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- 2021-11-10 发布
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2020年广西南宁八中中考数学一模试卷
一.选择题(共12小题)
1.下列各数中,是无理数的是( )
A.3.1415 B. C. D.
2.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形,其主视图是( )
A. B. C. D.
3.据海关统计,今年第一季度我国外贸进出口总额是70100亿元人民币,比去年同期增长了3.7%,数70100亿用科学记数法表示为( )
A.7.01×104 B.7.01×1011 C.7.01×1012 D.7.01×1013
4.下列说法正确的是( )
A.了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况,适合全面调查
B.甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2=3,S乙2=4,说明乙的跳远成绩比甲稳定
C.一组数据2,2,3,4的众数是2,中位数是2.5
D.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
5.如图,CD∥AB,点O在AB上,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,则∠AOF的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.反比例函数y=﹣,下列说法不正确的是( )
A.图象经过点(1,﹣3) B.图象位于第二、四象限
C.图象关于直线y=x对称 D.y随x的增大而增大
8.若方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根为α,β,则α2+β2的值为( )
A.12 B.10 C.4 D.﹣4
9.把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管,且没有余料,设某种截法中1m长的钢管有a根,则a的值可能有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.9种
10.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( )
A.c<0
B.b2﹣4ac<0
C.a﹣b+c<0
D.图象的对称轴是直线x=3
11.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BD∥x轴,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4),则k的值为( )
A.16 B.20 C.32 D.40
12.如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论:①CD是⊙O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED•BC=BO•BE.其中正确结论的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二.填空题(共6小题)
13.分解因式:x4﹣4x2= .
14.用半径为10cm,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为 cm.
15.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠ABC=60°,AB=2,分别以点A、点C为圆心,以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
16.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,其上分别标有数字1,2,4,8.随机摸取一个小球后不放回,再随机摸取一个小球,则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 .
17.如图,为测量旗杆AB的高度,在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°,点C与点B在同一水平线上.已知CD=9.6m,则旗杆AB的高度为 m.
18.如图,在平面直角坐标系中,四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3,…都是菱形,点A1,A2,A3,…都在x轴上,点C1,C2,C3,…都在直线y=x+上,且∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=…=60°,OA1=1,则点C6的坐标是 .
三.解答题(共8小题)
19.计算:5÷[(﹣1)3﹣4]+32×(﹣1).
20.先化简,再求值(1﹣)÷,其中x=+1.
21.△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.
①以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1:2.且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标.
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.
③在②的条件下求出点B经过的路径长.
22.“校园安全”越来越受到人们的关注,我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.根据图中信息回答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有 人,条形统计图中m的值为 ;
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ;
(3)若该中学共有学生1800人,根据上述调查结果,可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人;
(4)若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
23.如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.
24.南岸区正全力争创全国卫生城区和全国文明城区(简称“两城同创”).某街道积极响应“两城同创”
活动,投入一定资金绿化一块闲置空地,购买了甲、乙两种树木共72棵,甲种树木单价是乙种树木单价的,且乙种树木每棵80元,共用去资金6160元.
(1)求甲、乙两种树木各购买了多少棵?
(2)经过一段时间后,种植的这批树木成活率高,绿化效果好.该街道决定再购买一批这两种树木绿化另一块闲置空地,两种树木的购买数量均与第一批相同,购买时发现甲种树木单价上涨了a%,乙种树木单价下降了
,且总费用为6804元,求a的值.
25.如图,在正方形ABCD中,点M是边BC上的一点(不与B、C重合),点N在CD边的延长线上,且满足∠MAN=90°,联结MN、AC,MN与边AD交于点E.
(1)求证:AM=AN;
(2)如果∠CAD=2∠NAD,求证:AM2=AC•AE;
(3)MN和AC相交于O点,若BM=1,AB=3,试猜想线段OM,ON的数量关系并证明.
26.如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线AC的上方的抛物线上,有一点P(不与点M重合),使△ACP的面积等于△ACM的面积,请求出点P的坐标;
(3)在y轴上是否存在一点Q,使得△QAM为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标:若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.下列各数中,是无理数的是( )
A.3.1415 B. C. D.
【分析】根据无理数的定义:无限不循环小数进行判断,=2是有理数;
【解答】解:=2是有理数,是无理数,
故选:D.
