2012年福建省龙岩市中考数学试卷（含答案） 13页

2012 年龙岩市初中毕业、升学考试 数 学 试 题 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效. 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．每小题的四个选项中，只有一个符 合题意．） 1．计算：2－3 = A．－1 B．1 C．－5 D．5 2．在平面直角坐标系中，已知点 P（2，－3），则点 P 在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．一组数据 6、8、7、8、10、9 的中位数和众数分别是 A．7 和 8 B．8 和 7 C．8 和 8 D．8 和 9 4．一个不透明的布袋里有 30 个球，每次摸一个，摸一次就一定摸到红球，则红球有 A．15 个 B．20 个 C．29 个 D． 30 个 5．某农场各用 10 块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量（单位： 吨/亩）的数据统计如下： 0.54x 甲 ， 0.5x 乙 ， 2 0.01s 甲 ， 2 0.002s 乙 ，则由上述数据 推断乙品种大豆产量比较稳定的依据是 A． x x 乙甲＞ B． 2s 2 乙甲＞s C． 2x s甲 甲＞ D． 2x s乙 甲＞ 6．下列命题中，为真命题的是 A．对顶角相等 B．同位角相等 C．若 2 2a b ，则 a b D．若 a b ，则 2 2a b   7．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A．等边三角形 B．矩形 C． 平行四边形 D．等腰梯形 8．左下图所示几何体的俯视图是 A B C D 考室座位号 （第 8 题图） （第 10 题图） 9．下列函数中，当 x ﹤0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大的有 ① y x ② 2 1y x   ③ 1 y x  ④ 23y x A．1 个 B．2 个 C．3 个 D． 4 个 10．如图，矩形 ABCD 中，AB=1，BC=2，把矩形 ABCD 绕 AB 所在直线旋转一周所得圆柱的 侧面积为 A．10 B． 4 C． 2 D．2 二．填空题（本大题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分．） 11．使代数式 1x  有意义的 x 的取值范围是______________． 12．2012 年 3 月份龙岩市社会消费品零售总额为 10 500 000 000 元，该零售总额数用科学计 数法表示为______________（保留两位有效数字）． 13．如图， ba∥ ，∠1=30°，则∠2= °． 14．鸡蛋孵化后，小鸡为雌与雄的概率相同．如果两个鸡蛋都成功孵化， 则孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率为________． 15．为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度． 2011 年该县政府在这项建设中已投资 3 亿元，预计 2013 年 投资 5.88 亿元，则该项投资的年平均增长率为__________． 16．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = BC = 6，E 是斜边 AB 上任意一点， 作 EF⊥AC 于 F，EG⊥BC 于 G，则矩形 CFEG 的周长是_________． 17．如图，平面直角坐标系中，⊙O1 过原点 O，且⊙O1 与⊙O2 相外切， 圆心 O1 与 O2 在 x 轴正半轴上，⊙O1 的半径 O1P1、⊙O2 的半径 O2P2 都与 x 轴垂直，且点 P1  1 1,x y 、P2  2 2,x y 在反比例函数 1y x  （x>0）的图象上，则 1 2y y  __________． （第 13 题图） （第 16 题图） （第 17 题图） （背面还有试题） 三、解答题（本大题共 8 小题，共 89 分．） 18．（本题满分 10 分） （1）计算： 0 201215 6 2 2     （-1） ； （2）先化简，再求值：  3 21 3 6 33 a a aa   ，其中 7a  ． 19．（本题满分 8 分）解方程： 3 2 1 1x x   ． 20．（本题满分 10 分）如图，已知 CB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径， 点 A 为 CD 延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°． （1）求证:AB 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 2，求 BD 的长． 21．（本题满分 10 分）某校为了解八年级 300 名学生期中考的数学成绩，随机抽查了该年级 50 名学生的期中考数学成绩进行分析，绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图. 