2017-2018学年湖北省孝感市孝南区等五校九年级12月月考数学试卷含答案解析 22页

孝南区等五校2018届九年级12月月考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎2．若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，则代数式2017+b﹣a的值等于（　　）‎ A．2014 B．2015 C．2016 D．2019‎ ‎3．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）‎ A．2 cm B．cm C． cm D．1cm ‎4．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 ‎5．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（　　）‎ A．12cm B．24cm C．6cm D．12cm ‎　‎ ‎6．已知关于x的方程x2+ax+b+1=0的解为x1=x2=2，则a+b的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．7‎ ‎7．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）‎ A．12 B．15 C．16 D．18‎ ‎8．志愿者服务站为指导农民发展种植业进行技术培训，三期共培训95人，其中第一期培训20人，求每期培训人数的平均增长率，设平均增长率为x，根据题意列出的方程为（　　）‎ A．20（1+x）2=95 B．20（1+x）3=95‎ C．20（1+x）+20（1+x）2=95 D．20（1+x）+20（1+x）2=95﹣20‎ ‎9．如图，点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎　‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎11．方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的根为　x=1或x=　．‎ ‎　‎ ‎12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若AD⊥BC，∠CAE=65°，∠E=70°，则∠BAC的大小为　85　度．‎ ‎　‎ ‎13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为　（4，0）　．‎ ‎　‎ ‎14．如图，学校将一面积为240m2的矩形空地一边增加4m，另一边增加5m后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为　400　m2．‎ ‎15．已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是　65π　cm2．‎ ‎16．抛物线y=x2+2mx+（m＜0）的顶点为P，抛物线与x轴的交点为A、B，当△PAB是等边三角形时，m的值为　﹣2　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎17．选用适当的方法，解下列方程：‎ ‎（1）x2﹣2x﹣8=0； ‎ ‎（2）2x（x﹣2）=x﹣3．‎ ‎　‎ ‎18．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．‎ ‎（1）分别写出图中点A，点B和点C的坐标；‎ ‎（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长及线段AC旋转到新位置时所划过区域的面积．‎ ‎19．有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字2，4，6．小明先从A布袋中随机取出﹣个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．‎ ‎（1）若用（m，n）表示小明取球时m与n 的对应值，请画出树形图或列表写出（m，n）的所有取值；‎ ‎（2）求关于x的一元二次方程x2﹣mx+n=0有实数根的概率．‎ ‎　‎ ‎20．已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0．‎ ‎（1）若x=﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；‎ ‎（2）当m为何实数时，方程有实数根；‎ ‎（3）若x1，x2是方程的两个根，且，试求实数m的值．‎ ‎　‎ ‎21．2017•徐州）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．‎ ‎（1）线段DC=　4　；‎ ‎（2）求线段DB的长度．‎ ‎　‎ ‎22．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=2cm，AE=1cm，求⊙O的半径．‎ ‎　‎ ‎23．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：21教育网 时间x（天）‎ ‎1≤x＜50‎ ‎50≤x≤90‎ 售价（元/件）‎ x+40‎ ‎90‎ 每天销量（件）‎ ‎200﹣2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．‎ ‎（1）求出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式．‎ ‎（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C′，那么是否存在点P，使四边形POP′C′为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．‎ 参考答案 ‎1【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎2【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x=﹣1代入方程得到b﹣a=﹣2，然后利用整体代入的方法计算2017+b﹣a的值．‎ ‎【解答】解：把x=﹣1代入ax2+bx﹣2=0（a≠0）得a﹣b﹣2=0，则b﹣a=﹣2，‎ 所以2017+b﹣a=2017﹣2=2015．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．‎ ‎3【分析】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．‎ ‎【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形，‎ ‎∴AD=CD；‎ ‎∵此多边形为正六边形，‎ ‎∴∠ABC==120°，‎ ‎∴∠ABD=×120°=60°，‎ ‎∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，‎ ‎∴a=2cm．