统编版数学九年级上期末测试卷 91页

人教版九年级上册 期末试卷（1） 一、精心选一选（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出四个 答案，其中只有一个是正确的） 1．（3 分）下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1 2．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，将其折叠，使 AB 边落在对 角线 AC 上，得到折痕 AE，则点 E 到点 B 的距离为（ ） A． B．2 C． D．3 3．（3 分）在一个四边形 ABCD 中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形， 则对角线 AC 与 BD 需要满足条件是（ ） A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要条件 4．（3 分）已知点 A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数 y= 的图象上，则（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 5．（3 分）学生冬季运动装原来每套的售价是 100 元，后经连续两次降价，现在 的售价是 81 元，则平均每次降价的百分数是（ ） A．9% B．8.5% C．9.5%D．10% 6．（3 分）甲、乙两地相距 60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间 y（小时） 与行驶速度 x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ） A． B． C ． D． 7．（3 分）二次三项式 x2﹣4x+3 配方的结果是（ ） A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2﹣1 8．（3 分）函数 y= 的图象经过（1，﹣1），则函数 y=kx﹣2 的图象是（ ） A． B． C． D． 9．（3 分）如图，矩形 ABCD，R 是 CD 的中点，点 M 在 BC 边上运动，E，F 分 别是 AM，MR 的中点，则 EF 的长随着 M 点的运动（ ） A．变短 B．变长 C．不变 D．无法确定 10．（3 分）如图，点 A 在双曲线 y= 上，且 OA=4，过 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C，OA 的垂直平分线交 OC 于 B，则△ABC 的周长为（ ） A． B．5 C． D． 二、你能填得又快又准吗？（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分） 11．（4 分）反比例函数 的图象在一、三象限，则 k 应满足 ． 12．（4 分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍， 那么边长应缩小到原来的 倍． 13．（4 分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0 有一个根为零，则 a 的值为 ． 14．（4 分）已知 = = ，则 = ． 15．（4 分）如图，双曲线 上有一点 A，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B， △AOB 的面积为 2，则该双曲线的表达式为 ． 16．（4 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，若 AD=1，BD=4， 则 CD= ． 17．（4 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC，BD 交于点 O，S△AOD：S△COB=1： 9，则 S△DOC：S△BOC= ． 18．（4 分）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC．若 AD=4， DB=2，则 的值为 ． 三、解答题：（共 9 道题，总分 88 分） 19．（8 分）解方程 （1）2x2﹣2 x﹣5=0； （2）（y+2）2=（3y﹣1）2． 20．（8 分）已知，如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一 时刻 AB 在阳光下的投影 BC=3m． （1）请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影； （2）在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 6m，请你计算 DE 的长． 21．（10 分）如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连接 BF． （1）线段 BD 与 CD 有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由． 22．（10 分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 ， ，1 的卡片，乙同学 手中藏有三张分别标有 1，3，2 的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任 取一张卡片，并将它们的数字分别记为 a，b． （1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果． （2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的 a，b 能使得 ax2+bx+1=0 有两个不 相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你 用概率知识解释． 23．（10 分）如图，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为 F，连接 DF． （1）试说明 AC=EF； （2）求证：四边形 ADFE 是平行四边形． 24．（10 分）如图，已知 A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数 y=kx+b 的图 象和反比例函数 的图象的两个交点； （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积； （3）求不等式 的解集（请直接写出答案）． 25．（10 分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可 售出 500 张，每张盈利 0.3 元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措 施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售 出 100 张，商场要想平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元？ 26．（10 分）如图，P1、P2 是反比例函数 （k＞0）在第一象限图象上的两点， 点 A1 的坐标为（2，0），若△P1OA1 与△P2A1A2 均为等边三角形． （1）求此反比例函数的解析式； （2）求 A2 点的坐标． 27．（12 分）如图，在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，动点 E（与点 A，C 不 重合）在 AC 边上，EF∥AB 交 BC 于 F 点． （1）当△ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等时，求 CE 的长； （2）当△ECF 的周长与四边形 EABF 的周长相等时，求 CE 的长； （3）试问在 AB 上是否存在点 P，使得△EFP 为等腰直角三角形？若不存在，请 简要说明理由；若存在，请求出 EF 的长． 参考答案与试题解析 一、精心选一选（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出四个 答案，其中只有一个是正确的） 1．（3 分）下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1 【考点】一元二次方程的定义． 【分析】一元二次方程有四个特点： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是 2； （3）是整式方程． （4）二次项系数不为 0． 【解答】解： A、3（x+1）2=2（x+1）化简得 3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确； B、方程不是整式方程，故错误； C、若 a=0，则就不是一元二次方程，故错误； D、是一元一次方程，故错误． 故选：A． 【点评】判断一个方程是不是一元二次方程： 首先要看是不是整式方程； 然后看化简后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2． 这是一个需要识记的内容． 2．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，将其折叠，使 AB 边落在对 角线 AC 上，得到折痕 AE，则点 E 到点 B 的距离为（ ） A． B．2 C． D．3 【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】由于 AE 是折痕，可得到 AB=AF，BE=EF，设出未知数，在 Rt△EFC 中 利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案． 【解答】解：设 BE=x， ∵AE 为折痕， ∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°， Rt△ABC 中，AC= = =5， ∴Rt△EFC 中，FC=5﹣3=2，EC=4﹣X， ∴（4﹣x）2=x2+22， 解得 x= ． 故选 A． 【点评】本题考查了折叠问题、勾股定理和矩形的性质；解题中，找准相等的量 是正确解答题目的关键． 3．（3 分）在一个四边形 ABCD 中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形， 则对角线 AC 与 BD 需要满足条件是（ ） A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要条件 【考点】中点四边形． 【分析】因为菱形的四边相等，再根据三角形的中位线定理可得，对角线 AC 与 BD 需要满足条件是相等． 【解答】解：∵四边形 EFGH 是菱形， ∴EH=FG=EF=HG= BD= AC，故 AC=BD． 故选 B． 【点评】本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质．解题的关键 在于牢记有关的判定定理，难度不大． 4．（3 分）已知点 A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数 y= 的图象上，则（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵k＞0，函数图象在一，三象限，由题意可知，点 A、B 在第三象 限，点 C 在第一象限， ∵第三象限内点的纵坐标总小于第一象限内点的纵坐标， ∴y3 最大， ∵在第三象限内，y 随 x 的增大而减小， ∴y2＜y1． 故选：D． 【点评】在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各 点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一 象限内，按坐标系内点的特点来比较． 5．（3 分）学生冬季运动装原来每套的售价是 100 元，后经连续两次降价，现在 的售价是 81 元，则平均每次降价的百分数是（ ） A．9% B．8.5% C．9.5%D．10% 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题． 【分析】设平均每次降价的百分数是 x，则第一次降价后的价格是 100（1﹣x）， 第二次降价后的价格是 100（1﹣x）（1 ﹣x），根据“现在的售价是 81 元”作为相等关系列方程求解． 【解答】解：设平均每次降价的百分数是 x，依题意得 100（1﹣x）2=81， 解方程得 x1=0.1，x2=1.9（舍去） 所以平均每次降价的百分数是 10%． 故选 D． 【点评】本题运用增长率（下降率）的模型解题．若设变化前的量为 a，变化后 的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2=b．（当 增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”） 6．（3 分）甲、乙两地相距 60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间 y（小时） 与行驶速度 x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的应用． 【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取 值范围即可进行判断． 【解答】解：根据题意可知时间 y（小时）与行驶速度 x（千米/时）之间的函数 关系式为：y= （x＞0），所以函数图象大致是 B． 故选 B． 【点评】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关 系式从而判断它的图象类型，要注意自变量 x 的取值范围，结合自变量的实际范 围作图． 7．（3 分）二次三项式 x2﹣4x+3 配方的结果是（ ） A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2﹣1 【考点】配方法的应用． 