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  • 2021-11-10 发布

中考数学专题复习练习:分式的乘除

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典型例题及习题 例01 下列分式中是最简分式的是()‎ A. B.‎ C. D.‎ 分析:(用排除法)4和6有公因式2,排除A.与有公因式,排除B,分解因式为与有公因式,排除D.‎ 故选择C.‎ 解 C 例02 约分 ‎(1) (2) (3)‎ 分析(1)中分子、分母都是单项式可直接约分.(2)中分子、分母是多项式,应该先分解因式,再约分.(3)中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数,把分子、分母中的最高次项系数化为正整数,再约分.‎ 解:(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)原式 例03 计算(分式的乘除)‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ 分析 ‎(1)可以根据分式乘法法则直接相乘,但要注意符号.(2)中的除式是整式,可以把它看成.然后再颠倒相乘,(3)(4)两题都需要先分解因式,再计算.‎ 解:(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)原式 ‎(4)原式 说明:(1)运算的结果一定要化成最简分式;(2)乘除法混合运算,可将除法化成乘法,而根据分式乘法法则,是先把分子、分母相乘,化成一个分式后再进行约分.在实际运算时,可以先约分,再相乘,这样简便易行,可减少出错.‎ 例04 计算 ‎(1)‎ ‎(2)‎ 分析:(1)对于含有分式乘方,乘除的混合运算,运算顺序是先乘方后乘除,一般首先确定结果的符号,再做其他运算,(2)进行分式的乘除混合运算时,要注意,当分子、分母是多项式时,一般应分解因式,并在运算运程中约分,使运算简化,因式,除式(或被除式)是整式时,可以看作分母是“1”的式子,然后按照分式的乘除法法则计算,这样可以减少错误.‎ 解:(1)原式 ‎(2)原式 ‎ ‎ 例05 化简求值 ‎,其中,.‎ 分析 本题要求先化简再求值,实际上就是先将分子、分母分别分解因式,然后约分,把分式化为最简分式以后再代入求值.‎ 解 原式=‎ 当时,‎ 原式 例07 判断下列分式,哪些是最简分式?不是最简分式的,化成最简分式或整式.‎ ‎(1); (2);‎ ‎(3); (4)‎ 分析 (1)∵,分子、分母有公因式,所以它不是最简分式;(2)显然也不是最简分式;(3)中与没有公因式;(4)中,,分子、分母中没有公因式.‎ 解 和是最简分式;‎ 和不是最简分式;‎ 化简 ‎(1)‎ ‎(2)‎ 例08 通分:‎ ‎(1), ,‎ ‎(2), ,‎ 分析 (1)中各分母的系数的绝对值的最小公倍数为30,各字母、、因式的最高次幂分别是、、,所以最简公分母是.‎ ‎(2)中分母为多项式,因而先把各分母分解因式,;;,因而最简公分母是 解 (1)最简公分母为.‎ ‎,‎ ‎(2)最简公分母是 说明 1.通分过程中必须使得化成的分式与其原来的分式相等.‎ ‎2.通分的根据是分式的基本性质,分母需要乘以“什么”,分子也必须随之乘以“什么”,且不漏乘.‎ ‎3.确定最简公分母是通分的关键,当公分母不是“最简”时,虽然也能达到通分的目的,但会使运算变得繁琐,因而应先择最简公分母.‎ 例09 选择题:‎ 若将分式(、均为正数)中的字母、的值扩大为原来的2倍,则分式的值()‎ A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.缩小为原来的 分析 将原式中的、分别换成,,则原分式变为 ‎,‎ 故选B.‎ 说明 此题属于利用分式基本性质设计的选择题,主要考查对性质的灵活掌握程度,只要有整体代换的思想便容易解答.代换过程中、分别换成,,其写法不能写为,而应如分析中的写法,将、分别换为,时,原分式变为.‎ 例10 若成立,则应取何值,为什么?‎ 分析 ‎ 从上看出,由变为是利用分式的基本性质,把分子、分母都乘以非零整式得到的,在这个恒等变形过程中,只需,所以即可.‎ 解 为不等于3的数.因为当时,,此等式无意义.‎ 例11 下列各式从左到右的变形是否正确?‎ ‎(1); (2)‎ ‎(3); (4)‎ 分析 (1)错.因为误把分母中项“”的符号当作分母整体的符号:(2)错.不符合分式的变号法则;(3)错.不符合分式的基本性质;(4)错,因为分子、分母都除以时,只除含的项,没除其他项.‎ 解 (1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)()‎ 说明 此题变形反映了运用分式基本性质解题时易犯的错误,应在今后变形过程中加以避免.‎ 例12 设、是实数,要使分式的值等于零,、应满足怎样的条件?‎ 分析 最直观的想法是,要使,只要即可,而仅有此条件显然是片面的,因为分式为零,应要求分子为零,且分母不为零,所以本题对、的限制条件是:,且,且.‎ 分析到此,条件虽然找到,但“,且”,是不是最本质,最简练的表达,还不一定.解决一个数学问题,应该追求其形式尽量简洁,刻画尽量深刻.‎ 解 要使,必须有且,而当时,,即 由此,要使的值为0,、应满足的条件是且.‎ 说明 其实“且”与“且”的本质完全一致,但后者的刻画简单明了,这也是数学追求的形式.