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．‎ ‎4【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【‎ ‎【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，‎ ‎∴a＜0，c＞0，‎ ‎∴ac＜0，‎ ‎∴△=b2﹣4ac＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△‎ ‎=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．‎ ‎5【分析】设圆形螺母的圆心为O，连接OD，OE，OA，如图所示：根据切线的性质得到AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，得到∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，根据三角函数的定义求出OD的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．‎ ‎【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：‎ ‎∵AD，AB分别为圆O的切线，‎ ‎∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，‎ ‎∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，‎ 在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，‎ ‎∴tan∠OAD=tan60°=，即=，‎ ‎∴OD=6cm，‎ 则圆形螺母的直径为12cm．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．‎ ‎6【分析】由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣a=﹣4，x1x2=b+1=4，进一步求得a、b即可．‎ ‎【解答】解：∵x1=x2=2都是方程x2+ax+b+1=0的根，‎ ‎∴x1+x2=﹣a=4，x1x2=b+1=4，‎ ‎∴a=﹣4，b=3，‎ ‎∴a+b=﹣1‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．21教育名师原创作品 ‎7【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，‎ ‎∴AC=BC=AB=4．‎ 设OA=r，则OC=r﹣2，‎ 在Rt△AOC中，‎ ‎∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，‎ ‎∴AE=10，‎ ‎∴BE===6，‎ ‎∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．‎ ‎8【分析】设平均增长率为x，根据第一期培训了20人，可得出第二、三期培训人数，根据三期共培训人数=第一期培训人数+第二期培训人数+第三期培训人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．2-1-c-n-j-y ‎【解答】解：设平均增长率为x，则第二期培训20（1+x）人，第三期培训20（1+x）2人，‎ 根据题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2=95．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了由时间问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．‎ ‎9【分析】连接CO、DO和CD，利用等底等高的三角形面积相等可知S阴影=S扇形COD，利用扇形的面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：连接CO、DO和CD，如下图所示，‎ ‎∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，弧CD的长为，‎ ‎∴∠COD=60°，圆的半周长=πr=3×π=π，‎ ‎∴r=1，‎ ‎∵△ACD的面积等于△OCD的面积，‎ ‎∴S阴影=S扇形OCD==．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查扇形面积的计算，解题关键是根据“点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为”求出圆的半径，继而利用扇形的面积公式求出S阴影=S扇形COD．‎ ‎10【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置、抛物线与y轴交点可判断①；由①知y=ax2﹣2ax+1，根据x=﹣1时y＜0可判断②；由抛物线顶点在一次函数图象上知a+b+1=k+1，即a+b=k，结合b=﹣2a可判断③；根据0＜x＜1时二次函数图象在一次函数图象上方知ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，两边都除以x可判断④．‎ ‎【解答】解：由抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可知a＜0，﹣=1，即b=﹣2a＞0，‎ 由抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上知c=1，‎ 则abc＜0，故①正确；‎ 由①知y=ax2﹣2ax+1，‎ ‎∵x=﹣1时，y=a+2a+1=3a+1＜0，‎ ‎∴a＜﹣，故②正确；‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，‎ ‎∴a+b+1=k+1，即a+b=k，‎ ‎∵b=﹣2a，‎ ‎∴﹣a=k，即a=﹣k，故③正确；‎ 由函数图象知，当0＜x＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，‎ ‎∴ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴ax+b＞k，故④正确；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎11【分析】移项后分解因式得到（x﹣1）（3x﹣2）=0，推出方程x﹣1=0，3x﹣2=0，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：3x（x﹣1）=2（x﹣1），‎ 移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，‎ 即（x﹣1）（3x﹣2）=0，‎ ‎∴x﹣1=0，3x﹣2=0，‎ 解方程得：x1=1，x2=．