2.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形,其主视图是( )
A. B. C. D.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【解答】解:从正面看易得第一层有2个正方形,第二层左边有一个正方形,如图所示:.
故选:A.
3.据海关统计,今年第一季度我国外贸进出口总额是70100亿元人民币,比去年同期增长了3.7%,数70100亿用科学记数法表示为( )
A.7.01×104 B.7.01×1011 C.7.01×1012 D.7.01×1013
【分析】把一个很大的数写成a×10n的形式.
【解答】解:70100亿=7.01×1012.
故选:C.
4.下列说法正确的是( )
A.了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况,适合全面调查
B.甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2=3,S乙2=4,说明乙的跳远成绩比甲稳定
C.一组数据2,2,3,4的众数是2,中位数是2.5
D.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
【分析】全面调查与抽样调查的优缺点:①全面调查收集的到数据全面、准确,但一般花费多、耗时长,而且某些调查不宜用全面调查.②抽样调查具有花费少、省时的特点,但抽取的样本是否具有代表性,直接关系到对总体估计的准确程度.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
【解答】解:A.了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况,适合抽样调查,A错误;
B.甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2=3,S乙2=4,说明甲的跳远成绩比乙稳定,B错误;
C.一组数据2,2,3,4的众数是2,中位数是2.5,正确;
D.可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生,D错误.
故选:C.
5.如图,CD∥AB,点O在AB上,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,则∠AOF的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
【分析】根据平行线的性质解答即可.
【解答】解:∵CD∥AB,
∴∠AOD+∠D=180°,
∴∠AOD=70°,
∴∠DOB=110°,
∵OE平分∠BOD,
∴∠DOE=55°,
∵OF⊥OE,
∴∠FOE=90°,
∴∠DOF=90°﹣55°=35°,
∴∠AOF=70°﹣35°=35°,
故选:D.
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解:解不等式x﹣1>0得x>1,
解不等式5﹣2x≥1得x≤2,
则不等式组的解集为1<x≤2,
故选:C.
7.反比例函数y=﹣,下列说法不正确的是( )
A.图象经过点(1,﹣3) B.图象位于第二、四象限
C.图象关于直线y=x对称 D.y随x的增大而增大
【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征,可对A选项做出判断;通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断,得出答案.
【解答】解:由点(1,﹣3)的坐标满足反比例函数y=﹣,故A是正确的;
由k=﹣3<0,双曲线位于二、四象限,故B也是正确的;
由反比例函数图象的对称性,可知反比例函数y=﹣的图象关于y=x对称是正确的,故C也是正确的,
由反比例函数的性质,k<0,在每个象限内,y随x的增大而增大,不在同一象限,不具有此性质,故D是不正确的,
故选:D.
8.若方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根为α,β,则α2+β2的值为( )
A.12 B.10 C.4 D.﹣4
【分析】根据根与系数的关系可得α+β=2,αβ=﹣4,再利用完全平方公式变形α2+β2=(α+β)2﹣2αβ,代入即可求解;
【解答】解:∵方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根为α,β,
∴α+β=2,αβ=﹣4,
∴α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=4+8=12;
故选:A.
9.把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管,且没有余料,设某种截法中1m长的钢管有a根,则a的值可能有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.9种
【分析】可列二元一次方程解决这个问题.
【解答】解:设2m的钢管b根,根据题意得:
a+2b=9,
∵a、b均为正整数,
∴,,,.
故选:B.
10.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( )
A.c<0
B.b2﹣4ac<0
C.a﹣b+c<0
D.图象的对称轴是直线x=3
【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
①常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c).
②抛物线与x轴交点个数.
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
【解答】解:A.由于二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴,所以c>0,故A错误;
B.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点,所以b2﹣4ac>0,故B错误;
C.当x=﹣1时,y<0,即a﹣b+c>0,故C错误;
D.因为A(1,0),B(5,0),所以对称轴为直线x==3,故D正确.
故选:D.
11.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BD∥x轴,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4),则k的值为( )
A.16 B.20 C.32 D.40
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同,可设B(x,4).利用矩形的性质得出E为BD中点,∠DAB=90°.根据线段中点坐标公式得出E(x,4).
由勾股定理得出AD2+AB2=BD2,列出方程22+42+(x﹣2)2+42=x2,求出x,得到E点坐标,代入y=,利用待定系数法求出k.
【解答】解:∵BD∥x轴,D(0,4),
∴B、D两点纵坐标相同,都为4,
∴可设B(x,4).
