初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第五章 图形性质1 第20讲三角形与全等三角形 47页

人教 数 学 第五章　图形的性质 ( 一 ) 第 20 讲　三角形与全等三角形 要点梳理 1 ． 三角形的边、角关系 三角形的任意两边之和 第三边；三角形的内角和等于 ． 2 ． 三角形的分类 按角可分为 和 ， 按边可分为 和 ． 180 ° 大于 直角三角形 斜三角形 不等边三角形 等腰三角形 要点梳理 3 ． 三角形的主要线段 (1) 角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点 ， 则叫三角形的内心 ， 它到各边的距离相等． (2) 中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点 ， 叫三角形的重心． 要点梳理 (3) 高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点 ， 叫三角形的垂心． (4) 中位线：连接三角形两边中点的线段 ， 叫做三角形的中位线． (5) 垂直平分线：三角形三边的垂直平分线的交点 ， 叫三角形的外心 ， 它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内 ， 钝角三角形的外心在形外 ， 直角三角形的外心在斜边中点． 要点梳理 4 ． 全等三角形的性质和判定 (1) 性质：全等三角形对应边相等 ， 对应角相等．注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等． 要点梳理 (2) 判定： ① (SAS) ； ② (ASA) ； ③ . (AAS) ； ④ 对应相等的两个三角形全等 (SSS) ； ⑤ 对应相等的两个直角三角形全等 (HL) ． 两边和夹角对应相等的两个三角形全等 两角和夹边对应相等的两个三角形全等 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 三边 斜边和一条直角边 要点梳理 一个防范 按边分类时 ， 一定要注意等边三角形也是一种等腰三角形 ， 不要把它单独分出来．选择题中经常把它作为一个错误项出现；按角分类时 ， 每一个角都是锐角的三角形才是锐角三角形 ， 只要有一个角是直角或者有一个角是钝角 ， 就能判定它是直角三角形或者是钝角三角形 ， 但已知两角都为锐角时 ， 要计算出第三角才能作出判定． 要点梳理 两种思考途径 (1) 当图形明显具有对称性 ( 轴对称或中心对称 ) 或旋转性时 ， 思考途径是：从居于对称位置的线、角或部分证相等或全等入手 ， 或由前一次全等为后一次全等提供所缺的条件 ， 或利用特殊三角形、特殊四边形的性质提供所缺的条件； (2) 图形不具有明显的对称性或旋转性 ， 此时要证明两个三角形全等 ， 在思考上的关键是找准对应关系．其方法是：已知条件中相等的角、边对应 ， 则它们所对的边、角对应；欲证相等的边、角对应 ， 它们所对的边、角也是对应的；最后所余的一组边、一组角分别对应． 三种基本思路 (1) 有两边对应相等时 ， 找夹角相等或第三边对应相等； (2) 有一边和一角对应相等时 ， 找另一角相等或夹等角的另一边相等； (3) 有两个角对应相等时 ， 找一对边对应相等．另外 ， 在寻求全等条件时 ， 要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件． 四种思考方法 (1) 顺推分析：从已知条件出发 ， 运用相应的定理 ， 分别或联合几个已知条件加以发展 ， 一步一步地去靠近欲证目标； (2) 逆推分析：从欲证结论入手 ， 分析达到欲证的可能途径 ， 逐步沟通它与已知条件的联系 ， 从而找到证明方法； (3) 顺推分析与逆推分析相结合； (4) 联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目 ， 分析它们之间的相同点与不同点 ， 尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中 ， 从而找到它的解法． 六种全等模式 (1) “ 公共角 ” 模式； (2) “ 公共边 ” 模式； (3) “ 对顶角 ” 模式； (4) “ 角平分线 ” 模式； (5) “ 平移 ” 模式； (6) “ 旋转 ” 模式． 