九年级数学下册第二章二次函数4二次函数y＝ax2+bx+c的图象第2课时课件北师大版 27页

4 二次函数 y ＝ ax 2 +bx+c 的图象 第 2 课时 2. 能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题 . 1. 经历探索 y=ax 2 +bx+c 的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式 . 1. 指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标 . (1) y=2(x － 3) 2 － 5 (2)y= － 0.5(x+1) 2 (3) y = 3(x+4) 2 +2 2. 它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？ 【 解析 】 1. （ 1 ）开口：向上，对称轴：直线 x=3, 顶点坐标（ 3 ， -5 ） （ 2 ）开口：向下，对称轴：直线 x=-1, 顶点坐标（ -1 ， 0 ） （ 3 ）开口：向上，对称轴：直线 x=-4, 顶点坐标（ -4 ， 2 ） 2. （ 1 ）由 y=2x 2 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位 . （ 2 ）由 y=-0.5x 2 向左平移 1 个单位 . （ 3 ）由 y=3x 2 向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位 . 我们知道 , 作出二次函数 y=3x 2 的图象 , 通过平移抛物线 y=3x 2 可以得到二次函数 y=3x 2 -6x+5 的图象 . 那是怎样平移的呢？ y=3x 2 -6x+5 =3(x-1) 2 +2 只要将表达式右边进行 配方 就可以知道了 . 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式 这个结果通常称为顶点坐标公式 . 二次函数 y=ax²+bx+c 的顶点式 【 探究新知 】 因此 , 二次函数 y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线 . 结论 顶点坐标公式 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 【 跟踪训练 】 【 解析 】 （ 1 ）对称轴为直线 x=3, 顶点坐标为（ 3 ， -5 ） . （ 2 ）对称轴为直线 x=8, 顶点坐标为（ 8 ， 1 ） . （ 3 ）对称轴为直线 x=1.25, 顶点坐标为（ 1.25 ， -1.125 ） . （ 4 ）对称轴为直线 x=0.75, 顶点坐标为（ 0.75 ， 9.375 ） . 如图 , 桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状 . 按照图中的直角坐标系 , 左边的一条抛物线可以用 y=0.0225x ² +0.9x+10 表示 , 而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称． ⑴ 钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 你是怎样计算的？与同伴进行交流 . y/m x/m 桥面 -5 O 10 5 【 例题 】 （ 1 ）将函数 y=0.0225x 2 +0.9x+10 配方 , 求得顶点坐标 , 从而获得钢缆的最低点到桥面的距离 ; y/m x/m 桥面 -5 0 5 10 由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是 1m. 【 解析 】 方法一 y/m x/m 桥面 -5 0 5 10 （ 2 ） （ 1 ）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是 1m. 方法二 y/m x/m 桥面 -5 0 5 10 确定下列 二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标 . 【 跟踪训练 】 【 解析 】 （ 1 ）开口：向上，对称轴：直线 x=1, 顶点坐标为（ 1 ， 0 ） （ 2 ）开口：向上，对称轴：直线 x=1, 顶点坐标为（ 1 ， -3 ） （ 3 ）开口：向上，对称轴：直线 x=1, 顶点坐标为（ 1 ， -1 ） （ 4 ）开口：向上，对称轴：直线 x=0.5, 顶点坐标为（ 0.5 ， -2.25 ） （ 5 ）开口：向下，对称轴：直线 x=-6, 顶点坐标为（ -6 ， 27 ） 1. （菏泽 · 中考）如图为抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图象 ,A , B, C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1 ，则下列关系中正确的是（ ） A.a+b=-1 B.a-b=-1 C.b<2a 　　 D.ac<0 【 解析 】 选 B.∵ 抛物线开口向上，∴ a ＞ 0, ∵抛物线与 y 轴交于正半轴，∴ c ＞ 0 ，∴ ac ＞ 0 ，故 D 错；∵ OA=OC=1 ，∴ A 、 C 两点的坐标分别为（ -1 ， 0 ）、（ 0 ， 1 ），∴当 x=0 时， y=1 ，即 c=1 ；当 x=-1 时， y=0 ，即 a-b+c=0 ，∴ a-b=-c=-1 ，故 B 对；由图象可知 x=1 时， y ＞ 0 ，即 a+b+c ＞ 0 ，∴ a+b ＞ -1 ，故 A 错； ∵对称轴 ，∴ b ＞ 2a ，故 C 错 . 2. （鄂州 · 中考）二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ）的图象如图所示，有下列结论① a ， b 异号；②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；③ 4a+b=0 ；④当 y=4 时， x 的取值只能为 0 ．其中正确的个数为（ ） A.1 　　　 B.2 　　 C.3 　　 　 D.4 【 答案 】 选 C. A.0 、 5 B.0 、 1 C.-4 、 5 D.-4 、 1 ， 的值分别为（ ） 3 ． （ 安徽 · 中考 ） 若二次函数 配方后为 则 【 答案 】 选 D. 4 ．（福州 · 中考）已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( ) A.a ＞ 0 B.c ＜ 0 C.b 2 － 4ac ＜ 0 D.a ＋ b ＋ c ＞ 0 【 答案 】 选 D. x y O A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5 ．（ 莱芜 · 中考）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图 象不经过 ( ) 【 答案 】 选 D. 6 ．（株洲 · 中考）已知二次函数 (a 为常数），当 a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当 a=-1, a=0, a=1, a=2 时二次函数的图象 . 它们的顶点在同一条直线上，这条直线的解析式是 . 【 答案 】 【 规律方法 】 二次函数 y=ax 2 +bx+c (a≠0) 与 y=ax ² (a≠0) 的关系 1. 相同点 : (1) 形状相同 ( 图象都是抛物线 , 开口方向相同 ). (2) 都是轴对称图形 . (3) 都有最大 ( 或小 ) 值 . (4)a>0 时 , 开口向上 , 在对称轴左侧 ,y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧 ,y 随 x 的增大而增大 .a<0 时 , 开口向下 , 在对称轴左侧 ,y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧 ,y 随 x 的增大而减小 . 2. 不同点 : (1) 位置不同 . (2) 顶点不同 : 分别是 和 (0,0). (3) 对称轴不同 : 分别是 和 y 轴 . (4) 最值不同 : 分别是 和 0 . 3. 联系 : (a≠0) 的图象可以看成 y=ax² 的 图象先沿 x 轴整体左 ( 右 ) 平移 | | 个单位（当 时向右平移，当 时向左平移） , 再沿对称轴 整体上 ( 下 ) 平移 | | 个单位 ( 当 >0 时 向上平移 ; 当 <0 时 , 向下平移 ) 得到的 . 二次 函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 的图象和性质 １ . 顶点坐标与对称轴 ２ . 位置与开口方向 ３ . 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax 2 +bx+c (a>0) y=ax 2 +bx+c (a<0) 由 a,b 和 c 的符号确定 由 a,b 和 c 的符号确定 向上 向下 在对称轴的左侧 ,y 随 x 的增大而减小 . 在对称轴的右侧 , y 随 x 的增大而增大 . 在对称轴的左侧 ,y 随 x 的增大而增大 . 在对称轴的右侧 , y 随 x 的增大而减小 . 根据图形填表： 希望不能和忧愁结伴，忧愁会拖后腿，希望和欢乐交朋友，欢乐会催你前行 . —— 冰心