线 CE 的解析式为 y kx+b ,则 4k+b=0 b=2    ,解得 1k= 2 b=2    。∴直线 CE 的解析式为 1y x+22 。 当 x=1 时, 3y 2 。∴H(1, 3 2 )。 (4)存在。分两种情形讨论: ①当△BEC∽△BCF 时,如图所示。 则 BE BC BC BF ,∴BC2=BE•BF。 由(2)知 B(-2,0), E(0,2),即 OB=OE, ∴∠EBC=45°,∴∠CBF=45°。 作 FT⊥x 轴于点 F,则 BT=TF。 ∴令 F(x,-x-2)( x>0), 又点 F 在抛物线上,∴-x-2=  1 x 2 (x m)m   , ∵x+2>0(∵x>0), ∴x=2m,F(2m,-2m-2)。 此时 22BF (2m 2) ( 2m 2) 2 2 m 1 BE 2 2 BC m 2         ( ), , , 又 BC2=BE•BF,∴(m+2)2= 22 • 2 2 m 1( ),解得 m=2± 。 ∵m>0,∴m= +2。 66 ②当△BEC∽△FCB 时,如图所示。 则 BC EC BF BC ,∴BC2=EC•BF。 同①,∵∠EBC=∠CFB,△BTF∽△COE, ∴ TF OE 2 BT OC m。 ∴令 F(x,- 2 m (x+2))(x>0), 又点 F 在抛物线上,∴- (x+2)=  1 x 2 (x m)m   。 ∵x+2>0(∵x>0), ∴x=m+2。∴F(m+2,- (m+4)), 2EC m 4,BC=m+2。 又 BC2=EC•BF,∴(m+2)2=    2 22 2 4 m+4m 4 m+2+2 + m  . 整理得:0=16,显然不成立。 综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与△BCE 相似,m= 22+2。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,轴对称的性质,两点之间线 段最短的性质,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)将点(2,2)的坐标代入抛物线解析式,即可求得 m 的值。 (2)求出 B、C、E 点的坐标,从而求得△BCE 的面积。 (3)根据轴对称以及两点之间线段最短的性质,可知点 B、C 关于对称轴 x=1 对称,连接 EC 与 对称轴的交点即为所求的 H 点。 (4)分两种情况进行讨论: ①当△BEC∽△BCF 时,如图所示,此时可求得 +2。 ②当△BEC∽△FCB 时,如图所示,此时得到矛盾的等式,故此种情形不存在。 67 例 9. (2012 辽宁朝阳 14 分)已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC 的斜边 BC 在 x 轴上,直角顶 点 A 在 y 轴的正半轴上,A(0,2), B(-1,0)。 (1)求点 C 的坐标; (2)求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式和对称轴; (3)设点 P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系 式,并求使 S 最大时点 P 的坐标; (4)在抛物线对称轴上,是否存在这样的点 M,使得△MPC(P 为上述(3)问中使 S 最大时点)为 等腰三角形?若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 【答案】解:(1)∵A(0,2), B(-1,0), ∴OA=2,OB=1。 由 Rt△ABC 知 Rt△ABO∽Rt△CAO,∴ OA OB OC OA ,即 21 OC 2 ,解得 OC=4。 ∴点 C 的坐标为(4,0)。 (2)设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为   y=a x+1 x 4 , 将 A(0,2)代入,得   2=a 0+1 0 4 ,解得 1a= 2 。 ∴过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为   1y= x+1 x 42,即 213y= x + x+222 。 ∵ 2 21 3 1 3 25y= x + x+2= x +2 2 2 2 8    ,∴抛物线的对称轴为 3x= 2 。 (3)过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为点 H。 ∵点 P(m,n)在 上, ∴P 213m m + m+222  , 。 ∴ 2 3 2 AOHP 1 1 3 1 3S 2 m + m+2 m= m + m +2m2 2 2 4 4    梯形 , 68   2 3 2 PHC 1 1 3 1 7S 4 m m + m+2 = m m +2m+42 2 2 4 4     , AOC 1S = 4 2=42  。 ∴ 3 2 3 2 2 PHC AOCAOHP 1 3 1 7S=S +S S = m + m +2m+ m m +2m+4 4= m +4m4 4 4 4    梯形 。 ∵  22S=m +4m= m 2 +4 ,∴当 m2 时,S 最大。 当 时, 213n= 2 + 2+2=322   。 ∴ 点 P 的 坐 标 为 ( 2 , 3 )。 (4)存在。点 M 的坐标为( 31,22 )或( 33,322 )或( 33,322 - )或( 3, 3 102  )或 ( 3, 102 3- )。 【考点】二次函数综合题,相似三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次 函数的性质,等腰三角形的判定和性质。 【分析】(1)由 Rt△ABO∽Rt△CAO 可得 OA OB OC OA ,从而求出点 C 的坐标。 (2)设抛物线的交点式,用待定系数法求出抛物线的解析式;化为顶点式可得抛物线的对称轴。 (3)过点 P 作 x 轴的垂线于点 H,则由 PHC AOCAOHPS=S +S S梯形 可得 S 关于 m 的函数关系式; 化为顶点式可得 S 最大时点 P 的坐标。 另解:点 A、C 的坐标可求 AC 的解析式: 1y= x2 ,设过点 P 与 AC 平行的直线为 1y= x+b2 。 由点 P 在 和 213y= x + x+222 可得 2 1n= m+b2 13n= m + m+222     。 ∴ 21 1 3m+b= m + m+22 2 2 ,整理,得 2m 4m 4+2b=0 。 要使△PAC 的面积最大,即要点 P 到 AC 的距离最大,即 与 只 有一个交点,即 的△=0,即   24 4 4+2b =0   , 69 解得 b=4 。 将 代入 2m 4m 4+2b=0 得 m2 ,将 代入 1n= m+22 得 n=3 。 ∴当 S 最大时点 P 的坐标为(2,3)。 (4)设点 M( 3 ,h2 ), ∵C(4,0), P(2,3), ∴PC=  2 24 2 3 13   , PM=   2 2 23 372 3 h h 6h24       , CM= 2 223 254 h h24     。 分三种情况讨论: ①当点 M 是顶点时,PM= CM,即 2237 25h 6h h44    ,解得, 1h= 2 。∴M1( 31,22 )。 ②当点 C 是顶点时,PC= CM,即 2 2513 h 4,解得, 3h= 32 。 ∴M2( 33,322 ), M2( 33,322 - )。 ③当点 P 是顶点时,PC= PM,即 2 3713 h 6h 4   ,解得, h=3 10 。 ∴M4( 3, 3 102  ), M5( 3, 102 3- )。 综上所述,当点 M 的坐标为( )或( )或( )或( )或 70 ( 3, 102 3- )时,△MPC 为等腰三角形。 例 10. (2012 山东威海 12 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线  2y=ax +bx+c a 0 的顶点为 B(2,1), 且过点 A(0,2)。直线 y=x 与抛物线交于点 D、E(点 E 在对称轴的右侧)。抛物线的对称轴交直线 于 点 C,交 x 轴于点 G。PM⊥x 轴,垂足为点 F。点 P 在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PM⊥x 轴,垂足 为点 M,△PCM 为等边三角形。 (1)求该抛物线的表达式; (2)求点 P 的坐标; (3)试判断 CE 与 EF 是否相等,并说明理由; (4)连接 PE,在 x 轴上点 M 的右侧是否存在一点 N,使△CMN 与△CPE 全等?若存在,试求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由。 【答案】解:(1)∵抛物线  2y=ax +bx+c a 0 的顶点为 B(2,1), ∴可设抛物线的解析式为  2y=a x 2 +1 。 将 A(0,2)代入,得  22=a 0 2 +1 ,解得 1a 4 。 ∴该抛物线的表达式  21y= x 2 +14  。 (2)将 x2 代入 y=x ,得 y=2 , ∴点 C 的坐标为(2,2),即 CG=2。 ∵△PCM 为等边三角形,∴∠CMP=600,CM=PM。 ∵PM⊥x 轴,,∴∠CMG=300。∴CM=4,GM= 23。∴OM= 2+2 3 ,PM=4。 ∴点 P 的坐标为( ,4)。 71 (3)相等。