∵矩形ABCD的对角线的交点为E,
∴E为BD中点,∠DAB=90°.
∴E(x,4).
∵∠DAB=90°,
∴AD2+AB2=BD2,
∵A(2,0),D(0,4),B(x,4),
∴22+42+(x﹣2)2+42=x2,
解得x=10,
∴E(5,4).
∵反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过点E,
∴k=5×4=20.
故选:B.
12.如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论:①CD是⊙O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED•BC=BO•BE.其中正确结论的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【分析】由切线的性质得∠CBO=90°,首先连接OD,易证得△COD≌△COB(SAS),然后由全等三角形的对应角相等,求得∠CDO=90°,即可证得直线CD是⊙O的切线,根据全等三角形的性质得到CD=CB,根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO⊥DB,故②正确;根据余角的性质得到∠ADE=∠BDO,等量代换得到∠EDA=∠DBE,根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD,故③正确;根据相似三角形的性质得到,于是得到ED•BC=BO•BE,故④正确.
【解答】解:连结DO.
∵AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,
∴∠CBO=90°,
∵AD∥OC,
∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.
又∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO,
∴∠COD=∠COB.
在△COD和△COB中,,
∴△COD≌△COB(SAS),
∴∠CDO=∠CBO=90°.
又∵点D在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线;故①正确,
∵△COD≌△COB,
∴CD=CB,
∵OD=OB,
∴CO垂直平分DB,
即CO⊥DB,故②正确;
∵AB为⊙O的直径,DC为⊙O的切线,
∴∠EDO=∠ADB=90°,
∴∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°,
∴∠ADE=∠BDO,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∴∠EDA=∠DBE,
∵∠E=∠E,
∴△EDA∽△EBD,故③正确;
∵∠EDO=∠EBC=90°,
∠E=∠E,
∴△EOD∽△ECB,
∴,
∵OD=OB,
∴ED•BC=BO•BE,故④正确;
故选:A.
二.填空题(共6小题)
13.分解因式:x4﹣4x2= x2(x+2)(x﹣2) .
【分析】先提取公因式再利用平方差公式进行分解,即x4﹣4x2=x2(x2﹣4)=x2(x+2)(x﹣2);
【解答】解:x4﹣4x2=x2(x2﹣4)=x2(x+2)(x﹣2);
故答案为x2(x+2)(x﹣2);
14.用半径为10cm,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为 cm.
【分析】圆锥的底面圆半径为r,根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长,列方程求解.
【解答】解:设圆锥的底面圆半径为r,依题意,得
2πr=,
解得r=cm.
故选:.
15.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠ABC=60°,AB=2,分别以点A、点C为圆心,以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为 2﹣π .(结果保留π)
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=30°,∠BAD=∠BCD=120°,根据直角三角形的性质求出AC、BD,根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=30°,∠BAD=∠BCD=120°,
∴AO=AB=1,
由勾股定理得,OB==,
∴AC=2,BD=2,
∴阴影部分的面积=×2×2﹣×2=2﹣π,
故答案为:2﹣π.
16.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,其上分别标有数字1,2,4,8.随机摸取一个小球后不放回,再随机摸取一个小球,则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 .
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来,然后利用概率公式求解即可.
【解答】解:列表如下
1
2
4
8
1
2
4
8
2
2
8
16
4
4
8
32
8
8
16
32
由表知,共有12种等可能结果,其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果,
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为=,
故答案为:.
17.如图,为测量旗杆AB的高度,在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°,点C与点B在同一水平线上.已知CD=9.6m,则旗杆AB的高度为 14.4 m.
【分析】作DE⊥AB于E,则∠AED=90°,四边形BCDE是矩形,得出BE=CD=9.6m,∠CDE=∠DEA=90°,求出∠ADC=120°,证出∠CAD=30°=∠ACD,得出AD=CD=9.6m,在Rt△ADE中,由直角三角形的性质得出AE=AD=4.8m,即可得出答案.
【解答】解:作DE⊥AB于E,如图所示:
则∠AED=90°,四边形BCDE是矩形,
∴BE=CD=9.6m,∠CDE=∠DEA=90°,
∴∠ADC=90°+30°=120°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ACD=30°,
∴∠CAD=30°=∠ACD,
∴AD=CD=9.6m,
在Rt△ADE中,∠ADE=30°,
∴AE=AD=4.8m,
∴AB=AE+BE=4.8m+9.6m=14.4m;
故答案为:14.4.
