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  • 2021-11-10 发布

2020年湖北省黄石市中考数学试卷【含答案】

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1 / 9 2020 年湖北省黄石市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每个小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 3的相反数是( ) A.3 B.−3 C.1 3 D.− 1 3 2. 下列图形中,既是中心对称又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 如图所示,该几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是( ) A.8푎 − 3푏=5푎푏 B.(푎2)3=푎5 C.푎9 ÷ 푎3=푎3 D.푎2 ⋅ 푎=푎3 5. 函数푦 = 1 푥−3 + √푥 − 2的自变量푥的取值范围是( ) A.푥 ≥ 2,且푥 ≠ 3 B.푥 ≥ 2 C.푥 ≠ 3 D.푥 > 2,且푥 ≠ 3 6. 不等式组{푥 − 1 < −3 2푥 + 9 ≥ 3 的解集是( ) A.−3 ≤ 푥 < 3 B.푥 > −2 C.−3 ≤ 푥 < −2 D.푥 ≤ −3 7. 在平面直角坐标系中,点퐺的坐标是(−2,  1),连接푂퐺,将线段푂퐺绕 原点푂旋转180∘,得到对应线段푂퐺′,则点퐺′的坐标为( ) A.(2, −1) B.(2,  1) C.(1, −2) D.(−2, −1) 8. 如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵=90∘,点퐻、퐸、퐹分别是边퐴퐵、퐵퐶、 퐶퐴的中点,若퐸퐹 + 퐶퐻=8,则퐶퐻的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 9. 如图,点퐴、퐵、퐶在⊙ 푂上,퐶퐷 ⊥ 푂퐴,퐶퐸 ⊥ 푂퐵,垂足分别为퐷、퐸, 若∠퐷퐶퐸=40∘,则∠퐴퐶퐵的度数为( ) A.140∘ B.70∘ C.110∘ D.80∘ 10. 若二次函数푦=푎2푥2 − 푏푥 − 푐的图象,过不同的六点퐴(−1,  푛)、 퐵(5,  푛 − 1)、퐶(6,  푛 + 1)、퐷(√2, 푦1)、퐸(2, 푦2)、퐹(4, 푦3),则푦1、푦2、 푦3的大小关系是( ) A.푦1 < 푦2 < 푦3 B.푦1 < 푦3 < 푦2 C.푦2 < 푦3 < 푦1 D.푦2 < 푦1 < 푦3 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 计算:(1 3)−1 − |1 − √2|=________. 12. 因式分解:푚3푛 − 푚푛3=________. 13. 据报道,2020年4月9日下午,黄石市重点园区(珠三角)云招商财 富推介会上,我市现场共签项目20个,总投资137.6亿元.用科学记数法 表示137.6亿元,可写为________元. 14. 某中学规定学生体育成绩满分为100分,按课外活动成绩、期中成 绩、期末成绩2: 3: 5的比,计算学期成绩.小明同学本学期三项成绩依次 为90分、90分、80分,则小明同学本学期的体育成绩是________分. 15. 如图,在6 × 6的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,其 中퐴、퐵、퐶为格点,作△ 퐴퐵퐶的外接圆,则퐵퐶̂ 的长等于________. 2 / 9 16. 匈牙利著名数学家爱尔特希(푃.퐸푟푑표푠,  1913 − 1996)曾提出:在平 面内有푛个点,其中每三个点都能构成等腰三角形,人们将具有这样性质 的푛个点构成的点集称为爱尔特希点集.如图,是由五个点퐴、퐵、퐶、퐷、 푂构成的爱尔特希点集(它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中 心构成),则∠퐴퐷푂的度数是________. 三、解答题(本大题共 9 小题,共 72 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或验算步骤) 17. 先化简,再求值:푥2+2푥+1 푥2−1 − 푥 푥−1 ,其中푥=5. 18. 如图,是某小区的甲、乙两栋住宅楼,小丽站在甲栋楼房퐴퐵的楼顶, 测量对面的乙栋楼房퐶퐷的高度.