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- 2021-11-10 发布
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一元二次方程基本概念
1、基本概念:
方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程(等式),叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
2、 解方程常用方法:
(1) . 直接开平方法:
由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±,达到降次转化之目的.
(2) .配方法:
左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。
转化过程如下:
x2-64x+768=0
移项→ x2-64x=-768
两边加()2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024
左边写成平方形式 → (x-32)2=256
降次→ x-32=±16
即 x-32=16或x-32=-16
解一次方程→ x1=48,x2=16
可以验证: x1=48,x2=16都是方程的根
例1.解下列方程
(1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方.
解:(1)移项,得:x2+6x=-5
配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4
由此可得:x+3=±2,即x1=-1,x2=-5
(2)移项,得:2x2+6x=-2
二次项系数化为1,得:x2+3x=-1
配方x2+3x+()2=-1+()2(x+)2=
由此可得x+=±,即x1=-,x2=--
(3)去括号,整理得:x2+4x-1=0
移项,得x2+4x=1
配方,得(x+2)2=5
x+2=±,即x1=-2,x2=--2
总结用配方法解一元二次方程的步骤.
(1)移项;
(2)化二次项系数为1;
(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;
(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.
(3) 公式法:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,它的两个根
x1=, x2=
解:移项,得:ax2+bx=-c
二次项系数化为1,得x2+x=-
配方,得:x2+x+()2=-+()2
即(x+)2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方,得:x+=±
即x=
∴x1=,x2=
由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=就得到方程的根.
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
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