18.如图,在平面直角坐标系中,四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3,…都是菱形,点A1,A2,A3,…都在x轴上,点C1,C2,C3,…都在直线y=x+上,且∠C1OA1
=∠C2A1A2=∠C3A2A3=…=60°,OA1=1,则点C6的坐标是 (47,16) .
【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标.
【解答】解:∵OA1=1,
∴OC1=1,
∴∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=…=60°,
∴C1的纵坐标为:sin60°•OC1=,横坐标为cos60°•OC1=,
∴C1(,),
∵四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3,…都是菱形,
∴A1C2=2,A2C3=4,A3C4=8,…,
∴C2的纵坐标为:sin60°•A1C2=,代入y=x+求得横坐标为2,
∴C2(2,),
C3的纵坐标为:sin60°•A2C3=2,代入y=x+求得横坐标为5,
∴C3(5,2),
∴C4(11,4),
C5(23,8),
∴C6(47,16);
故答案为(47,16).
三.解答题(共8小题)
19.计算:5÷[(﹣1)3﹣4]+32×(﹣1).
【分析】原式先计算乘方运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可求出值.
【解答】解:原式=5÷(﹣1﹣4)+9×(﹣1)
=5÷(﹣5)+(﹣9)
=﹣1+(﹣9)
=﹣10.
20.先化简,再求值(1﹣)÷,其中x=+1.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:(1﹣)÷
=
=
=,
当x=+1时,原式==.
21.△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.
①以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1:2.且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标.
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.
③在②的条件下求出点B经过的路径长.
【分析】①延长AC到A1使A1C=2AC,延长BC到B1使B1C=2BC,则△A1B1C满足条件;
②利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2,从而得到△A2B2C.
③先计算出CB的长,然后根据弧长公式计算点B经过的路径长.
【解答】解:①如图,△A1B1C为所作,点A1的坐标为(3,﹣3);
②如图,△A2B2C为所作;
③CB==,
点B经过的路径长==π.
22.“校园安全”越来越受到人们的关注,我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.根据图中信息回答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有 60 人,条形统计图中m的值为 10 ;
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 96° ;
(3)若该中学共有学生1800人,根据上述调查结果,可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 1020 人;
(4)若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
【分析】(1)用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数;
(2)用360°乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可;
(3)用总人数1800乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可;
(4)画树状图展示所有12种等可能的结果数,找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数,然后利用概率公式求解.
【解答】解:(1)接受问卷调查的学生共有30÷50%=60(人),m=60﹣4﹣30﹣
16=10;
故答案为:60,10;
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数=360°×=96°;
故答案为:96°;
(3)该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为:1800×=1020(人);
故答案为:1020;
(4)由题意列树状图:
由树状图可知,所有等可能的结果有12 种,恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种,
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=.
23.如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.
【分析】(1)根据题意和翻折的性质,可以得到△BCE≌△BFE,再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立;
(2)根据题意和勾股定理,可以求得AF的长,进而求得EF和DF的值,从而可以得到四边形CEFG的面积.
【解答】(1)证明:由题意可得,
△BCE≌△BFE,
∴∠BEC=∠BEF,FE=CE,
∵FG∥CE,
∴∠FGE=∠CEB,
∴∠FGE=∠FEG,
∴FG=FE,
∴FG=EC,
∴四边形CEFG是平行四边形,
又∵CE=FE,
∴四边形CEFG是菱形;
(2)∵矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF,
∴∠BAF=90°,AD=BC=BF=10,
∴AF=8,
∴DF=2,
设EF=x,则CE=x,DE=6﹣x,
∵∠FDE=90°,
∴22+(6﹣x)2=x2,
解得,x=,
∴CE=,
∴四边形CEFG的面积是:CE•DF=×2=.
24.南岸区正全力争创全国卫生城区和全国文明城区(简称“两城同创”).某街道积极响应“两城同创”活动,投入一定资金绿化一块闲置空地,购买了甲、乙两种树木共72棵,甲种树木单价是乙种树木单价的,且乙种树木每棵80元,共用去资金6160元.
(1)求甲、乙两种树木各购买了多少棵?