【分析】在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数 ﹣4 的一半的平方；可将常数项 3 拆分为 4 和﹣1，然后再按完全平方公式进行 计算． 【解答】解：x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1=（x﹣2）2﹣1． 故选 B． 【点评】在对二次三项式进行配方时，一般要将二次项系数化为 1，然后将常数 项进行拆分，使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方． 8．（3 分）函数 y= 的图象经过（1，﹣1），则函数 y=kx﹣2 的图象是（ ） A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】待定系数法． 【分析】先根据函数 y= 的图象经过（1，﹣1）求出 k 的值，然后求出函数 y=kx ﹣2 的解析式，再根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标解答． 【解答】解：∵图象经过（1，﹣1）， ∴k=xy=﹣1， ∴函数解析式为 y=﹣x﹣2， 所以函数图象经过（﹣2，0）和（0，﹣2）． 故选 A． 【点评】主要考查一次函数 y=kx+b 的图象．当 k＜0，b＜0 时，函数 y=kx+b 的 图象经过第二、三、四象限． 9．（3 分）如图，矩形 ABCD，R 是 CD 的中点，点 M 在 BC 边上运动，E，F 分 别是 AM，MR 的中点，则 EF 的长随着 M 点的运动（ ） A．变短 B．变长 C．不变 D．无法确定 【考点】三角形中位线定理；矩形的性质． 【专题】压轴题；动点型． 【分析】易得 EF 为三角形 AMR 的中位线，那么 EF 长恒等于定值 AR 的一半． 【解答】解：∵E，F 分别是 AM，MR 的中点， ∴EF= AR， ∴无论 M 运动到哪个位置 EF 的长不变，故选 C． 【点评】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质． 10．（3 分）如图，点 A 在双曲线 y= 上，且 OA=4，过 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C，OA 的垂直平分线交 OC 于 B，则△ABC 的周长为（ ） A． B．5 C． D． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】综合题；压轴题；数形结合． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知 AB=OB，由此推出△ABC 的周长 =OC+AC，设 OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于 a、b 的 方程组 ，解之即可求出△ABC 的周长． 【解答】解：∵OA 的垂直平分线交 OC 于 B， ∴AB=OB， ∴△ABC 的周长=OC+AC， 设 OC=a，AC=b， 则： ， 解得 a+b=2 ， 即△ABC 的周长=OC+AC=2 ． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合 应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC 的周长转换成求 OC+AC 即可解决问 题． 二、你能填得又快又准吗？（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分） 11．（4 分）反比例函数 的图象在一、三象限，则 k 应满足 k＞﹣2 ． 【考点】反比例函数的性质． 【分析】由于反比例函数 的图象在一、三象限内，则 k+2＞0，解得 k 的 取值范围即可． 【解答】解：由题意得，反比例函数 的图象在二、四象限内， 则 k+2＞0， 解得 k＞﹣2． 故答案为 k＞﹣2． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意 y= （k≠0）中 k 的取值， ①当 k＞0 时，反比例函数的图象位于一、三象限；②当 k＜0 时，反比例函数的 图象位于二、四象限． 12．（4 分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍， 那么边长应缩小到原来的 倍． 【考点】相似三角形的性质． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：∵改做的三角形与原三角形相似，且面积缩小到原来的 倍， ∴边长应缩小到原来的 倍． 故答案为： ． 【点评】本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是 解题的关键． 13．（4 分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0 有一个根为零，则 a 的值为 ﹣4 ． 【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相 等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将 x=0 代入原方 程即可求得 a 的值． 【解答】解：把 x=0 代入一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0， 可得 a2+3a﹣4=0， 解得 a=﹣4 或 a=1， ∵二次项系数 a﹣1≠0， ∴a≠1， ∴a=﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出 a 的值，但不能忽视一元二次方 程成立的条件 a﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析． 14．（4 分）已知 = = ，则 = ． 【考点】比例的性质． 【分析】根据已知比例关系，用未知量 k 分别表示出 a、b 和 c 的值，代入原式 中，化简即可得到结果． 【解答】解：设 = = =k， ∴a=5k，b=3k，c=4k， ∴ = = = ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 15．（4 分）如图，双曲线 上有一点 A，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B， △AOB 的面积为 2，则该双曲线的表达式为 y=﹣ ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【专题】压轴题；数形结合． 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出 k 的符号，再根据 S△AOB=2 求 出 k 的值即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0， ∵S△AOB=2，∴|k|=4，∴k=﹣4，即可得双曲线的表达式为：y=﹣ ， 故答案为：y=﹣ ． 【点评】本题考查的是反比例系数 k 的几何意义，即在反比例函数的图象上任意 一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变． 16．（4 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，若 AD=1，BD=4， 则 CD= 2 ． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出 CD 的长． 【解答】解：Rt△ACB 中，∠ACB=90°，CD⊥AB； ∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A； 又∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴△ACD∽△CBD； ∴CD2=AD•BD=4，即 CD=2． 【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质． 17．（4 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC，BD 交于点 O，S△AOD：S△COB=1： 9，则 S△DOC：S△BOC= 1：3 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；梯形． 【专题】压轴题． 【分析】根据在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC，易得△AOD∽△COB，且 S△AOD： S△COB=1：9，可求 = ，则 S△AOD：S△DOC=1：3，所以 S△DOC：S△BOC=1：3． 【解答】解：根据题意，AD∥BC ∴△AOD∽△COB ∵S△AOD：S△COB=1：9 ∴ = 则 S△AOD：S△DOC=1：3 所以 S△DOC：S△BOC=3：9=1：3． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的 平方． 18．（4 分）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC．若 AD=4， DB=2，则 的值为 ． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】由 AD=3，DB=2，即可求得 AB 的长，又由 DE∥BC，根据平行线分线 段成比例定理，可得 DE：BC=AD：AB，则可求得答案． 【解答】解：∵AD=4，DB=2， ∴AB=AD+BD=4+2=6， ∵DE∥BC， △ADE∽△ABC，∴ = ， 故答案为： ． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线 段的对应关系是解此题的关键． 三、解答题：（共 9 道题，总分 88 分） 19．（8 分）解方程 （1）2x2﹣2 x﹣5=0； （2）（y+2）2=（3y﹣1）2． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）利用求根公式计算即可； （2）利用因式分解可得到（4y+1）（3﹣2y）=0，可求得方程的解． 【解答】解： （1）∵a=2，b=﹣2 ，c=﹣5， ∴△=（﹣2 ）2﹣4×2×（﹣5）=48＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴x= = ， 即 x1= ，x2= ， （2）移项得（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0， 分解因式得（4y+1）（3﹣2y）=0， 解得 y1=﹣ ，y2= ． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式是解 题的关键． 20．（8 分）已知，如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一 时刻 AB 在阳光下的投影 BC=3m． （1）请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影； （2）在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 6m，请你计算 DE 的长． 【考点】平行投影；相似三角形的性质；相似三角形的判定． 【专题】计算题；作图题． 【分析】（1）根据投影的定义，作出投影即可； （2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系 ．计 算可得 DE=10（m）． 【解答】解：（1）连接 AC，过点 D 作 DF∥AC，交直线 BC 于点 F，线段 EF 即 为 DE 的投影． （2）∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF． ∴ ，∴ ∴DE=10（m）． 说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线 AC 和 DF，再连 接 EF 即可． 【点评】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比 例．要求学生通过投影的知识并结合图形解题． 21．（10 分）如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连接 BF． （1）线段 BD 与 CD 有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由． 【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角 角边”证明△AEF 和△DEC 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AF=CD，再 利用等量代换即可得证； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 AFBD 是平 行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰 三角形三线合一的性质可知必须是 AB=AC． 【解答】解：（1）BD=CD． 理由如下：依题意得 AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE， ∵E 是 AD 的中点，∴AE=DE， 在△AEF 和△DEC 中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD， ∵AF=BD，∴BD=CD； （2）当△ABC 满足：AB=AC 时，四边形 AFBD 是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形 AFBD 是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱ AFBD 是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定， 是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 22．