湘教版九年级数学上册第四章 锐角三角函数 精品教学课件 226页

4.1 正弦和余弦 第4章 锐角三角函数 第1课时 正 弦 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形     的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定      (即正弦值不变).  (重点) 2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点)         为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房 沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面 绿地进行喷灌.  先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使 出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 情境引入 导入新课 30° 讲授新课 正弦的概念一        从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢 ？能否结合数学图形把它描述出来？ A B C 30° 35m? 合作探究 A B C 30° 35m         如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°， BC = 35 m，求AB. 根据“在直角三角形中，30°角所对的 边等于斜边的一半”.  即 可得 AB = 2BC =70 (m).  也就是说， 需要准备 70 m 长的水管. 如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备 多长的水管？         在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于     . 归纳：         任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C' ＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么        与           有什么关 系？你能解释一下吗？ A B C A' B' C' 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'.  所以          这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度 数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边 与斜边的比也是一个固定值．          如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐 角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A   即 例如，当∠A＝30°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 归纳： ∠A的对边 斜边sin A = 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3,AC=5. （1）求 sinA 的值； （2）求sinB 的值. A B C 53 典例精析 解：(1)∠A的对边BC=3，斜边AB=5，于是 因此 于是AC=4. (2)∠B的对边是AC，根据勾股定 理，得AC2=AB2-BC2=52-32=16 sinA =                              (   )  sinA =                              (   )  1. 判断对错 A 10m 6m B C √ × 练一练 sinB =                              (   ) × sinA =0.6 m                     (   ) × sinB =0.8 m                     (   ) √ 2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100      倍，sinA 的值                                                          (   )                 A. 扩大100倍                      B. 缩小         C. 不变                                D. 不能确定 C 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连 接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA . A (0， 3) 在△APO中，由勾股定理得 因此 α 方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数 值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三 角形，再结合勾股定理求解. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于  (   ) O x y P (a，b) α A.                               B. C.                               D. 练一练 D 正弦的简单应用二 例3  如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，                ， BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sinA 及∠A的 对边 BC 的长度，可以求出 斜边 AB 的长.   然后再利用 勾股定理，求出 BC 的长度， 进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 解：∵                   ∴ ∴ AB = 3BC =3×3=9. ∴ ∴ ∴         在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h ，AB = c，则 BC = ck，AC = ch.         在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h， BC=a，则 AB = AC = 归纳： 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=    ，BC=6，则        AB 的长为                                                           (   )D A. 4           B. 6            C. 8                D. 10 2. 在△ABC中，∠C=90°，如果 sinA =     ，AB=6，      那么BC=___.2 练一练 例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=       ，求这个三角形的周长． 解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾         股定理得 即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. 所以 △ABC 的周长为  AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm). 方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般 需结合方程思想和勾股定理，解决问题. 当堂练习 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 (   )      A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定 B 2. 如图， sinA的值为                                                (   ) 7A C B 3 30° A.                  B.    C.                  D. C 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ° ，若 sinA =        ，则     ∠A=         ， ∠B=         .45° 45° 4. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为         . 解析：∵ AB＝        ，BC＝         ，AC ＝      ，∴ AB2 ＝ BC2＋ AC2，∴ ∠ACB＝90°， ∴sin∠ABC ＝ 5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA =     ，求     △ABC 的面积. D 5 5 C B A 解：作BD⊥AC于点D，         ∵ sinA =     ， ∴ 又∵ △ABC 为等腰△，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6， ∴S△ABC=AC×BD÷2=12. 6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB.       (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示? A C BD 解：∵ ∠A =∠A，∠ADC =∠ACB = 90°，         ∴△ACD ∽△ABC，∴∠ACD = ∠B， ∴ (2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值. 解：        由题 (1)知 课堂小结 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边sin A = 4.1 正弦和余弦 第4章 锐角三角函数 第2课时 特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦 湘教版九年级数学上册教学课件 1.