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  • 2021-11-10 发布

中考数学专题复习练习:和圆有关的比例线段

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例 某机械传动装置在静止状态时,如图所示.连杆PB与点B运动所形成的交于点A,测量得PA=4cm,AB=5cm,⊙O半径为4.5cm.求点P到圆心O的距离.‎ 解:连结PO并延长,交⊙O于点C、D.‎ 根据切割线定理的推论,有PA·PB=PC·PD.‎ ‎∵PB=PA+AB=4+5=9,PC=PO-4.5,PD=PO+4.5,‎ ‎∴,,‎ ‎∴OP=.又OP为线段,取正数得OP=7.5(cm)‎ ‎∴点P到圆心O的距离为7.5(cm).‎ 说明:割线定理的在计算中的简单应用.‎ 例 已知:如图,AB是⊙O的弦,P是AB上的一点,AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求⊙O的半径.‎ 分析:由P为AB上的一点,且巳知PA、PB故联想到相交弦定理,所以需把OP向两方延长,分别与圆相交,再利用相交弦定理解之.‎ 解:向两方延长OP,分别交⊙O于C、D 由相交弦定理有: BP·AP=CP·DP 设CO=x,则 ‎ ‎ 解得:,∵CO>0,∴CO=7(cm)‎ 答:⊙O半径为7cm.‎ 说明:①相交弦定理的简单应用;②作辅助线构成基本图形.‎ 例 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BE是角平分线,DE⊥BE交AB于D,⊙O是△BDE的外接圆。‎ ‎(1)求证AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AD=6,AE=6,求DE的长。‎ 证明(1):连结OE ‎∵BE是∠ABC的平分线,∴∠1=∠2,‎ 又∵∠BED=∠C=90°,∴△BCE∽△BED,‎ ‎∴∠4=∠3,‎ 又∵OE=OB,∴∠1=∠5,∴∠4+∠5=∠1+∠3=90°,‎ ‎∴OE⊥AC,∴AC是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵AE是⊙O的切线,AE=6,AD=6,‎ ‎∴,∴.‎ ‎∴BD=AB-AD=12-6=6‎ ‎∵∠AED=∠ABE,∠A=∠A,∴△AED∽△ABE,∴‎ 设DE=,BE=2x,∵,∴,‎ 得(负的舍去),∴.‎ 说明:①此题主要应用:切线的判定定理,切割线定理、相似形以及勾股定理以及相似形;‎ 此题是与切割线定理有关的计算综合问题.‎ 例 如图,PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B、C两点,D为PC的中点,连AD并延长交⊙O 于E,已知:.‎ 求证:(1)PA=PD;‎ ‎ (2).‎ 分析:(1)易证∠PAD=∠PDA;‎ ‎ (2)关键在于利用线段之间的关系、等式性质,证出PB=BD.‎ 证明:(1)连结AB ‎ 在△DBE和△BAE中 ,‎ ‎∵,即,‎ 又∠BED=∠AEB,∴△DBE∽△BAE ‎∴∠2=∠3‎ ‎∵PA切⊙O于A,∴∠1=∠E 又∠PAD=∠1+∠2,∠PDA=∠3+∠E. ‎ ‎∴∠PAD=∠PDA,∴PA=PD.‎ ‎ (2)由切割线定理知,,‎ ‎ 又PA=PD,PD=DC, ∴,‎ ‎ ∴PB=BD.‎ ‎ 又 (相交弦定理),‎ ‎ DC=2PB,BD=PB,∴.‎ 说明:本题应用的知识点有:切割线定理、相交弦定理、弦切角定理、相似角形,利用等式性质证明线段的中点. ‎ 典型例题五 例 (北京市宣武区,2002)已知:CF是⊙O直径,CB为⊙O的弦,CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P.‎ ‎(1)如图所示,若,求⊙O半径的长;‎ ‎(2)如图所示,若E为BC上一点,且满足,连结FE并延长交⊙O于点A,求证:点A为的中点.‎ 分析:证明,可以有两种证法:一可以证明,由垂径定理即可证明结论,二可证明,由圆周角定理结论可证.‎ 解:(1)∵ CF是⊙O直径,PF切⊙O于点F,‎ ‎∴ .