2020年湖北省黄石市中考数学试卷【含答案】 9页

1 / 9 2020 年湖北省黄石市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 3的相反数是（ ） A.3 B.−3 C.1 3 D.− 1 3 2. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A.8푎 − 3푏＝5푎푏 B.(푎2)3＝푎5 C.푎9 ÷ 푎3＝푎3 D.푎2 ⋅ 푎＝푎3 5. 函数푦 = 1 푥−3 + √푥 − 2的自变量푥的取值范围是（ ） A.푥 ≥ 2，且푥 ≠ 3 B.푥 ≥ 2 C.푥 ≠ 3 D.푥 > 2，且푥 ≠ 3 6. 不等式组{푥 − 1 < −3 2푥 + 9 ≥ 3 的解集是（ ） A.−3 ≤ 푥 < 3 B.푥 > −2 C.−3 ≤ 푥 < −2 D.푥 ≤ −3 7. 在平面直角坐标系中，点퐺的坐标是(−2,  1)，连接푂퐺，将线段푂퐺绕 原点푂旋转180∘，得到对应线段푂퐺′，则点퐺′的坐标为（ ） A.(2, −1) B.(2,  1) C.(1, −2) D.(−2, −1) 8. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵＝90∘，点퐻、퐸、퐹分别是边퐴퐵、퐵퐶、 퐶퐴的中点，若퐸퐹 + 퐶퐻＝8，则퐶퐻的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 9. 如图，点퐴、퐵、퐶在⊙ 푂上，퐶퐷 ⊥ 푂퐴，퐶퐸 ⊥ 푂퐵，垂足分别为퐷、퐸， 若∠퐷퐶퐸＝40∘，则∠퐴퐶퐵的度数为（ ） A.140∘ B.70∘ C.110∘ D.80∘ 10. 若二次函数푦＝푎2푥2 − 푏푥 − 푐的图象，过不同的六点퐴(−1,  푛)、 퐵(5,  푛 − 1)、퐶(6,  푛 + 1)、퐷(√2, 푦1)、퐸(2, 푦2)、퐹(4, 푦3)，则푦1、푦2、 푦3的大小关系是（ ） A.푦1 < 푦2 < 푦3 B.푦1 < 푦3 < 푦2 C.푦2 < 푦3 < 푦1 D.푦2 < 푦1 < 푦3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 计算：(1 3)−1 − |1 − √2|＝________． 12. 因式分解：푚3푛 − 푚푛3＝________． 13. 据报道，2020年4月9日下午，黄石市重点园区（珠三角）云招商财 富推介会上，我市现场共签项目20个，总投资137.6亿元．用科学记数法 表示137.6亿元，可写为________元． 14. 某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成 绩、期末成绩2: 3: 5的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次 为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是________分． 15. 如图，在6 × 6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其 中퐴、퐵、퐶为格点，作△ 퐴퐵퐶的外接圆，则퐵퐶̂ 的长等于________． 2 / 9 16. 匈牙利著名数学家爱尔特希(푃．퐸푟푑표푠,  1913 − 1996)曾提出：在平 面内有푛个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质 的푛个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点퐴、퐵、퐶、퐷、 푂构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中 心构成），则∠퐴퐷푂的度数是________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、 证明过程或验算步骤） 17. 先化简，再求值：푥2+2푥+1 푥2−1 − 푥 푥−1 ，其中푥＝5． 18. 如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房퐴퐵的楼顶， 测量对面的乙栋楼房퐶퐷的高度．已知甲栋楼房퐴퐵与乙栋楼房퐶퐷的水平距 离퐴퐶＝18√3米，小丽在甲栋楼房顶部퐵点，测得乙栋楼房顶部퐷点的仰角 是30∘，底部퐶点的俯角是45∘，求乙栋楼房퐶퐷的高度（结果保留根号）． 