学习并掌握一些特殊锐角的正弦值；（重点） 2.学会利用计算器求锐角的正弦值或根据正弦值求锐角．(重点) 学习目标 猜谜语 一对双胞胎，一个高，一个胖，  3个头,尖尖角,我们学习少不了 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具 有的特点和功能吗？ 导入新课 情境引入 45° 45° 90° 60° 30°90° 思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三 角函数值吗？ 问题1：如何求sin 45°的值？ 如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°. 于是∠B=45°.从而AC=BC． 根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2. 于是AB= BC. 因此 讲授新课 特殊角的正弦值一 问题2：如何求sin 60°的值？ 如图所示，构造一个Rt△ABC ，使∠B=60°，则 ∠A=30°，从而 . 根据勾股定理得 AC2=AB2-BC2=AB2- 于是 因此         30°、45°、60°角的正弦值如下表：        锐角a 三角 函数     30°     45°     60° sin a 归纳： 例1 计算：sin230°－ sin45°＋sin260° 解： 原式 典例精析 通常我们把 (sin30°)2简记为 sin230° 利用计算器求正弦值二 例如：求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按 键 ，显示结果为0.7660…        至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°， 60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们可以 利用计算器来求.  求sin18°． 第一步：按计算器             键，sin 第二步：输入角度值18， 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）. 操作演示 例2：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；　　　(2)sin12°30′； 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； 典例精析         如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算 器求出相应的锐角．    已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面 方法操作： 还以以利用                               键，进一步得到 ∠A＝30°07'08.97 " 第一步：按计算器                             键，2nd F sin 第二步：然后输入函数值0. 501 8 屏幕显示答案： 30.119 158 67°  °＇″2nd F 操作演示 例3：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 ∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： sinA＝0.7，sinB＝0.01； 解：由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；         由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°； 当堂练习 （1） ≈ 0.6428 0.2672 31.5 （3）若sinα=0.5225，则α≈ （精确到0.1°）； （4）若sinα=0.8090，则α≈ （精确到0.1°）. 1.利用计算器计算： （2） ≈ （精确到0.0001 ）； （精确到0.0001 ）； 54.0 2.计算： sin30°+sin245°+       sin60° 解：原式 正弦 特殊角的正弦值 课堂小结 使用计算器解决 锐角的正弦问题 4.1 正弦和余弦 第4章 锐角三角函数 第3课时 余 弦 湘教版九年级数学上册教学课件 1.理解并掌握锐角余弦的定义并能进行相关运算； (重点) 2.学会用计算器求锐角的余弦值或根据余弦值求锐角． 学习目标 导入新课 问题引入 A B C         如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确 定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.         此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 讲授新课 余弦一 合作探究            如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，  其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 我们来试着证明前面的问题： ∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴∠B=∠E， 从而 sinB = sinE， 因此 A B C D E F 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个 锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角 形的大小无关．         如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角 A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA， 即 归纳： A B C 斜边 邻边 ∠A的邻边 斜边cos A = 练一练 1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12 ，     则cosA＝        . 2. 求 cos30°，cos45°，cos60°的值．  解：cos30°= sin (90°－30°) = sin60° =       ；  cos60°= sin (90°－60°) = sin30°=  cos45°= sin (90°－45°) = sin45°= 例1：在Rt△ABC中,∠C=90°,如图,已知AC=3,AB=6, 求sinA和cosB. ┌B C A 36 想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内有的关系? 求:AB,sinB. 10 ┐ A B C 变式：如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, 思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否 掌握? 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有                           cos α = sin (90°－α) 从而有                           sin α = cos (90°－α) 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 归纳总结 sinA=cosB 例2   计算：cos30°－ cos60°+     cos245° 解: 原式        典例精析 解析：图中无直角三角形，需构造直角 三角形，然后结合勾股定理，利用锐角 三角函数的定义求解． 过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，如图． 在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，在 Rt△ABC中，c＝5，a＝3， 例3 如图,已知点P的坐标是(a,b)，则cosα等于(　　)C         也可以过点P作PM⊥y轴于点M，注意点P(a，b) 到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，若点P不在第 一象限，则要注意字母的符号． 方法总结 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 知识拓展 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角 (注意数形结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角 三角形的边长无关. 用计算器求锐角余弦值或根据余弦值求锐角二        对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的 余弦值，我们可用计算器来求. 例如求50°角的余弦值，可在计算器上依次 按键 ，显示结果为0.6427… 如果已知余弦值，我们也可以利用计算器 求出它的对应锐角. 例如，已知cosα=0.8661，依次按键 ，显示结果为 29.9914…，表示角α约等于30°. 1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，     ∠A=35°，则直角边 BC 的长是            (   ) A. B. C. D. A 当堂练习 A B C 2. 随着锐角 α 的增大，cosα 的值                       (   )     A. 增大      B. 减小      C. 不变      D. 不确定 B 当 0°＜α＜90°时，cosα 的值 随着角度的增大 (或减小) 而 减小 (或增大) 3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100 倍,sinA的值（    ） A.扩大100倍 B.缩小100倍  C.不变      D.不能确定 4.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA    sinB; (2)若sinA=sinB,则∠A   ∠B. A B C ┌ C = = 5．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标 为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝   (1)求点B的坐标；   (2)求cos∠BAO的值． A B H 解：(1)如图所示，作BH⊥OA ， 垂足为H．