‎ 故答案为：x=1或x=．‎ ‎【点评】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．‎ ‎12【分析】先根据旋转的性质得∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，再根据垂直的定义得∠AFC=90°，则利用互余计算出∠CAF=90°﹣∠C=20°，所以∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°，于是得到∠BAC=85°．‎ ‎【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，‎ ‎∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠AFC=90°，‎ ‎∴∠CAF=90°﹣∠C=90°﹣70°=20°，‎ ‎∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，‎ ‎∴∠BAC=∠DAE=85°．‎ 故答案为：85．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角．‎ ‎13【分析】根据图象可知：抛物线的对称轴为x=1，与x轴的其中一个交点为（﹣2，0），从而可知另一个交点的坐标．‎ ‎【解答】解：由图象可知：抛物线的对称轴为x=1，‎ 与x轴的其中一个交点为（﹣2，0），‎ 设与x轴的另外一个交点的坐标为（a，0）‎ ‎∴‎ ‎∴a=4，‎ 故答案为：（4，0）‎ ‎【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据对称轴求出另外一个交点，本题属于基础题型．‎ ‎14【分析】可设训练场的边长为x m，则原空地的长为（x﹣4）m，宽为（x﹣5）m．根据长方形的面积公式列出方程即可．‎ ‎【解答】解：设训练场的边长为x m，则原空地的长为（x﹣4）m，宽为（x﹣5）m，‎ 依题意，得（x﹣4）（x﹣5）=240，解之，得x=20，‎ 所以，训练场的面积为400 m2．‎ 故答案是：400．[来源:学*科*网]‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．‎ ‎15【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．‎ ‎【解答】解：∵圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，‎ ‎∴勾股定理得圆锥的母线长为13cm，‎ ‎∴圆锥的侧面积=π×13×5=65πcm2．‎ 故答案为：65π．‎ ‎【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．‎ ‎16【分析】先求出点P、A、B的坐标，然后求出点P到x轴的距离，AB之间的距离，根据等边三角形的性质列出方程即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：令y=0代入y=x2+2mx+，‎ ‎∴x2+2mx+=0，‎ ‎∴x=﹣m+m或x=﹣m﹣m，（m＜0）‎ ‎∴AB=﹣m 抛物线的对称轴为x=﹣m，‎ ‎∴令x=﹣m，‎ ‎∴y=m2﹣2m2+=﹣‎ ‎∴点P到x轴的距离为：m2，‎ ‎∴m2=﹣m×，‎ ‎∴m=﹣2，‎ 故答案为：﹣2‎ ‎【点评】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键求出A、B、P的坐标然后根据等边三角形的性质列出方程求出m的值，本题属于中等题型．【‎ ‎17【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）（x﹣4）（x+2）=0‎ ‎∴x﹣4=0或x+2=0‎ ‎∴x1=4，x2=﹣2‎ ‎（2）2x（x﹣2）﹣x+3=0，‎ ‎2x2﹣4x﹣x+3=0，‎ ‎2x2﹣5x+3=0，‎ ‎（x﹣3）（2x+1）=0，‎ ‎∴x=3或x=﹣‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．‎ ‎18【分析】（1）根据直角坐标系的特点写出各点的坐标；‎ ‎（2）分别将点B、C绕点A按逆时针方向旋转90°后得到点B′、C′，然后顺次连接；‎ ‎（3）点C旋转到点C′的轨迹为圆弧，根据弧长公式和扇形的面积求解．‎ ‎【解答】解：（1）A（1，3），B（3，3），C（5，1）；‎ ‎（2）所作图形如图所示：‎ ‎（3）∵AC==2，‎ ‎∴点C旋转到C'所经过的路线长l==π，‎ 则线段AC旋转到新位置是划过区域的面积S==5π．‎ ‎【点评】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．‎ ‎19【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果；‎ ‎（2）根据根的判别式△=m2﹣2n≥0，再结合树状图，即可求得关于x的一元二次方程2x2﹣2mx+n=0有实数根的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎．‎ ‎（m，n）所有取值是（4，2），（4，4），（4，6），（1，2），（1，4），（1，6），‎ ‎（2，2），（2，4），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）．‎ ‎（2）由原方程得；△=m2﹣2n．‎ 当m，n对应值为（4，2）（4，4），（4，6），（2，2），（3，2），（3，4），时，△≥0，原方程有实数根．‎ 故P（△≥0）=．‎ 故原方程有实数根的概率为．‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．[来源:学,科,网]‎ ‎20【分析】（1）根据方程的根的定义，把x=﹣1代入方程，即可求得m的值，根据一元二次方程的根与系数的关系可得两根的和是，即可求得方程的另一根；‎ ‎（2）根据m=1和m≠1两种情况，当m≠1时方程有实数根，即判别式△≥0，即可得到关于m的不等式，从而求解；‎ ‎（3）根据根与系数关系：两根之和等于，两根之积等于．且，即x1x2（x1+x2）=﹣．代入即可得到一个关于m的方程，从而求解．‎ ‎【解答】解：（1）将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0‎ 解得：m=2，‎ 设方程的另一根是x，则x﹣1=1‎ ‎∴另一根为x=2．‎ ‎（2）当m=1时，方程是一元一次方程，﹣x﹣2=0，此时的实数解为x=﹣2；‎ 当m不等于1时，原方程为一元二次方程，要使方程有实数根，则有△=b2﹣4ac≥0，‎ ‎∴1+4×2（m﹣1）≥0．