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  • 2021-11-10 发布

2019年山东青岛中考数学试题(解析版)

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‎{来源}2019年山东青岛中考数学试卷 ‎{适用范围:3. 九年级}‎ ‎{标题}2019年山东省青岛市中考数学试卷 考试时间:120分钟 满分:120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题:本大题共 小题,每小题 分,合计分. ‎ ‎{题目}1.(2019年青岛)-的相反数是( )‎ A.- B.- C.± D.‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了相反数的定义,绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数,由于-的相反数是,因此本题选D.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-3]相反数}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2.(2019年青岛)下列四个图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别,轴对称图形是沿直线对折后直线两旁的部分能够重合的图形,中心对称图形是绕某点旋转180°后能与自身重合的图形,正确区分这两类图形是解题的关键. 选项A,C,D中的图形都是轴对称图形,选项B,D中的图形都是中心对称图形,故选项B中的图形既是轴对称图形也是中心对称图形,因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}‎ ‎{考点:轴对称图形}‎ ‎{考点:中心对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}3.(2019年青岛)2019 年 1 月 3 日,我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆,实现人类有史以来首次成功登陆月球背面.已知月球与地球之间的平均距离约为 384 000km,把 384 000km用科学记数法可以表示为( )‎ A.38.4×104 km B.3.84×105 km C.0.384×106 km D.3.84×106 km ‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数,将一个数表示为a×10n的形式时,注意1≤a<10. 384 000=384×103=3.84×102×103=3.84×105,因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}4.(2019年青岛)计算(-2m)2·(-m·m2+3m3)的结果是( )‎ A.8m5 B.-8m5 C.8m6 D.-4m4+12m5‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了整式的运算,掌握积的乘方、合并同类项、多项式乘多项式等运算法则是解题的关键,解题注意不要混淆幂的几个运算性质而出错.原式=4m2·(-m3+3m3)=4m2·2m3=8m5,因此本题选A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{考点:整式加减}‎ ‎{考点:单项式乘以多项式}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5.(2019年青岛)如图,线段 AB 经过⊙O 的圆心, AC , BD 分别与⊙O 相切于点 C , D .若 AC=BD=4 ,∠A=45 °,则弧CD的长度为( )‎ ‎ A.p B.2p C.2p D.4p ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了圆的切线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、弧长的计算,先根据“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得到直角三角形,再根据“等角对等边”可得到等腰三角形,最后根据公式计算弧长.如图,连接OC,OD.∵AC , BD 分别与⊙O 相切于点 C , D,∴AC⊥OC,BD⊥OD,∴∠ACO=∠BDO=90°.∵∠A=45°,∴∠AOC=45°,∴∠A=∠AOC,∴OC=AC=4.∵AC=BD,OC=OD,∴OD=BD,∴∠DOB=∠B=45°,∴∠COD=180°-45°-45°=90°.∴.因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{考点:等角对等边}‎ ‎{考点:切线的性质}‎ ‎{考点:弧长的计算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}6.(2019年青岛)如图,将线段 AB 先向右平移 5 个单位,再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转 90°,得到线段 A¢B¢,则点 B 的对应点 B¢的坐标是( )‎ A.