在Rt△OHB中， ∵BO＝5，sin∠BOA＝     , ∴BH=3，OH＝4，  ∴点B的坐标为(4，3)．  8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标 为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝   (2)求cos∠BAO的值． A B H  (2)∵OA＝10，OH＝4， ∴AH＝6． ∵在Rt△AHB中，BH=3， 余弦 余弦的概念：在直角三角形中，锐角 α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦 课堂小结 余弦的性质：α确定的情况下，cosα 为定值，与三角形的大小无关 用计算器解决余弦问题 4.2 正 切 第4章 锐角三角函数 湘教版九年级数学上册教学课件 1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生 活的联系；（重点） 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进 行简单计算； (重点) 学习目标 智者乐水，仁者乐 山 图片欣赏 导入新课 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么 呢？ 想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪 些办法？ 铅铅 直直 高高 度度 水平宽度水平宽度        梯子与地面的夹角 ∠ＡＢＣ称为倾斜角        从梯子的顶端A到墙角C的距离， 称为梯子的铅直高度       从梯子的底端B到墙角C的距离， 称为梯子的水平宽度 A CB 讲授新课 正切的定义一 相关概念 问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些 办法？ 合作探究1 A B C D E F 倾斜角越大——梯子越陡 问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断 的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 甲 乙 问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断 的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时， 梯子一样陡 3m 6m D E FC2mB 4m A 问题4:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断 的？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 3m2m 6m5m A B C D E F 倾斜角越大，梯子越陡.         若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚 的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎 么办？你有什么锦囊妙计？  A C1C2 B2 B1 合作探究2 两个直角三角形相似 (1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?  (3)如果改变B2在梯子上的位置(如 B3C3 )呢? 思考：由此你得出什么结论? A B1 C2 C1 B2 C3 B3 想一想 相等 相似三角形的对应边相等         在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边 与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作 tanA,即 A B C ∠A的对 边 ∠A的邻边 ┌ tanA= 归纳总结 结论：tanA的值越大，梯子越陡. 定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一 个锐角.  2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC 的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角 形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：    ）. 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的 边长无关. A B C ┌        锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以 大于1吗？          对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一 的确定的值与它对应. 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以 大于1，甚至可逼近于无穷大. 议一议 例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯 比较陡?   解:甲梯中, β 6m ┐ 乙 8mα 5m ┌ 甲 13m    乙梯中, ∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡. 提示:在生活中,常用 一个锐角的正切表 示梯子的倾斜程度. 典例精析 例2： 计算：tan45°+tan230°+tan230°tan260° 原式= 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则 tan A=______，tan B =______． 练一练 互余两锐角的正切值互为倒数. 2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A 和∠B的对边、邻边. A B C D (1) tanA =  = AC (     ) CD (     ) (2) tanB=  = BC (     ) CD (     )  BC AD BD AC 4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大 100倍,tanA的值（    ） A.扩大100倍                       B.缩小100倍  C.不变                                 D.不能确定 A B C ┌ C 3.已知∠A,∠B为锐角， (1)若∠A=∠B,则tanA    tanB;        (2)若tanA=tanB,则∠A   ∠B. = = 求 tan30°，tan60°的值. 从而　AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2. 解：如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°， 于是 BC =    AB ， ∠B=60°. 由此得出 AC =     BC. 因此 　 因此 合作探究 说一说tan 45°的值 tan45°=1         30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如 下表：        锐角a 三角 函数     30°     45°     60° sin a cos a tan a 归纳： 1 　　对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值， 我们也可用计算器来求. 用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角二 　　例如求25°角的正切值，可以在计算器上 依次按键 　　　　 ，显示结果为0.4663…　　 　　如果已知正切值，我们也可以利用计算 器求出它的对应锐角. 　　例如，已知tanα=0.8391，依次按键 ，显示结果为 40.000…，表示角α约等于40°. 总结归纳 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定 一个锐角α，都有唯一确定的比值sinα(或cosα， tanα)与它对应，并且我们还知道，当锐角α变化 时，它的比值sinα (或cosα，tanα)也随之变化. 因 此我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α 的锐角三角函数. ● 定义中应该注意的几个问题:  1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).  2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的 正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).  3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且 sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.  4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直 角三角形的边长无关.  5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值 相等,则这两个锐角相等. 例2 求下列各式的值： 提示：cos260°表示(cos60°)2，即 (cos60°)×(cos60°). 解：cos260°+sin260° 典例精析 (1) cos260°+sin260°； (2)  解： 练一练 计算： (1) sin30°+ cos45°； 解：原式 = (2) sin230°+ cos230°－tan45°. 解：原式 = 例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2  ＋|sinB－       |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－        |＝0，         ∴ tanA＝1，sinB＝         ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，         ∠C＝180°－45°－60°＝75°，         ∴ △ABC 是锐角三角形． 练一练 1. 已知：| tanB－       | ＋ (2 sinA－      )2 ＝0，求∠A ，∠B的度数. 