（10 分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 ， ，1 的卡片，乙同学 手中藏有三张分别标有 1，3，2 的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任 取一张卡片，并将它们的数字分别记为 a，b． （1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果． （2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的 a，b 能使得 ax2+bx+1=0 有两个不 相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你 用概率知识解释． 【考点】游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法． 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的 结果； （2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用 概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏 规是否公平． 【解答】解：（1）画树状图得： ∵（a，b）的可能结果有（ ，1）、（ ，3）、（ ，2）、（ ，1）、（ ，3）、（ ， 2）、（1，1）、（1，3）及（1，2）， ∴（a，b）取值结果共有 9 种； （2）∵当 a= ，b=1 时，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此时 ax2+bx+1=0 无实数根， 当 a= ，b=3 时，△=b2﹣4ac=7＞0，此时 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根， 当 a= ，b=2 时，△=b2﹣4ac=2＞0，此时 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根， 当 a= ，b=1 时，△=b2﹣4ac=0，此时 ax2+bx+1=0 有两个相等的实数根， 当 a= ，b=3 时，△=b2﹣4ac=8＞0，此时 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根， 当 a= ，b=2 时，△=b2﹣4ac=3＞0，此时 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根， 当 a=1，b=1 时，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此时 ax2+bx+1=0 无实数根， 当 a=1，b=3 时，△=b2﹣4ac=5＞0，此时 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根， 当 a=1，b=2 时，△=b2﹣4ac=0，此时 ax2+bx+1=0 有两个相等的实数根， ∴P（甲获胜）=P（△＞0）= ＞P（乙获胜）= ， ∴这样的游戏规则对甲有利，不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的 概率，概率相等就公平，否则就不公平． 23．（10 分）如图，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为 F，连接 DF． （1）试说明 AC=EF； （2）求证：四边形 ADFE 是平行四边形． 【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质． 【分析】（1）首先由 Rt△ABC 中，由∠BAC=30°可以得到 AB=2BC，又由△ABE 是等边三角形，EF⊥AB，由此得到 AE=2AF，并且 AB=2AF，然后证得△AFE≌ △BCA，继而证得结论； （2）根据（1）知道 EF=AC，而△ACD 是等边三角形，所以 EF=AC=AD，并且 AD⊥AB，而 EF⊥AB，由此得到 EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证 明四边形 ADFE 是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵Rt△ABC 中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC， 又∵△ABE 是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF ∴AF=BC， 在 Rt△AFE 和 Rt△BCA 中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC=EF； （2）∵△ACD 是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90° 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD， ∴四边形 ADFE 是平行四边形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判 定与性质．注意证得 Rt△AFE≌Rt△BCA 是关键． 24．（10 分）如图，已知 A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数 y=kx+b 的图 象和反比例函数 的图象的两个交点； （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积； （3）求不等式 的解集（请直接写出答案）． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】计算题；压轴题；待定系数法． 【分析】（1）把 A（﹣4，n），B（2，﹣4）分别代入一次函数 y=kx+b 和反比例 函数 y= ，运用待定系数法分别求其解析式； （2）把三角形 AOB 的面积看成是三角形 AOC 和三角形 OCB 的面积之和进行计 算； （3）由图象观察函数 y= 的图象在一次函数 y=kx+b 图象的上方，对应的 x 的 范围． 【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在 y= 上， ∴m=﹣8． ∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ． ∵点 A（﹣4，n）在 y=﹣ 上， ∴n=2． ∴A（﹣4，2）． ∵y=kx+b 经过 A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴ ． 解之得 ． ∴一次函数的解析式为 y=﹣x﹣2． （2）∵C 是直线 AB 与 x 轴的交点， ∴当 y=0 时，x=﹣2． ∴点 C（﹣2，0）． ∴OC=2． ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO= ×2×2+ ×2×4=6． （3）不等式 的解集为：﹣4＜x＜0 或 x＞2． 【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数 k，求出函数解析 式；要能够熟练借助直线和 y 轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．同时 间接考查函数的增减性，从而来解不等式． 25．（10 分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可 售出 500 张，每张盈利 0.3 元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措 施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售 出 100 张，商场要想平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】经济问题；压轴题． 【分析】等量关系为：（原来每张贺年卡盈利﹣降价的价格）×（原来售出的张 数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可． 【解答】解：设每张贺年卡应降价 x 元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多 售出 100x÷0.1=1000x 张． （0.3﹣x）（500+1000x）=120， 解得 x1=﹣0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x2=0.1． 答：每张贺年卡应降价 0.1 元． 【点评】考查一元二次方程的应用；得到每降价 x 元多卖出的贺年卡张数是解决 本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键． 26．（10 分）如图，P1、P2 是反比例函数 （k＞0）在第一象限图象上的两点， 点 A1 的坐标为（2，0），若△P1OA1 与△P2A1A2 均为等边三角形． （1）求此反比例函数的解析式； （2）求 A2 点的坐标． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；等 边三角形的性质． 【分析】（1）首先作 P1B⊥OA1 于点 B，由等边△P1OA1 中，OA1=2，可得 OB=1， P1B= ，继而求得点 P1 的坐标，然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的 解析式； （2）首先作 P2C⊥A1A2 于点 C，由等边△P2A1A2，设 A1C=a，可得 P2C= ， OC=2+a，然后把 P2 点坐标（2+a， ）代入 ，继而求得 a 的值，则可求 得 A2 点的坐标． 【解答】解：（1）作 P1B⊥OA1 于点 B， ∵等边△P1OA1 中，OA1=2， ∴OB=1，P1B= ， 把 P1 点坐标（1， ）代入 ， 解得： ， ∴ ； （2）作 P2C⊥A1A2 于点 C， ∵等边△P2A1A2，设 A1C=a， 则 P2C= ，OC=2+a， 把 P2 点坐标（2+a， ）代入 ， 即： ， 解得 ， （舍去）， ∴OA2=2+2a= ， ∴A2（ ，0）． 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及等边三角形的性质．此 题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 27．（12 分）如图，在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，动点 E（与点 A，C 不 重合）在 AC 边上，EF∥AB 交 BC 于 F 点． （1）当△ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等时，求 CE 的长； （2）当△ECF 的周长与四边形 EABF 的周长相等时，求 CE 的长； （3）试问在 AB 上是否存在点 P，使得△EFP 为等腰直角三角形？若不存在，请 简要说明理由；若存在，请求出 EF 的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】（1）因为 EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的 平方解题； （2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答； （3）先画出图形，根据图形猜想 P 点可能的位置，再找到相似三角形，依据相 似三角形的性质解答． 【解答】解：（1）∵△ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等 ∴S△ECF：S△ACB=1：2 又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB = = ∵AC=4， ∴CE= ； （2）设 CE 的长为 x ∵△ECF∽△ACB ∴ = ∴CF= 由△ECF 的周长与四边形 EABF 的周长相等， 得 x+EF+ x=（4﹣x）+5+（3﹣ x）+EF 解得 ∴CE 的长为 ； （3）△EFP 为等腰直角三角形，有两种情况： ①如图 1，假设∠PEF=90°，EP=EF 由 AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90° ∴Rt△ACB 斜边 AB 上高 CD= 设 EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得： = 即 = 解得 x= ，即 EF= 当∠EFP´=90°，EF=FP′时，同理可得 EF= ； ②如图 2，假设∠EPF=90°，PE=PF 时，点 P 到 EF 的距离为 EF 设 EF=x，由△ECF∽△ACB，得： = ，即 = 解得 x= ，即 EF= 综上所述，在 AB 上存在点 P，使△EFP为等腰直角三角形，此时 EF= 或 EF= ． 【点评】此题考查了相似三角形的性质，有一定的开放性，难点在于作出辅助线 就具体情况进行分类讨论． 期末试卷（2） 一、选择题（每小题 3 分，共 42 分） 1．（3 分）计算 a7•（ ）2 的结果是（ ） A．a B．a5 C．a6 D．a8 2．（3 分）要使分式 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1 3．