(-4 , 1) B.(-1, 2) C.(4,-1) D.(1,-2)‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了线段的平移、旋转及点的坐标,解题的关键是画出平移、旋转后的图形,从而正确写出点的坐标.如图,先将线段AB向右平移5个单位得到线段A1B1,再将线段A1B1绕原点按顺时针方向旋转 90°,得到线段 A′B′,可知点 B 的对应点 B′的坐标是(1,-2).因此本题选D.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-1]图形的旋转}‎ ‎{考点:平移作图}‎ ‎{考点:作图-旋转}‎ ‎{考点:点的坐标}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7.(2019年青岛)如图, BD 是△ABC 的角平分线, AE⊥BD ,垂足为 F .若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE 的度数为( )‎ A.35°° B.40°° C.45°° D.50°° ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了三角形内角和定理、角平分线、垂直的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质,根据已知条件判定两对全等三角形是解题的关键.在△ABC中,∵Ð∠ABC=35°,∠C=50°,∴∠BAC=180°-35°-50°=95°.∵BD是△ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC.∵AE⊥BD,∴∠AFB=∠EFB=90°.又∵BF=BF,∴△ABF≌△EBF,∴AB=EB.∵BD=BD,∴△ABD≌△EBD,‎ ‎∴∠DEB=∠BAC=95°.∵∠DEB是△DEC的外角,∴∠CDE=∠DEB-∠C=95°-50°=45°.,因此本题选C.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}‎ ‎{考点:三角形的角平分线}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度} ‎ ‎{题目}8.(2019年青岛)已知反比例函数 y=的图象如图所示,则二次函数 y=ax 2-2x和一次函数 y=bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了反比例函数和二次函数的图像.对于反比例函数y=,当k>0时,其图像的两个分支分为位于第一、三象限;当k<0时,其图像的两个分支分为位于第二、四象限.对于二次函数y=ax2+bx+c,当a>0时,其图像的开口向上;当a<0时,其图像的开口向下.当a,b同号时,对称轴-<0,其图像的对称轴在y轴左侧;当a,b异号时,对称轴->0,其图像的对称轴在y轴右侧.∵反比例函数 y=的图像位于第一、三象限,∴ab>0,即a,b同号.对于二次函数y=ax2-2x,当x=0时,y=0,即它的图像经过原点,故不能是选项A中的图像.当a>0,b>0时,二次函数y=ax2-2x的图像开口向上,对称轴x=>0,即对称轴在y轴右侧,一次函数y=bx+a的图像经过第一、二、三象限,故不可能是选项B中的图像,可能是选项C中的图像;当a<0,b<0时,二次函数y=ax2-2x的图像开口向下,对称轴x=<0,即对称轴在y轴左侧,一次函数y=bx+a的图像经过第二、三、四象限,故不可能是选项D中的图像,因此本题选C.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:反比例函数的图象}‎ ‎{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,合计18分.‎ ‎{题目}9.(2019年青岛)计算:= .‎ ‎{答案}2+1‎ ‎{解析}本题考查了二次根式的运算及零指数幂,根据二次根式的运算法则和零指数幂的性质计算即可,原式=,因此本题答案为2+1.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:二次根式的混合运算}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}10.(2019年青岛)若关于 x 的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根,则 m 的值为 .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式b2-4ac的关系,即当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根. ∵关于 x 的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根,∴b2-4ac=0,即(-1)2-4×2×m=0,解得m=.因此答案为.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-2-2]公式法}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}11.