2021年中考数学专题复习 专题15 线段垂直平分线问题（教师版含解析） 18页

专题 15 线段垂直平分线问题 1. 线段的垂直平分线定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法 求作线段 AB 的垂直平分线. 作法：(1)分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB/2 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点； 说明：作弧时的半径必须大于 AB/2 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)作直线 CD，CD 即为所求直线． 说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线. 3.线段垂直平分线的性质： (1)线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. (2)线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时 也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线 段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线 段两个端点的距离相等的所有点的集合． 4.三角形的外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心—— 外心. 说明： (1)三角形三条边的垂直平分线必交于一点(三线共点)，该点即为三角形外接圆的圆心. (2)锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与 斜边中点重合. (3)外心到三顶点的距离相等. 5.尺规作图 线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”， 画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来. 最后要点题即“xxx 即为所求”. 6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型 类型一：线段的垂直平分线定理。 类型二：线段的垂直平分线的逆定理。 类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用。 类型四：尺规作图。 【例题 1】(2020•枣庄)如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE．若 BC＝6， AC＝5，则△ACE 的周长为( ) A．8 B．11 C．16 D．17 【答案】B 【解析】在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE．若 BC＝6，AC＝5，则△ACE 的 周长为 ∵DE 垂直平分 AB， ∴AE＝BE， ∴△ACE 的周长＝AC+CE+AE ＝AC+CE+BE ＝AC+BC ＝5+6 ＝11． 【对点练习】(2019 湖南湘西州)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D， 连接 BD，若 cos∠BDC＝ ，则 BC 的长是( ) A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【解析】设 CD＝5x，BD＝7x，则 BC＝2 x，由 AC＝12 即可求 x，进而求出 BC； ∵∠C＝90°，cos∠BDC＝ ， 设 CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2 x， ∵AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D， ∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x， ∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2 【点拨】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是 解题的关键． 【例题 2】(2020•南京)如图，线段 AB、BC 的垂直平分线 11、l2相交于点 O，若∠1＝39°，则∠AOC＝ ． 【答案】78°． 【分析】过 O 作射线 BP，根据线段的垂直平分线的性质得 AO＝OB＝OC 和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形 的内角和为 360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加 可得结论． 【解析】过 O 作射线 BP， ∵线段 AB、BC 的垂直平分线 11、l2相交于点 O， ∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE+∠ABC＝180°， ∵∠DOE+∠1＝180°， ∴∠ABC＝∠1＝39°， ∵OA＝OB＝OC， ∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C， ∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC， ∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78° 【对点练习】(2020 毕节市模拟)等腰△ABC 的底角为 72°，腰 AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于点 E，垂足 为 D，连接 BE，则∠EBC 的度数为 ． 【答案】36°． 【解析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A 的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得 AE=BE，进而可得 ∠ABE=∠A=36°，然后可计算出∠EBC 的度数． ∵等腰△ABC 的底角为 72°， ∴∠A=180°﹣72°×2=36°， ∵AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 E， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=36°， ∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°． 【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角． 【例题 3】(2020 连云港模拟)如图，已知 AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD 是线段 BC 的垂直平分线． CB A D 【答案】见解析 【解析】证明：∵ AB=AC(已知) ∴∠ABC=∠ACB (等边对等角) 又∵∠ABD=∠ACD (已知) ∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质) 即 ∠DBC=∠DCB ∴DB=DC (等角对等边) ∵AB=AC(已知) DB=DC(已证) ∴点 A 和点 D 都在线段 BC 的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上) ∴AD 是线段 BC 的垂直平分线。 【点拨】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因 为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知 AB=AC 就可以说明 AD 是线段 BC 的垂直平分线 了”，但却忽略了“两点确定一条直线”，所以只有当 AB=AC，DB=DC 时，才能说明 AD 是线段 BC 的垂直平分 线． 【对点练习】(2019 广西百色)如图，菱形 ABCD 中，作 BE⊥AD、CF⊥AB，分别交 AD、AB 的延长线于点 E、F． (1)求证：AE＝BF； (2)若点 E恰好是 AD 的中点，AB＝2，求 BD 的值． 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：四边形 ABCD 是菱形 ∴AB＝BC，AD∥BC ∴∠A＝∠CBF ∵BE⊥AD、CF⊥AB ∴∠AEB＝∠BFC＝90° ∴△AEB≌△BFC(AAS) ∴AE＝BF (2)∵E 是 AD 中点，且 BE⊥AD ∴直线 BE 为 AD 的垂直平分线 ∴BD＝AB＝2 【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性 质是本题的关键． 【例题 4】(2019 广西北海)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕 迹，则 AD 的长是( ) A． B．