‎ 又 ‎∴ ⊙O的半径的长为5.‎ ‎(2)证法一:连结OA.‎ ‎∵ PF为⊙O切线,PBC为⊙O割线,‎ ‎∴ .‎ 又∵ ,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ 又∵ ,‎ ‎∴ 点A为中点.‎ 证法二:连结FB.‎ 同证法一可得 ,‎ ‎∴ ‎ ‎∵ PF切⊙O于点F,‎ ‎∴ ,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ ,‎ 即 点A为中点.‎ 典型例题六 例 (北京市崇文区,2002)已知:如图,PA切⊙O于点A,割线PBC交⊙O于点B、C,于点D,PD、AO的延长线相交于点E,连结CE并延长CE交⊙O于点F,连结AF.‎ ‎1.求证:∽;‎ ‎2.若,求⊙O半径的长.‎ 证明:1.∵ PA切⊙O于点A,‎ ‎∴ ‎ ‎∵ O在AE上, ∴ ‎ ‎∵ 于D,‎ ‎∴ ∽‎ ‎∴ ∽.‎ ‎2.∵ ∽,‎ 作于G,‎ 则,‎ ‎∴ ‎ 在Rt中,‎ ‎∴ ⊙O的半径长为.‎ 说明:这是一道综合性较强的几何题,对于几何题目难点是作辅助线。‎ 典型例题七 例 如图,内接于⊙,为⊙外一点,作,使交⊙于、两点,并与、分别交于点、.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,求证:是⊙的切线.‎ 分析:(1)由相交弦定理,因此待证式(1)可化为,即,这只需证明∽;(2)连,则是⊙的切线条件是,这只需证明.‎ 证明 (1)由相交弦定理,得 在与中,,‎ ‎∽,,‎ 即 故 ‎(2)过作⊙的直径,连结,则,‎ ‎ ,‎ 故是⊙的切线.‎ 说明:本题涉及知识点全面,体现了常用的证题方法,是一道优秀的选题.‎ 典型例题八 例 已知如图,点是⊙外一点,过作⊙的切线和,切点分别为、,连并延长交⊙于点,交的延长线于,若,且,求的值.‎ 分析:由切割线定理得:,而,因此有,且,再由比例线段,找出与之间的关系即可.‎ 解 连结、,‎ 为⊙的切线,‎ ‎,‎ ‎、为⊙的切线,‎ 在中,,‎ 为⊙的切线,为半径,‎ ‎ 同理,‎ ‎,‎ 为公共角,∽,‎ ‎,‎ 有 又,‎ 说明:题中有从圆外引圆的两条切线时,常把圆心与这点连结起来利用切线长定理证题.‎ 典型例题九 例 如图,中,,,以为直径的圆切于,设,.‎ 求与的函数关系式(为自变量)‎ 分析:本题着重考查切割线定理与一元二次函数的基础知识.‎ 解 由切割线定理知,‎ ‎,,‎ 即 说明:本题是1996年山东省中考试题的第一问,它将圆幂定理、二次函数等重要知识融为一体.‎ 典型例题十 例 (辽宁省试题,2002)已知:如图,⊙P与x轴相切于坐标原点O,点A(0,2)是⊙P与y轴的交点,点在x轴上,连结BP交⊙O于点C,连结AC并延长交x轴于点D。‎ ‎(1)求线段BC的长;‎ ‎(2)求直线AC的函数解析式;‎ ‎(3)当点B在x轴上移动时,是否存在点B,使相似于?若存在,求出符合条件的点的坐标;若不存在,说明理由。‎ 解:(1)解法一:‎ ‎ 由题意,得,‎ 在Rt中,,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解法二:‎ ‎ 延长BP交⊙P于G,由题意,得 ‎(2)‎ 过点C作于E,轴于F 在中,,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 解得 同理可求得 因此点C坐标为 设直线AC的函数解析式为 由于直线过两点,‎ 所以有 解得 ‎∴所求函数解析式为 ‎(3)在x轴上存在点B,使与相似 故,若要与相似,则 又 因此,‎ ‎∴点坐标为 根据对称性可求得符合条件的点坐标为 综上,符合条件的B点坐标有两个:‎ ‎ 说明:这是一道存在型问题。存在型说理题是探索性问题的主要形势,它要求学生紧扣题设条件,把握特征,拨开迷雾,对“是否存在”做出准确判断和正确的理解作为解决这类问题的理论依据.解这类考题一般遵循“三部曲”,即假设“存在”,——演绎推理——得出结论(合理或矛盾两种形式). ‎ 典型例题十一 例 (辽宁省试题,2002) 如图,已知矩形ABCD,以A为圆心,AD为半径的圆交AC、AB于M、E,CE的延长线交⊙O于F,CM=2,AB=4.