1 ． ( 2014 · 黔南州 ) 下列图形中 ， ∠ 2 大于 ∠ 1 的是 ( ) B 2 ． ( 2014 · 河北 ) 如图 ， 平面上直线 a ， b 分别过线段 OK 两端点 ( 数据如图 ) ， 则 a ， b 相交所成的锐角是 ( ) A ． 20° 　 B ． 30° 　 C ． 70° 　 D ． 80° B 3 ． ( 2014 · 黔西南州 ) 如图 ， 已知 AB ＝ AD ， 那么添加下列一个条件后 ， 仍无法判定 △ ABC ≌△ ADC 的是 ( ) A ． CB ＝ CD B ． ∠ BAC ＝ ∠ DAC C ． ∠ BCA ＝ ∠ DCA D ． ∠ B ＝ ∠ D ＝ 90° C 4 ． ( 2014· 厦门 ) 如图 ， 在 △ ABC 和 △ BDE 中 ， 点 C 在边 BD 上 ， 边 AC 交边 BE 于点 F. 若 AC ＝ BD ， AB ＝ ED ， BC ＝ BE ， 则 ∠ ACB 等于 ( ) A ． ∠ EDB B ． ∠ BED C. 1 2 ∠ AFB D ． 2 ∠ ABF C 5 ． ( 2014 · 随州 ) 将一副直角三角板如图放置 ， 使含 30° 角的三角板的直角边和含 45° 角的三角板的一条直角边重合 ， 则 ∠ 1 的度数为 度． 75 三角形的三边关系 【 例 1】 　 (1)( 2013 · 宜昌 ) 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后 ， 能摆成三角形的一组是 ( ) A ． 1 ， 2 ， 6 　　 B ． 2 ， 2 ， 4 　 C ． 1 ， 2 ， 3 　　 D ． 2 ， 3 ， 4 (2) ( 2013 · 德阳 ) 如果三角形的两边分别为 3 和 5 ， 那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是 ( ) A ． 5.5 B ． 5 C ． 4.5 D ． 4 D A 【 点评 】 　三角形三边关系性质的实质是 “ 两点之间 ， 线段最短 ” ． 根据三角形的三边关系 ， 已知三角形的两边 a ， b ， 可确定三角形第三边长 c 的取值范围 | a － b | ＜ c ＜ a ＋ b . 1 ． ( 1 ) ( 2014· 宜昌 ) 已知三角形两边长分别为 3 和 8 ， 则该 三角形第三边的长可能是 ( ) A ． 5 B ． 10 C ． 11 D ． 12 ( 2 ) ( 2013· 滨州 ) 若从长度分别为 3 ， 5 ， 6 ， 9 的四条线段中 任取三条 ， 则能组成三角形的概率 为 ( ) A. 1 2 B. 3 4 C. 1 3 D. 1 4 B A 三角形的内角、外角的性质 【 例 2】 　 (1)( 2014 · 赤峰 ) 如图 ，把一块含有 30° 角 ( ∠ A ＝ 30°) 的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形桌面 CDEF 的一个顶点 C 处，桌面的另一个顶点 F 与三角板斜边相交于点 F ，如果 ∠ 1 ＝ 40° ，那么 ∠ AFE ＝ ( ) A ． 50° B ． 40° C ． 20° D ． 10° D (2) 一个零件的形状如图所示 ， 按规定 ∠ A ＝ 90° ， ∠ B 和 ∠ C 分别是 32° 和 21° ， 检验工人量得 ∠ BDC ＝ 148° ， 就断定这个零件不合格 ， 请说明理由． 解： ( 2 ) 延长 BD 交 AC 于 E. ∵∠ DEC 是 △ ABE 的外角 ， ∴∠ DEC ＝ ∠ A ＋ ∠ B ＝ 90 ° ＋ 32 ° ＝ 122 ° . 同理 ∠ BDC ＝ ∠ C ＋ ∠ DEC ＝ 21 ° ＋ 122 ° ＝ 143 ° ≠ 148 ° ， ∴ 这个零件不合格 【 点评 】 　有关求三角形角的度数的问题 ， 首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系 ， 若没有直接联系 ， 可添加辅助线构建 “ 桥梁 ” ． 