九年级上册青岛版数学教案1-3相似三角形的性质 9页

- 1 - 1.3 相似三角形的性质 教学目标 【知识与能力】 1.了解相似三角形对应线段的比等于相似比. 了解相似三角形周长的比等于相似比、面积比 等于相似比的平方. 2.能应用相似三角形的性质进行有关计算. 能应用相似三角形的性质进行有关周长、面积的 计算. 【过程与方法】 1.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会探索研究问题 的一般思路和方法. 2.利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力. 【情感态度价值观】 1.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理 能力. 2.经历观察——猜想——证明——归纳等探究过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和 严谨治学的态度. 教学重难点 【教学重点】 相似三角形的性质定理的探索及应用. 【教学难点】 相似三角形性质的归纳推理. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 复习提问: 1.什么叫相似三角形?判定方法有哪些? 2.相似三角形有哪些基本特征? 【师生活动】 学生思考回答,教师点评. [导入语] 我们已经知道:两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例,除了这些基本性质 外,还有什么性质呢?这就是我们这节课要探究的内容. 导入二: 【课件展示】 小华做小孔成像实验,如下图,已知蜡烛与成像板间的距离为 l,当蜡烛与成 像板间的小孔纸板放在何处时,蜡烛焰 AB 是像 A'B'的一半长? - 2 - 【教师活动】 教师展示课件,导出课题. [设计意图] 通过复习相似三角形的概念和判定方法,做好新旧知识之间的衔接;由生活实 际问题导出课题,激发学生的学习兴趣,感受数学与其他学科之间的联系. 二、新知构建： [过渡语] 全等三角形的对应高、对应中线和对应角平分线分别相等.两个相似三角形, 它们的对应高、对应中线和对应角平分线的比与它们的相似比之间有什么关系呢?通过今天 的学习,我们将得到结论. 一起探究 相似三角形的性质 思路一 相似三角形的对应线段的比等于相似比. 【课件展示】 如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,其中 AD,A'D'分别是 BC 和 B'C'上 的高,那么 AD 与 A'D'的比与相似比之间有怎样的关系? 【思考】 (1)图中的ΔABD 和ΔA'B'D'相似吗?如何证明? (2)由相似三角形的性质,你能得到 AD 与 A'D'的比与相似比之间的关系吗? (3)请写出你的解答过程. (4)你能叙述你得到的结论吗? 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,学生完成解答过程,小组代表板书,教师及时 帮助有困难的学生,并规范书写格式. 【课件展示】 相似三角形对应高的比等于相似比. 已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AD,A'D'分别为 BC,B'C'边上的高. 求证: ᦙ ' ᦙ ' =k. - 3 - 证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C', ∴∠B=∠B'. 又∵AD⊥BC,A'D'⊥B'C', ∴∠ADB=∠A'D'B'=90°, ∴ΔADB∽ΔA'D'B'. ∴ ᦙ ' ᦙ ' = ' ' =k. 追加提问: (1)能去掉性质中的对应两个字吗? (2)如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k.AE 与 A'E'分别为 BC,B'C'边上的中线,AF 与 A'F'分别为∠BAC 和∠B'A'C'的平分线. 猜想:AE 和 A'E'的比、AF 和 A'F'的比分别与相似比有怎样的关系? (3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗? (4)怎样用语言描述上述结论? 【师生活动】 学生独立完成证明过程,小组内合作交流答案,小组代表展示证明过程,师生 共同点评,共同归纳相似三角形的性质. 【课件展示】 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 1.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AE,A'E'分别为 BC,B'C'边上的中线. 求证: ' ' =k. 证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C', ∴∠B=∠B', ' ' = ' ' . 又∵AE 与 A'E'分别为 BC,B'C'边上的中线, ∴BE= 1 2 BC,B'E'= 1 2 B'C', ∴ ' ' = ' ' , ∴ΔABE∽ΔA'B'E'. ∴ ' ' = ' ' =k. 2.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分 线. 求证: ' ' =k. 证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C', - 4 - ∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'. 又∵AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线, ∴∠BAF= 1 2 ∠BAC,∠B'A'F'= 1 2 ∠B'A'C', ∴∠BAF=∠B'A'F',∴ΔABF∽ΔA'B'F'. ∴ ' ' = ' ' =k. 思路二 动手操作: (1)让学生作出两个三角形ΔABC 与ΔA'B'C',使ΔABC∽ΔA'B'C',并通过测量得出相似比. (2)分别过点 A 作 AD⊥BC,A'D'⊥B'C',垂足分别为 D,D'. (3)测量两个三角形的高 AD 与 A'D',求出 ᦙ ' ᦙ ' 的值. (4)猜想:相似三角形对应高的比与相似比之间的关系. (5)证明你的猜想. 