(2019年青岛)射击比赛中,某队员 10 次射击成绩如图所示,则该队员的平均成绩是 环.‎ ‎{答案}8.5‎ ‎{解析}本题考查了条形统计图和算术平均数的计算,解题的关键是看懂统计图中的数据和正确计算.×(6×1+7×1+8×2+9×4+10×2)=×85=8.5,即该队员的平均成绩是8.5环,因此本题答案为8.5.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-1]平均数}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:算术平均数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}12.(2019年青岛)如图,五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形, AF 是⊙O 的直径,则 ÐBDF 的度数是 °.‎ ‎{答案}54‎ ‎{解析}本题考查了圆内接正多边形的性质、圆周角定理及其推论,即圆内接正n边形的中心角等于,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,直径所对的圆周角是直角.如图,连接AD.∵AF是⊙O 的直径,∴∠ADF=90°.∵五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形,∴∠AOB=360°÷5=72°,∴∠ADB=×72°=36°.∴∠BDF=90°-36°=54°,因此本题答案为54.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-3]正多边形和圆}‎ ‎{考点:正多边形和圆}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:直径所对的圆周角}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}13.(2019年青岛)如图,在正方形纸片 ABCD 中, E 是 CD 的中点,将正方形纸片折叠,点 B 落在线段AE 上的点 G 处,折痕为 AF .若 AD=4 cm,则 CF 的长为 cm .‎ ‎{答案}6-2‎ ‎{解析}本题是一道折叠问题,考查了轴对称的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键根据折叠的性质得到相等的线段,进而根据勾股定理列方程求解.∵E是CD的中点,CD=AD=4,∴DE=CE=2.在Rt△ADE中,根据勾股定理,得AE=.由折叠的性质可得△AGF≌△ABF,∴AG=AB=4,GF=BF,∠AGF=∠B=90°.∴∠FGE=90°,GE=AE-AG=设BF=‎ x,则GF=x,FC=4-x.在Rt△GEF中,根据勾股定理,得EF2=GE2+GF2=在Rt△CEF中,根据勾股定理,得EF2=CE2+FC2=∴,解得x=6-2,因此本题答案为6-2. ‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:正方形有关的综合题}‎ ‎{考点:折叠问题}‎ ‎{类别:常考题} ‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}14.(2019年青岛)如图,一个正方体由 27 个大小相同的小立方块搭成,现从中取走若干个小立方块,得到一个新的几何体.若新几何体与原正方体的表面积相等,则最多可以取走 ‎ 个小立方块.‎ ‎{答案}16‎ ‎{解析}本题考查了几何体的三视图,解题的关键是具有较好的空间想象能力.当至少剩下9个小立方块时新几何体与原正方体的表面积相等,故最多可以取走27-9=16个小立方块,因此本题答案为16.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单组合体的三视图}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共 小题,合计分.‎ ‎{题目}15.(2019年青岛)已知: ∠α,直线 l 及 l 上两点 A, B.‎ 求作: Rt△ABC ,使点 C 在直线 l 的上方,且∠ABC=90°, ∠BAC=∠α.‎ ‎{解析}本题考查了尺规作图,掌握用尺规作一个角等于已知角,过直线上一点作这条直线的垂线是解题的关键.如图,在直线l上方作∠BAD=∠α,过点B作直线EF⊥l,交BD于点C,则△ABC即为所求.‎ ‎……4分 ‎{答案}解: ‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:与全等有关的作图问题}‎ ‎{考点:与垂直平分线有关的作图}‎ ‎{题目}16(1).(2019年青岛)化简:;‎ ‎{解析}本题考查了分式的混合运算,按照先计算括号内的加法,再计算除法进行运算.‎ ‎{答案}解: 原式===‎ ‎==. ‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题} ‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{题目}16(2).(2019年青岛)解不等式组 ,并写出它的正整数解.‎ ‎{解析}本题考查了不等组的解法和不等式组的整数解,解不等式组的步骤为:先解出不等式组中每个不等式的解集,然后在数轴上分别表示出两个解集,找出公共部分,得出不等式组的解集.