（3 分）下列手机屏幕解锁图案中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（ ） A．AB=2，BC=4，AC=7 B．AB=5，BC=3，∠A=30° C．∠A=60°，∠B=45°，AC=4 D．∠C=90°，AB=6 5．（3 分）下列各式： ， ， ， ， （x﹣y）中，是分式的共有 （ ） A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 6．（3 分）若（x+3）（x﹣4）=x2+px+q，那么 p、q 的值是（ ） A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=﹣12C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 7．（3 分）下列能判定△ABC 为等腰三角形的是（ ） A．AB=AC=3，BC=6 B．∠A=40°、∠B=70° C．AB=3、BC=8，周长为 16 D．∠A=40°、∠B=50° 8．（3 分）若一个多边形的每一个外角都是 40°，则这个多边形是（ ） A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 9．（3 分）如图，四边形 ABCD 中，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等三角 形的对数是（ ） A．5 B．6 C．3 D．4 10．（3 分）如图，直线 a∥b，点 B 在直线 b 上，且 AB⊥BC，∠2=65°，则∠1 的度数为（ ） A．65° B．25° C．35° D．45° 11．（3 分）已知 y2+10y+m 是完全平方式，则 m 的值是（ ） A．25 B．±25 C．5 D．±5 12．（3 分）如图，若∠A=27°，∠B=50°，∠C=38°，则∠BFE 等于（ ） A．65° B．115° C．105° D．75° 13．（3 分）若分式方程 无解，则 m 的值为（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 14．（3 分）若 m=2100，n=375，则 m，n 的大小关系为（ ） A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定 二、填空题（本大题满 16 分，每小题 4 分） 15．（4 分）计算： = ． 16．（4 分）一个矩形的面积为（6ab2+4a2b）cm2，一边长为 2abcm，则它的周 长为 cm． 17．（4 分）等腰三角形一个顶角和一个底角之和是 100°，则顶角等于 ． 18．（4 分）下列图形中对称轴最多的是 ． 三、解答题（本大题满分 62 分） 19．（10 分）计算： （1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab） （2）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy） 20．（10 分）把下列多项式分解因式： （1）4x2y2﹣4 （2）2pm2﹣12pm+18p． 21．（10 分）如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，3）、B（﹣ 6，0）、C（﹣1，0）． （1）将△ABC 沿 y 轴翻折，画出翻折后的△A1B1C1，点 A 的对应点 A1 的坐标 是 ． （2）△ABC 关于 x 轴对称的图形△A2B2C2，直接写出点 A2 的坐标 ． （3）若△DBC 与△ABC 全等（点 D 与点 A 重合除外），请直接写出满足条件点 D 的坐标． 22．（10 分）如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 23．（10 分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜 900kg 和 1500kg，已知 第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少 300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多 少千克？ 24．（12 分）（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ ADC=90°，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且∠EAF=60°，延长 FD 到点 G，使 DG=BE， 连接 AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段 BE、EF、FD 之间的数量关系为 ． （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F 分别是 BC、 CD 上的点，且∠EAF= ∠BAD，线段 BE、EF、FD 之间存在什么数量关系，为 什么？ （3）如图 3，点 A 在点 O 的北偏西 30°处，点 B 在点 O 的南偏东 70°处，且 AO=BO， 点 A 沿正东方向移动 249 米到达 E 处，点 B 沿北偏东 50°方向移动 334 米到达点 F 处，从点 O 观测到 E、F 之间的夹角为 70°，根据（2）的结论求 E、F 之间的 距离． 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 42 分） 1．（3 分）计算 a7•（ ）2 的结果是（ ） A．a B．a5 C．a6 D．a8 【考点】分式的乘除法． 【分析】首先利用分式的乘方计算 ）2，再计算乘法即可． 【解答】解：原式=a7• =a5， 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式的乘法和乘方，关键是掌握运算顺序，应先把各个 分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 2．（3 分）要使分式 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1 【考点】分式有意义的条件． 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零． 【解答】解：∵分式 有意义， ∴x﹣1≠0． 解得：x≠1． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的 关键． 3．（3 分）下列手机屏幕解锁图案中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选 A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分沿对称轴折叠后可重合． 4．（3 分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（ ） A．AB=2，BC=4，AC=7 B．AB=5，BC=3，∠A=30° C．∠A=60°，∠B=45°，AC=4 D．∠C=90°，AB=6 【考点】全等三角形的判定． 【分析】判断是否符合所学的全等三角形的判定定理及三角形的三边关系即可． 【解答】解：A、不符合三角形三边之间的关系，不能构成三角形，错误； B、∠A 不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度，不能画出唯 一的三角形，错误； C、符合全等三角形判定中的 ASA，正确； D、只有一个角和一个边，无法作出一个三角形，错误； 故选 C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画 出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出 的三角形不唯一． 5．（3 分）下列各式： ， ， ， ， （x﹣y）中，是分式的共有 （ ） A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 【考点】分式的定义． 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如 果不含有字母则不是分式． 【解答】解： ， ， （x﹣y）是分式， 故选：C． 【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 不是分 式，是整式． 6．（3 分）若（x+3）（x﹣4）=x2+px+q，那么 p、q 的值是（ ） A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=﹣12C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 【考点】多项式乘多项式． 【专题】计算题；整式． 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条 件求出 p 与 q 的值即可． 【解答】解：已知等式整理得：x2﹣x﹣12=x2+px+q， 则 p=﹣1，q=﹣12， 故选 B 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（3 分）下列能判定△ABC 为等腰三角形的是（ ） A．AB=AC=3，BC=6 B．∠A=40°、∠B=70° C．AB=3、BC=8，周长为 16 D．∠A=40°、∠B=50° 【考点】等腰三角形的判定． 【分析】根据等腰三角形判定，利用三角形内角定理对 4 个选项逐一进行分析即 可得到答案． 【解答】解：A、AB=AC=3，BC=6，不能组成三角形，错误； B、∠A=40°、∠B=70°，可得∠C=70°，所以是等腰三角形，正确； C、AB=3、BC=8，周长为 16，AC=16﹣8﹣3=5，不是等腰三角形，错误； D、∠A=40°、∠B=50°，可得∠C=90°，不是等腰三角形，错误； 故选 B 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌 握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． 8．（3 分）若一个多边形的每一个外角都是 40°，则这个多边形是（ ） A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据任何多边形的外角和都是 360 度，利用 360 除以外角的度数就可 以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数． 【解答】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是 9， 故选 C． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，根据外角和的大小与多 边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 9．（3 分）如图，四边形 ABCD 中，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等三角 形的对数是（ ） A．5 B．6 C．3 D．4 【考点】全等三角形的判定． 【分析】先找出图中所有的三角形，根据直觉判断全等，再根据判定方法寻找条 件验证． 【解答】解：在四边形 ABCD 中，BC∥AD ⇒ ∠ABD=∠CDB． 又 AB=CD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB； ∠ABD=∠CDB，AB=CD，又 BE=DF ⇒ △ABE≌△CDF； BE=DF ⇒ BF=DE．∵BC=DA，CF=AE，∴△BCF≌△DAE． 故选 C． 【点评】本题考查平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，做题时要从已知 条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 10．（3 分）如图，直线 a∥b，点 B 在直线 b 上，且 AB⊥BC，∠2=65°，则∠1 的度数为（ ） A．65° B．25° C．35° D．45° 【考点】平行线的性质． 【专题】探究型． 【分析】先根据平行线的性质求出∠3 的度数，再由平角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵直线 a∥b，∠2=65°， ∴∠3=∠2=65°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠1=180°﹣∠3﹣∠ABC=180°﹣65°﹣90°=25°． 故选 B． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相 等． 11．（3 分）已知 y2+10y+m 是完全平方式，则 m 的值是（ ） A．25 B．±25 C．5 D．±5 【考点】完全平方式． 【分析】直接利用完全平方公式求出 m 的值． 【解答】解：∵y2+10y+m 是完全平方式， ∴y2+10y+m=（y+5）2=y2+10y+25， 故 m=25． 故选：A． 【点评】此题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式是解题关键． 12．（3 分）如图，若∠A=27°，∠B=50°，∠C=38°，则∠BFE 等于（ ） A．65° B．115° C．105° D．75° 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【分析】根据三角形外角的性质，可得∠AEB=∠A+∠C=65°，再根据三角形的 内角和定理，求得∠BFE 的度数即可． 