【师生活动】 学生测量比较后小组合作交流结果,完成猜想及证明,小组代表板书过程,教 师巡视过程中帮助有困难的学生,并及时发现问题,在点评时强调易错点. 【课件展示】 相似三角形对应高的比等于相似比. 已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AD,A'D'分别为 BC,B'C'边上的高. 求证: ᦙ ' ᦙ ' =k. 证明:同思路一. 追加提问: (1)能去掉性质中的对应两个字吗? (2)如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k.AE 与 A'E'分别为 BC,B'C'边上的中线,AF 与 A'F'分别为∠BAC 和∠B'A'C'的平分线. 猜想:AE 和 A'E'的比、AF 和 A'F'的比分别与相似比有怎样的关系? (3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗? (4)怎样用语言描述上述结论? - 5 - 【师生活动】 学生独立完成证明过程,小组内合作交流答案,小组代表展示证明过程,师生 共同点评,共同归纳相似三角形的性质. 【课件展示】 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 1.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AE,A'E'分别为 BC,B'C'边上的中线. 求证: ' ' =k. 证明:同思路一. 2.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分 线. 求证: ' ' =k. 证明:同思路一. 【课件展示】 归纳性质: 相似三角形的性质定理: 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比,都等于相似比. [设计意图] 思路一在教师的引导下,由相似三角形的性质得对应角相等,然后利用相似三 角形的判定定理证出三角形相似,从而得到对应高的比等于相似比;思路二通过测量,提出猜 想,然后小组交流,完成猜想的证明.通过学生的自主探究,完成知识的形成过程,提高学生数 学思维和解决问题的能力. 例题讲解 【课件展示】 如 图 所 示 , 在 Δ ABC 中 ,AD ⊥ BC, 垂 足 为 D,EF ∥ BC, 分 别 交 AB,AC,AD 于点 E,F,G, = 3 5 ,AD=15.求 AG 的长. 教师引导思考: (1)由 EF∥BC 可以得到哪两个三角形相似? (2)相似三角形的相似比是多少? (3)AG 与 AD 是不是相似三角形的对应线段? (4)根据相似三角形的性质能否求出线段 AG 的长? 【师生活动】 学生在教师提出的问题的引导下思考,独立完成解答过程,小组内交流答案, 教师对学生的展示进行评价,并规范解题格式. 【课件展示】 解:∵EF∥BC,∴ΔAEF∽ΔABC. - 6 - ∵AD⊥BC,∴AD⊥EF.∴ ᦙ = . 又∵ = 3 5 ,AD=15,∴ 15 = 3 5 , ∴AG=9. [设计意图] 学生在教师的引导下共同完成例题的探究,加深对相似三角形的性质的理解和 掌握,提高学生的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力. [知识拓展] 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算等,还可以用于证明两 角相等、两条线段相等等. 【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评. 【课件展示】 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为 100 平方米、周长为 80 米的三角形绿化地.由于马路的拓宽,绿地被削去一个角,变成了一个梯形, 原绿化地一边 BC 的长由原来的 30 米变为 18 米.那么被削去的部分的面积有多少?你能解决 这个问题吗? 【教师活动】 教师展示课件,导出课题. [导入语] 通过今天的学习,我们利用相似三角形的性质可以解决有关周长、面积的问题. [过渡语] 上节课我们探究了相似三角形的对应线段比等于相似比,那么相似三角形的 周长比、面积比与相似比有什么关系呢?让我们一起去探究. 一起探究 相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系 思路一 活动一: 根据图上标出的数据,回答下列问题: 【思考】 (1)根据图中数据易知两个直角三角形相似,相似比是多少? (2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系? (3)计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系? 【师生活动】 学生独立完成后回答教师提出的问题. - 7 - 活动二: (1)猜想 1:任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系? (2)你能证明猜想 1 的结论吗? (3)猜想 2:任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系? (4)你能证明猜想 2 的结论吗? 【师生活动】 学生思考后,小组合作交流,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助 有困难的学生,并点评学生的解答,规范学生的证明格式,师生共同归纳相似三角形的性质. 【课件展示】 相似三角形的性质定理: 相似三角形的周长比等于相似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AD,A'D'分别为 BC,B'C'边上的高. 求证: Δ Δ ' ' ' =k, Δ Δ ' ' ' =k2. 