‎ ‎{答案}解: 解不等式1-x≤,得x≥-1;‎ 解不等式3x-1<8,得x<3; ‎ ‎∴不等式组的解集为-1≤x<3. ‎ ‎∴不等式组的正整数解为x=1,2. ‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{考点:一元一次不等式组的整数解}‎ ‎{题目}17.(2019年青岛)小明和小刚一起做游戏,游戏规则如下:将分别标有数字 1, 2, 3, 4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中,这些球除数字外都相同.从中随机摸出一个球记下数字后放回,再从中随机摸出一个球记下数字.若两次数字差的绝对值小于 2,则小明获胜,否则小刚获胜.这个游戏对两人公平吗?请说明理由.‎ ‎{解析}本题考查了概率的求法,先列表或画树状图表示出所有可能的情形,进而求出小明胜和小刚胜的概率;再根据“如果两人获胜的概率相等,那么游戏对双方公平,否则不公平”作出判断..‎ ‎{答案}解: 列表表示所有可能的结果为:‎ ‎ 第2个数字 ‎ 差的绝对值 第1个数字 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 由上表可知,共有16种等可能的结果,其中两次数字差的绝对值小于 2的结果有10种,∴P(小明获胜)=,P(小明获胜)=. ‎ ‎∵P(小明获胜)≠P(小明获胜),∴这个游戏对两人不公平.‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:绝对值的意义}‎ ‎{考点:两步事件放回}‎ ‎{考点:游戏的公平性}‎ ‎{题目}18.(2019年青岛)为了解学生每天的睡眠情况,某初中学校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学生,调查了他们平均每天的睡眠时间(单位: h) ,统计结果如下:‎ ‎9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,‎ ‎7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.‎ 在对这些数据整理后,绘制了如下的统计图表:‎ 睡眠时间分组统计表 睡眠时间分布情况 组别 ‎ 睡眠时间分组 ‎ 人数(频数)‎ ‎1 ‎ ‎7≤t<8 ‎ m ‎2 ‎ ‎8≤t<9 ‎ ‎11‎ ‎3 ‎ ‎9≤t<10 ‎ n ‎4 ‎ ‎10≤t<11 ‎ ‎4‎ 请根据以上信息,解答下列问题:‎ ‎(1) m= , n= , a= , b= ;‎ ‎(2)抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 组(填组别) ;‎ ‎(3)如果按照学校要求,学生平均每天的睡眠时间应不少于 9 h,请估计该校学生中睡 眠时间符合要求的人数.‎ ‎{解析}本题是一道统计综合题,考察了频数分布表、扇形统计图、中位数及用样本估计总体.(1)根据统计结果可知,睡眠时间在7≤t<8范围的内有7人,故m=7,∴n=40-7-11-4=18,a=×100%=17.5%,b=×100%=45%.(2)因为共有40个数据,所以中位数等于第20个数据和第21个数据的平均数.由统计表可知第20个数据和第21个数据都在第3组内,故中位数落在第3组.(3)利用样本去估计总体中睡眠时间符合要求的人数所占百分比.‎ ‎{答案}解: (1)7 18 17.5% 45%; ‎ ‎(2)3;‎ ‎(3)在抽取的这40名学生中平均每天的睡眠时间应不少于 9 h的学生人数所占百分比为45%+10%=55%,由此估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数约为800×55%=440(人).‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:频数(率)分布表}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{考点:频数与频率}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{题目}19.(2019年青岛)如图,某旅游景区为方便游客,修建了一条东西走向的木栈道 AB ,栈道 AB 与景区道路CD 平行.在 C 处测得栈道一端 A 位于北偏西 42° 方向,在 D 处测得栈道另一端 B 位于北偏西 32°方向.已知 CD=120 m , BD=80 m ,求木栈道 AB 的长度(结果保留整数) .‎ ‎(参考数据:sin32°≈,cos32°≈,tan32°≈,sin42°≈,cos42°≈,tan42°≈)‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用,做辅助线构造直角三角形是解题的关键.如图,过点C作CE⊥AB于E,过点D作DF⊥AB,交AB的延长线于点F,则四边形CDFE是矩形.在Rt△BDF中求出BF和DF的长,进而得到EB的长;在Rt△Rt△ACE中求出AE的长,进而根据AB=AE+EB求解.‎ ‎{答案}解: 如图,过点C作CE⊥AB于E,过点D作DF⊥AB,交AB的延长线于点F,∴CE∥DF.∵AB∥CD,∴四边形CDFE是矩形,∴EF=CD=120,CE=DF.‎ 在Rt△BDF中,∵∠BDF=32°,BD=80,∴BF=80·sin32°=80×=42.5,DF=80·cos32°=80×=68.