初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第三章 函数与图象 聚焦中考第三章11讲一次函数及其图象 37页

人教 数 学 第三章　函数及其图象 第 11 讲　一次函数及其图象 要点梳理 1 ． 概念 形如函数 叫做一次函数 ， 其中 x 是自变量．特别地 ， 当 b ＝ 0 时 ， 则把函数 叫做正比例函数． y ＝ kx ＋ b ( k ， b 都是常数 ， 且 k ≠ 0 ) y ＝ kx 要点梳理 2 ． 正比例函数 y ＝ kx 的图象 过 两点的一条直线． ( 0 ， 0 ) ， ( 1 ， k ) 要点梳理 3 ． 正比例函数 y ＝ kx 的性质 (1) 当 k ＞ 0 时 ， ； (2) 当 k ＜ 0 时 ， ． y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 要点梳理 4 ． 一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象 要点梳理 5 ． 一次函数 y ＝ kx ＋ b 的性质 过 的一条直线． (1) ； (2) ． 当 k ＞ 0 时 ， y 随 x 的增大而增大 当 k ＜ 0 时 ， y 随 x 的增大而减小 一个方法 待定系数法是求一次函数解析式的常用方法 ， 一般是先设待求的函数关系式 ( 其中含有未知常数 ) ， 再根据条件列出方程或方程组 ， 通过解方程或方程组 ， 求出未知系数 ， 从而得到所求函数解析式的方法． 两个区别 (1) 正比例函数和一次函数的区别 正比例函数是一次函数的特殊情况 ，一次函数包括正比例函数．也就是说：如果一个函数是正比例函数，那么一定是一次函数，但是，一个函数是一次函数，不一定是正比例函数． (2) 正比例和正比例函数的区别 成正比例的两个量之间的函数关系不一定是正比例函数，但正比例函数的两个量一定成正比例． 1 ． ( 2014 · 深圳 ) 已知函数 y ＝ ax ＋ b 经过 (1 ， 3) ， (0 ， － 2) ， 则 a － b ＝ ( ) A ． － 1 　　　 B ．－ 3 　　 C ． 3 　　　 D ． 7 2 ． ( 2014 · 济南 ) 若一次函数 y ＝ (m － 3)x ＋ 5 的函数 值 y 随 x 的增大而增大 ， 则 ( ) A ． m ＞ 0 B ． m ＜ 0 C ． m ＞ 3 D ． m ＜ 3 D C 3 ． ( 2014· 枣庄 ) 将一次函数 y ＝ 1 2 x 的图象向上平移 2 个单 位 ， 平移后 ， 若 y ＞ 0 ， 则 x 的取值范围是 ( ) A ． x ＞ 4 B ． x ＞－ 4 C ． x ＞ 2 D ． x ＞－ 2 4 ． ( 2014· 江西 ) 直线 y ＝ x ＋ 1 与 y ＝－ 2x ＋ a 的交点在第一 象限 ， 则 a 的取值可以是 ( ) A ． － 1 B ． 0 C ． 1 D ． 2 B D 5 ． ( 2014 · 河北 ) 如图 ， 直线 l 经过第二、三、四象限 ， l 的解析式是 y ＝ (m － 2)x ＋ n ， 则 m 的取值范围在数轴上表示为 ( ) C 一次函数 y ＝ kx ＋ b 中 ， 系数 k 和 b 对图象及性质的影响 【 例 1】 　 (1)( 2014 · 成都 ) 在平面直角坐标系中 ，已知一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 的图象经过 P 1 (x 1 ， y 1 ) ， P 2 (x 2 ， y 2 ) 两点 ， 若 x 1 ＜ x 2 ， 则 y 1 __ __ y 2 .( 填 “ ＞ ”“ ＜ ” 或 “ ＝ ” ) (2) ( 2014 · 达州 ) 直线 y ＝ kx ＋ b 不经过第四象限 ， 则 ( ) A ． k ＞ 0 ， b ＞ 0 　　　　　　 B ． k ＜ 0 ， b ＞ 0 C ． k ＞ 0 ， b ≥ 0 D ． k ＜ 0 ， b ≥ 0 ＜ C 【 点评 】 　 (1) 一次函数 y ＝ kx ＋ b ， 当 k ＞ 0 时 ， y 随 x 的增大而增大 ， 当 k ＜ 0 时 ， y 随 x 的增大而减小． (2) 一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ， b 为常数 ， k ≠ 0) 是一条直线 ， 当 k ＞ 0 ， 图象经过第一、三象限 ， y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 ， 图象经过第二、四象限 ， y 随 x 的增大而减小；图象与 y 轴的交点坐标为 (0 ， b ) ． 