中考数学专题复习练习：分式的乘除 14页

典型例题及习题 例01 下列分式中是最简分式的是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A．与有公因式，排除B，分解因式为与有公因式，排除D.‎ 故选择C.‎ 解 C 例02 约分 ‎（1） （2） （3）‎ 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分.‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）原式 例03 计算（分式的乘除）‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ 分析 ‎（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成.然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算.‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）原式 ‎（4）原式 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除法化成乘法，而根据分式乘法法则，是先把分子、分母相乘，化成一个分式后再进行约分.在实际运算时，可以先约分，再相乘，这样简便易行，可减少出错.‎ 例04 计算 ‎（1）‎ ‎（2）‎ 分析：（1）对于含有分式乘方，乘除的混合运算，运算顺序是先乘方后乘除，一般首先确定结果的符号，再做其他运算，（2）进行分式的乘除混合运算时，要注意，当分子、分母是多项式时，一般应分解因式，并在运算运程中约分，使运算简化，因式，除式（或被除式）是整式时，可以看作分母是“1”的式子，然后按照分式的乘除法法则计算，这样可以减少错误.‎ 解：（1）原式 ‎（2）原式 ‎ ‎ 例05 化简求值 ‎，其中，.‎ 分析 本题要求先化简再求值，实际上就是先将分子、分母分别分解因式，然后约分，把分式化为最简分式以后再代入求值.‎ 解 原式＝‎ 当时，‎ 原式 例07 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式.‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）‎ 分析 （1）∵，分子、分母有公因式，所以它不是最简分式；（2）显然也不是最简分式；（3）中与没有公因式；（4）中，，分子、分母中没有公因式.‎ 解 和是最简分式；‎ 和不是最简分式；‎ 化简 ‎（1）‎ ‎（2）‎ 例08 通分：‎ ‎（1）， ，‎ ‎（2）， ，‎ 分析 （1）中各分母的系数的绝对值的最小公倍数为30，各字母、、因式的最高次幂分别是、、，所以最简公分母是.‎ ‎（2）中分母为多项式，因而先把各分母分解因式，；；，因而最简公分母是 解 （1）最简公分母为.‎ ‎，‎ ‎（2）最简公分母是 说明 1．通分过程中必须使得化成的分式与其原来的分式相等.‎ ‎2．通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘以“什么”，分子也必须随之乘以“什么”，且不漏乘.‎ ‎3．确定最简公分母是通分的关键，当公分母不是“最简”时，虽然也能达到通分的目的，但会使运算变得繁琐，因而应先择最简公分母.‎ 例09 选择题：‎ 若将分式（、均为正数）中的字母、的值扩大为原来的2倍，则分式的值（）‎ A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 分析 将原式中的、分别换成，，则原分式变为 ‎，‎ 故选B.‎ 说明 此题属于利用分式基本性质设计的选择题，主要考查对性质的灵活掌握程度，只要有整体代换的思想便容易解答.代换过程中、分别换成，，其写法不能写为，而应如分析中的写法，将、分别换为，时，原分式变为.‎ 例10 若成立，则应取何值，为什么？‎ 分析 ‎ 从上看出，由变为是利用分式的基本性质，把分子、分母都乘以非零整式得到的，在这个恒等变形过程中，只需，所以即可.‎ 解 为不等于3的数.因为当时，，此等式无意义.‎ 例11 下列各式从左到右的变形是否正确？‎ ‎（1）； （2）‎ ‎（3）； （4）‎ 分析 （1）错.因为误把分母中项“”的符号当作分母整体的符号：（2）错.不符合分式的变号法则；（3）错.不符合分式的基本性质；（4）错，因为分子、分母都除以时，只除含的项，没除其他项.‎ 解 （1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）（）‎ 说明 此题变形反映了运用分式基本性质解题时易犯的错误，应在今后变形过程中加以避免.‎ 例12 设、是实数，要使分式的值等于零，、应满足怎样的条件？‎ 分析 最直观的想法是，要使，只要即可，而仅有此条件显然是片面的，因为分式为零，应要求分子为零，且分母不为零，所以本题对、的限制条件是：，且，且.‎ 分析到此，条件虽然找到，但“，且”，是不是最本质，最简练的表达，还不一定.解决一个数学问题，应该追求其形式尽量简洁，刻画尽量深刻.‎ 解 要使，必须有且，而当时，，即 由此，要使的值为0，、应满足的条件是且.‎ 说明 其实“且”与“且”的本质完全一致，但后者的刻画简单明了，这也是数学追求的形式.‎ 数学作为一种科学的语言，它能够也应该追求深入、科学、简明地刻画各种关系.同时提示我们.学习数学也要学习数学的思想方法，而不只是学习一些数学事实、掌握一些数学运算或推理技巧而已.