理由如下: 联立 y=x 和  21y= x 2 +14  得  2 y=x 1y= x 2 +14   ,解得 1 1 x =4+2 2 y =4+2 2   , 2 2 x =4 2 2 y =4 2 2    。 ∵ 2x =4 2 2<2 不合题意,舍去, ∴EF= 4+2 2 ,点 E 的坐标为( 4+2 2 , 4+2 2 )。 ∴ 22OE EF OF 4 4 2    。 又∵ 22OC CG OG 2 2   ,∴CE OE OC 4 4 2 2 2 4 2 2       。 ∴CE=EF。 (4)不存在。理由如下: 假设在 x 轴上点 M 的右侧存在一点 N,使△CMN≌△CPE,则 CN=CE,∠MCN=∠PCE。 ∵∠MCP=600,∴∠NCE=600。 ∴△CNE 是等边三角形。 ∴EN=CE,∠CEN=600。 又∵由(3)CE=EF,∴EN=EF。 又∵点 E 是直线 上的点,∴∠CEF=450。 ∴点 N 与点 F 不重合。 ∵EF⊥x 轴,这与“垂线段最短”矛盾,∴原假设错误,满足条件的点 N 不存在。 【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,等边三角形的 性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,勾股定理,反证法,全等三角形的性质。 72 【分析】(1)根据抛物线的顶点,设顶点式表达式,将点 A 的坐标人代入即可求解。 (2)由点 C 是抛物线对称轴 x=2 和直线 y=x 的交点可求得点 C 的坐标,由△PCM 为等边三角形, 根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点 P 的坐标。 (3)计算出 CE 和 EF 的值即可得出结论。 (4)用反证法证明,假设在 x 轴上点 M 的右侧存在一点 N,使△CMN≌△CPE,推出与公理矛 盾的结论。 练习题: 1. (2012 广东佛山 3 分)在平面直角坐标系中,点 M(-3,2)关于 x 轴对称的点在【 】 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (2012 湖北荆门 3 分)已知点 M(1﹣2m,m﹣1)关于 x 轴的对称点在第一象限,则 m 的取值范围在 数轴上表示正确的是【 】 A. B. C. D. 3. (2012 湖南株洲 3 分)如图,已知抛物线与 x 轴的一个交点 A(1,0),对称轴是 x=﹣1,则该抛物线 与 x 轴的另一交点坐标是【 】 A.(﹣3,0) B.(﹣2,0) C.x=﹣3 D.x=﹣2 4. (2012 湖北恩施 8 分)如图,已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与一直线相交于 A(﹣1,0), C(2,3)两点, 与 y 轴交于点 N.其顶点为 D. (1)抛物线及直线 AC 的函数关系式; (2)设点 M(3,m),求使 MN+MD 的值最小时 m 的值; (3)若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B,E 为直线 AC 上的任意一点,过点 E 作 EF∥BD 交抛物线于 点 F,以 B,D,E,F 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点 E 的坐标;若不能,请说明理由; (4)若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值. 73 5. (2012 湖南郴州 10 分)如图,已知抛物线 2y ax bx c   经过 A(4,0), B(2,3), C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式及对称轴. (2)在抛物线的对称轴上找一点 M,使得 MA+MB 的值最小,并求出点 M 的坐标. (3)在抛物线上是否存在一点 P,使得以点 A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形?若存在, 请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 6. (2012 湖南湘潭 10 分)如图,抛物线  2 3y=ax x 2 a 02   的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交 于 C 点,已知 B 点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求△MBC 的面积的最大值,并求出此时 M 点的坐标. 74