2 ． (1) ( 2013 · 宁夏 ) 如图 ， △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， 沿 CD 折叠 △ CBD ， 使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处 ， 若 ∠ A ＝ 22° ， 则 ∠ BDC 等于 ( ) A ． 44° B ． 60° C ． 67° D ． 77° C (2) 如图 ， P 是 △ ABC 内一点 ， 延长 BP 交 AC 于点 D ， 用 “ ＞ ” 表示 ∠ BPC ， ∠ BDC ， ∠ BAC 之间的关系． 解： ∵∠ BPC 是 △ PCD 的外角 ， ∴∠ BPC ＞ ∠ BDC ， 同理 ∠ BDC ＞ ∠ BAC ， ∴∠ BPC ＞ ∠ BDC ＞ ∠ BAC 全等三角形判定的运用 【 例 3】 　 (1)( 2014 · 深圳 ) 如图 ， △ ABC 和 △ DEF 中， AB ＝ DE ， ∠ B ＝ ∠ DEF ，添加下列哪一个条件无法证明 △ ABC ≌△ DEF( ) A ． AC ∥ DF B ． ∠ A ＝ ∠ D C ． AC ＝ DF D ． ∠ ACB ＝ ∠ F C (2) ( 2013 · 娄底 ) 如图 ， AB ＝ AC ， 要使 △ ABE ≌△ ACD 应添加的条件是 ． ( 添加一 个条件即可 ) ∠ B ＝ ∠ C 或 AE ＝ AD 【 点评 】 　判定两个三角形全等的一般方法有： SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS 、 HL. 注意： AAA 、 SSA 不能判定两个三角形全等 ， 判定两个三角形全等时 ， 必须有边的参与 ， 若有两边一角对应相等时 ， 角必须是两边的夹角． 3 ． (1) ( 2013 · 绥化 ) 如图 ， A ， B ， C 三点在同一条直线上 ， ∠ A ＝ ∠ C ＝ 90° ， AB ＝ CD ， 请添加一个适当的条件 ， 使得 △ EAB ≌△ BCD . AE ＝ CB (2) ( 2014 · 邵阳 ) 如图 ， 已知点 A ， F ， E ， C 在同一直线上 ， AB ∥ CD ， ∠ ABE ＝ ∠ CDF ， AF ＝ CE. ① 从图中任找两组全等三角形； ② 从 ① 中任选一组进行证明． 解： ( 2 ) ①△ ABE ≌ △ CDF ， △ AFD ≌△ CEB ； ②∵ AB ∥ CD ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∵ AF ＝ CE ， ∴ AF ＋ EF ＝ CE ＋ EF ， 即 AE ＝ FC ， 在 △ ABE 和 △ CDF 中 ， î ï í ï ì ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∠ ABE ＝ ∠ CDF ， AE ＝ CF ， ∴△ ABE ≌△ CDF ( AAS ) 运用全等三角形的性质 【 例 4】 　已知：如图 ， 在 △ ABC 中 ， D 是 BC 的中点 ， ED ⊥ DF ， 求证： BE ＋ CF ＞ EF . 解：证明：延长 ED 到 M ， 使 DM ＝ ED ， 连接 CM ， FM. ∵ D 是 BC 的中点 ， ∴ BD ＝ CD. 在 △ EDB 与 △ MDC 中 ， î ï í ï ì BD ＝ DC ， ∠ EDB ＝ ∠ CDM ， ED ＝ DM ， ∴△ EDB ≌ △ MDC ( SAS ) ， ∴ BE ＝ CM. 在 △ FMC 中 ， CF ＋ CM ＞ MF ， 又 ∵ ED ⊥ DF ， ED ＝ DM ， ∴ EF ＝ FM. ∴ CF ＋ CM ＞ EF ， 即 CF ＋ BE ＞ EF 【 点评 】 　利用中线加倍延长法 ， 把 BE ， CF ， EF 集中在一个三角形中 ， 利用三角形的两边之和大于第三边来证． 4 ． ( 2014 · 重庆 ) 如图， △ ABC 中 ， ∠ BAC ＝ 90° ， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， 垂足是 D ， AE 平分 ∠ BAD ， 交 BC 于点 E. 在 △ ABC 外有一点 F ， 使 FA ⊥ AE ， FC ⊥ BC. (1) 求证： BE ＝ CF ； (2) 在 AB 上取一点 M ， 使 BM ＝ 2DE ， 连接 MC ， 交 AD 于点 N ， 连接 ME. 