九年级数学上册第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质教学课件新版北师大版 22页

第一章 特殊平行四边形 北师版 · 九年级上册 1 .1 菱形的性质与判定 第 1 课时 菱形的性质 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点） 学习目标 问题 : 什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？ 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等 . 对角线：相交并相互平分 . 角：对角相等 , 邻角互补 . 导入新课 活动 : 观察下列图片， 找出你所熟悉的图形 . 问题 1 : 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？ 平行四边形 菱形 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . 菱形的概念及其与平行四边形的关系 讲授新课 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形. 问题 2 : 菱形与平行四边形有什么关系？ 平行四边形 菱形集合 平行四边形集合 做一做 请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （ 1 ）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （ 2 ）菱形中有哪些相等的线段？ 菱形的性质 1. 菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴 直线 AC 和直线 BD ). 2. 菱形四条边都相等( AB = BC = CD = AD ). 3. 菱形的对角线互相垂直( AC ⊥ BD ). A B C O D 发现菱形的性质 已知：如图，在菱形 ABCD 中， AB = AD , 对角线 AC 与 B D 相交于点 O . 求证 :(1 ） AB = BC = CD = AD ； （ 2 ） AC ⊥ BD. 证明菱形的性质 证明：（1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = CD ， AD = BC （菱形的对边相等）. 又∵ AB = AD ; ∴ AB = BC = CD = AD . A B C O D 求证：菱形的四条边相等，对角线互相垂直 . 思考： 菱形的一条对角线所分成的两个内角有什么关系？试证明 AC 平分 ∠ BAD 和 ∠ BCD ， BD 平分 ∠ ABC 和 ∠ ADC . （ 2 ）∵ AB = AD , ∴△ ABD 是等腰三角形 . 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ OB = OD . 在等腰三角形 ABD 中， ∵ OB = OD ， ∴ AO ⊥ BD ， 即 AC ⊥ BD. A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质 . 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直 . 角：对角相等，邻角互补. 边：对边平行且相等 . 对角线：相交并相互平分 . 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 1.如图，在菱形 ABCD 中，两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，图中的等腰三角 形有______________________________， 直角 三角形有 _____________________________ ，而且它们是________ （ “全等”或“不全等”）. 口答： 2. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 内角和为 360° B. 对角线互相垂直 C. 对边平行 D. 对角线互相平分 △ ABD, △ BCD ，△ ABC, △ ADC △ ABO ，△ ADO, △ BCO, △ CDO 全等 B 例 1 ： 已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， AB =5cm, BD =8cm. 则：（ 1 ） BO = ____________; (2) AC =_____________. B A C D O 4cm 6cm 菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合 勾股定理 解题 . 典例精析 例 2 ： 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∠ BAD =60° ， BD = 6 ， 求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长 . 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD (菱形的对角线互相垂直) OB = OD = BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABC 中， ∵∠ BAD =60°， ∴△ ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. A B C O D 在 Rt Δ AOB 中，由勾股定理，得 OA 2 + OB 2 = AB 2 ， ∴ OA = = = ∴ AC =2 OA = （菱形的对角线相互平分） . A B C O D 若菱形有一个内角为 60 °，那么 60 °角的两边与较短的对角线可构成 等边三角形 ，且两条对角线把菱形分成四个全等的 含 30 °角的直角三角形 . 当堂练习 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 2. 如图，菱形的两条对角线长分别是 6 和 8 ，则此菱形的周长是 （ ） A.40 B.32 C.24 D.20 C D 3. 在菱形 ABCD 中， AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ， E 、 F 分别为 BC ， CD 的中点，那么 ∠ EAF 的度数是 （ ） A.75° B.60° C.45° D.30° B 6. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的四个内角度数分别为 _____________________. 4. 已知菱形的周长是 12cm ，那么它的边长是 ______ . 5. 菱形 ABCD 中 ∠ ABC ＝ 120 ° ，则 ∠ BAC ＝ _______ . A B C O D 3 30° 60° 、 60° 、 120° 、 120° 7. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O . 已知 AB =5cm， AO =4cm， 求 BD 的长. A B C O D 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD ( 菱形的两条对角线互相垂直 ) . ∴ ∠ AOB =90° . ∴ BO = =3 (cm). ∴ BD =2 BO = 2×3=6 (cm). 8.已知：如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于E． 求证：∠ AF D=∠ CB E． 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ CB = CD ， CA 平分∠ BC D． ∴∠ BC E=∠ DC E． 又 CE = CE ， ∴△ BC E ≌ △ CO B（SAS）． ∴∠ CB E=∠ CD E． ∵在菱形 ABCD 中， AB ∥ CD ， ∴∠ AF D=∠ FD C. ∴∠ AF D=∠ CB E．   A D C B F E 菱形的性质 菱形的性质 1. 四边相等 2. 对角线互相垂直平分， 且每条对角线平分一组对角 . 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 . 课堂小结