∴EB=EF-BF=120-42.5=77.5. ‎ 在Rt△ACE中,∵CE=DF=68,∠ACE=42°,∴AE=68·tan42°=68×=61.2.∴AB=AE+EB=61.2+77.5≈139. 答:木栈道 AB 的长度约为139m. ‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:解直角三角形-方位角}‎ ‎{题目}20.(2019年青岛)甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍,两人各加工 600 个这种零件,甲比乙少用 5 天.‎ ‎(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件?‎ ‎(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元,现有 3000 个 这种零件的加工任务,甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完 成.如果总加工费不超过 7800 元,那么甲至少加工了多少天?‎ ‎{解析}本题考查了列方程解决实际问题和列不等式解决实际问题,找出问题中的等量关系和不等关系是解题的关键.(1)根据“乙加工600个零件的时间-甲加工600个零件的时间=5”列分式方程求解,不要遗漏检验;(2)根据“甲的加工费+乙的加工费≤7800”列不等式求解.‎ ‎{答案}解: 解:(1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件,根据题意,得 ‎,‎ 解这个方程,得x=40.‎ 经检验,x=40是原分式方程的根. ‎ ‎1.5x=1.5×40=60.‎ 答:甲每天加工60个零件,乙每天加工40个零件. ‎ ‎(2)设甲加工了x天,根据题意,得 ‎150x+≤7800, ‎ 解这个不等式,得x≥40.‎ 答:甲至少加工了40天. ‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分式方程的应用(工程问题)}‎ ‎{考点:一元一次不等式的应用}‎ ‎{题目}21.(2019年青岛)如图,在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O ,点 E , F 分别为 OB , OD 的中点,延长 AE 至 G ,使 EG=AE ,连接 CG .‎ ‎(1)求证: △ABE≌△CDF ;‎ ‎(2)当 AB 与 AC 满足什么数量关系时,四边形 EGCF 是矩形?请说明理由.‎ ‎{解析}本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定等知识,掌握以上图形的性质和判定方法是解题的关键.(1)根据平行四边形的性质可得到AB=CD,∠ABE=∠CDF,根据中点的定义可得到BE=DF,进而根据SAS证得△ABE≌△CDF.(2)由△ABE≌△CDF可得到AE=CF=EG, AG∥CF,从而得到四边形EGCF是平行四边形.假设平行四边形 EGCF 是矩形,从而可得AE⊥BO,又有BE=EO,则AB=AO=AC,即当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.‎ ‎{答案}解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,AB=CD,OB=OD.‎ ‎∴∠ABE=∠CDF. ‎ ‎∵点 E , F 分别为 OB , OD 的中点,∴BE=DF.‎ ‎∴△ABE≌△CDF. ‎ ‎(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形. ‎ ‎∵△ABE≌△CDF,‎ ‎∴AE=CF,∠BAE=∠DCF.‎ ‎∵EG=AE,∴EG=CF.‎ ‎∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,‎ ‎∴∠GAC=∠FCA,∴AG∥CF,‎ ‎∴四边形EGCF是平行四边形. ‎ ‎∵AC=2AB,AC=2AO,‎ ‎∴AB=AO.‎ ‎∵点E是BO的中点,‎ ‎∴AE⊥BO,∴∠GEF=90°,‎ ‎∴□EGCF是矩形. ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-18-2-1]矩形}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形}‎ ‎{考点:矩形的判定}‎ ‎{题目}22.(2019年青岛)某商店购进一批成本为每件 30 元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.‎ ‎(1)求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式;‎ ‎(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于 50 元销售,则销售单价定为多少,才能使 销售该商品每天获得的利润 w(元)最大?最大利润是多少?‎ ‎(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元,则每天的销售量最少应为多 少件?‎ ‎{解析}本题是一道综合考查一次函数和二次函数的实际应用题,理解各个数量之间的关系是解题的关键.