‎ 数学作为一种科学的语言,它能够也应该追求深入、科学、简明地刻画各种关系.同时提示我们.学习数学也要学习数学的思想方法,而不只是学习一些数学事实、掌握一些数学运算或推理技巧而已.‎ 例13 有个人去完成某项工作,需要天可以完成,那么个人去做这项工作,需要多少天才能完成?‎ 分析 解决此题的关键在于求出每人每天的工作量,这只要从人天可以完成的工作就可推导出来.‎ 解 因为人天可以完成某项工作,所以每人完成的工作量是,所以人一天可以完成工作量,由工作的总量1=工作时间×工作效率,得到人完成该项工作需要天.‎ 例14.化简:‎ 解:当且时,‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ 当且时 原式 ‎ ‎ 说明 分式约分是在整式除法,因式分解等知识的基础上进行的,但有时也与绝对值等知识联系起来.‎ 例15.求值 已知,求代数式的值.‎ 解:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当 即 ‎ 说明 对于代数式求值,一般情况要先化简再求值.‎ 例16.求值 已知求代数式的值.‎ 解:设()‎ ‎ 则 ‎∴原式 说明 遇到分式的求值时,一般要根据条件灵活变形再求值.‎ 例 计算:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 说明 1.对分子、分母作因式分解与除法运算转化成乘法运算可同时进行;‎ ‎2.运算中出现整式时,若是乘积运算,只须将它与其它分式的分子相乘;当它是除式时,则只取它本身的倒数,再与其它分式相乘.注意,第(2)题千万别错写成 ‎ ‎ 的形式;‎ ‎3.计算的结果,如果可能,尽量不让分式前边带有负号.如(1)题.‎ 例 计算:‎ ‎(1); (2);‎ ‎(3).‎ 解:(1);‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ ;‎ ‎(3)‎ ‎ .‎ 说明 1.对于乘、除和乘方的混合运算,虽然应该注意运算顺序,但在做乘方运算的同时,可将除变乘;‎ ‎2.做乘方运算要先确定符号.‎ 习题 解答题 ‎1.约分 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎2.计算题 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ ‎3.先化简,再求值 ‎(1),其中,‎ ‎(2),其中 ‎(3),其中,‎ ‎(4),其中,‎ ‎4.计算题 ‎(1)(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ ‎5.化简求值 ‎(1)当时,求的值 ‎(2)当时,求的值 参考答案:‎ ‎1.(1)(2)(3)(4)‎ ‎2.(1)(2)(3)(4)(5)‎ ‎(6)(7)(8)‎ ‎3.(1)(2)(3)(4)‎ ‎4.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)1(8)‎ ‎5.(1)(2)‎ 求下列各分式的值:‎ ‎(1),其中;‎ ‎(2),其中,;‎ ‎(3),其中,.‎ 参考答案:‎ ‎(1);(2);(3).‎ 选择题 ‎1.选择题 ‎(1)下列分式中不是最简分式的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)将分式化成最简分式得( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)下列约分正确的是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)下列各式中,计算结果正确的有( )‎ ‎① ② ③‎ ‎④ ⑤‎ ‎(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 ‎(5)下列各式中,正确的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.选择题 ‎(1)计算结果是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)下列计算不正确的是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(3)下列化简正确的是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(4)计算的结果是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)分式可化简得( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)D(2)B(3)D(4)C(5)C ‎2.(1)D(2)D(3)A(4)B(5)B 填空题 ‎1. 填空题 ‎(1)约分:;‎ ‎(2)计算:=___________‎ ‎(3)计算:=__________‎ ‎(4)将分式化简得_________‎ ‎(5)把分式化成最简分式得__________‎ ‎2.填空题 ‎(1)约分:=__________‎ ‎(2)计算:=___________‎ ‎(3)当,时,=___________‎ ‎(4)化简:=___________‎ ‎(5)若,则化简=__________‎ 参考答案:‎ ‎1.(1),(2)(3)(4)(5)‎ ‎2.(1)(2)(3)(4)(5)0‎