4 C． D．2 【答案】B． 【解析】根据线段垂直平分线的性质和含 30°的直角三角形的性质解答即可． 连接 CD， ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4， ∴AB＝8， ∵BD＝CD， ∴∠B＝∠BCD＝30°， ∴∠DCA＝60°， ∵∠A＝60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∴CD＝AD＝BD＝ AB＝4 【对点练习】电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇 A、B 的距离必须 相等，到两条高速公路 m和 n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔 P 的位置．(尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹) 【答案】见解析。 【解析】根据题意，P 点既在线段 AB 的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为 发射塔 P 的位置． 设两条公路相交于 O点．P 为线段 AB 的垂直平分线与∠MON 的平分线交点或是与∠QON 的平分线交点即为发 射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即 P、P′． 【点拨】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题． 一、选择题 1．(2020•湘西州)如图，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O 于 点 D．下列结论不一定成立的是( ) A．△BPA 为等腰三角形 B．AB 与 PD 相互垂直平分 C．点 A、B 都在以 PO 为直径的圆上 D．PC 为△BPA 的边 AB 上的中线 【答案】B 【解析】根据切线的性质即可求出答案． (A)∵PA、PB 为圆 O的切线， ∴PA＝PB， ∴△BPA 是等腰三角形，故 A正确． (B)由圆的对称性可知：AB⊥PD，但不一定平分， 故 B 不一定正确． (C)连接 OB、OA， ∵PA、PB 为圆 O 的切线， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴点 A、B、P 在以 OP 为直径的圆上，故 C正确． (D)∵△BPA 是等腰三角形，PD⊥AB， ∴PC 为△BPA 的边 AB 上的中线，故 D正确． 2.如图，△ABC 中 AC＞BC，边 AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，已知 AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是( ) A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解析】先根据线段垂直平分线的性质得到 AD=BD，即 AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD 的周长=BC+BD+CD 即 可进行解答． 因为 BD=AD,所以△BCD 的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9. 【点拨】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分 线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长． 3．(2019 广西梧州)如图，DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 AC 于点 E，且 AC＝8，BC＝5， 则△BEC 的周长是( ) A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B． 8．【解析】直接利用线段垂直平分线的性质得出 AE＝BE，进而得出答案． ∵DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵AC＝8，BC＝5， ∴△BEC 的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13． 二、填空题 4．(2020 长春模拟)如图，在△ABC 中，∠B=30°，ED 垂直平分 BC，ED=3．则 CE 长为 ． 【答案】6 【解析】由 ED 垂直平分 BC，即可得 BE=CE，∠EDB=90°，又由直角三角形中 30°角所对的直角边是其斜边 的一半，即可求得 BE 的长，则问题得解 ∵ED 垂直平分 BC， ∴BE=CE，∠EDB=90°， ∵∠B=30°，ED=3， ∴BE=2DE=6， ∴CE=6． 5．(2020 莱芜模拟)如图，在△ABC 中，AB=BC，∠B=120°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D．若 AC=6cm， 则 AD= cm． 【答案】2 【解析】连接 BD． ∵AB=BC，∠ABC=120°， ∴∠A=∠C= (180°﹣∠ABC)=30°， ∴DC=2BD， ∵AB 的垂直平分线是 DE， ∴AD=BD， ∴DC=2AD， ∵AC=6， ∴AD= ×6=2 6．在△ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD．如果 BC＝5，CD＝2，那么 AD＝ ． 【答案】3 【解析】直接利用基本作图方法得出 MN 垂直平分 AB，进而得出答案． 由作图步骤可得：MN 垂直平分 AB，则 AD＝BD， ∵BC＝5，CD＝2， ∴BD＝AD＝BC﹣DC＝5﹣2＝3． 三、解答题 7.如图，△ABC 中，BC=7，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G．求△AEG 的周长． 【答案】7 【解析】∵DE 为 AB 的中垂线， ∴AE=BE， ∵FG 是 AC 的中垂线， ∴AG=GC， △AEG 的周长等于 AE+EG+GA，分别将 AE 和 AG 用 BE 和 GC 代替得：△AEG 的周长等于 BE+EG+GC=BC， 所以△AEG 的周长为 BC 的长度即 7． 8.如图，P 是∠MON 的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为 A、B．求证：PO 垂直平分 AB． 【答案】见解析 【解析】证明：∵OP 是角平分线， ∴∠AOP=∠BOP ∵PA⊥OM,PB⊥ON, ∴∠OAP=∠OBP=90° ∴在△AOP 和△BOP 中 AOP BOP OAP OBP OP=OP         ∴△AOP≌△BOP(AAS) ∴OA=OB ∴PO 垂直平分 AB(和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 9.已知：如图，AB=AC，DB=DC，E 是 AD 上一点． 求证：BE=CE． 【答案】见解析 【解析】证明：连结 BC ∵AB＝AC，DB＝DC． ∴点 A、D在线段 BC 的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上) ∴AD 是线段 BC 的垂直平分线， ∵点 E 在 AD 上， ∴BE=CE(线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等)． 【点拨】本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解 决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才 能确定垂直平分线这条直线． 10.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC、AB 于点 M、N. 求证：CM=2BM. 【答案】见解析 【解析】如图所示，连接 AM， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=30°， ∵MN 是 AB 的垂直平分线， ∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°， ∴∠MAC=90°， ∴CM=2AM， ∴CM=2BM． 11.(2019 内蒙古赤峰)已知：AC 是▱ ABCD 的对角线． (1)用直尺和圆规作出线段 AC 的垂直平分线，与 AD 相交于点 E，连接 CE．(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若 AB＝3，BC＝5，求△DCE 的周长． 【答案】见解析。 【解析】(1)如图，CE 为所作； (2)∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3， ∵点 E 在线段 AC 的垂直平分线上， ∴EA＝EC， ∴△DCE 的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．