数学华东师大版九年级上册教案21-1 二次根式 3页

1 21.1 二次根式 教学目标 1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性； 2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母 的取值范围． 教学重难点 【教学重点】 了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围. 【教学难点】 用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 问题 1：你能用带有根号的式子填空吗？ (1)面积为 3 的正方形的边长为________，面积为 S 的正方形的边长为________． (2)一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与落下的高度 h(单位：m) 满足关系 h＝5t2，如果用含有 h 的式子表示 t，则 t＝______． 问题 2：上面得到的式子 3， S， 65， h 5 分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 例 1：下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1) 11；(2) －5；(3) （－7）2； (4) 3 13；(5) 1 5 －1 6 ；(6) 3－x(x≤3)； (7) －x(x≥0)；(8) （a－1）2；(9) －x2－5； (10) （a－b）2(ab≥0)． 解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是 2，二是看被开方数是不是非 负数． 解：因为 11， （－7）2， 1 5 －1 6 ＝ 1 30 ， 3－x(x≤3)， （a－1）2， （a－b）2(ab≥0) 中的根指数都是 2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式. 3 13的根指数不是 2， －5， －x(x≥0)， －x2－5的被开方数小于 0，所以不是二次根式． 方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次 根号“ ”；(2)被开方数是非负数． 2 探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围 例 2：求使下列式子有意义的 x 的取值范围． (1) 1 4－3x ；(2) 3－x x－2 ；(3) x＋5 x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0 且分母不等于 0，列不等 式(组)求解． 解：(1)由题意得 4－3x＞0，解得 x＜4 3 .当 x＜4 3 时， 1 4－3x 有意义； (2)由题意得 3－x≥0， x－2≠0， 解得 x≤3 且 x≠2.当 x≤3 且 x≠2 时， 3－x x－2 有意义； (3)由题意得 x＋5≥0， x≠0， 解得 x≥－5 且 x≠0.当 x≥－5 且 x≠0 时， x＋5 x 有意义． 方法总结：含二次根式的式子有意义的条件： (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方 数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非 负数外，还必须保证分母不为零． 【类型二】 利用二次根式的非负性求解 例 3：(1)已知 a、b 满足 2a＋8＋|b－ 3|＝0，解关于 x 的方程(a＋2)x＋b2＝a－1； (2)已知 x、y 都是实数，且 y＝ x－3＋ 3－x＋4，求 yx 的平方根． 解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即 可求得 x 的值，进而求得 y 的值，进而可求出 yx 的平方根． 解：(1)根据题意得 2a＋8＝0， b－ 3＝0， 解得 a＝－4， b＝ 3. 则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解 得 x＝4； (2)根据题意得 x－3≥0， 3－x≥0， 解得 x＝3.则 y＝4，故 yx＝43＝64，± 64＝±8，∴yx 的平方根 为±8. 方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为 0，这几个非负数都为 0. 探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题 例 4：先观察下列等式，再回答下列问题． ① 1＋1 12＋1 22＝1＋1 1 － 1 1＋1 ＝11 2 ； ② 1＋1 22＋1 32＝1＋1 2 － 1 2＋1 ＝11 6 ； ③ 1＋1 32＋1 42＝1＋1 3 － 1 3＋1 ＝1 1 12 . (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出 1＋1 42＋1 52的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用 含 n 的式子表示的等式(n 为正整数)． 解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是 1，第二个加数是个分数，设 分母为 n，第三个分数的分母就是 n＋1，结果是一个带分数，整数部分是 1，分数部分的分 3 子也是 1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子． 解：(1) 1＋1 42＋1 52＝1＋1 4 － 1 4＋1 ＝1 1 20 ； (2) 1＋1 n2＋ 1 （n＋1）2＝1＋1 n － 1 n＋1 ＝1 1 n（n＋1） (n 为正整数)． 方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找 出题目隐含条件并用关系式表示出来． 三、板书设计 1．二次根式的定义 一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件 被开方数(式)为非负数； a有意义⇔a≥0. 四、教学反思 通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进 行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会 到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．