解：∵ | tanB－       | ＋ (2 sinA－      )2 ＝0，         ∴ tanB＝      ，sinA＝         ∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.          2. 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一      个根，求 2 sin2α + cos2α －      tan (α+15°)的值． 解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3.         ∵ tanα ＞0，∴ tanα =1，∴ α = 45°.         ∴ 2 sin2α + cos2α －      tan (α+15°)          = 2 sin245°+cos245°－     tan60° B  C         A (1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,     AC=12,tanA=(      ). (2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,    AB=13,tanA=(   ),tanB=(    ). (3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA=    ,     AC=(      ). 1.完成下列填空： 当堂练习 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， △ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （    ） A.                B. C.                D. D 这个图呢？  C A B  C AB 3.如图,P是         的边 OA 上一点，点  P的坐标为                  ，则              =__________.      M 记得构造直角三角形哦！ O P(12,5) A x y 5.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB. 提示:过点A作AD垂直于BC于点D. 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的. A CB ┌ D 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，         ∴在Rt△ABD中，        易知BD=5，AD=12. 6.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA=      ,求AC和BC. 4k ┌A C B 15 3k 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC ＝6，求sinA、cosA、tanA的值． 解：∵ 又∵ A B C 6 10 变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， cosA＝      ，求sinA、tanA的值． 解：∵ A B C设AC=15k，则AB=17k 所以 ∴ 变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 ，tanA＝      ，求sinA、cosB的值． A B C 8 解：∵    如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直 线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO      的面积为S. （1）求S与x的函数关系式； （2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.  M 能力提升 解：(1)过点P作PM⊥OA于点M， （2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.  M 解： 又∵点P在直线y=-x+6上， ∴x=2. ∴AM=OA-OM=5-2=3. 正切 正切的概念：在直角三角形 中，锐角α的对边与邻边的比 叫做角α的正切 课堂小结 正弦的性质：α确定的情 况下，tanα为定值，与三 角形的大小无关 用计算器解决正切问题 课堂小结 正切 定 义 ∠A越大，tanA越大, 梯子越陡 与梯子倾 斜程度的 关 系 4.3 解直角三角形 第4章 锐角三角函数 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 了解并掌握解直角三角形的概念； 2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系.  (重点) 3. 学会解直角三角形.  (难点) 导入新课 A C B c b a(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____ ；(2) 锐角之间的关系：      ∠A+∠B=_____； (3) 边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，       tanA=_____.        如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三 个角）， 其中∠C=90°. c2 90° 复习引入 讲授新课 已知两边解直角三角形一 在图中的Rt△ABC中， (1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直 角三角形的其他元素吗？ A B C 6 合作探究 75° (2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三 角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条 边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有 1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫作解直角三角形. A BC 解： 典例精析 例1  如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC =        ，                 ，解这个直角三角形. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据条件 解直角三角形.  解：根据勾股定理 A B Cb=20 a=30c 练一练 已知一边及一锐角解直角三角形二 例2  如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， a=5，求∠B，b,c. B CA ac b 30° 解： 1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝72°，c = 14.     根据条件解直角三角形.  A B C b a c=14 解： 练一练 2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长． 提示：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，在 Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出 CD，AD，BD 的 长，从而求解． 在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°， D 解：如图，作CD⊥AB于点D， 在Rt△ACD中，∵∠A=30°， ∴∠ACD=90°-∠A=60°， ∴BD=CD=2. 已知一锐角三角函数值解直角三角形三 例3  如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA =    ， BC = 5， 试求AB的长. A CB 解： 设 AC B ∴ AB的长为 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA =     ，BC=6，则     AB的值为                                                               (   )       A．4        B．6           C．8          D．10  D 2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4 ，      sinB＝    ，则菱形的周长是 (   )      A．10                 B．20             C．40                 D．28  C 练一练 2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，     sinB＝     ，则菱形的周长是                           (   )      A．10        B．20        C．40        D．28  C 图① 提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论. 例4 在△ABC中，AB=           ，AC=13，cos∠B=        ，求BC的长. 解：∵cos∠B =       ，∴∠B=45°， 当△ABC为钝角三角形时，如图①， ∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5 ∴BC=BD-CD=12-5=7； 图② 当△ABC为锐角三角形时，如图②， BC=BD+CD=12+5=17. ∴ BC的长为7或17. 当堂练习  C 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，   AB=8，则BC的长是                                          (   ) D 1. 在RT△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，      ∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是        (   )      A. b=a·tanA                  B. b=c·sinA      C. b=c·cosA D. a=c·cosA 3. 