已知甲栋楼房퐴퐵与乙栋楼房퐶퐷的水平距 离퐴퐶=18√3米,小丽在甲栋楼房顶部퐵点,测得乙栋楼房顶部퐷点的仰角 是30∘,底部퐶点的俯角是45∘,求乙栋楼房퐶퐷的高度(结果保留根号). 19. 如图,퐴퐵=퐴퐸,퐴퐵 // 퐷퐸,∠퐷퐴퐵=70∘,∠퐸=40∘. 3 / 9 (1)求∠퐷퐴퐸的度数; (2)若∠퐵=30∘,求证:퐴퐷=퐵퐶. 20. 如图,反比例函数푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)的图象与正比例函数푦=2푥的图象相 交于퐴(1,  푎)、퐵两点,点퐶在第四象限,퐵퐶 // 푥轴. (1)求푘的值; (2)以퐴퐵、퐵퐶为边作菱形퐴퐵퐶퐷,求퐷点坐标. 21. 已知:关于푥的一元二次方程푥2 + √푚푥 − 2=0有两个实数根. (1)求푚的取值范围; (2)设方程的两根为푥1、푥2,且满足(푥1 − 푥2)2 − 17=0,求푚的值. 4 / 9 22. 我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛.某中学要从2名男生 2名女生共4名学生中选派2名学生参赛. (1)请列举所有可能出现的选派结果; (2)求选派的2名学生中,恰好为1名男生1名女生的概率. 23. 我国传统数学名著《九章算术》记载:“今有牛五、羊二,直金十九 两;牛二、羊五,直金十六两.问牛、羊各直金几何?”译文:“假设有 5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子.问每头牛、 每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文,提出以下两个问题: (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子? (2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊,且银两须 全部用完),请问商人有几种购买方法?列出所有的可能. 24. 如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐶=90∘,퐴퐷平分∠퐵퐴퐶交퐵퐶于点퐷,푂为퐴퐵 上一点,经过点퐴、퐷的⊙ 푂分别交퐴퐵、퐴퐶于点퐸、퐹. 5 / 9 (1)求证:퐵퐶是⊙ 푂的切线; (2)若퐵퐸=8,sin퐵 = 5 13 ,求⊙ 푂的半径; (3)求证:퐴퐷2=퐴퐵 ⋅ 퐴퐹. 25. 在平面直角坐标系中,抛物线푦=−푥2 + 푘푥 − 2푘的顶点为푁. (1)若此抛物线过点퐴(−3,  1),求抛物线的解析式; (2)在(1)的条件下,若抛物线与푦轴交于点퐵,连接퐴퐵,퐶为抛物线 上一点,且位于线段퐴퐵的上方,过퐶作퐶퐷垂直푥轴于点퐷,퐶퐷交퐴퐵于点퐸, 若퐶퐸=퐸퐷,求点퐶坐标; (3)已知点푀(2 − 4√3 3 ,  0),且无论푘取何值,抛物线都经过定点퐻,当 ∠푀퐻푁=60∘时,求抛物线的解析式. 6 / 9 参考答案与试题解析 2020 年湖北省黄石市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每个小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7.A 8.B 9.C 10.D 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.4 − √2 12.푚푛(푚 + 푛)(푚 − 푛) 13.1.376 × 1010 14.85 15.√5 2 휋 16.18∘ 三、解答题(本大题共 9 小题,共 72 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或验算步骤) 17.原式= (푥+1)2 (푥+1)(푥−1) − 푥 푥−1 = 푥 + 1 푥 − 1 − 푥 푥 − 1 = 1 푥−1 , 当푥=5时,原式= 1 4 . 18.乙栋楼房퐶퐷的高度为(18 + 18√3)米. 19.∵ 퐴퐵 // 퐷퐸,∠퐸=40∘, ∴ ∠퐸퐴퐵=40∘, ∵ ∠퐷퐴퐵=70∘, ∴ ∠퐷퐴퐸=30∘; 证明:在△ 퐴퐷퐸与△ 퐵퐶퐴中, { ∠퐵 = ∠퐷퐴퐸 퐴퐵 = 퐴퐸 ∠퐵퐴퐶 = ∠퐸 , ∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐵퐶퐴(퐴푆퐴), ∴ 퐴퐷=퐵퐶. 20.