数学华东师大版九年级上册教案23-3 相似三角形 第3课时 3页

1 23.3 相似三角形 第 3 课时 教学目标 1.掌握相似三角形的判定定理 2 和判定定理 3； 2.能熟练运用相似三角形的判定定理 2 和判定定理 3. 教学重难点 【教学重点】 相似三角形的判定定理 2 和判定定理 3. 【教学难点】 运用相似三角形的判定定理 2 和判定定理 3. 课前准备 无 教学过程 一、情景导入 画△ABC 与△A′B′C′，使∠A＝∠A′， AB A′B′ 和 AC A′C′ 都等于给定的值 k.设法比较∠B 与∠B′的大小（或∠C 与∠C′的大小），△ABC 与△A′B′C′相似吗？ 二、合作探究 探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如图，已知点 D 是△ABC 的边 AC 上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC 的 是（ ） A.AB·CD＝BD·BC B.AC·CB＝CA·CD C.BC2＝AC·DC D.BD2＝CD·DA 解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角 相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C 是△ABC 和△BDC 的公共角，关键是找出∠C 的 两边对应成比例，即CD CB ＝CB AC 或 BC2＝AC·DC.故选 C. 方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共 角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理 2 加以判断. 探究点二：三边成比例的两个三角形相似 已知△ABC 的三边长分别为 1， 2， 5，△DEF 的三边长分别为 10， 2，2，试判断△ ABC 与△DEF 是否相似. 2 解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三 角形是否相似. 解：因为 1 2 ＝ 2 2 ＝ 5 10 ， 所以△ABC 与△DEF 相似. 方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明 三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判 定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系. 探究点三：相似三角形的判定定理 2 及判定定理 3 的应用 如图甲，小正方形的边长均为 1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是哪 一个图形？ 解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边 是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC 是否相似. 解：由甲图可知 AC＝ 12＋12＝ 2，BC＝2，AB＝ 12＋33＝ 10. 同理，图①中，三角形的三边长分别为 1， 5，2 2； 同理，图②中，三角形的三边长分别为 1， 2， 5； 同理，图③中，三角形的三边长分别为 2， 5，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为 2， 5， 13. ∵ 2 1 ＝ 2 2 ＝ 10 5 ＝ 2， ∴图②中的三角形与△ABC 相似. 方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长， 然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比 例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是 否相等来确定两个三角形是否相似. 如图所示，零件的外径为 a，要求它的厚度 x，需求出内孔的直径 AB，但不能直接量 出 AB，现用一个交叉长钳（AC 和 BD 相等）去量，若 OA：OC＝OB：OD＝n，且量得 CD＝b， 求厚度 x. 解析：欲求厚度 x，而 x＝a－AB 2 ，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应 边成比例，列出关于 AB 的比例式，解之即可. 解：因为 OA：OC＝OB：OD，∠AOB＝∠COD， 所以△AOB∽△COD， 故AB CD ＝OA OC ＝n，可得 AB＝bn， 3 所以 x＝a－bn 2 . 方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理 2，并注意 利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角. 如图，在△ABC 中，AB＝8cm，BC＝16cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向点 B 以 1cm/s 的速 度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 同时出发，经过多 长时间后△PBQ 与△ABC 相似？ 解析：要证明△PBQ 与△ABC 相似，很显然∠B 为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹 角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论. 解：设经过 t s 后，△PBQ 与△ABC 相似. （1）当BP BA ＝BQ BC 时， △PBQ∽△ABC. 此时8－t 8 ＝2t 16 ，解得 t＝4. 即经过 4s 后△PBQ 与△ABC 相似； （2）当BP BC ＝BQ BA 时，△PBQ∽△CBA. 此时8－t 16 ＝2t 8 ，解得 t＝1.6. 即经过 1.6s 后△PBQ 与△ABC 相似. 综上可知，点 P，Q 同时出发，经过 1.6s 或 4s 后△PBQ 与△ABC 相似. 易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ 的形状也 会发生变化，因此既要考虑△PBQ∽△ABC 的情况，还要考虑△PBQ∽△CBA 的情况. 三、板书设计 相似三角形的判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 3：三边成比例的两个三角形相似. 四、教学反思 从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和 解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理 2 与全等三角形判定定理（SAS）、两个三 角形相似的判定定理 3 与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事物间一般到特 殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能 力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.