在RT△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则     AC =          (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，     tan37°≈0.75). 4. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB     =      ，则 AC 的长为            .     24 3.75   5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线                 ，解这个直角三角形. 解： ∵ AD平分∠BAC ， D A BC 6 解：过点 A作 AD⊥BC于D. 在△ACD中，∠C=45°，AC=2， ∴CD=AD=sinC · AC= 2sin45°=       . 在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= ∴BC=CD+BD=         6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，     求BC. D A B C 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两 个元素（至少有一个是边），就 可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 4.4 解直角三角形的应用 第1课时 仰角、俯角问题 第4章 锐角三角函数 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 巩固解直角三角形有关知识.  (重点) 2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实     际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、     方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基     本模型及解题思路.  (重点、难点) 导入新课 某探险者某天到达如 图所示的点A 处时，他准 备估算出离他的目的地， 海拔为3 500 m的山峰顶点 B处的水平距离.他能想出 一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行. ． A B ． ． 问题引入 讲授新课 解与仰俯角有关的问题一 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线 下方的夹角叫做俯角. 例1  热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部 的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球 与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精 确到0.1m）. A B C Dα β 仰角 水平线 俯角 分析：我们知道，在视线与水平 线所成的角中视线在水平线上方 的是仰角，视线在水平线下方的 是俯角，因此，在图中，a=30° ，β=60°. 典例精析  Rt△ABD中，a =30°，AD＝ 120，所以利用解直角三角形的 知识求出BD的长度；类似地可 以求出CD的长度，进而求出BC 的长度，即求出这栋楼的高度. 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m. A B C Dα β 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的 D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底 部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到 0.1m）. A B CD 40m 54° 45° A B CD 40m 54° 45° 解：在等腰Rt△BCD中， ∠ACD=90°， BC=DC=40m. 在Rt△ACD中                            ， ∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m). 练一练 例3  如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用 仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面高AE为 1.7m.求上海东方明珠塔的高度BD(结果精确到1 m). B C A D 25° E 解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m， 因此 从而，BC=1000×tan25°≈466.3(m) BD=466.3+1.7=468(m). 答：上海东方明珠塔的高度BD 为468m. 例4  如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶， 测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰 角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确 到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ BD C′ C 解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，  D′C′=50m. ∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设 AB′=x m. D′ A B′ BD C′ C 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处， 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞 机的高度 .（结果取整数.  参考数据：sin37°≈0.8， cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75） AB 37°45° 400米 P 练一练 ABO 37°45° 400米 P 设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45° ， 在Rt△POA中，∠PAB=37°， OB=PO= x米. 解得x=1200. 解：作PO⊥AB交AB的延长线于O. 即 故飞机的高度为1200米. 当堂练习 1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平     面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观     测者之间的水平距离BC=_________米. 2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点     测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则     建筑物CD的高为_____米. 100 图①B C A 图②B C A D 30° 60° 3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，      则树高             (精确到0.1米）.   A D BE C 20.9 米 4. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉     线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一      根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为                                   m(结果用带根号的数的形式表示).   5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所 示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人 在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔 顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离AC； 解：由题意，AC＝AB＝610（米）. A E B C D 39° 45° A E B C D 39° 45° (2) 求大楼的高度CD（精确到1米）. 故BE＝DEtan39°．  ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39° ＝610－610×tan39°≈116（米）. 解：DE＝AC＝610（米）， 在Rt△BDE中，tan∠BDE＝        . 45° 30° O B A 200米 6. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，      从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，       求飞机的高度PO . U D P 答案：飞机的高度为                            米. 课堂小结 利用仰俯角解 直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形解决 仰角、俯角问题 模型一 模型二 模型三 模型四 仰角、俯角问题的常见基本模型： A D B EC 4.4 解直角三角形的应用 第2课时 坡度问题 第4章 锐角三角函数 湘教版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 正确理解方向角、坡度的概念.  (重点) 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；     能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的     数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解     决问题的综合能力.   (重点、难点) 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路 比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A B C 导入新课 观察与思考 讲授新课 坡度问题一 　　如上图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点B时， 升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离 l（即线段AC 的长度）的比叫作坡度，用字母i表示， 即 （坡度通常写成1:m的形式）． 坡度越大，山坡越陡． 　　在下图中，∠BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的 夹角），记作α，显然，坡度等于坡角的正切，即 1. 斜坡的坡度是          ，则坡角α =___度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是  _____. 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 练一练 例1  如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，  沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多 少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长 度精确到0.1m）？ i=1:2 典例精析 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°， AC=240m， 解：用α表示坡角的大小，由题意可得 因此 α≈26.57°. 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上 升了约107.3 m． 从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）． 因此 例2  水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m ，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；     A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4， 由计算器可算得α≈22°. 故斜坡CD的坡角α 为22°. 解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别 为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m  ，  EF=BC=6m.在Rt△ABE中， (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).  E FA D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 =69+6+57.5=132.5 (m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 在Rt△DCF中，同理可得 故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m. E FA D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3      如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出 发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走  　　米到达山 顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的 俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离． 练一练 A CB D 30° 答案：点B和点C的水平 距离为                      米.         以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与 目标方向线构成的小于90°的角,叫做方位角.  如图所 示： 30° 45° B O A 东西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东西 北 南 西北 东南 北偏东30° 南偏西45° 解与方位角有关的问题二 典例精析 例3  如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n  mile的A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P的 南偏东34°方向上的B处，这时， 海轮所在的B处距离灯塔P有多 远（精确到0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 解：如图 ，在Rt△APC中， PC=PA·cos（90°－65°） =80×cos25° ≈80×0.91 =72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向 时，它距离灯塔P大约130n mile． 65° 34° P B C A 解：作CD⊥AB，交AB延 长线于点D.设CD=xkm. 在Rt△ACD中，                   例4 如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在点 A处测得灯塔C在北偏东60°方向，继续航行1h到达点B 处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向，已知灯塔C附 近30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？ 北 东 C BA 60° 30° D E D 同理，在Rt△ACD中， ∵AB =AD－BD, 解得 又          ≈36.64>30， 因此该船能继续安全的向东航行. 北 东 C BA 60° 30° D      如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两 座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森 林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心， 100km为半径的圆形区 域内，请问：计划修 筑的这条高速公路会 不会穿越保护区(参考 数据：     ≈1.732，        ≈1.414)． 练一练 200km 200km 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．         则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，         AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.         ∵AC＋BC＝AB，         ∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，         即       PC＋PC＝200，         解得 PC≈126.8km＞100km.         答：计划修筑的这条高速公         路不会穿越保护区． C 当堂练习 1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 :      ，坝高     BC=3m，则坡面AB的长度是                                (    ) A. 9m        B. 6m        C.        m        D.        m AC B B 2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方      向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方     向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M     在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯     塔距离最近的位置所需的时间是                         (   ) A. 10分钟      B. 15分钟      C. 20分钟      D. 25分钟 B 3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的 北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角 ∠ACB等于 ． 90° 4. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方     向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北     方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南     偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为                ．     (结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，      cos43°=0.73，tan43°=0.93) 33.5海里 解：作DE⊥AB， CF⊥AB，         垂足分别为E、F．         由题意可知 　   DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)． 5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是    12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，     求路基下底的宽 (精确到0.1米，                 ，                        ).   45° 30° 4米 12米 A B CD   在Rt△ADE中， E F      在Rt△BCF中，同理可得 因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)． 答： 路基下底的宽约为22.93米． (米). (米). 