频数分布表 频数分布直方图 成绩分组 频 数 频 率 30≤x＜40 1 0.02 40≤x＜50 1 0.02 50≤x＜60 3 60≤x＜70 0.2 70≤x＜80 15 0.3 80≤x＜90 15 0.3 90≤x＜100 5 0.1 合 计 50 1 （1）以上分组的组距= ； （2）补全频数分布表和频数分布直方图； （3）请你估计该校八年级期中考数学成绩优秀（不低于 80 分为优秀）的总人数. 22．（本题满分 12 分）如图 1，过△ABC 的顶点 A 作高 AD，将点 A 折叠到点 D（如图 2）， 这时 EF 为折痕，且△BED 和△CFD 都是等腰三角形，再将△BED 和△CFD 沿它们各自 的对称轴 EH、FG 折叠，使 B、C 两点都与点 D 重合，得到一个矩形 EFGH（如图 3）， 我们称矩形 EFGH 为△ABC 的边 BC 上的折合矩形． （1）若△ABC 的面积为 6，则折合矩形 EFGH 的面积为 ； （2）如图 4，已知△ABC，在图 4 中画出△ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH； （3）如果△ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形，且 BC=2a，那么， BC 边上的高 AD= ，正方形 EFGH 的对角线长为 ． （第 20 题图） 图 1 图 2 图 3 图 4 23．（本题满分 12 分）已知：用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满货物一次可运货 10 吨； 用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11 吨．某物流公司现有 31 吨货物，计划同 时租用 A 型车 a 辆，B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题: （1）1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若 A 型车每辆需租金 100 元/次，B 型车每辆需租金 120 元/次．请选出最省钱的租车 方案，并求出最少租车费． 24．（本题满分 13 分）矩形 ABCD 中，AD=5，AB=3，将矩形 ABCD 沿某直线折叠，使点 A 的对应点 A′落在线段 BC 上，再打开得到折痕 EF． （1）当 A′与 B 重合时（如图 1），EF= ；当折痕 EF 过点 D 时（如图 2），求线段 EF 的长； （2）观察图 3 和图 4，设 BA′=x，①当 x 的取值范围是 时，四边形 AEA′F 是菱形； ②在①的条件下，利用图 4 证明四边形 AEA′F 是菱形． 25．（本题满分 14 分）在平面直角坐标系 xoy 中，一块含 60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在 x 轴上，直角顶点 C 在 y 轴正半轴上，已知点 A（－1，0）． （1）请直接写出点 B、C 的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过 A、B、C 三 点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点 E 放在线段 AB 上（点 E 是不与 A、B 两点重合的动点），并使 ED 所在直线经过点 C．此 时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点 M． ①设 AE=x，当 x 为何值时，△OCE∽△OBC； ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点 P 使△PEM 是等腰三角形，若 存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 图 2 图 3 图 4 2012 年龙岩市初中毕业、升学考试 数学试题参考答案与评分标准 说明：评分最小单位为 1 分，若学生解答与本参考答案不同，参照给分． 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D B A B C B B 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 11． 1x  12． 101.1 10 13．150 14． 1 4 15．40% 16．12 17． 2 三、解答题 18．(1)解:原式=5+1﹣1+1 ……………………4 分(每个运算 1 分) =6 ……………………5 分 (2)法 1：原式= 31 33 aa ﹣ 21 63 aa + 1 33 aa ……………1 分 = 2 2 1a a  ……………………2 分 = 2( 1)a  ……………………3 分 当 7a  时，原式= 2(7 1) ……………………4 分 =36 ……………………5 分 法 2：原式= 1 33 aa （ 2 2 1a a  ） ……………1 分 = 2 2 1a a  ……………………2 分 = 2( 1)a  ……………………3 分 当 7a  时，原式= 2(7 1) ……………………4 分 =36 ……………………5 分 19． 解:原方程可化为 3( 1) 2( 1)x x   ………………3 分 3 3 2 2x x   …………………4 分 3 2 2 3x x    ………………5 分 5x   ……………………7 分 经检验， 5x   是原方程的解． ∴ 原方程的解是 5x   …………………8 分（未作答不扣分） 20．