【解答】解：∵∠A=27°，∠C=38°， ∴∠AEB=∠A+∠C=65°， ∵∠B=50°， ∴△BEF 中，∠BFE=180°﹣（65°+50°）=65°， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理，关键是掌握 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 13．（3 分）若分式方程 无解，则 m 的值为（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【考点】分式方程的解． 【专题】计算题；分式方程及应用． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到 x+2=0，求出 x 的值，代入整式方程即可求出 m 的值． 【解答】解：去分母得：x=m， 由分式方程无解，得到 x+2=0，即 x=﹣2， 把 x=﹣2 代入得：m=﹣2， 故选 A 【点评】此题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是本题的突破点． 14．（3 分）若 m=2100，n=375，则 m，n 的大小关系为（ ） A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定 【考点】幂的乘方与积的乘方． 【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念，将 m 变形为（24）25，n 变形为（33） 25，然后进行比较求解即可． 【解答】解：m=2100=（24）25， n=375=（33）25， ∵24＜33， ∴（24）25＜（33）25， 即 m＜n， 故选 B． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握幂的乘 方与积的乘方的概念和运算法则． 二、填空题（本大题满 16 分，每小题 4 分） 15．（4 分）计算： = ﹣1 ． 【考点】分式的加减法． 【分析】应用同分母分式的加减运算法则求解即可求得答案，注意要化简． 【解答】解： = =﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了同分母分式的加减运算法则．题目比较简单，解题需细心． 16．（4 分）一个矩形的面积为（6ab2+4a2b）cm2，一边长为 2abcm，则它的周 长为 4ab+4a+6b cm． 【考点】整式的除法；单项式乘多项式． 【专题】计算题；几何图形问题． 【分析】先根据矩形的面积公式求出另一边的长，再根据矩形的周长=2×（长+ 宽）列式，通过计算即可得出结果． 【解答】解：（6ab2+4a2b）÷2ab=3b+2a， 2×（2ab+3b+2a）=4ab+4a+6b． 故答案为：4ab+4a+6b． 【点评】此题考查了多项式除以单项式、单项式乘多项式在实际中的应用．求出 矩形的另一边长是解题的关键．用到的知识点： 矩形的面积=长×宽，矩形的周长=2×（长+宽）． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相 加． 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 17．（4 分）等腰三角形一个顶角和一个底角之和是 100°，则顶角等于 20° ． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】已知给出了两角的和，可根据三角形内角和定理求出另一个底角，再相 减即可求出顶角． 【解答】解：依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是 100° 即它的另一个底角为 180°﹣100°=80° ∵等腰三角形的底角相等 故它的一个顶角等于 100°﹣80°=20°． 故答案为：20°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；本题思路比较直 接，简单，属于基础题． 18．（4 分）下列图形中对称轴最多的是 圆 ． 【考点】轴对称图形． 【分析】直接得出各图形的对称轴条数，进而得出答案． 【解答】解：正方形有 4 条对称轴；长方形有 2 条对称轴；圆有无数条对称轴； 线段有 2 条对称轴． 故对称轴最多的是圆． 故答案为：圆． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确得出各图形对称轴条数是解题关键． 三、解答题（本大题满分 62 分） 19．（10 分）计算： （1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab） （2）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy） 【考点】整式的混合运算． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除即可． （2）先算括号里面的，最后算除法即可． 【解答】解：（1）原式=a2b4•（﹣a9b3）÷（﹣5ab） = a10b6． （2）原式=[x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2]÷2xy =4xy÷2xy =2． 【点评】本题考查了完全平方公式，整式的混合运算的应用，注意运算顺序． 20．（10 分）把下列多项式分解因式： （1）4x2y2﹣4 （2）2pm2﹣12pm+18p． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题；因式分解． 【分析】（1）原式提取 4，再利用平方差公式分解即可； （2）原式提取 2p，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式=4（x2y2﹣1）=4（xy+1）（xy﹣1）； （2）原式=2p（m2﹣6m+9）=2p（m﹣3）2． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法 是解本题的关键． 21．（10 分）如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，3）、B（﹣ 6，0）、C（﹣1，0）． （1）将△ABC 沿 y 轴翻折，画出翻折后的△A1B1C1，点 A 的对应点 A1 的坐标是 （2，3） ． （2）△ABC 关于 x 轴对称的图形△A2B2C2，直接写出点 A2 的坐标 （﹣3，﹣3） ． （3）若△DBC 与△ABC 全等（点 D 与点 A 重合除外），请直接写出满足条件点 D 的坐标． 【考点】翻折变换（折叠问题）；作图-轴对称变换． 【分析】（1）直接利用关于 y 轴对称点的性质得出对应点位置； （2）直接利用关于 x 轴对称点的性质得出对应点位置； （3）直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置． 【解答】解：（1）翻折后点 A 的对应点的坐标是：（2，3）； 故答案为：（2，3）； （2）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（﹣2，﹣3）； （3）如图所示：D（﹣2，﹣3）或（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）． 【点评】此题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对 应点位置是解题关键． 22．（10 分）如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）由 AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得 △AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得 AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得 BC=2CD，等量代换得出结论． 【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠CFD=∠B， ∵∠CFD=∠AFE， ∴∠AFE=∠B 在△AEF 与△CEB 中， ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）； （2）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2CD， ∵△AEF≌△CEB， ∴AF=BC， ∴AF=2CD． 【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰 三角形的性质是解答此题的关键． 23．（10 分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜 900kg 和 1500kg，已知 第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少 300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多 少千克？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】首先设第一块试验田每亩收获蔬菜 x 千克，则第二块试验田每亩收获蔬 菜（x+300）千克，根据关键语句“有两块面积相同的试验田”可得方程 = ，再解方程即可． 【解答】解：设第一块试验田每亩收获蔬菜 x 千克，由题意得： = ， 解得：x=450， 经检验：x=450 是原分式方程的解， 答：第一块试验田每亩收获蔬菜 450 千克． 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的 关键语句，列出方程． 24．（12 分）（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ ADC=90°，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且∠EAF=60°，延长 FD 到点 G，使 DG=BE， 连接 AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段 BE、EF、FD 之间的数量关系为 EF=BE+DF ． （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F 分别是 BC、 CD 上的点，且∠EAF= ∠BAD，线段 BE、EF、FD 之间存在什么数量关系，为 什么？ （3）如图 3，点 A 在点 O 的北偏西 30°处，点 B 在点 O 的南偏东 70°处，且 AO=BO， 点 A 沿正东方向移动 249 米到达 E 处，点 B 沿北偏东 50°方向移动 334 米到达点 F 处，从点 O 观测到 E、F 之间的夹角为 70°，根据（2）的结论求 E、F 之间的 距离． 【考点】全等三角形的判定与性质；全等三角形的应用． 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等解答； （2）延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG， 然后利用“边角边”证明△ABE 和△ADG 全等，根据全等三角形对应边相等可 得 AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△ AEF 和△GAF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 EF=GF，然后求解即可； （3）连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，然后求出∠EAF= ∠AOB，判断出符 合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可． 【解答】解：（1）EF=BE+DF； 证明：如图 1，延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG， 在△ABE 和△ADG 中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF 和△GAF 中， ， ∴△AEF≌△GAF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF； 故答案为：EF=BE+DF； （2）EF=BE+DF 仍然成立． 证明：如图 2，延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠B=∠ADG， 在△ABE 和△ADG 中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF= ∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF 和△GAF 中， ， ∴△AEF≌△GAF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF； （3）如图 3，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C， ∵∠AOB=20°+90°+（90°﹣60°）=140°， ∠EOF=70°， ∴∠EOF= ∠AOB， 又∵OA=OB， ∠OAC+∠OBC=（90°﹣20°）+（60°+50°）=180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论 EF=AE+BF 成立， 即 EF=583 米． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅 助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点． 期末试卷（3） 一、选择题：将下列各题中唯一正确答案的序号填入下面答题栏中相应的题号栏 内，不填、填错或填的序号超过一个的不给分，每小题 3 分，共 30 分． 1．