1 ． (1) ( 2012 · 娄底 ) 对于一次函数 y ＝－ 2x ＋ 4 ， 下列结论错误的是 ( ) A ． 函数值随自变量的增大而减小 B ． 函数的图象不经过第三象限 C ． 函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y ＝－ 2 x 的图象 D ． 函数的图象与 x 轴的交点坐标是 (0 ， 4) D (2) ( 2013 · 福州 ) A ， B 两点在一次函数图象上的位置如图所示 ， 两点的坐标分别为 A(x ＋ a ， y ＋ b) ， B(x ， y) ， 下列结论正确的是 ( ) A ． a ＞ 0 　　 B ． a ＜ 0 　　 C ． b ＝ 0 　　 D ． ab ＜ 0 B 待定系数法求一次函数的解析式 【 例 2】 　 ( 2014 · 怀化 ) 设一次函数 y ＝ kx ＋ b(k ≠ 0) 的图象经过 A(1 ， 3) ， B(0 ，－ 2) 两点，试求 k ， b 的值． 【 点评 】 　 (1) k ， b 是一次函数 y ＝ kx ＋ b 的未知系数 ， 这种先设待求函数关系式 ， 再根据条件列出方程或方程组 ， 求出未知数 ， 从而得出所求结果的方法 ， 就是待定系数法． (2) 函数中常用的方法还有代入法． 2 ． ( 2013 · 河北 ) 如图， A(0 ， 1) ， M(3 ， 2) ， N(4 ， 4) ．动点 P 从点 A 出发 ， 沿 y 轴以每秒 1 个单位长的速度向上移动 ， 且过点 P 的直线 l ： y ＝－ x ＋ b 也随之移动 ， 设移动时间为 t 秒． (1) 当 t ＝ 3 时 ， 求 l 的解析式； (2) 若点 M ， N 位于 l 的异侧 ， 确定 t 的取值范围； (3) 直接写出 t 为何值时 ， 点 M 关于 l 的对称点落在坐标轴上． 解： ( 1 ) 直线 y ＝－ x ＋ b 交 y 轴于点 P ( 0 ， b ) ， 由题意得 b ＞ 0 ， t ≥ 0 ， b ＝ 1 ＋ t ， 当 t ＝ 3 时 ， b ＝ 4 ， ∴ y ＝－ x ＋ 4 ( 2 ) 当直线 y ＝－ x ＋ b 过 M ( 3 ， 2 ) 时 ， 2 ＝－ 3 ＋ b ， 解得 b ＝ 5 ， 5 ＝ 1 ＋ t ， ∴ t ＝ 4 ， 当直线 y ＝－ x ＋ b 过 N ( 4 ， 4 ) 时 ， 4 ＝－ 4 ＋ b ， 解得 b ＝ 8 ， 8 ＝ 1 ＋ t ， ∴ t ＝ 7 ， ∵ 点 M ， N 位于 l 的异侧 ， ∴ 4 ＜ t ＜ 7 ( 3 ) t ＝ 1 时 ， 落在 y 轴上； t ＝ 2 时 ， 落在 x 轴上 一次函数与一次方程、一次不等式综合问题 【 例 3】 　 (1) 已知一次函数 y ＝ ax ＋ b ( a ≠ 0) 中 ， x ， y 的部分对应值如下表 ， 那么关于 x 的方程 ax ＋ b ＝ 0 的解是 ． x － 1 0 1 2 3 4 y 6 4 2 0 － 2 － 4 x ＝ 2 (2) 若直线 y ＝－ x ＋ b 与 x 轴交于点 (2 ， 0) ， 则关于 x 的不等式－ x ＋ b ＞ 0 的解集是 ． 【 点评 】 　进一步熟悉函数图象的作法 ， 通过图象体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系 ， 提高识图能力．一次函数 y ＝ kx ＋ b ， 当 y ＝ 0 ， 则 kx ＋ b ＝ 0 ， 得到一元一次方程 ， 当 y ＞ 0 ， 则有 kx ＋ b ＞ 0 ， 得到一元一次不等式． x ＜ 2 3 ． ( 1 ) ( 2014· 毕节 ) 如图 ， 函数 y ＝ 2x 和 y ＝ ax ＋ 4 的图象 相交于点 A ( m ， 3 ) ， 则不等式 2x ≥ ax ＋ 4 的解集为 ( ) A ． x ≥ 3 2 B ． x ≤ 3 C ． x ≤ 3 2 D ． x ≥ 3 A (2) ( 2014 · 鄂州 ) 在平面直角坐标系中 ， 已知点 A(2 ， 3) ， B(4 ， 7) ， 直线 y ＝ kx － k(k ≠ 0) 与线段 AB 有交点 ， 则 k 的取值范围为 ． (3) ( 2013 · 武汉 ) 直线 y ＝ 2x ＋ b 经过点 (3 ， 5) ， 求关于 x 的不等式 2x ＋ b ≥ 0 的解集． 