(1)证明：法 1：∵ BC=AB ∴ ∠A=∠C ∵ ∠CAB=30° ……………………1 分 ∴ ∠C =∠A =30°……………………2 分 ∵ ∠A+∠C+∠ABC =180° ∴ ∠ABC=120° ……………………3 分 ∵ OC=OB ∴ ∠OBC=∠C=30° ∴ ∠ABO=90° ……………………4 分 ∴ AB 是⊙O 的切线． …………………5 分 法 2 证明：∵BC=AB ∴∠A=∠C ∵∠CAB=30° ……………………1 分 ∴∠A=∠C=30° ……………………2 分 ∵OB=OC ∴∠C=∠OBC=30° ∴∠BOA=∠C+∠OBC=60° ………………3 分 ∴∠BOA+∠A+∠OBA=180° ∴∠OBA=90° ……………………4 分 ∴AB 是⊙O 的切线 ……………………5 分 法 3 证明：∵BC=AB ∴∠A=∠C ∵∠CAB=30° ……………………1 分 ∴∠A=∠C=30° ……………………2 分 ∵∠BOA=2∠C ∴∠BOA=60° ……………………3 分 ∵∠BOA+∠A+∠OBA=180° ∴∠0BA=90° ……………………4 分 ∴AB 是⊙O 的切线 ……………………5 分 （2）解：由（1）得：∠BOD=60° ……………………6 分 BD 的长 180 n Rl  ……………………7 分 60 2 180   ……………………9 分 2 3  ……………………10 分 21 ．（1）10 ……………………2 分 （2）补全分布表、直方图……………………6 分 频数分布表 频数分布直方图 成绩分组 频 数 频 率 30≤x＜40 1 0.02 40≤x＜50 1 0.02 50≤x＜60 3 0.06 60≤x＜70 10 0.2 70≤x＜80 15 0.3 80≤x＜90 15 0.3 90≤x＜100 5 0.1 合 计 50 1 （3）估计该校八年级期中考数学成绩优秀的总人数为 300×（0.3+0.1） ……8 分 =120（人）……………10 分 22．（1）3； ……………………………………3 分 （2）作出的折合矩形 EFGH 为网格正方形；……………6 分 （3） 2a ， 2a ……………12 分（每个空 3 分） 23.解：（1）设每辆 A 型车、B 型车都装满货物一次可分别运货 x 吨、 y 吨，依题意列方程得：……………………1 分 2 10 2 11 x y x y      ……………………3 分 解方程组,得 答:1 辆 A 型车装满货物一次可运 3 吨，1 辆 B 型车装满货物一次可运 4 吨． ……………………………………………………………4 分（未作答不扣分） （2）结合题意和（1）得 3 4 31a b  ………………………5 分 3 4 x y    ∴ 31 4 3 ba  ∵ a 、b 都是正整数 ∴ 9 1 a b    或 5 4 a b    或 1 7 a b    答:有 3 种租车方案: ①A 型车 9 辆,B 型车 1 辆; ②A 型车 5 辆,B 型车 4 辆; ③A 型车 1 辆,B 型车 7 辆. ……8 分（未作答不扣分） (3) 方案 ①需租金:9×100+120=1020(元) 方案 ②需租金:5×100+4×120=980(元) 方案 ③需租金:1×100+7×120=940(元) ……………11 分 ∵ 1020>980>940 ∴ 最省钱的租车方案是： A 型车 1 辆,B 型车 7 辆,最少租车费为 940 元. ……………12 分 24． (1) 5 ……………………………………………………2 分 解法 1：由折叠（轴对称）性质知 5A D AD   90A EA D    ° 在 Rt△ A DC 中， DC AB =3 ∴ 2 25 3 4A C    …………………………3 分 ∴ 5 4 1A B BC A C      ∵ 090EA B BEA EA B FA C           ∵ BEA FA C    …………………………4 分 又 ∵ 90B C    ° ∴Rt△ EBA∽Rt△ A CF ∴ A E A B A F FC   5 3 A BA E A FFC    …………………………5 分 在 Rt△ A EF 中， 2 2 25 5 10259 3EF A E A D      …6 分 解法 2：同解法 1 得 1A B  设 A E AE x   ，则 3BE x  ………4 分 在 Rt△ EBA中， 2 2 2A E BE A B   ∴  22 3 1x x   5 3x  ………………………………………5 分 在 Rt△ A EF 中， 2 2 25 5 10259 3EF A E A D      ……6 分 解法 3：同解法 1 得 Rt△ EBA∽Rt△ A CF ………………4 分 1 3 4 62A FCS      2 1 269 3A BE A FC A BS SFC          ∴ A FC A BEAEA F ABCD=S -S -SS    四边形 矩形 =15-6- 2 25=3 3 ………5 分 连结 AA AA EF  ， 2 2AA = AB +A B = 9+1= 10  AEA F 1= AA EF2S  四边形 1 2510 EF=2 3 ∴ 5 10EF= 3 ……………………………6 分 （2）①3 5x  (答案为 3< 5x  或3 x <5 或 3