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  • 2021-11-10 发布

浙江中考数学专题训练——解答题3

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浙江中考数学专题训练——解答题3‎ ‎1.(1)计算:2sin30°+(2﹣π)0﹣;‎ ‎(2)解方程:2x2+x﹣6=0.‎ ‎2.先化简,再求值:,其中a =-1.‎ ‎3.如图,已知△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DE=DF.试说明AB=AC的理由.‎ ‎4.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)和B(3,0),与y轴交于C点,点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D.抛物线顶点为H.‎ ‎(1)求抛物线的解析式.‎ ‎(2)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在直线AD上是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点,连接PA,PD.当S△PAD=3,若在x轴上存在以动点Q,使PQ+QB最小,若存在,请直接写出此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值.‎ ‎5.如图,在锐角△ABC中,BC=10,AC=11,△ABC的面积为33,点P是射线CA上一动点,以BP为直径作圆交线段AC于点E,交射线BA于点D,交射线CB于点F.‎ ‎(1)当点P在线段AC上时,若点E为中点,求BP的长.‎ ‎(2)连结EF,若△CEF为等腰三角形,求所有满足条件的BP值.‎ ‎(3)将DE绕点D顺时针旋转90°,当点E的对应点E'恰好落在BC上时,记△DBE'的面积为S1,△DPE的面积S2,则的值为   .(直接写出答案即可)‎ ‎6.如图,在 Rt△AOB 中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,线段 OA’绕点 O 顺时针旋转ɑ角(0≤ɑ≤180°),OA’交边 AB 于点 F.‎ ‎(1)当旋转ɑ角度后,A’点恰好落在 AB 上,记为 C 点,求 CB 的长度;‎ ‎(2)当 OA’绕点 O 旋转与 AB 平行时,记为 OG,连接 CG,交 OB 于 E,分别求出 OE 长度和∠COB 的正弦值;‎ ‎(3)在旋转过程中,请直接写出的最大值.‎ ‎7.已知二次函数 y=(x-a-2)(x+a)+3.‎ ‎(1)求该二次函数的图象的对称轴.‎ ‎(2)对于该二次函数图象上的两点 P(x1,y1)、Q(x2,y2).‎ ‎①当 x≥m 时,y 随 x 的增大而增大,写出一个符合条件的 m 值;‎ ‎②当 m≤x2≤m+2,当 x1≤﹣1 时,均有 y1≥y2,求 m 的取值范围;‎ ‎(3)当二次函数过(0,3)点时,且与直线 y=kx+2 交于 A、B 两点,其中有一交点的横坐标 x0 满足 1<x0<3, 求 k 的取值范围.‎ ‎8.如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E 以 lcm/s 的速度从点 A 向点 D 运动,运动时间为 t(s),连结 BE,过点 E 作 EF⊥BE,交 CD 于 F,以 EF 为直径作⊙O.‎ ‎(1)求证:∠1=∠2;‎ ‎(2)如图 2,连结 BF,交⊙O 于点 G,并连结 EG.已知 AB=4,AD=6.‎ ‎①用含 t 的代数式表示 DF 的长 ‎②连结 DG,若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形,求 t 的值;‎ ‎(3)连结 OC,当 tan∠BFC=3 时,恰有 OC∥EG,请直接写出 tan∠ABE 的值.‎ ‎9.如图,在锐角△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过点D作⊙O的切线DE交边BC于点E,连结BD.‎ ‎(1)求证:∠ABD=∠CDE.‎ ‎(2)若AC=28,tanA=2,AD:DC=1:3,求DE的长.‎ ‎10.