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- 2021-11-10 发布
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2020 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题所给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的序号填涂在答题卡上)
1. 在−1,0,휋,√3这四个数中,最大的数是( )
A.−1 B.0 C.휋 D.√3
2. 天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000푘푚,数字2900000000用科
学记数法表示为( )
A.2.9 × 108 B.2.9 × 109 C.29 × 108 D.0.29 × 1010
3. 若|푥 + 2| + (푦 − 3)2=0,则푥 − 푦的值为( )
A.−5 B.5 C.1 D.−1
4. 函数푦 = √2푥的自变量푥的取值范围是( )
A.푥 ≤ 0 B.푥 ≠ 0 C.푥 ≥ 0 D.푥 ≥ 1
2
5. 已知正比例函数푦=푘1푥和反比例函数푦 = 푘2
푥
,在同一直角坐标系下的图象如图所
示,其中符合푘1 ⋅ 푘2 > 0的是( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
6. 将正方体的表面沿某些棱剪开,展成如图所示的平面图形,则原正方体中与数字
5所在的面相对的面上标的数字为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7. 在一次青年歌手比赛中,七位评委为某位歌手打出的分数如下:9.5,9.4,9.6,
9.9,9.3,9.7,9.0(单位:分).若去掉一个最高分和一个最低分.则去掉前与去掉
后没有改变的一个统计量是( )
A.平均分 B.方差 C.中位数 D.极差
8. 底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1: 3,则圆锥与圆柱的体积的比为( )
A.1: 1 B.1: 3 C.1: 6 D.1: 9
9. 已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,푚和6,8,푛,且这两个直角三角形
不相似,则푚 + 푛的值为( )
A.10 + √7或5 + 2√7 B.15 C.10 + √7 D.15 + 3√7
10. 如图,在边长为2的正方形퐸퐹퐺퐻中,푀,푁分别为퐸퐹与퐺퐻的中点,一个三角形
퐴퐵퐶沿竖直方向向上平移,在运动的过程中,点퐴恒在直线푀푁上,当点퐴运动到线段
푀푁的中点时,点퐸,퐹恰与퐴퐵,퐴퐶两边的中点重合,设点퐴到퐸퐹的距离为푥,三角形
퐴퐵퐶与正方形퐸퐹퐺퐻的公共部分的面积为푦.则当푦 = 5
2
时,푥的值为( )
A.7
4
或2 + √2
2
B.√10
2
或2 − √2
2
C.2 ± √2
2
D.7
4
或√10
2
二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.不需写出解答过程,请把答
案直接填写在答题卡相应位置上)
11. 点푃(2, 3)关于푦轴的对称点푄的坐标为________.
12. 分解因式:푎3 − 4푎=________.
13. 一个周长为16푐푚的三角形,由它的三条中位线构成的三角形的周长为 8 푐푚.
14. 将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置,若∠퐴푂퐷=108∘,则∠퐶푂퐵=
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________.
15. 两个人做游戏:每个人都从−1,0,1这三个整数中随机选择一个写在纸上,则
两人所写整数的绝对值相等的概率为________.
16. 如图,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,
则第20个图需要黑色棋子的个数为________.
17. 已知关于푥的一元二次方程:푥2 − 2푥 − 푎=0,有下列结论:
①当푎 > −1时,方程有两个不相等的实根;
②当푎 > 0时,方程不可能有两个异号的实根;
③当푎 > −1时,方程的两个实根不可能都小于1;
④当푎 > 3时,方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.
以上4个结论中,正确的个数为________.
18. 如图,等边△ 퐴퐵퐶中,퐴퐵=3,点퐷,点퐸分别是边퐵퐶,퐶퐴上的动点,且퐵퐷=
퐶퐸,连接퐴퐷、퐵퐸交于点퐹,当点퐷从点퐵运动到点퐶时,则点퐹的运动路径的长度为
________.
三、解答题(本大题共 10 小题,共 66 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤)
19. 计算:| − 5| − (1 − 휋)0 + (1
3)−1.
20. 先化简,再求值:(푥 + 5)(푥 − 1) + (푥 − 2)2,其中푥 = √3.
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21. 解方程: 2푥
푥−1 − 1 = 4
푥−1
.
22. 如图,퐴퐵,퐶퐷为两个建筑物,两建筑物底部之间的水平地面上有一点푀,从建
筑物퐴퐵的顶点퐴测得푀点的俯角为45∘,从建筑物퐶퐷的顶点퐶测得푀点的俯角为75∘,
测得建筑物퐴퐵的顶点퐴的俯角为30∘.若已知建筑物퐴퐵的高度为20米,求两建筑物顶
点퐴、퐶之间的距离(结果精确到1푚,参考数据:√2 ≈ 1.414,√3 ≈ 1.732).