‎ ‎ (1)求⊙A的半径;‎ ‎ (2)求CE的长和的面积.‎ ‎ ‎ 分析:(1)在中,利用勾股定理可求得AD=3.(2)在中,所以利用勾股定理可求得,进一步求出三角形的面积.‎ ‎ 解:(1)四边形ABCD为矩形,AB=4,.‎ ‎ 在中,‎ ‎ ‎ ‎ 解得AD=3.‎ ‎ (2)过A点作于G.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由,‎ 得 又 ‎∽‎ 即 典型例题十二 例 如图,PA切⊙O于B,C,若,则.‎ A.1.5 B.4 C.5 D.9‎ 解 切⊙O于点A,PC交⊙O于点B、C,‎ 选C.‎ 说明:本题考查切割线定理的应用,解题关键是应用切割线定理列出方程,易错点是将切割线定理错误地表述成.‎ 典型例题十三 例 (广州市,2002) 如图,PA为⊙O的切线,A为切点,⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于点,求⊙O的半径.‎ 解法1 为⊙O的切线,‎ ‎⊙O的半径cm.‎ 解法2 连OA.为⊙O的切线,∴‎ ‎∴‎ 设⊙O的半径为R,则∴cm.‎ 说明:本题用两种方法求⊙O的半径,解题关键是列出方程,易错点是用错切割线定理,如错成.‎ 典型例题十四 例 如图,已知BC为半圆的直径,AD与半圆相切于点D,在AB上截取,过E作,交AC的延长线于点F,过F作交AB的延长线于点G,求证:(1);(2).‎ 证明 (1)设AB与半圆交于H,连CH.‎ ‎∵BC为半圆O的直径,∴.‎ ‎∵AD切半圆于D,∴‎ ‎(2)‎ 说明:本题考查了切割线定理的应用,解题关键是作出辅助线,易错点是不善于进行比较复杂的比例式的代换.‎ 典型例题十五 例 已知线段,求作:线段c,使 作法 1.作线段;‎ ‎2.延长AP到B,使;‎ ‎3.以AB为直径作半圆;‎ ‎4.过点P作交半圆于点C.‎ 则PC就是的比例中项.‎ 说明: 本题考查相交弦定理推论的应用,解题关键是找到作图方法,此题还可以应用切割线定理和割线定理作图,易错点是找不到作图方法.‎ 选择题 ‎1.若切⊙于点,交⊙于点两点,且,如果,那么的长为( )‎ ‎(A) (B)3 (C) (D)‎ ‎2.如图,是⊙的两条切线,为切点,直线交⊙于,交于,为⊙直径,下列结论:①;②;③,其中正确结论的个数有( )‎ ‎(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个 ‎3.如图,若直线分别与⊙交于点,则下列各式中,相等关系成立的是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎4.如图,⊙中,弦相交于,则下列结论正确的是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎5.如图,切⊙于,和是⊙的割线,弦交于,则下列等式( )‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3);‎ ‎(4).‎ 正确的个数是()‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎6.弦相交于P,则下列等式成立的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.⊙O的半径是6cm,cm,则过点P的弦且被点分成1:2两部分的长是( )。‎ A.1cm和2cm B.2cm和4cm C.cm和2cm D.cm和2cm ‎8.在⊙O,弦AB和CD相交于点P,若,则以的长为根的一元二次方程为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.如图,的高交于的延长线交的外接圆于是BC的中点,,( )。‎ A. B. C.4 D.‎ 参考答案:‎ ‎1.(B) 2.(A) 3.(C) 4.(C) 5.(C)。6.B 7.C 8.B 9.A 填空题 ‎1、在⊙O中,弦AB与CD相交于E,AB=8,BE=6,DE=3,‎ 则CE= .‎ ‎2、如图,AB是半圆O的直径,CB切半圆于点B,AC交半圆于D,若CD=1,AD=3,则⊙O的半径的长为 .