∵ 点퐴(1,  푎)在直线푦=2푥上, ∴ 푎=2 × 1=2, 即点퐴的坐标为(1,  2), ∵ 点퐴(1,  2)是反比例函数푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)的图象与正比例函数푦=2푥图 象的交点, ∴ 푘=1 × 2=2, 即푘的值是2; 由题意得:2 푥 = 2푥, 解得:푥=1或−1, 经检验푥=1或−1是原方程的解, ∴ 퐵(−1, −2), ∵ 点퐴(1,  2), ∴ 퐴퐵 = √(1 + 1)2 + (2 + 2)2 = 2√5, ∵ 菱形퐴퐵퐶퐷是以퐴퐵、퐵퐶为边,且퐵퐶 // 푥轴, ∴ 퐴퐷=퐴퐵=2√5, ∴ 퐷(1 + 2√5,  2). 21.∵ 关于푥的一元二次方程푥2 + √푚푥 − 2=0有两个实数根, ∴ △=[√푚]2 − 4 × 1 × (−2)=푚 + 8 ≥ 0,且푚 ≥ 0, 7 / 9 解得:푚 ≥ 0. ∵ 关于푥的一元二次方程푥2 + √푚푥 − 2=0有两个实数根푥1、푥2, ∴ 푥1 + 푥2 = −√푚,푥1 ⋅ 푥2=−2, ∴ (푥1 − 푥2)2 − 17=(푥1 + 푥2)2 − 4푥1 ⋅ 푥2 − 17=0,即푚 + 8 − 17=0, 解得:푚=9. 22.用列表法表示所有可能出现的结果情况如下: 共有12种可能出现的结果,其中“一男一女”的有8种, ∴ 푃(一男一女) = 8 12 = 2 3 . 23.设每头牛值푥两银子,每只羊值푦两银子, 根据题意得:{5푥 + 2푦 = 19 2푥 + 5푦 = 16 , 解得:{푥 = 3 푦 = 2 . 答:每头牛值3两银子,每只羊值2两银子. 设购买푎头牛,푏只羊,依题意有 3푎 + 2푏=19, 푏 = 19−3푎 2 , ∵ 푎,푏都是正整数, ∴ ①购买1头牛,8只羊; ②购买3头牛,5只羊; ③购买5头牛,2只羊. 24.如图,连接푂퐷,퐸퐹, 则푂퐴=푂퐷, ∴ ∠푂퐷퐴=∠푂퐴퐷, ∵ 퐴퐷是∠퐵퐴퐶的平分线, ∴ ∠푂퐴퐷=∠퐶퐴퐷, ∴ ∠푂퐷퐴=∠퐶퐴퐷, ∴ 푂퐷 // 퐴퐶, ∴ ∠푂퐷퐵=∠퐶=90∘, ∵ 点퐷在⊙ 푂上, ∴ 퐵퐶是⊙ 푂的切线; ∵ ∠퐵퐷푂=90∘, ∴ sin퐵 = 푂퐷 퐵푂 = 푂퐷 퐵퐸+푂퐷 = 5 13 , ∴ 푂퐷=5, ∴ ⊙ 푂的半径为5; 连接퐸퐹, ∵ 퐴퐸是直径, ∴ ∠퐴퐹퐸=90∘=∠퐴퐶퐵, ∴ 퐸퐹 // 퐵퐶, ∴ ∠퐴퐸퐹=∠퐵, 又∵ ∠퐴퐸퐹=∠퐴퐷퐹, 8 / 9 ∴ ∠퐵=∠퐴퐷퐹, 又∵ ∠푂퐴퐷=∠퐶퐴퐷, ∴ △ 퐷퐴퐵 ∽△ 퐹퐴퐷, ∴ 퐴퐷 퐴퐵 = 퐴퐹 퐴퐷 , ∴ 퐴퐷2=퐴퐵 ⋅ 퐴퐹. 25.把퐴(−3.1)代入푦=−푥2 + 푘푥 − 2푘, 得−9 − 3푘 − 2푘=1. 解得푘=2, ∴ 抛物线的解析式为푦=−푥2 − 2푥 + 4; 设퐶(푡, −푡2 − 2푡 + 4),则퐸(푡, − 푡2 2 − 푡 + 2), 设直线퐴퐵的解析式为푦=푘푥 + 푏,把퐴(−3,  1),(0,  4)代入得到, {−3푘 + 푏 = 1 푏 = 4 , 解得{푘 = 1 푏 = 4 , ∴ 直线퐴퐵的解析式为푦=푥 + 4, ∵ 퐸(푡, − 푡2 2 − 푡 + 2)在直线퐴퐵上, ∴ − 푡2 2 − 푡 + 2=푡 + 4, 解得푡=−2, ∴ 퐶(−2,  4). 由푦=−푥2 + 푘푥 − 2푘=푘(푥 − 2) − 푥2, 当푥 − 2=0时,푥=2,푦=−4, ∴ 无论푘取何值,抛物线都经过定点퐻(2, −4), 二次函数的顶点푁(푘 2 , 푘2 4 − 2푘), ①如图1中,过点퐻作퐻퐼 ⊥ 푥轴于퐼,分别过퐻,푁作푦轴,푥轴的垂线交于 点퐺,若푘 2 > 2时,则푘 > 4, ∵ 푀(2 − 4√3 3 ,  0),퐻(2, −4), ∴ 푀퐼 = 4√3 3 ,퐻퐼=4, ∴ tan∠푀퐻퐼 = 4√3 3 4 = √3 3 , ∴ ∠푀퐻퐼=30∘, ∵ ∠푀퐻푁=60∘, ∴ ∠푁퐻퐼=30∘, 即∠퐺푁퐻=30∘, 由图可知,tan∠퐺푁퐻 = 퐺퐻 퐺푁 = 푘 2−2 푘2 4 −2푘+4 = √3 3 , 解得푘=4 + 2√3或4(不合题意舍弃). ②如图3中,过点퐻作퐻퐼 ⊥ 푥轴于퐼,分别过퐻,푁作푦轴,푥轴的垂线交于 点퐺. 若푘 2 < 2,则푘 < 4, 同理可得,∠푀퐻퐼=30∘, ∵ ∠푀퐻푁=60∘, ∴ 푁퐻 ⊥ 퐻퐼, 即푘2 4 − 2푘 = −4, 解得푘=4(不符合题意舍弃). ③若푘 2 = 2,则푁,퐻重合,不符合题意舍弃, 综上所述,抛物线的解析式为푦=−푥2 + (4 + 2√3)푥 − (8 + 4√3). 9 / 9