23. 为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数,从中随机抽取了40名学生的
一分钟跳绳次数(次数为整数,且最高次数不超过150次),整理后绘制成如图的频数
直方图,图中的푎,푏满足关系式2푎=3푏.后由于保存不当,部分原始数据模糊不清,
但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件,回答下列问题.
(1)求问题中的总体和样本容量;
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(2)求푎,푏的值(请写出必要的计算过程);
(3)如果一分钟跳绳次数在125次以上(不含125次)为跳绳成绩优秀,那么估计该
校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人?(注:该年级共1000名学生)
24. 如图,在矩形퐴퐵퐶퐷中,푂为对角线퐴퐶的中点,过点푂作直线分别与矩形的边퐴퐷,
퐵퐶交于푀,푁两点,连接퐶푀,퐴푁.
(1)求证:四边形퐴푁퐶푀为平行四边形;
(2)若퐴퐷=4,퐴퐵=2,且푀푁 ⊥ 퐴퐶,求퐷푀的长.
25. 期中考试后,某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商
场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品,购买甲种笔记本15个,乙种笔记本20个,共花
费250元.已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元.
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元?
(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱,班主任决定在期末考试后再次购买两种
笔记本共35个,正好赶上商场对商品价格进行调整,甲种笔记本售价比上一次购买时
减价2元,乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售.如果班主任此次购买甲、乙两
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种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%,求至多需要购买多少个甲种笔记本?
并求购买两种笔记本总费用的最大值.
26. 如图,反比例函数푦 = 푘
푥
与一次函数푦=−푥 − (푘 + 1)的图象在第二象限的交点为퐴,
在第四象限的交点为퐶,直线퐴푂(푂为坐标原点)与函数푦 = 푘
푥
的图象交于另一点
퐵.过点퐴作푦轴的平行线,过点퐵作푥轴的平行线,两直线相交于点퐸,△ 퐴퐸퐵的面积
为6.
(1)求反比例函数푦 = 푘
푥
的表达式;
(2)求点퐴,퐶的坐标和△ 퐴푂퐶的面积.
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27. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,퐴퐵=퐴퐶,以퐴퐵为直径的⊙ 푂交퐵퐶于点퐷,连接퐴퐷,过点퐷
作퐷푀 ⊥ 퐴퐶,垂足为푀,퐴퐵、푀퐷的延长线交于点푁.
(1)求证:푀푁是⊙ 푂的切线;
(2)求证:퐷푁2=퐵푁 ⋅ (퐵푁 + 퐴퐶);
(3)若퐵퐶=6,cos퐶 = 3
5
,求퐷푁的长.
28. 如图,抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 12与푥轴交于퐴,퐵两点(퐵在퐴的右侧),且经过点
퐶(−1, 7)和点퐷(5, 7).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)连接퐴퐷,经过点퐵的直线푙与线段퐴퐷交于点퐸,与抛物线交于另一点퐹.连接퐶퐴,
퐶퐸,퐶퐷,△ 퐶퐸퐷的面积与△ 퐶퐴퐷的面积之比为1: 7,点푃为直线푙上方抛物线上的一个
动点,设点푃的横坐标为푡.当푡为何值时,△ 푃퐹퐵的面积最大?并求出最大值;
(3)在抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 12上,当푚 ≤ 푥 ≤ 푛时,푦的取值范围是12 ≤ 푦 ≤ 16,
求푚 − 푛的取值范围.(直接写出结果即可)
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参考答案与试题解析
2020 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题所给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的序号填涂在答题卡上)
1.C
2.B
3.A
4.C
5.B
6.B
7.C
8.D
9.A
10.A
二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.不需写出解答过程,请把答
案直接填写在答题卡相应位置上)
11.(−2, 3)
12.푎(푎 + 2)(푎 − 2)
13.8
14.72∘
15.5
9
16.440
17.①③④
18.2√3휋
3
.
三、解答题(本大题共 10 小题,共 66 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.| − 5| − (1 − 휋)0 + (1
3)−1
=5 − 1 + 3
=7.
20.原式=푥2 + 4푥 − 5 + 푥2 − 4푥 + 4
=2푥2 − 1,
当푥 = √3时,原式=2(√3)2 − 1=5.