如图,直角坐标系中,抛物线y=a(x﹣4)2﹣16(a>0)交x轴于点E,F(E在F的左边),交y轴于点C,对称轴MN交x轴于点H;直线y=x+b分别交x,y轴于点A,B.‎ ‎(1)写出该抛物线顶点D的坐标及点C的纵坐标(用含a的代数式表示).‎ ‎(2)若AF=AH=OH,求证:∠CEO=∠ABO.‎ ‎(3)当b>﹣4时,以AB为边作正方形,使正方形的另外两个顶点一个落在抛物线上,一个落在抛物线的对称轴上,求所有满足条件的a及相应b的值.(直接写出答案即可)‎ 参考答案 ‎1.(1)-1;(2)x1=,x2=﹣2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形函数中30°的正弦值为,任何一个数的零指数幂(0除外)是1,有理数的负指数幂是它正指数幂的倒数即可求解.‎ ‎(2)利用因式分解中“十字相乘法”即可把一元二次方程分解为(2x-3)(x+2)=0即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)原式=2×+1﹣3‎ ‎=1+1﹣3‎ ‎=﹣1;‎ ‎(2)(2x﹣3)(x+2)=0,‎ ‎2x﹣3=0或x+2=0,‎ 所以x1=,x2=﹣2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是实数的综合应用和一元二次方程解法“十字相乘法”,掌握这个两个知识点是解题的关键.‎ ‎2.,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据混合运算的法则把原分式化为最简形式,再把a=-1代入进行计算即可.‎ ‎【详解】‎ 解:原式==‎ 当a =-1时,原式=.‎ ‎3.见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,D是BC的中点,所以Rt△DBE≌Rt△DCF,根据全等三角形的性质可知∠B=∠C,则AB=AC.‎ ‎【详解】‎ 解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,‎ ‎∴△DBE与△DCF是直角三角形.‎ ‎∵在Rt△DBE与Rt△DCF中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),‎ ‎∴∠B=∠C,‎ ‎∴AB=AC.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是全等三角形的判定、等腰三角形的判定,判定两个三角形是全等三角形有以下方法:ASA、AAS、SAS、SSS、HL.‎ ‎4.(1)(2)(0,)或(2,)或(﹣2,﹣)(3)(2.5,0)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把A(﹣1,0)和B(3,0),代入到抛物线的解析式,即可解答 ‎(2)存在,分三种情况讨论,①EF可由AC平移得到,C、E为对应点,A、F为对应点,再把F点代入直线AD的解析式为y=x+,即可解答②如图2所示,此时点F与点D重合,即可解答③如图3所示,根据平移的规律,得知点F的横坐标为﹣2,‎ 代入解析式即可解答 ‎(3)如图4所示,过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点N,过点P作PH垂直于BN,与x轴的交点即为点Q,设直线BN的解析式为y=x+b,过点B(3,0),求出BN的解析式,再利用解析式算出M,N的值,再算出PQ+QB=PQ+QH,当P、Q、H三点共线时,PQ+QB最小,即为PH,即可解答 ‎【详解】‎ ‎(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)和B(3,0),‎ ‎∴,‎ 解得,,‎ ‎∴抛物线的解析式为:;‎ ‎(2)存在,分三种情况讨论,‎ ‎①如图1所示,‎ ‎∵四边形ACEF为平行四边形,‎ ‎∴EF可由AC平移得到,C、E为对应点,A、F为对应点,‎ ‎∵C(0,),点E的横坐标为1,‎ ‎∴向右平移了一个单位,‎ ‎∵A(﹣1,0),‎ ‎∴F的横坐标为0,‎ ‎∵直线AD的解析式为y=x+,‎ ‎∴当x=0时,y=,‎ ‎∴F(0,).‎ ‎②如图2所示,‎ 此时点F与点D重合,‎ ‎∴F(2,).