‎ 解得：m≥．‎ 即当m≥时，方程有实数根．‎ ‎（3）∵x1+x2=，x1x2=﹣．‎ x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=（﹣）（）=﹣．‎ 解得：m1=5，m2=﹣3，‎ ‎∵m≥，‎ ‎∴m=5．‎ ‎【点评】本题虽然问题较多，但是难度不大，可以依次代入求解，求解时要注意根与系数关系的应用．‎ ‎21【考点】R2：旋转的性质．‎ ‎【分析】（1）证明△ACD是等边三角形，据此求解；‎ ‎（2）作DE⊥BC于点E，首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，‎ ‎∴△ACD是等边三角形，‎ ‎∴DC=AC=4．‎ 故答案是：4；‎ ‎（2）作DE⊥BC于点E．‎ ‎∵△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠ACD=60°，‎ 又∵AC⊥BC，‎ ‎∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴Rt△CDE中，DE=DC=2，‎ CE=DC•cos30°=4×=2，‎ ‎∴BE=BC﹣CE=3﹣2=．‎ ‎∴Rt△BDE中，BD===‎ ‎22【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．‎ ‎（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD．‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA．‎ ‎∵∠OAD=∠DAE，‎ ‎∴∠ODA=∠DAE．‎ ‎∴DO∥MN．‎ ‎∵DE⊥MN，‎ ‎∴∠ODE=∠DEM=90°．‎ 即OD⊥DE．‎ ‎∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：∵∠AED=90°，DE=2cm，AE=1cm，‎ ‎∴AD==．‎ 连接CD．‎ ‎∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC=∠AED=90°．‎ ‎∵∠CAD=∠DAE，‎ ‎∴△ACD∽△ADE．‎ ‎∴=．‎ ‎∴=．‎ 解得AC=5．‎ ‎∴⊙O的半径是2.5cm．‎ ‎【点评】本题考查圆的切线的判定、直径的性质、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键 ‎23【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；[来源:学科网]‎ ‎（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；‎ ‎（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，‎ 当50≤x≤90时，‎ y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，‎ 综上所述：y=；‎ ‎（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，‎ 当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，‎ 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，‎ 当x=50时，y最大=6000，‎ 综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；‎ ‎（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，‎ 因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；‎ 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，‎ 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，‎ 所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．‎ ‎24【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；‎ ‎（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；‎ ‎（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．www.21-cn-jy.com ‎【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得 解得：‎ 所以二次函数的表达式为：y=x2﹣3x﹣4；‎ ‎（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；‎ 设P点坐标为（x，x2﹣3x﹣4），PP′交CO于E 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；‎ 如图1，连接PP′，则PE⊥CO于E，‎ ‎∵C（0，﹣4），‎ ‎∴CO=4，‎ 又∵OE=EC，‎ ‎∴OE=EC=2‎ ‎∴y=﹣2；‎ ‎∴x2﹣3x﹣4=﹣2，‎ 解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），‎ ‎∴P点的坐标为（，﹣2）；‎ ‎（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣3x﹣4），设直线BC的解析式为：y=kx+d，[来源:Z§xx§k.Com]‎ 则，‎ 解得：，‎ ‎∴直线BC的解析式为：y=x﹣4，‎ 则Q点的坐标为（x，x﹣4）；‎ 当0=x2﹣3x﹣4，‎ 解得：x1=﹣1，x2=4，‎ ‎∴AO=1，AB=5，‎ S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ，‎ ‎=AB•OC+QP•BF+QP•OF，‎ ‎=×5×4+（4﹣x）[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]+x[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]，‎ ‎=﹣2x2+8x+10，‎ ‎=﹣2（x﹣2）2+18，‎ 当x=2时，四边形ABPC的面积最大，‎ 此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18．‎ ‎【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．‎