21.方程的两边同乘푥 − 1,得:2푥 − 푥 + 1=4,
解这个方程,得:푥=3,
经检验,푥=3是原方程的解,
∴ 原方程的解是푥=3.
22.两建筑物顶点퐴、퐶之间的距离约为35米.
23.1000名学生一分钟的跳绳次数是总体,
40名学生的一分钟跳绳次数是样本容量;
由题意所给数据可知:
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50.5 ∼ 75.5的有4人,
75.5 ∼ 100.5的有16人,
∴ 푎 + 푏=40 − 4 − 16=20,
∵ 2푎=3푏,
∴ 解得푎=12,푏=8,
1000 × 8
40 = 200(人),
答:估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人.
24.证明:∵ 在矩形퐴퐵퐶퐷中,푂为对角线퐴퐶的中点,
∴ 퐴퐷 // 퐵퐶,퐴푂=퐶푂,
∴ ∠푂퐴푀=∠푂퐶푁,∠푂푀퐴=∠푂푁퐶,
在△ 퐴푂푀和△ 퐶푂푁中,
{
∠푂퐴푀 = ∠푂퐶푁
∠퐴푀푂 = ∠퐶푁푂
퐴푂 = 퐶푂
,
∴ △ 퐴푂푀 ≅△ 퐶푂푁(퐴퐴푆),
∴ 퐴푀=퐶푁,
∵ 퐴푀 // 퐶푁,
∴ 四边形퐴푁퐶푀为平行四边形;
∵ 在矩形퐴퐵퐶퐷中,퐴퐷=퐵퐶,
由(1)知:퐴푀=퐶푁,
∴ 퐷푀=퐵푁,
∵ 四边形퐴푁퐶푀为平行四边形,푀푁 ⊥ 퐴퐶,
∴ 平行四边形퐴푁퐶푀为菱形,
∴ 퐴푀=퐴푁=푁퐶=퐴퐷 − 퐷푀,
∴ 在푅푡 △ 퐴퐵푁中,根据勾股定理,得
퐴푁2=퐴퐵2 + 퐵푁2,
∴ (4 − 퐷푀)2=22 + 퐷푀2,
解得퐷푀 = 3
2
.
25.购买一个甲种笔记本需要10元,购买一个乙种笔记本需要5元
至多需要购买21个甲种笔记本,购买两种笔记本总费用的最大值为224元
26.由题意得,点퐴与点퐵关于原点对称,即푂퐴=푂퐵,
∴ 푆△퐴푂푀
푆△퐴퐵퐸
= (푂퐴
퐴퐵)2 = 1
4
,
又△ 퐴퐸퐵的面积为6,
∴ 푆△퐴푂푀 = 1
4 푆△퐴퐵퐸 = 1
4 × 6 = 3
2 = 1
2 |푘|,
∴ 푘=−3,푘=3(舍去),
∴ 反比例函数的关系式为푦 = − 3
푥
;
由푘=−3可得一次函数푦=−푥 + 2,由题意得,
{
푦 = −푥 + 2
푦 = − 3
푥
,解得,{ 푥1 = 3
푦1 = −1 ,{푥2 = −1
푦2 = 3 ,
又퐴在第二象限,点퐶在第四象限,
∴ 点퐴(−1, 3),点퐶(3, −1),( 1)一次函数푦=−푥 + 2与푦轴的交点푁的坐标为
(0, 2),
∴ 푆△퐴푂퐶=푆△퐶푂푁 + 푆△퐴푂푁 = 1
2 × 2 × (1 + 3)=4.