（3 分）下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（3 分）方程 x2﹣9=0 的根是（ ） A．x=﹣3 B．x1=3，x2=﹣3 C．x1=x2=3 D．x=3 3．（3 分）把抛物线 y=（x﹣1）2+2 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 所得抛物线是（ ） A．y=x2B．y=（x﹣2）2 C．y=（x﹣2）2+4 D．y=x2+4 4．（3 分）下列说法： ①三点确定一个圆； ②垂直于弦的直径平分弦； ③三角形的内心到三条边的距离相等； ④圆的切线垂直于经过切点的半径． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 5．（3 分）如图，底边长为 2 的等腰 Rt△ABO 的边 OB 在 x 轴上，将△ABO 绕 原点 O 逆时针旋转 45°得到△OA1B1，则点 A1 的坐标为（ ） A．（1，﹣ ）B．（1，﹣1） C．（ ） D．（ ，﹣1） 6．（3 分）如图，点 A、C、B 在⊙O 上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为 （ ） A．135° B．120° C．110° D．100° 7．（3 分）如图，⊙O 的半径为 5，点 O 到直线 l 的距离为 7，点 P 是直线 l 上 的一个动点，PQ 与⊙O 相切于点 Q，则 PQ 的最小值为（ ） A． B． C．2 D．2 8．（3 分）关于 x 的函数 y=k（x+1）和 y= （k≠0）在同一坐标系中的图象大 致是（ ） A． B． C． D． 9．（3 分）若 A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）是抛物线 y=﹣x2+4x+k 上的 三点，则 y1、y2、y3 的大小关系为（ ） A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 10．（3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0）， 对称轴为直线 x=2，下列结论： ①4a+b=0； ②9a+c＜3b； ③25a+5b+c=0； ④当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小． 其中正确的结论有（ ） A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 二、填空题：每小题 3 分，共 18 分． 11．（3 分）用配方法解方程 x2﹣2x﹣7=0 时，配方后的形式为 ． 12．（3 分）如图，把△ABC 绕点 A 逆时针旋转 42°，得到△AB′C′，点 C′恰好落 在边 AB 上，连接 BB′，则∠B′BC′的大小为 ． 13．（3 分）如图，点 P 在反比例函数 y= （x＜0）的图象上，PA⊥x 轴于点 A， △PAO 的面积为 5，则 k 的值为 ． 14．（3 分）将半径为 5 的圆形纸片，按如图方式折叠，若 和 都经过圆心 O， 则图中阴影部分的面积是 ． 15．（3 分）如图，一次函数 y1=k1+b 与反比例函数 y2= 的图象相交于 A（﹣1， 2）、B（2，﹣1）两点，则 y2＜y1 时，x 的取值范围是 ． 16．（3 分）如图，直线 y=x﹣4 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点，⊙O 的半径 为 2，将⊙O 以每秒 1 个单位的速度向右作平移运动，当移动时间 秒时，直 线 MN 恰好与圆相切． 三、解答题：共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8 分）解下列方程： （1）x2﹣2x﹣3=0； （2）（x﹣5）2=2（5﹣x） 18．（8 分）如图，等腰 Rt△ABC 中，BA=BC，∠ABC=90°，点 D 在 AC 上，将 △ABD 绕点 B 沿顺时针方向旋转 90°后，得到△CBE． （1）求∠DCE 的度数； （2）若 AB=4，CD=3AD，求 DE 的长． 19．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，3）、B（3，3）、C（4， 2）． （1）请在图中作出经过点 A、B、C 三点的⊙M，并写出圆心 M 的坐标； （2）若 D（1，4），则直线 BD 与⊙M ． A、相切 B、相交． 20．（8 分）在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均 相同），其中白球、黄球各 1 个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是 ． （1）求暗箱中红球的个数； （2）先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色放回，再从暗箱中随机摸出一个球， 求两次摸到的球颜色不同的概率． 21．（8 分）已知关于 x 的方程 x2﹣2（k+1）x+k2=0 有两个实数根 x1、x2． （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1+x2=3x1x2﹣6，求 k 的值． 22．（10 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上，M 是 OA 上一点， 过 M 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 E，过点 C 作⊙O 的切线，交 ME 于点 F． （1）求证：EF=CF； （2）若∠B=2∠A，AB=4，且 AC=CE，求 BM 的长． 23．（10 分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰 品商店，该店购进一种新上市的饰品进行了 30 天的试销售，购进价格为 40 元/ 件．销售结束后，得知日销售量 P（件）与销售时间 x（天）之间有如下关系： P=﹣2x+120（1≤x≤30，且 x 为整数）；销售价格 Q（元/件）与销售时间 x（天） 之间有如下关系：Q= x+50（1≤x≤30，且 x 为整数）． （1）试求出该商店日销售利润 w（元）与销售时间 x（天）之间的函数关系式； （2）在这 30 天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最 小？并分别求出这个最大利润和最小利润． 24．（12 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（1，0）和 点 B（﹣3，0），与 y 轴交于点 C，且 OC=OB． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的 最大值，并求出此时点 E 的坐标； （3）点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90°后，点 A 的 对应点 A′恰好也落在此抛物线上，求点 P 的坐标． 参考答案与试题解析 一、选择题：将下列各题中唯一正确答案的序号填入下面答题栏中相应的题号栏 内，不填、填错或填的序号超过一个的不给分，每小题 3 分，共 30 分． 1．（3 分）下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，也是中心对称图形； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选 C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻 找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心， 旋转 180 度后两部分重合． 2．（3 分）方程 x2﹣9=0 的根是（ ） A．x=﹣3 B．x1=3，x2=﹣3 C．x1=x2=3 D．x=3 【考点】解一元二次方程-直接开平方法． 【分析】首先把常数项 9 移到方程的右边，再两边直接开平方即可． 【解答】解：移项得：x2=9， 两边直接开平方得：x=±3， 即 x1=3，x2=﹣3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了利用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项， 把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成 x2=a（a≥ 0）的形式，利用数的开方直接求解． 3．（3 分）把抛物线 y=（x﹣1）2+2 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 所得抛物线是（ ） A．y=x2B．y=（x﹣2）2 C．y=（x﹣2）2+4 D．y=x2+4 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】已知抛物线的顶点坐标为（1，2），向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，顶点坐标为（0，0），根据抛物线顶点式求解析式． 【解答】解：∵抛物线 y=（x﹣1）2+2 的顶点坐标为（1，2）， ∴向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，顶点坐标为（0，0）， ∴平移后抛物线解析式为 y=x2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化 为顶点的平移，用顶点式表示抛物线解析式． 4．（3 分）下列说法： ①三点确定一个圆； ②垂直于弦的直径平分弦； ③三角形的内心到三条边的距离相等； ④圆的切线垂直于经过切点的半径． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【考点】三角形的内切圆与内心；垂径定理；确定圆的条件；切线的性质． 【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据三 角形内心的性质对③进行判断；根据切线的性质对④进行判断． 【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误； 垂直于弦的直径平分弦，所以②正确； 三角形的内心到三条边的距离相等，所以③正确； 圆的切线垂直于经过切点的半径，所以④正确． 故选 C． 【点评】本题考查了三角形内心的性质、垂直定理、确定圆的条件和切线的性 质．注意对①进行判断时要强调三点不共线． 5．（3 分）如图，底边长为 2 的等腰 Rt△ABO 的边 OB 在 x 轴上，将△ABO 绕 原点 O 逆时针旋转 45°得到△OA1B1，则点 A1 的坐标为（ ） A．（1，﹣ ）B．（1，﹣1） C．（ ） D．（ ，﹣1） 【考点】坐标与图形变化-旋转． 【专题】计算题． 【分析】A1B1 交 x 轴于 H，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠OAB=45°，再 利用旋转的性质得 A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°，则∠2=45°，于是可判 断 OH⊥A1B1，则根据等腰直角三角形的性质得到 OH=A1H=B1H= A1B1=1，然后 写出点 A1 的坐标． 【解答】解：A1B1 交 x 轴于 H，如图， ∵△OAB 为等腰直角三角形， ∴∠OAB=45°， ∵△ABO 绕原点 O 逆时针旋转 45°得到△OA1B1， ∴A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°， ∴∠2=45°， ∴OH⊥A1B1， ∴OH=A1H=B1H= A1B1=1， ∴点 A1 的坐标为（1，﹣1）． 故选 B． 【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角 度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°， 45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是判断 A1B1 被 x 轴垂直平分． 6．（3 分）如图，点 A、C、B 在⊙O 上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为 （ ） A．135° B．120° C．110° D．100° 【考点】圆周角定理． 【分析】先运用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一 半”，再运用周角 360°即可解． 【解答】解：∵∠ACB=a ∴优弧所对的圆心角为 2a ∴2a+a=360° ∴a=120°． 故选 B． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7．（3 分）如图，⊙O 的半径为 5，点 O 到直线 l 的距离为 7，点 P 是直线 l 上 的一个动点，PQ 与⊙O 相切于点 Q，则 PQ 的最小值为（ ） A． B． C．2 D．2 【考点】切线的性质． 【分析】由切线的性质得出△OPQ 是直角三角形．由 OQ 为定值，得出当 OP 最小时，PQ 最小．根据垂线段最短，知 OP=7 时 PQ 最小．根据勾股定理得出 结果即可． 【解答】解：∵PQ 切⊙O 于点 Q， ∴∠OQP=90°， ∴PQ2=OP2﹣OQ2， 而 OQ=5， ∴PQ2=OP2﹣52，即 PQ= ， 当 OP 最小时，PQ 最小， ∵点 O 到直线 l 的距离为 7， ∴OP 的最小值为 7， ∴PQ 的最小值= =2 ． 故选 C． 【点评】此题综合考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识点，如何确 定 PQ 最小时点 P 的位置是解题的关键． 8．