(2)经过一段时间后,种植的这批树木成活率高,绿化效果好.该街道决定再购买一批这两种树木绿化另一块闲置空地,两种树木的购买数量均与第一批相同,购买时发现甲种树木单价上涨了a%,乙种树木单价下降了
,且总费用为6804元,求a的值.
【分析】(1)根据题意可得等量关系:①甲、乙两种树木共72棵;②共用去资金6160元,根据等量关系列出方程,再解即可;
(2)用a表示出甲已两种树木单价,再根据总费用为6804元列方程即可.
【解答】解:(1)设甲种树木的数量为x棵,乙种树木的数量为y棵,由题意得:,
解得:,
答:甲种树木的数量为40棵,乙种树木的数量为32棵;
(2)由题意得甲种树木单价为×80(1+a%)=90(1+a%)元,乙种树木单价为80×(1﹣),
由题意得:90(1+a%)×40+80×(1﹣)×32=6804,
解得:a=25,
答:a的值为25.
25.如图,在正方形ABCD中,点M是边BC上的一点(不与B、C重合),点N在CD边的延长线上,且满足∠MAN=90°,联结MN、AC,MN与边AD交于点E.
(1)求证:AM=AN;
(2)如果∠CAD=2∠NAD,求证:AM2=AC•AE;
(3)MN和AC相交于O点,若BM=1,AB=3,试猜想线段OM,ON的数量关系并证明.
【分析】(1)由正方形的性质可得AB=AD,由“ASA”可证△ABM≌△ADN,可得AM=AN;
(2)由题意可得∠CAM=∠NAD=22.5°,∠ACB=∠MNA=45°,即可证△AMC∽△AEN,即可证AM2=AE•AC;
(3)先求出AM,进而求出MF=NF=BF=,再判断出△ABM∽△AFO,进而求出FO,即可得出结论.
【解答】证明(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠CAD=45°=∠ACB,∠BAD=90°=∠CDA=∠B,
∴∠BAM+∠MAD=90°,
∵∠MAN=90°,
∴∠MAD+∠DAN=90°,
∴∠BAM=∠DAN,
∵AD=AB,∠ABC=∠ADN=90°,
∴△ABM≌△ADN(ASA)
∴AM=AN;
(2)∵AM=AN,∠MAN=90°
∴∠MNA=45°,
∵∠CAD=2∠NAD=45°,
∴∠NAD=22.5°
∴∠CAM=∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD=22.5°
∴∠CAM=∠NAD,∠ACB=∠MNA=45°,
∴△AMC∽△AEN,
∴,
∴AM•AN=AC•AE,
∵AN=AM,
∴AM2=AC•AE;
(3)ON=2OM,理由:如图,
在Rt△ABM中,AM=1,AB=3,
根据勾股定理得,BM==,
过点B作BF⊥MN于F,
∴∠OFB=∠A=90°,
由(1)知,AM=AN,
∵∠MBN=90°,
∴FB=NF=MF==,∠MBF=45°,
∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠ABC=45°=∠MBF,
∴∠ABM=∠FBO,
∴△ABM∽△FBO,
∴,
∴,
∴FO=,
∴OM=MF﹣FO=,ON=NF+FO=,
∴ON=2OM.
26.如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线AC的上方的抛物线上,有一点P(不与点M重合),使△ACP的面积等于△ACM的面积,请求出点P的坐标;
(3)在y轴上是否存在一点Q,使得△QAM为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标:若不存在,请说明理由.
【分析】(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;
(2)过点M作直线m∥AC,在AC下方作等距离的直线n,直线n与抛物线交点即为点P,即可求解;
(3)分AM时斜边、AQ是斜边、MQ是斜边三种情况,分别求解即可.
【解答】解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),
故﹣3a=1,解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3…①;
(2)过点M作直线m∥AC,直线m与抛物线交点即为点P,
点M(1,4),则直线m的表达式为:y=﹣x+5…②,
联立①②并解得:x=1(舍去)或2;
故点P的坐标为:(2,3);
(3)设点Q的坐标为:(0,m),而点A、M的坐标分别为:(3,0)、(1,4);
则AM2=20,AQ2=9+m2,MQ2=(m﹣4)2+1=m2﹣8m+17;
当AM时斜边时,则20=9+m2+m2﹣8m+17,解得:m=1或3;
当AQ是斜边时,同理可得:m=;
当MQ是斜边时,同理可得:m=﹣,
综上,点Q的坐标为:(0,1)或(0,3)或(0,)或(0,﹣).