九年级数学下册第二章二次函数1二次函数所描述的关系习题课件北师大版 30页

第二章 二 次 函 数 1 二次函数所描述的关系 1. 理解二次函数的定义，能够表示简单变量之间的二次函数关系 .( 重点 ) 2. 经历探索二次函数关系的过程 , 获得用二次函数表示变量之间关系的体验 .( 难点 ) 请完成以下各题： 1. 正方形的面积 y 与边长 x 之间的关系是 y=__. 2. 三角形的一边是这边上高的 2 倍，设三角形这条边的长为 x ， 面积为 y ，则 y 关于 x 的关系式为 y=_____. x 2 3. 在半径为 4 cm 的圆中，挖去一个边长为 x cm 的正方形，剩下 部分的面积为 y cm 2 ，则 y 关于 x 的关系式为 y=_______. 16π-x 2 【 思考 】 1. 上面各题中的函数关系式有什么共同特点？ 提示： 这些函数关系式是用自变量的二次式表示的 . 2. 请你归纳出这一类函数的一般形式是什么？ 提示： y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数 ,a≠0). 【 总结 】 1. 二次函数的定义： 一般地，形如 _____________________________ 的函数，叫做 x 的二次函数，其中 x 是自变量 . 2. 相关概念： __ 是二次项系数， __ 是一次项系数， __ 是常数项 . y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数， a≠0) a b c ( 打“√”或“ ×”) (1)y=ax 2 是二次函数 .( ) (2) 二次函数可以不含常数项 .( ) (3) 函数 不是二次函数 .( ) (4) 长方形的长是宽的 2 倍，设长方形的宽为 x, 面积为 y ，则 y 关于 x 的关系式为 y=2x 2 .( ) × √ × √ 知识点 1 二次函数的定义 【 例 1】 已知 是关于 x 的二次函 数，求出它的表达式． 【 思路点拨 】 先由二次函数的定义确定 m 的值，进而确定二次 函数的表达式． 【 自主解答 】 根据二次函数的定义知 m 应满足的条件是 解得： ∴ m=3 ，∴ y=12x 2 +9 ． 【 总结提升 】 判断一个函数是否是二次函数的 “ 三步法 ” 知识点 2 列二次函数表达式 【 例 2】 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是 2∶1 ．已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元，边框的价格是每米 30 元，另外制作这面镜子还需加工费 45 元．设制作这面镜子的总费用是 y 元，镜子的宽度是 x 米，求 y 与 x 之间的关系式． 【 解题探究 】 1. 镜子的宽度是 x 米时，镜面玻璃的费用是多 少？ 提示： ∵镜面玻璃的面积是 2x · x=2x 2 ，∴镜面玻璃的费用 是 120×2x 2 =240x 2 . 2. 边框的费用如何表示？ 提示： 边框的费用为 2(2x+x)×30=180x. 3. 总费用 y 元由哪几部分组成？ 提示： 总费用 y 元由镜面玻璃的费用、边框的费用及加工费 三部分组成． 4. 由以上探究可知 y 与 x 之间的关系式为 y= _____________ ． 240x 2 +180x+45 【 互动探究 】 如果制作这面镜子共花了 195 元，那么这面镜子 的长和宽分别是多少？ 提示： 由 y=195 可得 240x 2 +180x+45=195 ， 解得 x 1 =0.5 ， x 2 =-1.25( 舍去 ) ， ∴ x=0.5 ， 2x=1 ， ∴镜子的长和宽分别是 1 米和 0.5 米 . 【 总结提升 】 实际问题中建立二次函数关系式的 “ 三步法 ” 题组一： 二次函数的定义 1. 下列函数中 , 是二次函数的是 ( ) 【 解析 】 选 C. 选项 A ， B 不是整式方程， D 选项变形为 y=-4x+4, 自变量 x 的最高次数不是 2. 2. 下列函数：① y=1 － x 2 ,②y=2(x － 1) 2 +4 ，③ y=(x － 1)(x+4) ， ④ y=3x 2 +x(1 － 3x) 中二次函数的个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【 解析 】 选 C.