（3 分）关于 x 的函数 y=k（x+1）和 y= （k≠0）在同一坐标系中的图象大 致是（ ） A． B． C ． D． 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象． 【专题】数形结合． 【分析】根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常 数项可得一次函数图象经过的象限． 【解答】解：当 k＞0 时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过第 一、二、三象限，故 A、C 错误； 当 k＜0 时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第二、三、四象限， 故 B 错误，D 正确； 故选：D． 【点评】考查反比例函数和一次函数图象的性质： （1）反比例函数 y= ：当 k＞0，图象过第一、三象限；当 k＜0，图象过第二、 四象限； （2）一次函数 y=kx+b：当 k＞0，图象必过第一、三象限，当 k＜0，图象必过 第二、四象限．当 b＞0，图象与 y 轴交于正半轴，当 b=0，图象经过原点，当 b ＜0，图象与 y 轴交于负半轴． 9．（3 分）若 A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）是抛物线 y=﹣x2+4x+k 上的 三点，则 y1、y2、y3 的大小关系为（ ） A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将 A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2， y3）分别代入二次函数的关系式，分别求得 y1，y2，y3 的值，最后比较它们的大 小即可． 【解答】解：∵A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）为二次函数 y=﹣x2+4x+k 的图象上的三点， ∴y1=﹣9+12+k=3+k， y2=﹣25+20+k=﹣5+k， y3=﹣4﹣8+k=﹣12+k， ∵3+k＞﹣5+k＞﹣12+k， ∴y1＞y2＞y3． 故选 C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一 定在函数图象上． 10．（3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0）， 对称轴为直线 x=2，下列结论： ①4a+b=0； ②9a+c＜3b； ③25a+5b+c=0； ④当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小． 其中正确的结论有（ ） A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =2，则有 4a+b=0；观察函数图象 得到当 x=﹣3 时，函数值小于 0，则 9a﹣3b+c＜0，即 9a+c＜3b；由于 x=5 时， y=0，则 25a+5b+c=0，再根据抛物线开口向下，由于对称轴为直线 x=2，根据二 次函数的性质得到当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =2， ∴b=﹣4a，即 4a+b=0，（故①正确）； ∵当 x=﹣3 时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0， 即 9a+c＜3b，（故②正确）； ∵抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线 x=2， ∴抛物线与 x 轴的一个交点为（5，0）， ∴25a+5b+c=0，（故③正确）， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线 x=2， ∴x＞2 时，y 随 x 的增大而减小，（故④正确）． 故选 D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）， 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位 置，当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab ＜0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点． 抛物线与 y 轴交于 （0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴 有 2 个交点；△=b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2﹣4ac＜0 时， 抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题：每小题 3 分，共 18 分． 11．（3 分）用配方法解方程 x2﹣2x﹣7=0 时，配方后的形式为 （x﹣1）2=8 ． 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】将常数项移至右边，根据等式性质左右两边配上一次项系数一半的平方， 再写成完全平方形式即可． 【解答】解：x2﹣2x=7， x2﹣2x+1=7+1， （x﹣1）2=8， 故答案为：（x﹣1）2=8． 【点评】本题考查配方法解一元二次方程，形如 x2+px+q=0 型：第一步移项，把 常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左 边写成完全平方式． 12．（3 分）如图，把△ABC 绕点 A 逆时针旋转 42°，得到△AB′C′，点 C′恰好落 在边 AB 上，连接 BB′，则∠B′BC′的大小为 69° ． 【考点】旋转的性质． 【分析】由旋转的性质可知 AB=AB′，∠BAB′=42°，接下来，依据等腰三角形的 性质和三角形的内角和定理可求得∠B′BC′的大小． 【解答】解：∵把△ABC 绕点 A 逆时针旋转 42°，得到△AB′C′，点 C′恰好落在 边 AB 上， ∴∠BAB′=42°，AB=AB′． ∴∠AB′B=∠ABB′． ∴∠B′BC′= （180°﹣42°）=69°． 故答案为：69°． 【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定 理，证得△ABB′是等腰三角形是解题的关键． 13．（3 分）如图，点 P 在反比例函数 y= （x＜0）的图象上，PA⊥x 轴于点 A， △PAO 的面积为 5，则 k 的值为 ﹣10 ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】由△PAO 的面积为 5 可得 |k|=5，再结合图象经过的是第二象限，从 而可以确定 k 值． 【解答】解：∵S△PAO=5， ∴ |x•y|=5，即 |k|=5，则|k|=10 ∵图象经过第二象限， ∴k＜0， ∴k=﹣10 【点评】本题主要考查了反比例函数 y= 中 k 的几何意义，解题的关键是要明 确过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所得三角形面积为 |k|． 14．（3 分）将半径为 5 的圆形纸片，按如图方式折叠，若 和 都经过圆心 O， 则图中阴影部分的面积是 π ． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】作 OD⊥AB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2 ∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S 扇形 AOC 求解． 【解答】解；如图，作 OD⊥AB 于点 D，连接 AO，BO，CO， ∵OD= AO， ∴∠OAD=30°， ∴∠AOB=2∠AOD=120°， 同理∠BOC=120°， ∴∠AOC=120°， ∴阴影部分的面积=S 扇形 AOC= = π． 故答案为： π 【点评】本题考查的是翻折变换的性质和扇形面积的计算，折叠是一种对称变换， 它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相 等． 15．（3 分）如图，一次函数 y1=k1+b 与反比例函数 y2= 的图象相交于 A（﹣1， 2）、B（2，﹣1）两点，则 y2＜y1 时，x 的取值范围是 x＜﹣1 或 0＜x＜2 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的交点、结合图象解答即可． 【解答】解：由图象可知，当﹣1＜x＜0 或 x＞3 时，y1＜y2， 当 x＜﹣1 或 0＜x＜2 时，y2＜y1， 故答案为 x＜﹣1 或 0＜x＜2． 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，掌握反比例函数图象 上点的坐标特征、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 16．（3 分）如图，直线 y=x﹣4 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点，⊙O 的半径 为 2，将⊙O 以每秒 1 个单位的速度向右作平移运动，当移动时间 4﹣2 或 4+2 秒时，直线 MN 恰好与圆相切． 【考点】直线与圆的位置关系；一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质． 【分析】作 EF 平行于 MN，且与⊙O 切，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点 F，设直线 EF 的解析式为 y=x+b，由⊙O 与直线 EF 相切结合三角形的面积即可得出关于 b 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求 b 值，从而得出点 E 的坐标，根 据运动的相对性，即可得出结论． 【解答】解：作 EF 平行于 MN，且与⊙O 切，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点 F，如 图所示． 设直线 EF 的解析式为 y=x+b，即 x﹣y+b=0， ∵EF 与⊙O 相切，且⊙O 的半径为 2， ∴ b2= ×2× |b|， 解得：b=2 或 b=﹣2 ， ∴直线 EF 的解析式为 y=x+2 或 y=x﹣2 ， ∴点 E 的坐标为（2 ，0）或（﹣2 ，0）． 令 y=x﹣4 中 y=0，则 x=4， ∴点 M（4，0）． ∵根据运动的相对性，且⊙O 以每秒 1 个单位的速度向右作平移运动， ∴移动的时间为 4﹣2 秒或 4+2 秒． 故答案为：4﹣2 或 4+2 ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平 移的性质，解题的关键是求出点 E、M 的坐标．本题属于中档题，难度不大，解 决该题时，巧妙的利用运动的相对性变移圆为移直线，降低了解题的难度． 三、解答题：共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8 分）解下列方程： （1）x2﹣2x﹣3=0； （2）（x﹣5）2=2（5﹣x） 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）用十字相乘法因式分解可以求出方程的根； （2）首先移项后提取公因式（x﹣5），再解两个一元一次方程即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3=0， ∴（x﹣3）（x+1）=0， ∴x﹣3=0 或 x+1=0， ∴x1=3，x2=﹣1； （2）∵（x﹣5）2=2（5﹣x） ∴（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，∴（x﹣5）（x﹣5+2）=0， ∴x﹣5=0 或 x﹣3=0， ∴x1=5，x2=3． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是 解本题的关键． 18．（8 分）如图，等腰 Rt△ABC 中，BA=BC，∠ABC=90°，点 D 在 AC 上，将 △ABD 绕点 B 沿顺时针方向旋转 90°后，得到△CBE． （1）求∠DCE 的度数； （2）若 AB=4，CD=3AD，求 DE 的长． 【考点】旋转的性质． 【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD 的度数，然后由 旋转的性质可求得∠BCE 的度数，故此可求得∠DCE 的度数； （2）由（1）可知△DCE 是直角三角形，先由勾股定理求得 AC 的长，然后依据 比例关系可得到 CE 和 DC 的长，最后依据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABCD 为等腰直角三角形， ∴∠BAD=∠BCD=45°． 由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°． ∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°． （2）∵BA=BC，∠ABC=90°， ∴AC= =4 ． ∵CD=3AD， ∴AD= ，DC=3 ． 由旋转的性质可知：AD=EC= ． ∴DE= =2 ． 【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性 质，求得∠DCE=90°是解题的关键． 19．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，3）、B（3，3）、C（4， 2）． （1）请在图中作出经过点 A、B、C 三点的⊙M，并写出圆心 M 的坐标； （2）若 D（1，4），则直线 BD 与⊙M A ． A、相切 B、相交． 【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质． 