一次函数的实际应用 【 例 4】 　 ( 2013 · 哈尔滨 ) 梅凯种子公司以一定价格销售 “ 黄金 1 号 ” 玉米种子 ， 如果一次购买 10 千克以上 ( 不含 10 千克 ) 的种子 ， 超过 10 千克的那部分种子的价格将打折 ， 并依此得到付款金额 y( 单位：元 ) 与一次购买种子数量 x( 单位：千克 ) 之间的函数关系如图所示 ， 下列四种说法： ① 一次购买种子数量不超过 10 千克时 ， 销售价格为 5 元 / 千克； ② 一次购买 30 千克种子时 ， 付款金额为 100 元； ③ 一次购买 10 千克以上种子时 ， 超过 10 千克的那部分种子的价格打五折； ④ 一次购买 40 千克种子比分两次购买且每次购买 20 千克种子少花 25 元钱． 其中正确的个数有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 D 【 点评 】 　 (1) 数形结合 ， 把数式和图形结合起来进行思考 ， 互相解释、互相补充； (2) 认真审题 ， 理解题意 ， 看懂坐标轴及图象上的点所表示的实际意义 ， 是解决这类问题的关键 ， 注意分段函数是由自变量的取值决定的． 4 ． ( 2014 · 聊城 ) 甲、乙两车从 A 地驶向 B 地 ， 并以各自的速度匀速行驶 ， 甲车比乙车早行驶 2 h ， 并且甲车途中休息了 0.5 h ， 如图是甲、乙两车行驶的距离 y( km ) 与时间 x( h ) 的函数图象． (1) 求出图中 m ， a 的值； (2) 求出甲车行驶路程 y( km ) 与时间 x( h ) 的函数解析式 ， 并写出相应的 x 的取值范围； (3) 当乙车行驶多长时间时 ， 两车恰好相距 50 km . 试题 已知函数 y 1 ＝ x ＋ 1 ， y 2 ＝ 1 2 x ＋ 3 2 ， y 3 ＝－ 3 2 x ＋ 15 2 ， 有 一个关于 x 的函数 y ， 不论 x 取何值 ， y 的解析式总是取 y 1 ， y 2 ， y 3 中的值较小的一个 ， 试求 y 的最大值 ． 审题视角 　由于坐标系的建立 ， 将平面上的点与有序实数对建立一一对应关系 ， 将平面上的线和代数中的方程也建立了对应关系 ， 为几何问题代数化开辟了一条广阔的道路 ， 达到了数形结合的最高境界 ， 因此创建了一门新的数学分支 —— 解析几何．一次函数、反比例函数、二次函数及其图象的研究体现着解析几何的思想和方法．画图象把这些函数表示在同一个平面直角坐标系中 ， 观察图象 ， 数形结合 ， 直观把握问题的答案． 规范答题 解：在同一直角坐标系中 ， 分别作函数 y 1 ＝ x ＋ 1 ， y 2 ＝ 1 2 x ＋ 3 2 ， y 3 ＝－ 3 2 x ＋ 15 2 的图象 ( 下图中的实线部分 ) ．观察图象 ， 可知图象中的最高点 ( 即函数值最大的点 ) 是直线 y 2 ＝ 1 2 x ＋ 3 2 与直线 y 3 ＝－ 3 2 x ＋ 15 2 的交点 ， 该点坐标为 (3 ， 3 ) ．因此 ， 函数 y 在 x ＝ 3 时取得最大值 ， 最大值是 3. 答题思路 第一步：审题 ， 理解问题 ， 把握住问题中的已知与未知； 第二步：根据题意 ， 在同一个坐标系中画出函数的图象； 第三步：了解各分段函数在自变量的不同范围内的不同图象 ， 注意分段函数解析式的表达格式； 第四步：观察函数的图象 ， 确定函数取得最大或最小值时相应的自变量的值； 第五步：反思回顾 ， 查看关键点、易错点 ， 完善解题步骤． 试题 如图 ， O 为矩形 ABCD 的中心 ， 将直角三角板顶 点与 O 重合 ， 转动三角板使两直角边 始终与 BC ， AB 相交 ， 交点分别为 M ， N ， 如果 AB ＝ 4 ， AD ＝ 6 ， OM ＝ x ， ON ＝ y ， 则 y 与 x 的关系式是 ( ) A ． y ＝ 2 3 x B ． y ＝ 6 x C ． y ＝ x D ． y ＝ 3 2 x 错解 　 B 剖析 此题看起来有些无从下手 ， 易估计直角三角形顶点与矩形 ABCD 的中心 O 重 合时 ， 转动三角板 ， 与矩形重合的面积不变 ， 即 S 矩形 OEBF ＝ 1 4 × 4 × 6( 即取直角三角 板的特殊情形 ) ， 则易错误地得到 x · y ＝ 6 ， 即 y ＝ 6 x . 但实际上 ， 过点 O 作 AB ， BC 的 垂线 ， 垂足分别为点 E ， F ， 如图所示．由于 ∠ FOM ＋ ∠ EOM ＝ 90 ° ， ∠ EON ＋ ∠ EOM ＝ 90 ° ， 所以 ∠ EON ＝ ∠ FOM ， 又 ∠ OEN ＝ ∠ OFM ＝ 90 ° ， 因此 △ OFM ∽△ OEN ， 则 ON OM ＝ OE OF ＝ 3 2 ， 即 y ＝ 3 2 x ， 此时 ， 可看出 S △ OEN ∶ S △ OFM ＝ ( OE ∶ OF ) 2 ＝ 9 ∶ 4 ， 所以 ， 直角三角板与矩形 ABCD 重合部分面积并非定值 6. 此类题目不可以偏概全 ， 用特殊 位置、特殊值来考虑一般情形． 正解 D