一元二次方程基本概念 3页

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  • 2021-11-10 发布

一元二次方程基本概念

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一元二次方程基本概念 ‎1、基本概念:‎ ‎ 方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程(等式),叫做一元二次方程.‎ 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.‎ 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.‎ 2、 解方程常用方法:‎ (1) ‎. 直接开平方法:‎ ‎ 由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±,达到降次转化之目的.‎ (2) ‎.配方法:‎ ‎ 左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。‎ 转化过程如下:‎ ‎ x2-64x+768=0 ‎ ‎ 移项→ x2-64x=-768‎ 两边加()2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024 ‎ ‎ 左边写成平方形式 → (x-32)2=256 ‎ ‎ 降次→ x-32=±16 ‎ ‎ 即 x-32=16或x-32=-16 ‎ ‎ 解一次方程→ x1=48,x2=16‎ ‎ 可以验证: x1=48,x2=16都是方程的根 ‎ 例1.解下列方程 ‎ (1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0‎ ‎ 分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方.‎ ‎ 解:(1)移项,得:x2+6x=-5‎ ‎ 配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4‎ ‎ 由此可得:x+3=±2,即x1=-1,x2=-5‎ ‎ (2)移项,得:2x2+6x=-2‎ ‎ 二次项系数化为1,得:x2+3x=-1‎ ‎ 配方x2+3x+()2=-1+()2(x+)2=‎ ‎ 由此可得x+=±,即x1=-,x2=--‎ ‎ (3)去括号,整理得:x2+4x-1=0‎ ‎ 移项,得x2+4x=1‎ ‎ 配方,得(x+2)2=5‎ ‎ x+2=±,即x1=-2,x2=--2‎ ‎ 总结用配方法解一元二次方程的步骤.‎ ‎ (1)移项;‎ ‎ (2)化二次项系数为1;‎ ‎ (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;‎ ‎ (4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;‎ ‎(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.‎ (3) 公式法:‎ ‎ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,它的两个根 ‎ x1=, x2=‎ 解:移项,得:ax2+bx=-c ‎ 二次项系数化为1,得x2+x=-‎ ‎ 配方,得:x2+x+()2=-+()2‎ ‎ 即(x+)2=‎ ‎ ∵b2-4ac≥0且4a2>0‎ ‎ ∴≥0‎ ‎ 直接开平方,得:x+=±‎ ‎ 即x=‎ ‎ ∴x1=,x2=‎ ‎ 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:‎ ‎ (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=就得到方程的根.‎ ‎ (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.‎ ‎ (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.‎ ‎ (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.‎