【分析】（1）连接 AB，BC，分别作出线段 BD，BC 的垂直平分线，交点即为圆 心； （2）连接 MB，DB，DM，利用勾股定理的逆定理证明∠DBM=90°即可得到直 线 BD 与⊙M 相切． 【解答】解： （1）如图所示：圆心 M 的坐标为（2，1）； （2）连接 MB，DB，DM， ∵DB= ，BM= ，DM= ， ∴DB2+BM2=DM2， ∴△DBM 是直角三角形， ∴∠DBM=90°， 即 BM⊥DB， ∴直线 BD 与⊙M 相切， 故选 A． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及勾股定理和其逆定理的运用， 结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案是解题的关键． 20．（8 分）在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均 相同），其中白球、黄球各 1 个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是 ． （1）求暗箱中红球的个数； （2）先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色放回，再从暗箱中随机摸出一个球， 求两次摸到的球颜色不同的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】计算题． 【分析】（1）设红球有 x 个数，利用概率公式得到 = ，然后解方程即可； （2）先画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色不同 的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）设红球有 x 个数， 根据题意得 = ，解得 x=2， 所以暗箱中红球的个数为 2 个； （2）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色不同的结果数为 10， 所以两次摸到的球颜色不同的概率= = ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能 的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求 出事件 A 或 B 的概率． 21．（8 分）已知关于 x 的方程 x2﹣2（k+1）x+k2=0 有两个实数根 x1、x2． （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1+x2=3x1x2﹣6，求 k 的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【分析】（1）根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac 的意义得到△≥0，即 4（k+1）2﹣4×1×k2≥0，解不等式即可得到 k 的范围； （2）根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到 x1+x2=2（k+1）， x1x2=k2，则 2（k+1）=3k2﹣6，即 3k2﹣2k﹣8=0，利用因式分解法解得 k1=2，k2= ﹣ ，然后由（1）中的 k 的取值范围即可得到 k 的值． 【解答】解：（1）∵方程 x2﹣2（k+1）x+k2=0 有两个实数根 x1，x2， ∴△≥0，即 4（k+1）2﹣4×1×k2≥0，解得 k≥﹣ ， ∴k 的取值范围为 k≥﹣ ； （2）∵方程 x2﹣2（k+1）x+k2=0 有两个实数根 x1，x2， ∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2， ∵x1+x2=3x1x2﹣6， ∴2（k+1）=3k2﹣6，即 3k2﹣2k﹣8=0， ∴k1=2，k2=﹣ ， ∵k≥﹣ ， ∴k=2． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac： 当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当 △＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系 数的关系． 22．（10 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上，M 是 OA 上一点， 过 M 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 E，过点 C 作⊙O 的切线，交 ME 于点 F． （1）求证：EF=CF； （2）若∠B=2∠A，AB=4，且 AC=CE，求 BM 的长． 【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心． 【分析】（1）延长 FC 至 H，由 AB 是⊙O 的直径，得出∠ACB=90°，由 EM⊥AB， 得出∠EMB=∠ACB=90°，证得△ABC∽△EMB，得出∠CEF=∠CAB，由弦切角 定理得出∠CAB=∠BCH，由对顶角相等得出∠BCH=∠ECF，推出∠CEF=∠ECF， 即可得出结论； （2）利用含 30 度的直角三角形三边的性质得出 BC= AB=2，AC= BC=2 ， 则 CE=2 ，所以 BE=BC+CE=2+2 ，然后在 Rt△BEM 中计算出 BM= BE 即可． 【解答】（1）证明：延长 FC 至 H，如图所示： ∵⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上， ∴AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵EM⊥AB， ∴∠EMB=∠ACB=90°， ∵∠ABC=∠EBM， ∴△ABC∽△EMB， ∴∠CEF=∠CAB， ∵FC 是⊙O 的切线， ∴∠CAB=∠BCH， ∵∠BCH=∠ECF ∴∠CAB=∠ECF， ∴∠CEF=∠ECF， ∴EF=CF； （2）解：∵∠ACB=90°，∠B=2∠A， ∴∠B=60°，∠A=30°， 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4， ∴BC= AB=2，AC= BC=2 ， ∵AC=CE， ∴CE=2 ， ∴BE=BC+CE=2+2 ， 在 Rt△BEM 中，∠BME=90°，∠BEM=∠A=30° ∴BM= BE=1+ ． 【点评】本题考查了切线的性质、含 30 度的角直角三角形的性质、相似三角形 的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握弦切角定理与含 30 度的角直角三 角形的性质是解决问题的关键． 23．（10 分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰 品商店，该店购进一种新上市的饰品进行了 30 天的试销售，购进价格为 40 元/ 件．销售结束后，得知日销售量 P（件）与销售时间 x（天）之间有如下关系： P=﹣2x+120（1≤x≤30，且 x 为整数）；销售价格 Q（元/件）与销售时间 x（天） 之间有如下关系：Q= x+50（1≤x≤30，且 x 为整数）． （1）试求出该商店日销售利润 w（元）与销售时间 x（天）之间的函数关系式； （2）在这 30 天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最 小？并分别求出这个最大利润和最小利润． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据销售问题中的基本等量关系：销售利润=日销售量×（一件的 销售价﹣一件的进价），建立函数关系式； （2）将（1）中函数关系式配方可得其顶点式，结合自变量 x 的范围，根据二次 函数的性质可得函数的最值情况． 【解答】解：（1）该商店日销售利润 w（元）与销售时间 x（天）之间的函数关 系式为： W=（ x+50﹣40）（﹣2x+120） =﹣x2+40x+1200（1≤x≤30，且 x 为整数）； （2）∵W=﹣x2+40x+1200=﹣（x﹣20）2+1600， ∴当 x=20 时，W 最大=1600 元， ∵1≤x≤30， ∴当 x=1 时，W 最小=1239 元， 答：在这 30 天的试销售中，第 20 天的日销售利润最大，为 1600 元，第 1 天的 日销售利润最小，为 1239 元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据销售问题中的基本等量关系建立 函数关系式是根本，由自变量 x 的范围，根据二次函数的性质讨论函数的最值情 况是解题的关键． 24．（12 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（1，0）和 点 B（﹣3，0），与 y 轴交于点 C，且 OC=OB． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的 最大值，并求出此时点 E 的坐标； （3）点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90°后，点 A 的 对应点 A′恰好也落在此抛物线上，求点 P 的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）已知抛物线过 A、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中， 用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）由于四边形 BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形 BOCE 分割成规则 的图形进行计算，过 E 作 EF⊥x 轴于 F，四边形 BOCE 的面积=三角形 BFE 的面 积+直角梯形 FOCE 的面积．直角梯形 FOCE 中，FO 为 E 的横坐标的绝对值，EF 为 E 的纵坐标，已知 C 的纵坐标，就知道了 OC 的长．在三角形 BFE 中，BF=BO ﹣OF，因此可用 E 的横坐标表示出 BF 的长．如果根据抛物线设出 E 的坐标，然 后代入上面的线段中，即可得出关于四边形 BOCE 的面积与 E 的横坐标的函数关 系式，根据函数的性质即可求得四边形 BOCE 的最大值及对应的 E 的横坐标的 值．即可求出此时 E 的坐标； （3）由 P 在抛物线的对称轴上，设出 P 坐标为（﹣1，m），如图所示，过 A′作 A′N⊥对称轴于 N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一 对角相等，根据一对直角相等，利用 AAS 得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形 的对应边相等得到 A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出 A′坐标，将 A′坐标代入 抛物线解析式中求出相应 m 的值，即可确定出 P 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B （﹣3，0）， ∴OB=3， ∵OC=OB， ∴OC=3， ∴c=3， ∴ ， 解得： ， ∴所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3； （2）如图 2，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，设 E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）， ∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a， ∴S 四边形 BOCE= BF•EF+ （OC+EF）•OF， = （a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+ （﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）， =﹣ ﹣ a+ ， =﹣ （a+ ）2+ ， ∴当 a=﹣ 时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 ． 此时，点 E 坐标为（﹣ ， ）； （3）∵抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 的对称轴为 x=﹣1，点 P 在抛物线的对称轴上， ∴设 P（﹣1，m）， ∵线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90°后，点 A 的对应点 A′恰好也落在此抛物线上， ①当 m≥0 时， ∴PA=PA1，∠APA1=90°， 如图 3，过 A1 作 A1N⊥对称轴于 N，设对称轴于 x 轴交于点 M， ∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°， ∴∠NA1P=∠NPA， 在△A1NP 与△PMA 中， ， ∴△A1NP≌△PMA， ∴A1N=PM=m，PN=AM=2， ∴A1（m﹣1，m+2）， 代入 y=﹣x2﹣2x+3 得：m+2=﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3， 解得：m=1，m=﹣2（舍去）， ②当 m＜0 时，要使 P2A=P2A，2，由图可知 A2 点与 B 点重合， ∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2， ∴P2（﹣1，﹣2）， ∴满足条件的点 P 的坐标为 P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函 数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及 方程思想是解题的关键．