‎ ‎3、如图,BC是⊙O的直径,P是CB延长线上一点,PA切⊙O于点A,如果PA=,PB=1,那么∠APC = .‎ ‎4.如图,AB是⊙O的直径,CB切⊙O于B,CD切⊙O于D,交BA的延长线于E,若,则BC的长为_________。‎ ‎5.如图,⊙O中弦AB与CD相交于点E,,则弦CD的长是______cm。‎ ‎6.如图,CD是⊙O的直径,且,弦于P,,则 ‎7.圆内两弦相交,一弦长为6cm,且被交点平分,另一弦被交点为1:3,则另一弦长为______cm。‎ ‎8.直径为2cm的圆外有一点P,点P到圆上的点的最短距离为3cm,则过点P的切线长是_________cm。‎ ‎9.如图,在⊙O中,PA为切线,A为切点,,则⊙O的半径为_______。‎ ‎10.从圆外一点引圆的切线长为20cm,再从这一点引圆的割线,其中最长的为50cm,则圆的半径为_________。‎ ‎11.如图,EF是⊙O的弦,P是EF上一点,,则⊙O的半径是_________。‎ ‎12.如图,过⊙O的直径BA的延长线上一点P,作⊙O的切线为切点,如果,则 ‎13.如图,⊙O的直径是OA上一点,弦MN经过P,且,那么弦心距OQ为_________。‎ 参考答案:1. 4 2. 3. 30°4.3 5.8 6. 7. 8. 9.3cm 10.21cm 11.6cm 12. 13.‎ 解答题 ‎1.已知⊙O的两条弦AD和BC相交于点E,AB和CD的延长线交于点P.‎ ‎ (1)写出图中所有的相似三角形.‎ ‎ (2)写出图中所有的成比例线段.‎ ‎ (3)下列结论是否成立?‎ ‎ ①PC·DC=PB·BA; ②DE·CE=BE·AE;‎ ‎ ②DE·DA=BE·BC; ④PD·PC=PB·PA; ‎ ‎ ⑤DE·EA=EB·EC.‎ ‎ 说明:通过此练习,强化学生对相交弦定理和割线定理的理解,熟悉基本图形的性质.‎ ‎2.已知:如图,AF是⊙O的直径,弦BC⊥AF于D,DE⊥AC于E.‎ 求证:EC·AC=DF·AD ‎3.如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于D,交BA的延长线于C点,若CA=1,CD等于半径的倍,求DB长.‎ ‎4.已知:如图,在⊙中,过圆心,且,垂足为,过点任作一弦交⊙于,交于.‎ ‎5.已知如图,⊙内接四边形,D是的中点,的延长线相交于点,切⊙于点,交于.‎ ‎(1)求证:是的平分线;‎ ‎(2)试在直线上找出四条线段(仅限图中已有线段),使其中两条线段之积等于,另两条线段之积等于,并加以证明.‎ ‎6.已知:如图,内接于⊙,过圆心作的垂线交⊙于点,交于点,的延长线交于点,求证:.‎ ‎7.如图,⊙与⊙相交于两点,分别交⊙于,‎ 的延长线的交点在⊙上,与相交于点.‎ 求证:(1);‎ ‎(2).‎ ‎8.已知:如图,内接于⊙,为⊙的直径,且,的延长线与过点的的垂线相交于.‎ 求证:(1)为⊙的切线;‎ ‎ (2).‎ ‎9.如图,内接于⊙,,是⊙的切线,,交⊙于点,连结.‎ 求证:.‎ ‎10.已知:如图,是⊙的切线,为切点,和均是⊙的割线,它们与⊙的交点分别为,且.求证:‎ ‎(1);‎ ‎(2)∽;‎ ‎(3).‎ ‎11.已知:如图,⊙半径垂直于直径,为上一点,的延长线交⊙于,过点的切线交的延长线于.求证:‎ ‎(1);‎ ‎(2)若⊙半径为,,求的周长.‎ ‎12.如图,同心圆O,外⊙O的弦AB切内⊙O于E点,过E点作直线交外⊙O于C,D两点,外⊙O的半径为5, 内⊙O的半径为3,。求CD的长。‎ ‎13.如图,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上一点,PT切⊙O于T,过点B的切线和PT交于C,和AT的延长线交于D。(1)求证:为等腰三角形;(2)当时,求的值。‎ ‎14.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点为⊙O上一点,,DE交AB于点F。求证:‎ ‎15.如图,内接于⊙O,P为⊙O外一点,作,使PD交⊙O于 ‎,并与分别交于。(1)求证:;(2)若。求证:PC是⊙O的切线。‎ ‎16.