求证： ① ME ⊥ BC ； ② DE ＝ DN. ① 如图 ， 过点 E 作 EH ⊥ AB 于 H ， 则 △ BEH 是等腰直角三角形 ， ∴ HE ＝ BH ， ② ∠ BEH ＝ 45 ° ， ∵ AE 平分 ∠ BAD ， AD ⊥ BC ， ∴ DE ＝ HE ， ∴ DE ＝ BH ＝ HE ， ∵ BM ＝ 2DE ， ∴ HE ＝ HM ， ∴△ HEM 是等腰直角三角形 ， ∴∠ MEH ＝ 45 ° ， ∴∠ BEM ＝ 45 ° ＋ 45 ° ＝ 90° ， ∴ ME ⊥ BC ② 由题意得 ， ∠ CAE ＝ 45 ° ＋ 1 2 × 45 ° ＝ 67.5° ， ∴∠ CEA ＝ 180 ° － 45 ° － 67.5 ° ＝ 67.5° ， ∴∠ CAE ＝ ∠ CEA ＝ 67.5 ° ， ∴ AC ＝ CE ， 在 Rt △ ACM 和 Rt △ ECM 中 ， î ï í ï ì CM ＝ CM ， AC ＝ CE ， ∴ Rt △ ACM ≌ Rt △ ECM ( HL ) ， ∴∠ ACM ＝ ∠ ECM ＝ 1 2 × 45 ° ＝ 22.5° ， 又 ∵∠ DAE ＝ 1 2 × 45 ° ＝ 22.5 ° ， ∴∠ DAE ＝ ∠ ECM ， ∵∠ BAC ＝ 90 ° ， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴ AD ＝ CD ＝ 1 2 BC ， 在 △ ADE 和 △ CDN 中 ， î í ì ∠ DAE ＝ ∠ ECM ， AD ＝ CD ， ∠ ADE ＝ ∠ CDN ， ∴△ ADE ≌△ CDN ( ASA ) ， ∴ DE ＝ DN 试题　如图 ， 已知 D 是 △ ABC 的边 BC 上的一点 ， E 是 AD 上的一点 ， EB ＝ EC ， ∠ 1 ＝ ∠ 2. 求证： ∠ BAE ＝ ∠ CAE . 错解　证明：在 △ AEB 和 △ AEC 中 ， ∵ AE ＝ AE ， EB ＝ EC ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴△ AEB ≌△ AEC (SSA) ， ∴∠ BAE ＝ ∠ CAE . 剖析 (1) 先看一个事实 ， 如图 ， 将等腰 △ ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶点 A 相连 ， 所得的 △ DAB 和 △ DAC 无疑是不全等的 ， 由此可知 ， 有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形 ( 简称 “ 边边角 ” ) 不一定全等．因此 ， 在判定三角形全等时 ， 一定要留心 “ 边边角 ” ， 别上当哟． (2) 全等三角形的证明是几何证明的基础 ， 关系到以后几何学习的成绩 ， 要熟练掌握判定三角形全等的方法 ， 有 “ 边边边 ”“ 边角边 ”“ 角角边 ” 及 “ 斜边、直角边 ” ． (3) 怎样添加辅助线：做个比喻 ， 思考某些题目 ， 在沟通已知和结论的途中 ， 一条河挡住了道路 ， 这时添加必要的辅助线 ， 就好像在河上架起桥梁．添加辅助线的原则一是当分析思考出现上述需要时才添加 ， 而不要在思考伊始就乱连乱添 ， 把图形复杂化 ， 反而把思路搞乱；原则二是顺着思考分析的方向 ， 注意沟通过程中的需要 ， 而水到渠成地添上适宜的一笔；原则三是注意总结在什么情况下需要怎样添加的规律 ， 如对于涉及 ( 指题设或结论中出现 ) 三角形的 ( 中点 ) 中线的问题 ， 可以把该中线延长一倍 ， 再把其端点和中点所在的边的端点相连接 ， 构成三角形全等． 正解　证明： ∵ EB ＝ EC ， ∴∠ 3 ＝ ∠ 4. 又 ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴∠ 1 ＋ ∠ 3 ＝ ∠ 2 ＋ ∠ 4 ， 即 ∠ ABC ＝ ∠ ACB ， ∴ AB ＝ AC . 在 △ AEB 和 △ AEC 中 ， ∵ EB ＝ EC ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， AB ＝ AC ， ∴△ AEB ≌△ AEC (SAS) ， ∴∠ BAE ＝ ∠ CAE .