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27.如图,连接푂퐷,
∵ 퐴퐵是直径,
∴ ∠퐴퐷퐵=90∘,
又∵ 퐴퐵=퐴퐶,
∴ 퐵퐷=퐶퐷,∠퐵퐴퐷=∠퐶퐴퐷,
∵ 퐴푂=퐵푂,퐵퐷=퐶퐷,
∴ 푂퐷 // 퐴퐶,
∵ 퐷푀 ⊥ 퐴퐶,
∴ 푂퐷 ⊥ 푀푁,
又∵ 푂퐷是半径,
∴ 푀푁是⊙ 푂的切线;
∵ 퐴퐵=퐴퐶,
∴ ∠퐴퐵퐶=∠퐴퐶퐵,
∵ ∠퐴퐵퐶 + ∠퐵퐴퐷=90∘,∠퐴퐶퐵 + ∠퐶퐷푀=90∘,
∴ ∠퐵퐴퐷=∠퐶퐷푀,
∵ ∠퐵퐷푁=∠퐶퐷푀,
∴ ∠퐵퐴퐷=∠퐵퐷푁,
又∵ ∠푁=∠푁,
∴ △ 퐵퐷푁 ∽△ 퐷퐴푁,
∴ 퐵푁
퐷푁 = 퐷푁
퐴푁
,
∴ 퐷푁2=퐵푁 ⋅ 퐴푁=퐵푁 ⋅ (퐵푁 + 퐴퐵)=퐵푁 ⋅ (퐵푁 + 퐴퐶);
∵ 퐵퐶=6,퐵퐷=퐶퐷,
∴ 퐵퐷=퐶퐷=3,
∵ cos퐶 = 3
5 = 퐶퐷
퐴퐶
,
∴ 퐴퐶=5,
∴ 퐴퐵=5,
∴ 퐴퐷 = √퐴퐵2 − 퐵퐷2 = √25 − 9 = 4,
∵ △ 퐵퐷푁 ∽△ 퐷퐴푁,
∴ 퐵푁
퐷푁 = 퐷푁
퐴푁 = 퐵퐷
퐴퐷 = 3
4
,
∴ 퐵푁 = 3
4 퐷푁,퐷푁 = 3
4 퐴푁,
∴ 퐵푁 = 3
4 (3
4 퐴푁) = 9
16 퐴푁,
∵ 퐵푁 + 퐴퐵=퐴푁,
∴ 9
16 퐴푁 + 5=퐴푁
∴ 퐴푁 = 80
7
,
∴ 퐷푁 = 3
4 퐴푁 = 60
7
.
10 / 10
28.把퐶(−1, 7),퐷(5, 7)代入푦=푎푥2 + 푏푥 + 12,
可得{ 푎 − 푏 + 12 = 7
25푎 + 5푏 + 12 = 7 ,
解得{푎 = −1
푏 = 4 ,
∴ 抛物线的解析式为푦=−푥2 + 4푥 + 12.
如图1中,过点퐸作퐸푀 ⊥ 퐴퐵于푀,过点퐷作퐷푁 ⊥ 퐴퐵于푁.
对于抛物线푦=−푥2 + 4푥 + 12,令푦=0,得到,푥2 − 4푥 − 12=0,解得푥=−2或6,
∴ 퐴(−2, 0),퐵(6, 0),
∵ 퐷(5, 7),
∴ 푂퐴=2,퐷푁=7,푂푁=5,퐴푁=7
∵ △ 퐶퐸퐷的面积与△ 퐶퐴퐷的面积之比为1: 7,
∴ 퐷퐸: 퐴퐷=1: 7,
∴ 퐴퐸: 퐴퐷=6: 7,
∵ 퐸푀 // 퐷푁,
∵ 퐸푁
퐷푁 = 퐴푀
퐴푁 = 퐴퐸
퐴퐷 = 6
7
,
∴ 퐸푀
7 = 퐴푀
7 = 6
7
,
∴ 퐴푀=퐸푀=6,
∴ 퐸(4, 6),
∴ 直线퐵퐸的解析式为푦=−3푥 + 18,
由{ 푦 = −3푥 + 18
푦 = −푥2 + 4푥 + 12 ,解得{푥 = 6
푦 = 0 或{ 푥 = 1
푦 = 15 ,
∴ 퐹(1, 15),
过点푃作푃푄 // 푦轴交퐵퐹于푄,设푃(푡, −푡2 + 4푡 + 12_)则푄(푡, −3푡 + 18),
∴ 푃푄=−푡2 + 4푡 + 12 − (−3푡 + 18)=−푡2 + 7푡 − 6,
∵ 푆△푃퐵퐹 = 1
2 ⋅ (−푡2 + 7푡 − 6) ⋅ 5 = − 5
2 (푡 − 7
2)2 + 125
8
,
∵ − 5
2 < 0,
∴ 푡 = 7
2
时,△ 퐵퐹푃的面积最大,最大值为125
8
.
对于抛物线푦=−푥2 + 4푥 + 12,当푦=16时,−푥2 + 4푥 + 12=16,
解得푥1=푥2=2,
当푦=12时,−푥2 + 4푥 + 12=12,解得푥=0或4,
观察图2可知:当0 ≤ 푥 ≤ 2或2 ≤ 푥 ≤ 4时,12 ≤ 푦 ≤ 16,
∴ 푚=0,푛=2或푚=2,푛=4,
∴ 푚 − 푛=−2.
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