19. 如图，퐴퐵＝퐴퐸，퐴퐵 // 퐷퐸，∠퐷퐴퐵＝70∘，∠퐸＝40∘． 3 / 9 （1）求∠퐷퐴퐸的度数； （2）若∠퐵＝30∘，求证：퐴퐷＝퐵퐶． 20. 如图，反比例函数푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)的图象与正比例函数푦＝2푥的图象相 交于퐴(1,  푎)、퐵两点，点퐶在第四象限，퐵퐶 // 푥轴． （1）求푘的值； （2）以퐴퐵、퐵퐶为边作菱形퐴퐵퐶퐷，求퐷点坐标． 21. 已知：关于푥的一元二次方程푥2 + √푚푥 − 2＝0有两个实数根． （1）求푚的取值范围； （2）设方程的两根为푥1、푥2，且满足(푥1 − 푥2)2 − 17＝0，求푚的值． 4 / 9 22. 我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛．某中学要从2名男生 2名女生共4名学生中选派2名学生参赛． （1）请列举所有可能出现的选派结果； （2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率． 23. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九 两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、 每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须 全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 24. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐶＝90∘，퐴퐷平分∠퐵퐴퐶交퐵퐶于点퐷，푂为퐴퐵 上一点，经过点퐴、퐷的⊙ 푂分别交퐴퐵、퐴퐶于点퐸、퐹． 5 / 9 （1）求证：퐵퐶是⊙ 푂的切线； （2）若퐵퐸＝8，sin퐵 = 5 13 ，求⊙ 푂的半径； （3）求证：퐴퐷2＝퐴퐵 ⋅ 퐴퐹． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线푦＝−푥2 + 푘푥 − 2푘的顶点为푁． （1）若此抛物线过点퐴(−3,  1)，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与푦轴交于点퐵，连接퐴퐵，퐶为抛物线 上一点，且位于线段퐴퐵的上方，过퐶作퐶퐷垂直푥轴于点퐷，퐶퐷交퐴퐵于点퐸， 若퐶퐸＝퐸퐷，求点퐶坐标； （3）已知点푀(2 − 4√3 3 ,  0)，且无论푘取何值，抛物线都经过定点퐻，当 ∠푀퐻푁＝60∘时，求抛物线的解析式． 6 / 9 参考答案与试题解析 2020 年湖北省黄石市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7.A 8.B 9.C 10.D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11.4 − √2 12.푚푛(푚 + 푛)(푚 − 푛) 13.1.376 × 1010 14.85 15.√5 2 휋 16.18∘ 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、 证明过程或验算步骤） 17.原式= (푥+1)2 (푥+1)(푥−1) − 푥 푥−1 = 푥 + 1 푥 − 1 − 푥 푥 − 1 = 1 푥−1 ， 当푥＝5时，原式= 1 4 ． 18.乙栋楼房퐶퐷的高度为(18 + 18√3)米． 19.∵ 퐴퐵 // 퐷퐸，∠퐸＝40∘， ∴ ∠퐸퐴퐵＝40∘， ∵ ∠퐷퐴퐵＝70∘， ∴ ∠퐷퐴퐸＝30∘； 证明：在△ 퐴퐷퐸与△ 퐵퐶퐴中， { ∠퐵 = ∠퐷퐴퐸 퐴퐵 = 퐴퐸 ∠퐵퐴퐶 = ∠퐸 ， ∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐵퐶퐴(퐴푆퐴)， ∴ 퐴퐷＝퐵퐶． 20.