‎ 例13 有个人去完成某项工作，需要天可以完成，那么个人去做这项工作，需要多少天才能完成？‎ 分析 解决此题的关键在于求出每人每天的工作量，这只要从人天可以完成的工作就可推导出来.‎ 解 因为人天可以完成某项工作，所以每人完成的工作量是，所以人一天可以完成工作量，由工作的总量1＝工作时间×工作效率，得到人完成该项工作需要天.‎ 例14．化简：‎ 解：当且时，‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ 当且时 原式 ‎ ‎ 说明 分式约分是在整式除法，因式分解等知识的基础上进行的，但有时也与绝对值等知识联系起来.‎ 例15．求值 已知，求代数式的值.‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当 即 ‎ 说明 对于代数式求值，一般情况要先化简再求值.‎ 例16．求值 已知求代数式的值.‎ 解：设（）‎ ‎ 则 ‎∴原式 说明 遇到分式的求值时，一般要根据条件灵活变形再求值.‎ 例 计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ 说明 1．对分子、分母作因式分解与除法运算转化成乘法运算可同时进行；‎ ‎2．运算中出现整式时，若是乘积运算，只须将它与其它分式的分子相乘；当它是除式时，则只取它本身的倒数，再与其它分式相乘．注意，第（2）题千万别错写成 ‎ ‎ 的形式；‎ ‎3．计算的结果，如果可能，尽量不让分式前边带有负号．如（1）题．‎ 例 计算：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）．‎ 解：（1）；‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ；‎ ‎（3）‎ ‎ ．‎ 说明 1．对于乘、除和乘方的混合运算，虽然应该注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；‎ ‎2．做乘方运算要先确定符号．‎ 习题 解答题 ‎1．约分 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎2．计算题 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎3．先化简，再求值 ‎（1），其中，‎ ‎（2），其中 ‎（3），其中，‎ ‎（4），其中，‎ ‎4．计算题 ‎（1）（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎5．化简求值 ‎（1）当时，求的值 ‎（2）当时，求的值 参考答案：‎ ‎1．（1）（2）（3）（4）‎ ‎2．（1）（2）（3）（4）（5）‎ ‎（6）（7）（8）‎ ‎3．（1）（2）（3）（4）‎ ‎4．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）1（8）‎ ‎5．（1）（2）‎ 求下列各分式的值：‎ ‎（1），其中；‎ ‎（2），其中，；‎ ‎（3），其中，．‎ 参考答案：‎ ‎（1）；（2）；（3）．‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）下列分式中不是最简分式的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）将分式化成最简分式得（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）下列约分正确的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）下列各式中，计算结果正确的有（ ）‎ ‎① ② ③‎ ‎④ ⑤‎ ‎（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 ‎（5）下列各式中，正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．选择题 ‎（1）计算结果是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）下列计算不正确的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（3）下列化简正确的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（4）计算的结果是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）分式可化简得（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）D（2）B（3）D（4）C（5）C ‎2．（1）D（2）D（3）A（4）B（5）B 填空题 ‎1. 填空题 ‎（1）约分：；‎ ‎（2）计算：=___________‎ ‎（3）计算：=__________‎ ‎（4）将分式化简得_________‎ ‎（5）把分式化成最简分式得__________‎ ‎2．填空题 ‎（1）约分：=__________‎ ‎（2）计算：=___________‎ ‎（3）当，时，=___________‎ ‎（4）化简：=___________‎ ‎（5）若，则化简=__________‎ 参考答案：‎ ‎1．（1），（2）（3）（4）（5）‎ ‎2．（1）（2）（3）（4）（5）0‎