①②③ 是二次函数，④ y=3x 2 +x(1 － 3x) 变形 为 y=x ，是一次函数 .∴ 二次函数有 3 个 . 3. 已知函数 y=(2 － k)x 2 +x 是二次函数 , 则 k______. 【 解析 】 ∵y=(2 － k)x 2 +x 是二次函数， ∴ 2-k≠0 ，∴ k≠2. 答案： ≠ 2 4. 若函数 y=(4 － m 2 )x 3 +(m+2)x 2 是二次函数，则 m=______. 【 解析 】 根据题意，由 4-m 2 =0 ，得 m=±2 ， 又∵ m+2≠0 ，得 m≠-2 ，∴ m=2 ． 答案： 2 5. 已知函数 y=(m 2 -1)x 2 +(m+1)x+5. (1) 当 m 为何值时 , 此函数是关于 x 的二次函数 ? (2) 当 m 为何值时 , 此函数是关于 x 的一次函数 ? 【 解析 】 (1) 由函数是关于 x 的二次函数 , 得 m 2 -1≠0, 即 m≠±1, 所以当 m≠±1 时 , 此函数是关于 x 的二次函数 . (2) 由函数是关于 x 的一次函数 , 得 ∴ m ＝ 1, 所以当 m ＝ 1 时 , 此函数是关于 x 的一次函数 . 【 名师点拨 】 函数 y=ax 2 +bx+c 与 a,b 之间的关系 (1) 当 a≠0 时， y ＝ ax 2 +bx+c 是二次函数 . (2) 当 a ＝ 0 且 b≠0 时， y ＝ ax 2 +bx+c 是一次函数 . (3) 当 a ＝ 0 且 b=0 时， y ＝ ax 2 +bx+c 不是二次函数也不是一次 函数 . 题组二 : 列二次函数表达式 1. 半径是 2 的圆 , 如果它的半径增加 3x, 则面积 S 与 x 之间的关系 式是 ( 　　 ) A.S=2π(3x+2) 2 B.S=4π+3x C.S=9πx 2 +12x+4 D.S=9πx 2 +12πx+4π 【 解析 】 选 D.S=π(3x+2) 2 =9πx 2 +12πx+4π. 2. 某公司的生产利润原来是 a 万元 , 经过连续两年的增长达到 了 y 万元 , 如果每年增长的百分数都是 x, 那么 y 与 x 的函数关系 式是 ( 　　 ) A.y=x 2 +a B.y=a(x-1) 2 C.y=a(1-x) 2 D.y=a(1+x) 2 【 解析 】 选 D. 增长一年后的生产利润是 a(1+x), 增长两年后 的生产利润 y=a(1+x)(1+x)=a(1+x) 2 . 3. 在边长为 10cm 的正方形中间剪去一个边长为 x cm(x<10) 的 小正方形 , 剩下的方框的面积为 y, 则 y 与 x 之间的函数关系式 是 　　　　 . 【 解析 】 ∵ 剩下的方框的面积 = 边长为 10cm 的正方形面积 - 边 长为 x cm 的小正方形的面积 , ∴y=100-x 2 =-x 2 +100. 答案 : y=-x 2 +100 4. 用一根长为 10m 的木条 , 做一个长方形的窗框 , 若长为 x m, 则 该窗户的面积 y(m 2 ) 与 x(m) 之间的函数关系式为 　　　　 . 【 解析 】 ∵ 木条的长为 10m, 窗框的长为 x m, ∴ 窗框的宽为 (5-x)m, ∴ 该窗户的面积 y=x(5-x)=-x 2 +5x. 答案 : y=-x 2 +5x 【 高手支招 】 由几何问题列二次函数表达式的技巧 1. 一般步骤 : (1) 用含自变量的代数式表示出相关的量 . (2) 由题目中的等量关系得出函数表达式 . 2. 常用的等量关系 : (1) 几何图形的面积公式 . (2) 勾股定理 . (3) 相似图形的有关性质 . 5.△ABC 中 ,∠BAC=90°,AB=AC=1, 点 D 是 BC 上一个动点 ( 不与 B,C 重合 ), 在 AC 上取一点 E, 使∠ ADE=45°. (1) 求证 :△ABD∽△DCE. (2) 设 BD=x,AE=y, 求 y 关于 x 的函数关系式 . 【 解析 】 (1)∵ 在△ ABC 中 ,∠BAC=90°,AB=AC=1, ∴∠B=∠C=45°. ∴∠BDA+∠BAD=135°, ∵∠ADE=45°, ∴∠BDA+∠CDE=135°. ∴∠BAD=∠CDE. ∴△ABD∽△DCE. (2)∵△ABD∽△DCE ， 即 【 想一想错在哪？ 】 当 m 为何值时， 是关于 x 的 二次函数？ 提示： 判断一个函数是否是二次函数，要注意其二次项系数 a 是否为零 .