∵ 点퐴(1,  푎)在直线푦＝2푥上， ∴ 푎＝2 × 1＝2， 即点퐴的坐标为(1,  2)， ∵ 点퐴(1,  2)是反比例函数푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)的图象与正比例函数푦＝2푥图 象的交点， ∴ 푘＝1 × 2＝2， 即푘的值是2； 由题意得：2 푥 = 2푥， 解得：푥＝1或−1， 经检验푥＝1或−1是原方程的解， ∴ 퐵(−1, −2)， ∵ 点퐴(1,  2)， ∴ 퐴퐵 = √(1 + 1)2 + (2 + 2)2 = 2√5， ∵ 菱形퐴퐵퐶퐷是以퐴퐵、퐵퐶为边，且퐵퐶 // 푥轴， ∴ 퐴퐷＝퐴퐵＝2√5， ∴ 퐷(1 + 2√5,  2)． 21.∵ 关于푥的一元二次方程푥2 + √푚푥 − 2＝0有两个实数根， ∴ △＝[√푚]2 − 4 × 1 × (−2)＝푚 + 8 ≥ 0，且푚 ≥ 0， 7 / 9 解得：푚 ≥ 0． ∵ 关于푥的一元二次方程푥2 + √푚푥 − 2＝0有两个实数根푥1、푥2， ∴ 푥1 + 푥2 = −√푚，푥1 ⋅ 푥2＝−2， ∴ (푥1 − 푥2)2 − 17＝(푥1 + 푥2)2 − 4푥1 ⋅ 푥2 − 17＝0，即푚 + 8 − 17＝0， 解得：푚＝9． 22.用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有12种可能出现的结果，其中“一男一女”的有8种， ∴ 푃（一男一女） = 8 12 = 2 3 ． 23.设每头牛值푥两银子，每只羊值푦两银子， 根据题意得：{5푥 + 2푦 = 19 2푥 + 5푦 = 16 ， 解得：{푥 = 3 푦 = 2 ． 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子． 设购买푎头牛，푏只羊，依题意有 3푎 + 2푏＝19， 푏 = 19−3푎 2 ， ∵ 푎，푏都是正整数， ∴ ①购买1头牛，8只羊； ②购买3头牛，5只羊； ③购买5头牛，2只羊． 24.如图，连接푂퐷，퐸퐹， 则푂퐴＝푂퐷， ∴ ∠푂퐷퐴＝∠푂퐴퐷， ∵ 퐴퐷是∠퐵퐴퐶的平分线， ∴ ∠푂퐴퐷＝∠퐶퐴퐷， ∴ ∠푂퐷퐴＝∠퐶퐴퐷， ∴ 푂퐷 // 퐴퐶， ∴ ∠푂퐷퐵＝∠퐶＝90∘， ∵ 点퐷在⊙ 푂上， ∴ 퐵퐶是⊙ 푂的切线； ∵ ∠퐵퐷푂＝90∘， ∴ sin퐵 = 푂퐷 퐵푂 = 푂퐷 퐵퐸+푂퐷 = 5 13 ， ∴ 푂퐷＝5， ∴ ⊙ 푂的半径为5； 连接퐸퐹， ∵ 퐴퐸是直径， ∴ ∠퐴퐹퐸＝90∘＝∠퐴퐶퐵， ∴ 퐸퐹 // 퐵퐶， ∴ ∠퐴퐸퐹＝∠퐵， 又∵ ∠퐴퐸퐹＝∠퐴퐷퐹， 8 / 9 ∴ ∠퐵＝∠퐴퐷퐹， 又∵ ∠푂퐴퐷＝∠퐶퐴퐷， ∴ △ 퐷퐴퐵 ∽△ 퐹퐴퐷， ∴ 퐴퐷 퐴퐵 = 퐴퐹 퐴퐷 ， ∴ 퐴퐷2＝퐴퐵 ⋅ 퐴퐹． 25.把퐴(−3.1)代入푦＝−푥2 + 푘푥 − 2푘， 得−9 − 3푘 − 2푘＝1． 解得푘＝2， ∴ 抛物线的解析式为푦＝−푥2 − 2푥 + 4； 设퐶(푡, −푡2 − 2푡 + 4)，则퐸(푡, − 푡2 2 − 푡 + 2)， 设直线퐴퐵的解析式为푦＝푘푥 + 푏，把퐴(−3,  1)，(0,  4)代入得到， {−3푘 + 푏 = 1 푏 = 4 ， 解得{푘 = 1 푏 = 4 ， ∴ 直线퐴퐵的解析式为푦＝푥 + 4， ∵ 퐸(푡, − 푡2 2 − 푡 + 2)在直线퐴퐵上， ∴ − 푡2 2 − 푡 + 2＝푡 + 4， 解得푡＝−2， ∴ 퐶(−2,  4)． 由푦＝−푥2 + 푘푥 − 2푘＝푘(푥 − 2) − 푥2， 当푥 − 2＝0时，푥＝2，푦＝−4， ∴ 无论푘取何值，抛物线都经过定点퐻(2, −4)， 二次函数的顶点푁(푘 2 , 푘2 4 − 2푘)， ①如图1中，过点퐻作퐻퐼 ⊥ 푥轴于퐼，分别过퐻，푁作푦轴，푥轴的垂线交于 点퐺，若푘 2 > 2时，则푘 > 4， ∵ 푀(2 − 4√3 3 ,  0)，퐻(2, −4)， ∴ 푀퐼 = 4√3 3 ，퐻퐼＝4， ∴ tan∠푀퐻퐼 = 4√3 3 4 = √3 3 ， ∴ ∠푀퐻퐼＝30∘， ∵ ∠푀퐻푁＝60∘， ∴ ∠푁퐻퐼＝30∘， 即∠퐺푁퐻＝30∘， 由图可知，tan∠퐺푁퐻 = 퐺퐻 퐺푁 = 푘 2−2 푘2 4 −2푘+4 = √3 3 ， 解得푘＝4 + 2√3或4（不合题意舍弃）． ②如图3中，过点퐻作퐻퐼 ⊥ 푥轴于퐼，分别过퐻，푁作푦轴，푥轴的垂线交于 点퐺． 若푘 2 < 2，则푘 < 4， 同理可得，∠푀퐻퐼＝30∘， ∵ ∠푀퐻푁＝60∘， ∴ 푁퐻 ⊥ 퐻퐼， 即푘2 4 − 2푘 = −4， 解得푘＝4（不符合题意舍弃）． ③若푘 2 = 2，则푁，퐻重合，不符合题意舍弃， 综上所述，抛物线的解析式为푦＝−푥2 + (4 + 2√3)푥 − (8 + 4√3)． 9 / 9