‎ ‎③如图3所示,‎ 根据平移的规律,得知点F的横坐标为﹣2,‎ 当x=﹣2时,y=﹣,‎ ‎∴F(﹣2,﹣).‎ 综上所述:点F的坐标为(0,)或(2,)或(﹣2,﹣).‎ ‎(3)如图4所示,过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点N,过点P作PH垂直于BN,与x轴的交点即为点Q,‎ 设直线BN的解析式为y=x+b,过点B(3,0),‎ 解得b=﹣,‎ ‎∴直线BN的解析式为y=x﹣,‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=1,‎ ‎∴N(1,﹣1),‎ 设直线AD与抛物线的对称轴的交点为点M,‎ ‎∴M(1,1),‎ ‎∵S△ADP=PM•(xD﹣xA)•=3,‎ ‎∴PM=2,‎ ‎∴P(1,3),‎ ‎∵tan∠ABN=,‎ ‎∴QB=QH,‎ ‎∴PQ+QB=PQ+QH,‎ ‎∴当P、Q、H三点共线时,PQ+QB最小,即为PH,‎ ‎∵PN=4,∠NPH=∠ABN,‎ ‎∴PH=.‎ ‎∴PQ+QB的最小值为,‎ 此时点Q(2.5,0).‎ ‎【点睛】‎ 此题为抛物线的综合题,利用了轴对称性质,三角函数值,平行四边形的性质,解题关键在于把已知点代入解析式 ‎5.(1);(2)或10或2;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先利用面积求高BE,再由勾股定理求AB、AE、CE,再根据全等三角形判定和性质求得PB;‎ ‎(2)△CEF为等腰三角形,可以分三种情况:①CF=EF,过F作FG⊥AC于点G,连接PF,利用相似三角形性质即可得到答案;②EF=CE,过E作EG⊥CB于G,连接EF、BP,利用全等三角形判定和性质即可;③CE=CF,利用全等三角形判定、性质和勾股定理即可;‎ ‎(3)过点E作EM⊥DP于点M,过E′作E′G⊥AC于点G,作E′N⊥AB于点N,过D作DF⊥AC于点F,作DH⊥E′G于点H,依次证明:DFGH是矩形,△DEF≌△DE′H(AAS),△E′DN≌△EDM(AAS),再运用由相似三角形性质和解直角三角形知识即可.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)如图1,连接BE、DE,∴BP为直径,‎ ‎∴∠BEC=∠BEA=90°‎ ‎∵BC=10,AC=11,△ABC的面积为33,‎ ‎∴AC•BE=33‎ ‎∴BE=6‎ ‎∴CE==8‎ ‎∴AE=AC﹣CE=3‎ ‎∴AB==3‎ ‎∵点E为中点 ‎∴∠ABE=∠PBE ‎∵BE=BE ‎∴△ABE≌△PBE(ASA)‎ ‎∴BP=AB=3;‎ ‎(2)∵△CEF为等腰三角形,可以分三种情况:‎ ‎①CF=EF,如图2,过F作FG⊥AC于点G,连接PF,‎ ‎∵BP是直径 ‎∴∠BFP=∠CFP=∠CGF=∠CEB=90°‎ ‎∴EG=CG=CF=4‎ ‎∵FG∥BE ‎∴△CFG∽△CBE∽△CPF ‎∴==,=‎ ‎∴,即CF=5,‎ ‎∴=,即CP=,‎ ‎∴EP=CE﹣CP=8﹣=,‎ ‎∴BP===;‎ ‎②EF=CE,如图3,过E作EG⊥CB于G,连接EF、BP,则CG=GF ‎∴∠EFG=∠C ‎∵=‎ ‎∴∠BPE=∠EFG ‎∴∠C=∠BPE ‎∵∠CEB=∠PEB=90°,BE=BE ‎∴△CBE≌△PBE(AAS)‎ ‎∴BP=BC=10‎ ‎③CE=CF,如图4,连接EF、BP、BE、AF,‎ ‎∵BP为直径 ‎∴∠AFB=∠AEB=90°‎ ‎∵∠C=∠C ‎∴△CEB≌△CFP(ASA)‎ ‎∴CP=CB=10‎ ‎∴PE=2‎ ‎∴BP===2‎ 综上所述,满足条件的BP值为:或10或.‎ ‎(3)如图5,过点E作EM⊥DP于点M,过E′作E′G⊥AC于点G,作E′N⊥AB于点N,过D作DF⊥AC于点F,作DH⊥E′G于点H,‎ ‎∵DF⊥AC,DH⊥E′G,E′G⊥AC ‎∴∠DFE=∠DHE′=∠E′GF=90°‎ ‎∴DFGH是矩形,‎ ‎∴GH=DF FG=DH∠FDH=90°‎ ‎∴∠EDF+∠EDH=90°‎ ‎∵∠EDH+∠E′DH=90°‎ ‎∴∠EDF=∠E′DH ‎∵DE=DE′‎ ‎∴△DEF≌△DE′H(AAS)‎ ‎∴DF=DH,EF=E′H ‎∵DF∥BE ‎∴==,设AF=m,则:DF=DH=GH=FG=2m,EF=E′H=3﹣m,‎ ‎∴E′G=m+3,AG=3m,CG=CA﹣AG=11﹣3m,‎ ‎∵tan∠C====,即:4E′G=3CG,‎ ‎∴4(m+3)=3(11﹣3m),解得:m=,‎ EF=3﹣=,DF=2×=,‎ ‎∵BP是直径,‎ ‎∴∠E′DN+∠E′DP=90°,‎ ‎∵∠E′DP+∠EDM=90°‎ ‎∴∠E′DN=∠EDM ‎∴△E′DN≌△EDM(AAS)‎ ‎∴E′N=EM ‎∴===tan∠BPD ‎∵‎ ‎∴∠BED=∠BPD ‎∵DF∥BE ‎∴∠BED=∠EDF ‎∴∠BPD=∠EDF ‎∴tan∠BPD=tan∠EDF==‎ ‎∴=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的性质、相似三角形判定和性质、全等三角形判定和性质、勾股定理、解直角三角形、三角形面积等,涉及知识点较多,难度较大,特别是第(3)问要合理添辅助线构造全等三角形和相似三角形.‎ ‎6.(1)CB=;(2)OE=,;(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 过O作AB的垂线交AB于D,根据面积法求出AD,从而可求出CB;‎ ‎(2)平行得△CEB△OEG, 过C作CH⊥OB,可求长度和∠的正弦值;‎ ‎(3)由图像易知当OA'⊥AB时,FO最短,此时取得最大值为​‎ ‎【详解】‎ 解:(1) 过O作AB的垂线交AB于D,‎ ‎∵,‎ ‎∴OD=,‎ ‎∴AD=CD=,‎ ‎ CB=;‎ ‎(2)∵OG∥AB,‎ ‎∴∠B=∠BOG,‎ ‎∵∠BEC=∠OEG,‎ ‎∴以△CEB∽△GEO,‎ ‎∴,‎ ‎∴BE=,‎ ‎∵OB=EB+EO=4,‎ ‎∴OE+=4,‎ 解得OE=,‎ 过C作CH⊥OB,则△BCH∽△BAO,‎ ‎∴=,‎ ‎∴CH=,‎ ‎∴; ‎ ‎(3)由图像易知当OA'⊥AB时,FO最短,此时取得最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了旋转的性质,勾股定理,垂线段最短,以及相似三角形的判断与性质.‎ 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.‎ ‎7.(1)x=1;(2)①m值可以为2;②-1≤m≤1;(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先把原二次函数化成y=(x-1)2-a2-2a+2,由此可得该二次函数的图象的对称轴;‎ ‎(2)①根据二次函数的开口方向和对称轴可知y随x的增大而增大时,x的取值范围,从而可得符合条件的m值;‎ ‎②首先得出当x1=-1,y1=y2时,x2=3,然后根据当x1≤-1时,均有y1≥y2,可得一个不等式组,解出即可;‎ ‎(3)首先根据二次函数过(0,3)点,求出a的值,于是可得该二次函数的解析式,然后计算出直线x=1,直线x=3与二次函数y=x2-2x+3的交点坐标,得到直线DE的解析式为y=2,k1=0,设DF所在直线解析式为y=k2x+2,把(3,6)代入得k2=即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)因为y=(x-a-2)(x+a)+3,‎ ‎∴y=(x-1)2-a2-2a+2,‎ ‎∴该二次函数的图象的对称轴为x=1;‎ ‎(2)①∵该二次函数开口向上,对称轴为x=1,‎ ‎∴x≥1时,y随x的增大而增大,‎ ‎∴m≥1的数都可以,‎ 因此符合条件的m值可以为2;‎ ‎②∵该二次函数的图象的对称轴为x=1,‎ ‎∴当x1=-1,y1=y2时,x2=3,‎ ‎∴当x1≤-1时,均有y1≥y2,‎ 则-1≤x2≤3,‎ ‎∴,‎ 解得-1≤m≤1;‎ ‎(3)当二次函数过(0,3)点时,‎ 则有3=(0-1)2-a2-2a+2,‎ 解得a=0或-2,‎ ‎∴该二次函数的解析式为y=x2-2x+3,‎ 如图:‎ ‎ 直线x=1,直线x=3分别与二次函数y=x2-2x+3交E、F两点,‎ 易得E(1,2),F(3,6),‎ 直线y=kx+2与y轴交于D点,D(0,2),‎ ‎∵二次函数y=x2-2x+3与直线y=kx+2交于A、B两点,其中有一交点的横坐标满足1<x0<3,‎ 直线y=kx+2与二次函数y=x2-2x+3的EF间有一交点,‎ 直线DE的解析式为y=2,k1=0,设DF所在直线的解析式为y=k2x+2,把(3,6)代入得k2=,‎ ‎∴k1