2020九年级数学下册 正多边形和圆 6页

圆 ‎27.4　正多边形和圆 知|识|目|标 ‎1．了解正多边形的概念，而且知道正多边形与圆的关系．‎ ‎2．在理解正多边形与圆的关系的基础上，通过例题和练习的学习，能够进行正多边形的有关计算．‎ ‎3．通过阅读教材，能借助等分圆周的方法画圆内接正多边形和圆外切正多边形．‎ 目标一　了解正多边形的概念 例1 教材补充例题已知：如图27－4－1所示，正方形ABCD的四个顶点都在大⊙O上，连结AC和BD，那么OA，OB，OC，OD都是大⊙O的________，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝________°，以点O为圆心，作小⊙O与AB相切，那么AD，DC，AB和BC都与小⊙O________，四边形ABCD是小⊙O的____________．‎ 图27－4－1‎ 例2 教材补充例题 下列结论中正确的有(　　)‎ ‎(1)各边都相等的多边形是正多边形；‎ ‎(2)各角都相等的多边形是正多边形；‎ ‎(3)正七边形有7条对称轴；‎ ‎(4)任何正多边形只有一个外接圆和一个内切圆；‎ ‎(5)一个圆有无数个内接正多边形和外切正多边形；‎ ‎(6)边数为奇数的正多边形一定是轴对称图形；‎ ‎(7)如果一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是正十边形；‎ ‎(8)若正方形的边长为6，则其内切圆的半径为3.‎ A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 ‎【归纳总结】各边相等、各角相等是正多边形的两个基本特征，边数为n(n＞3)‎ 6‎ 的多边形必须同时满足这两个特征才是正多边形，否则就不一定是正多边形．‎ 目标二　能进行正多边形的有关计算 例3 教材补充例题 如图27－4－2，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A＝36°，弦BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB.‎ ‎(1)求证：五边形ADBCE是正五边形；‎ ‎(2)指出正五边形的中心；‎ ‎(3)求正五边形的中心角；‎ ‎(4)如果正五边形的半径是r，边长是a，求正五边形的边心距d、周长P和面积S.‎ 图27－4－2‎ ‎【归纳总结】正多边形的有关计算：‎ ‎(1)正多边形满足以下两个条件：各边相等、各角相等．‎ ‎(2)正多边形中各元素间的关系：‎ 设正n(n≥3，且n为整数)边形的边长为an，半径为R，边心距为rn，中心角为αn，周长为Cn，面积为Sn，则R2＝rn2＋，αn＝，Cn＝nan，Sn＝nrnan＝Cnrn.‎ 从以上关系式可以看出，正多边形的有关计算都可以转化到由半径、中心到边的垂线段和边长的一半组成的直角三角形中解决．‎ ‎(3)正三角形中，边心距∶半径∶高＝1∶2∶3；正方形中，正方形的对角线长等于其半径的2‎ 6‎ 倍，边心距等于其边长的一半；正六边形中，正六边形的边长等于其半径．‎ 目标三　会画正多边形 例4 教材例题针对训练 如图27－4－3，已知A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，过点A画出⊙O的内接正五边形和外切正五边形．‎ 图27－4－3‎ ‎【归纳总结】等分圆周画圆内接正多边形的工具和方法：‎ ‎(1)只用量角器：用量角器把360°的圆心角n(n>2，且n为整数)等分，相应圆周也被n等分，顺次连结各分点即可得到圆内接正n边形. ‎ ‎(2)用量角器和圆规：先用量角器画出360°圆心角的(n>2，且n为整数)，相应地可得到圆周的；再用圆规顺次截取，便得到圆周的n等分点，顺次连结各分点即可得到圆内接正n边形. ‎ ‎(3)用圆规和直尺：用尺规等分圆周，可以作正六边形、正方形等特殊的圆内接正多边形．‎ 知识点一　正多边形与圆的关系 正多边形：____________、____________的多边形叫做正多边形．‎ 任何一个正多边形都有一个________和一个________，并且这两个圆是同心圆．‎ 知识点二　正多边形的有关概念 正多边形的中心：正多边形的________(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心．‎ 正多边形的半径：外接圆的________叫做正多边形的半径．‎ 正多边形的边心距：________的半径叫做正多边形的边心距．‎ 6‎ 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．正n(n≥3，且n为整数)边形的每个中心角都等于________．‎ 知识点三　正多边形的画法 基本原理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆周，从而画正多边形．‎ 把圆分成n(n≥3，且n为整数)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接________；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切________．‎ 等分圆周的常用方法：(1)用________等分；(2)用________等分．‎ 知识点四　正多边形与圆的有关计算 解决正多边形的相关计算问题，关键在于添加辅助线，将其转化为直角三角形，然后运用勾股定理来解决．‎ 学习了正多边形与圆后，三名同学有下列结论：‎ 张东：正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；‎ 李艳：边数相同的正多边形都相似；‎ 刘浩：正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形．‎ 他们的说法正确吗？ ‎ 6‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　[答案] 半径　90　相切　外切正四边形 例2　[解析] B　菱形的四条边都相等，但它不是正四边形，所以(1)不正确；矩形的四个角都相等，但它不是正四边形，所以(2)不正确；其余六个结论都正确．‎ 例3　[解析] (1)要证明五边形ADBCE是正五边形，只需要证明＝＝＝＝即可；(2)正多边形的中心就是其外接圆的圆心；‎ ‎(3)正n边形的中心角为；‎ ‎(4)连结OB，OC，过点O作BC的垂线，垂线段的长度就是边心距，根据勾股定理即可求出．‎ 解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝72°.‎ 又∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ABE＝∠EBC＝∠ACD＝∠DCB＝36°，‎ 即∠ABE＝∠EBC＝∠ACD＝∠DCB＝∠BAC，‎ ‎∴＝＝＝＝，‎ ‎∴A，D，B，C，E是⊙O的五等分点，‎ ‎∴五边形ADBCE是正五边形．‎ ‎(2)∵正多边形的中心是其外接圆的圆心，‎ ‎∴正五边形的中心是点O.‎ ‎(3)∵＝＝＝＝，‎ ‎∴正五边形的中心角是＝72°.‎ ‎(4)如图，连结OB，OC，过点O作OF⊥BC于点F.‎ ‎∵OB＝r，BF＝BC＝a，‎ ‎∴正五边形的边心距d＝＝；‎ 正五边形的周长P＝5a；‎ 正五边形的面积S＝5S△OBC＝5×ad＝ .‎ 例4　[解析] 依次连结圆的五等分点，所得的五边形是圆内接正五边形；经过圆的五等分点作圆的切线，相邻切线相交成的五边形是圆外切正五边形．‎ 解：(1)如图，依次连结AB，BC，CD，DE，EA，就得到⊙O的内接正五边形ABCDE.‎ 6‎ ‎(2)如图，分别过点A，B，C，D，E作⊙O的切线，所得的五边形FGHMN是⊙O的外切正五边形．‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点一　各条边相等　各个角也相等　外接圆　内切圆 知识点二　外接圆　半径　内切圆　 知识点三　正n边形　正n边形　量角器　圆规 ‎[反思] 正多边形内切圆的半径与正多边形的边心距相等，所以张东的说法不正确；‎ 根据相似形的定义可知边数相同的正多边形都相似，所以李艳的说法正确．‎ 正多边形都是轴对称图形，但不一定是中心对称图形，比如正五边形不是中心对称图形，所以刘浩的说法不正确．‎ 6‎