45° 30° 4米 12米 A B CD E F 6. 如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑，     乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北     偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时       测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变     修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？ DB A E 答案：AE=            米.                        ＞800， 所以古建筑会遭到破坏. 课堂小结 解直角三角 形的应用 坡度问题 方位角问题 坡角 坡度(或坡比 )  小结与复习 第4章 锐角三角函数 湘教版九年级数学上册教学课件 (2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　＝　　　； (3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　＝　　　. 要点梳理 1. 锐角三角函数 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． (1) ∠A的正弦： ∠A的对边 斜边sin A = ∠A的邻边 斜边 ∠A的邻边 ∠A的对边 sin30°＝　　，sin45°＝　　，sin60°＝　　； cos30°＝　　，cos45°＝　　，cos60°＝　　； tan30°＝　　，tan45°＝　　，tan60°＝　　. 2. 特殊角的三角函数 1 合作探 究(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，       ∠B，∠C的对边． 三边关系：_________________； 三角关系：___________________； 边角关系：sinA＝cosB＝______，cosA＝sinB ＝____， tanA＝____________，tanB＝____________. a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 3. 解直角三角形 (2) 直角三角形可解的条件和解法   ◑条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少        有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素． ◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出       另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；     知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股    定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，     再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添     加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． (3) 互余两角的三角函数间的关系 sinα =                          ， cosα =                          ， sin2α + cos2α =       . tanα · tan(90°－α) =      . cos(90°－α) sin(90°－α) 1 1 对于sinα与tanα，角度越大，函数值越      ； 对于cosα，角度越大，函数值越____. 大 小 (4) 锐角三角函数的增减性 (1) 利用计算器求三角函数值 第二步：输入角度值， 屏幕显示结果. (也有的计算器是先输入角度再按函数名称键) 第一步：按计算器                               键，sin tan cos 4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角 (2) 利用计算器求锐角的度数 还可以利用                            键，进一步得到角的 度数. 第二步：输入函数值 屏幕显示答案 (按实际需要进行精确) 方法①： °＇″2nd F 第一步：按计算器                                           键，2nd F sin cos tan 方法②： 第二步：输入锐角函数值 屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值). 第一步：按计算器 键，°＇″2nd F (1) 仰角和俯角 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的 夹角叫做俯角. 5. 三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目 标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图 所示： 30° 45° B O A 东西 北 南 (2) 方位角 45° 45° 西南 O 东北 东西 北 南 西北 东南 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = tan α. 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6. 显然，坡度越大，坡角α就越大， 坡面就越陡. 如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面坡度.记作i，即i =     . (3) 坡度，坡角 (4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过       程是：       ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，            转化为解直角三角形的问题）；       ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等            去解直角三角形；       ③ 得到数学问题的答案；       ④ 得到实际问题的答案． A C M N ①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； E  ②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l ；③量出测倾器的高度AC=a，可求出      MN=ME+EN=l · tanα+a. α (1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 6. 利用三角函数测高 (2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ ①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α； A C B D M N Eα ②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角     ∠MDE=β； β ③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离      AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度. 考点一 求三角函数的值 考点讲练 例1  在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝    ，则tanB的值 为                                                                             (   ) A.　　     B.　    　   C.　            　D. 解析：根据sinA＝    ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝      B 方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在 具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法， 常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值 求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助 边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三 角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值． 1. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=cosB， 那么△ABC一定是______三角形．直角 2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B ，     C都在格点上，则∠ABC的正切值是____. 针对训练 例2 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点， 沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求 tan∠AFE． 分析：根据题意，结合折叠的性 质，易得∠AFE=∠BCF，进而在 Rt△BFC中，有BC=8，CF=10， 由勾股定理易得BF的长，根据三 角函数的定义，易得 tan∠BCF 的值，借助∠AFE=∠BCF，可得 tan∠AFE的值． 10 8 解：由折叠的性质可得，CF=CD， ∠EFC=∠EDC=90°. ∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°， ∴∠AFE+∠BFC=90°. ∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF. 在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10， 由勾股定理易得BF=6. ∴tan∠BCF =    .  ∴tan∠AFE=tan∠BCF=     . 10 8 针对训练 解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD =         ∴BD = AD·tan∠BAD=12×    =9， ∴CD=BC－BD=14－9=5， ∴ ∴sinC = 3. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14 ，     AD＝12，tan∠BAD＝    ，求sinC的值． 考点二 特殊角的三角函数值 例3  计算： 解：原式＝ (1) tan30°＋cos45°＋tan60°； (2) tan30°· tan60°＋ cos230°. 4. 计算： 解：原式 解：原式 针对训练 考点三 解直角三角形 例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD ＝4，AD＝BC，cos∠ADC =    ，求： (1) DC的长； 分析：题中给出了两个直角三角 形，DC和sinB可分别在 Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由 AD＝BC，图中CD＝BC－BD， 由此可列方程求出CD． A B CD 又 BC－CD＝BD， 解得x =6，∴CD=6. A B CD 解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC =     ， (2) sinB的值． A B CD 解：BC=BD+CD=4+6=10=AD， 在Rt△ACD中， 在Rt△ABC中， 方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与 角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程 思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解. 5. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.       点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.     求△ABC的周长 (结果保留根号). 针对训练 解：在Rt△ADC中， ∴BD＝2AD＝4. ∴BC＝BD＋DC＝5. 在Rt△ABC中， ∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC 考点四 三角函数的应用 例5 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 AD∥ BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的 背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡 长AE．(结果保留根号)                                      解：过点A作AF⊥BC于点F ， 在Rt△ABF中， ∠ABF =∠α=60°， 则AF=AB·sin60°=          (m) ， 在Rt△AEF中，∠E=∠β=45° ， 则                                  (m). 故改造后的坡长 AE 为                   m. F 7. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤  (横断     面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45° ，     高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的 加     固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上 底     加宽2米，加固后背水坡EF的坡比i =1:　   ．求 加固     后坝底增加的宽度AF. (结果保留根号) 针对训练 A B CDE F 45° i=1: A B CDE F 45° i=1: GH 解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于G， 则GH=DE=2米，EH=DG=10米. (米)， (米). 又∵AG=DG=10米， ∴                                                                      (米). 故加固后坝底增加的宽度AF为                  米. 例6 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大 树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰 角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A 处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°， 求大树的高度（结果保留整数，参考数据： sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，   ≈1.73） 解：如图，过点 D 作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H， 则四边形DHCG为矩形． 故DG=CH，CG=DH，DG∥HC， ∴∠DAH=∠FAE=30°， 在直角三角形AHD中， ∵∠DAH=30°，AD=6， ∴DH=3，AH=        ， ∴CG=3， 设BC为x， 在直角三角形ABC中， G H   在Rt△BDG中，∵ BG=DG · tan30°， 解得：x ≈13， ∴大树的高度为：13米. ∴ ∴ G H 针对训练 8. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选    择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、     C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线     上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间     的距离为40m．     (1) 求点B到AD的距离；  答案：点B到AD的距离为20m. C (2) 求塔高CD（结果用根号表示）． C 解：在Rt△ABE中， ∵∠A=30°，∴∠ABE=60°， ∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°， ∴DE=EB=20m， 则AD=AE+EB=                      (m)， 在Rt△ADC中，∠A=30°， 答：塔高CD为                    m. ∴                                       (m). 例7 如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙 位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲 自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶， 它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船 甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°， 此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85， cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 解：设B处距离码头O x km， 在Rt△CAO中，∠CAO=45°， ∵tan∠CAO=CO/AO ， ∴CO=AO · tan∠CAO=（45×0.1+x）· tan45°=4.5+x， 在Rt△DBO中，∠DBO=58°， ∵tan∠DBO=DO/BO ， ∴DO=BO · tan∠DBO=x · tan58°， ∵DC=DO－CO， ∴36×0.1=x · tan58°－（4.5+x）， 因此，B处距离码头O大约13.5km. ∴                                        9. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图)．救     生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的     B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同    时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，    径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶    到海岸线上的D处，再向B处游去．若    CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，    甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先    到达B处？请说明理由 (参考数据：    sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，    tan55°≈1.43). 针对训练 分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC， BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之 间的大小即可． 解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°. ∴BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)． BC＝CD · cos∠BCD＝40×cos55°≈70.2(米)． ∴t甲≈57.22÷2＋10＝38.6(秒)， t乙≈70.22÷2＝35.1(秒)． ∴t甲>t乙． 答：乙先到达B处． 锐角三角函数 特殊角的三角函数 解直角三角形 简单实际问题 正弦 锐 角 三 角 函 数 余弦 正切 三边关系 三角关系 边角关系 仰俯角问题 方位角问题 坡度问题