(1)利用待定系数法求y与x之间的函数关系式;(2)由题意,得30≤x≤50,根据“每天获得的利润=每件利润×每天销售量”求出w与x的函数关系,结合x的取值范围求w的最大值;(3)由题意,得w≥800.由w=800时x的值得到w≥800时x的取值范围,再结合y与x之间的函数关系式确定y的最小值.‎ ‎{答案}解: (1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 将(30,100)(45,70)代入上式,得,解得∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+160. ‎ ‎(2)根据题意,得w=y(x-30)=(-2x+160)(x-30)=-2x2+220x-4800=-2(x-55)2+1250.‎ ‎∴当x≤55时,w随x的增大而增大.‎ ‎∵30≤x≤50,∴当x=50时,y最大值=1200.‎ 答:销售单价定为50元/件时,才能使销售该商品每天获得的利润 w(元)最大,最大利润是1200元. ‎ ‎(3)将w=800代入w=-2(x-55)2+1250,得x1=40,x2=70.‎ ‎∴当40≤x≤70时,w≥800.‎ 对于y=-2x+160, y随x的增大而减小,故当x=70时,y最小值=20.‎ 答:若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元,则每天的销售量最少应为20件. ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{考点:商品利润问题}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{题目}23.(2019年青岛)问题提出:‎ 如图,图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张 a ´b 的 方格纸(a´ b的方格纸指边长分别为 a,b 的矩形,被分成 a ´b个边长为 1 的小正方形,其中 a≥2 , b≥2,且 a,b 为正整数) .把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?‎ ‎ ‎ 问题探究:‎ 为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,‎ 最后得出一般性的结论.‎ 探究一:‎ 把图①放置在 2 ´2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的 放置方法?‎ 如图③,对于 2´2的方格纸,要用图①盖住其中的三个小正方形,显然有 4 种不同的放 置方法.‎ 探究二:‎ 把图①放置在 3´2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的 放置方法?‎ 如图④,在 3´2的方格纸中,共可以找到 2 个位置不同的 2 2 ´ 方格,依据探究一的结论 可知,把图①放置在 3´2 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有 2 ´ 4=8种 不同的放置方法.‎ 探究三:‎ 把图①放置在 a ´ 2 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的 放置方法?‎ 如图⑤, 在 a ´ 2 的方格纸中,共可以找到_________个位置不同的 2´2方格,依据探究 一的结论可知,把图①放置在 a ´ 2 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有 ‎_________种不同的放置方法.‎ ‎ ‎ 探究四:‎ 把图①放置在 a ´ 3 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的 放置方法?‎ 如图⑥,在 a ´ 3 的方格纸中,共可以找到_________个位置不同的 2´ 2方格,依据探究 一的结论可知,把图①放置在 a ´ 3 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有 ‎_________种不同的放置方法.‎ ‎……‎ 问题解决:‎ 把图①放置在 a ´ b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的 放置方法?(仿照前面的探究方法,写出解答过程,不需画图.)‎ 问题拓展:‎ 如图,图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体,图⑧是一个长、宽、高分 别为 a,b ,c (a≥2 , b≥2 , c≥2 ,且 a,b,c 是正整数)的长方体,被分成了 a ´b ´c ‎ 个棱长为 1 的小立方体.在图⑧的不同位置共可以找到_________个图⑦这样的几何体.‎ ‎{解析}本题是一道规律探究题,理解探究一、二是正确解答后面问题的前提.