证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k, ∴ ' ' = ' ' = ' ' =k, ᦙ ' ᦙ ' =k. ∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'. ∴ Δ Δ ' ' ' = ++ ' ' + ' ' + ' ' = ' ' + ' ' + ' ' ' ' + ' ' + ' ' =k, Δ Δ ' ' ' = 1 2 · ᦙ 1 2 ' '· ' ᦙ ' = ' ' · ᦙ ' ᦙ ' =k2. 活动三: 你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗? 【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论. 【课件展示】 如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,则 Δ Δ ' ' ' =k, Δ Δ ' ' ' =k2. 思路二 【课件展示】 如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AD,A'D'分别为 BC,B'C'边上的高. (1)ΔABC 的周长和ΔA'B'C'的周长的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由. (2)ΔABC 的面积和ΔA'B'C'的面积的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由. - 8 - 【师生活动】 教师给学生足够的时间思考、小组合作交流,共同探索相似三角形的周长比、 面积比与相似比之间的关系及证明思路,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生探究出 结论后,完成证明过程,教师对学生的展示进行点评,师生共同归纳相似三角形的性质. 【课件展示】 相似三角形的性质定理: 相似三角形的周长比等于相似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AD,A'D'分别为 BC,B'C'边上的高. 求证: Δ Δ ' ' ' =k, Δ Δ ' ' ' =k2. 证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k, ∴ ' ' = ' ' = ' ' =k, ᦙ ' ᦙ ' =k, ∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'. ∴ Δ Δ ' ' ' = ++ ' ' + ' ' + ' ' = ' ' + ' ' + ' ' ' ' + ' ' + ' ' =k, Δ Δ ' ' ' = 1 2 · ᦙ 1 2 ' '· ' ᦙ ' = ' ' · ᦙ ' ᦙ ' =k2. 追加思考: 你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗? 【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论. 【课件展示】 如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,则 Δ Δ ' ' ' =k, Δ Δ ' ' ' =k2. [设计意图] 思路一让学生经历由特殊到一般的探究过程,通过计算、观察、猜想、证明等 数学活动,让学生经历知识的形成过程,有助于理解掌握相似三角形的性质;思路二主要通过 小组合作交流,探究相似三角形的性质,培养学生的合作意识,严格地推理论证性质定理,培 养了学生严谨的学习态度,同时培养了学生的归纳总结能力. 例题讲解 [过渡语] 我们探究了相似三角形的性质,应用这些性质可以直接解决一些有关问题, 我们一起尝试解决下列问题. - 9 - 如图所示,在ΔABC 中,D,E,F 分别为 BC,AC,AB 边的中点.求: (1)ΔDEF 的周长与ΔABC 的周长之比. (2)ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比. 〔解析〕 由三角形的中位线定理可以得到ΔDEF 三边与ΔABC 三边之间的数量关系,根据相 似三角形的判定定理可得两个三角形相似,且相似比为 1∶2,由相似三角形的周长比等于相 似比、面积比等于相似比的平方,可得结论. 【师生活动】 学生在教师的引导分析下回答问题,然后独立完成解答,小组成员交流答案, 小组代表板书过程,教师点评,规范学生书写过程. 【课件展示】 解:∵D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点, ∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC, 且 DE= 1 2 AB,EF= 1 2 BC,DF= 1 2 AC. ∴ ᦙ = = ᦙ = 1 2 . ∴ΔDEF∽ΔABC. ∴ΔDEF 的周长与ΔABC 的周长之比为 1∶2, ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比为 1∶4. [设计意图] 通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握,达 到巩固知识的目的,提高学生应用意识,增强学习数学的自信心,培养学生分析问题、解决问 题的能力. [知识拓展] 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面 积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等. 三、课堂小结： 1.相似三角形的性质: (1)相似三角形的对应边成比例; (2)相似三角形的对应角相等; (3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比; (4)相似三角形的周长比等于相似比; (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.