探究三:如图⑤,在 a×2 的方格纸中,共可以找到(a-1)个位置不同的 2×2方格;依据探究一的结论可知图①在每个2×2的方格中有4种不同的放置方法,所以把图①放置在 a×2 的方格纸中,共有(a-1)×4种不同的放置方法. ‎ 探究四:在 a×3 的方格纸中,共可以找到(a-1)×(3-1)个位置不同的 2×2方格;依据探究一的结论可知图①在每个2×2的方格中有4种不同的放置方法,所以把图①放置在 a×3的方格纸中,共有(a-1)×(3-1)×4种不同的放置方法. ‎ 问题解决:在 a×b的方格纸中,共可以找到(a-1)×(b-1)个位置不同的 2×2方格;依据探究一的结论可知图①在每个2×2的方格中有4种不同的放置方法,所以把图①放置在 a×b的方格纸中,共有(a-1)×(b-1)×4种不同的放置方法.‎ 问题拓展:在 a×b×c的几何体中,共可以找到(a-1)×(b-1)×(c-1)个位置不同的2×2×2的正方体;而图⑦在每个2×2×2的正方体中有8种不同的放置方法,所以把图⑦放置在 a×b×c的几何体中,共有(a-1)×(b-1)×(c-1)×8种不同的放置方法.‎ ‎{答案}解: 探究三:a-1 4a-4; ‎ 探究四:2(a-1),8a-8; ‎ 问题解决:4(a-1)(b-1); ‎ 问题拓展:8(a-1)(b-1)(c-1). ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:规律-图形变化类}‎ ‎{题目}24.(2019年青岛)已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB∥CD, ÐACB=90°, AB=10cm, BC=8cm, OD 垂 直平分 A C.点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P作 PE⊥AB,交 BC 于点 E,过点 Q 作 QF∥AC,分别交 AD, OD 于点 F, G.连接 OP,‎ EG.设运动时间为 t ( s )(0<t<5) ,解答下列问题:‎ ‎(1)当 t 为何值时,点 E 在 ÐBAC 的平分线上?‎ ‎(2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ,求 S 与 t 的函数关系式;‎ ‎(3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)连接 OE, OQ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE⊥OQ?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎{解析}本题是一道与动点有关的压轴题,综合考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、二次函数等知识,难度较大.(1)当点E在∠BAC的平分线上时,有PE=EC.故将PE和EC用含t的代数式表示出来即可列方程求出t的值.(2)四边形PEGO是一般四边形,故不能直接求其面积,根据S四边形PEGO= S△ABC+ S△OCD―S△AOP―S△BPE―S梯形GDCE求解即可.(3)利用(2)中所求二次函数关系式求解.(4)假设存在某一时刻t,使得OE⊥OQ.此时有△OCE∽△△OQG,进而根据相似三角形对应边成比例列出关于t的方程求解.‎ ‎{答案}解:(1)由题意,得BP=DQ=t.‎ 在△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=10,BC=8, ‎ ‎∴AC==6.‎ ‎∵PE⊥AB,∴∠BPE=90°,∴∠BPE=∠ACB.‎ 又∵∠PBE=∠ABC,∴△EBP∽△ABC.‎ ‎∴,即,‎ ‎∴PE=,BE=.∴EC=8-.‎ 当点E在∠BAC的平分线上时,PE=EC.‎ ‎∴=8-,解得t=4. ‎ ‎(2)如图,过点P作PH⊥AC于H,∴∠AHP=∠ACB=90°.‎ ‎∴PH∥BC,∴△APH∽△ABC.‎ ‎∴,即 ‎∴PH= .‎ ‎∵OD垂直平分AC,AC=6,∴OA=OC=3,∠AOD=∠COD=90°.‎ ‎∴S△AOP=×AO×PH=×3×()=12.‎ ‎∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC.‎ 又∵∠COD=∠ACB,∴△COD∽△ACB.‎ ‎∴,即,∴CD=5,OD=4.‎ ‎∵QF∥AC,∴△DGQ∽△DOC,∴,即,∴GD=,GQ=.‎ ‎∴S梯形GDCE=(GD+EC)×OC=(+8-)×3=12-.‎ 又∵S△ABC=×BC×AC=×8×6=24,S△OCD=×OC×OD=×3×4=6,‎ S△BPE=×BP×PE=×t×=,‎ ‎∴S四边形PEGO= S△ABC+ S△OCD―S△AOP―S△BPE―S梯形GDCE ‎=24+6-(12)--(12-)‎ ‎=(0<t<5). ‎ ‎(3)对于S四边形PEGO=,‎ ‎∵<0,∴当t=-时,S四边形PEGO最大. ‎ ‎(4)假设存在某一时刻t,使得OE⊥OQ.‎ 此时∠EOQ=∠DOC=90°,∴∠EOC=∠DOQ.‎ ‎∵∠OCE=∠OGQ=90°,∴△OCE∽△△OQG,‎ ‎∴,即,‎ 即t2-13.2 t+32=0,解得t1=3.2,t2=10(舍去).‎ 即当t=3.2时,OE⊥OQ. ‎ ‎ ‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:几何图形最大面积问题}‎ ‎{考点:角平分线的性质}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:相似三角形的判定(两角相等)}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