已知:如图,A是⊙O上一点,割线PC交⊙O于两点,D是PC上一点,且PD是PB与PC的比例中项,,连AD并延长交⊙O于E。求证:‎ ‎17.如图,⊙O是以AB为直径的的外接圆,D是劣弧的中点,连AD并延长与过C点的切线交于与BC相交于E。(1)求证:;(2)求证:;(3)当,求PC的长度。‎ ‎18.如图,P是⊙O外一点,割线分别与⊙O相交于四点,PT切⊙O于T,点分别在上,且(1)求证:;(2)若,求PT的长。‎ ‎19.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A点坐标为(-8,0),B点坐标为(2,0),以AB中点P为圆心,AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C。(1)求图象经过三点的抛物线的解析式;(2)设M点为(1)中抛物线的顶点,求出顶点的坐标和直线MC的解析式;(3)判定(2)中的直线MC与⊙P的位置关系,并说明理由;(4)过坐标原点O作直线BC的平行线OG,与(2)中的直线MC相交于点G,连结AG,求出点G的坐标,并证明 ‎20.已知线段。求作:线段,使 ‎21.(1)通过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于和四点(如图(5),(6)中有重合的点),得到了如图(l)~(6)所表示的六种不同情况,在六种不同情况下,四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来,请你首先写出这个式子,然后只就如图(2)所示的圆内两条弦相交的一般情况,给出它的证明;(2)已知⊙O的半径为一定值r,若点P是不在⊙O上的一个定点,请你过点P任作一直线交⊙O于不重合的两点的值是否为定值?为什么?由此你发现了什么结论?请你把这一结论用文字叙述出来.‎ ‎ 22.已知一个二次函数的图象经过和三点.‎ ‎ (1)求这个二次函数的解析式以及它的图象与x轴的交点(M在N的左边)的坐标;‎ ‎ (2)若以线段MN为直径作OG.过坐标原点O作OG的切线OD,切点为D,求OD的长;‎ ‎ (3)求直线OD的解析式;‎ ‎(4)在直线OD上是否存在点P,使得是直角三角形?如果存在,求出点P的坐标(只需写出结果,不必写出解答过程);如果不存在,请说明理由。‎ 参考答案与提示:‎ ‎1.略 2. 提示:由EC·AC=CD2,CD2=DF·AD可证 ‎3. 提示:由切割线定理建立方程求出CD=,AB=2,又△CAD∽△CBD,得DA:DB=1:,应用勾股定理建立方程可得DB=.‎ ‎4.连结. ∵过圆心,且,‎ ‎∴,∴.∵为公共角,‎ ‎∴∽,∴,∴.‎ ‎5.(1)连结.∵为⊙切线,∴.‎ ‎∵为⊙内接四边形,‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴,即为的平分线.‎ ‎(2)由切割线定理得:.‎ 由上一问,可证∽,.‎ ‎∴.‎ ‎6.从所求需证明∽.已有一公共角,只须再证另一对角相等.连,由已知据垂径定理可证,得.又∵,,且可证,∴.‎ ‎∴.故可证两三角形相似得出所求.‎ ‎7.(1)连.∵两圆相交,∴且平分.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,∴.‎ 可证∽,得.‎ ‎(2)连.可证. ①‎ ‎∵ ∴. ②‎ 又∵ ∴. ③‎ 由①②③可得,即.‎ ‎∴是⊙切线.∴.‎ 又可证∽,∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎8.提示:(1)用切线定理.‎ ‎(2)连结,证∽.‎ ‎9.提示:由已知可证.显然只需证.再证∽,可证为等腰三角形即得.‎ ‎10.提示:(1)证∽可得所求.‎ ‎(2)∵,,‎ ‎∴.由共圆得,∴相似可证.‎ ‎(3)可证:,.‎ ‎∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎11.提示:(1)连.可证,得.‎ ‎∵,∴.‎ ‎(2)可得,∴,可证.‎ ‎∴为等边三角形,可得 ‎.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴周长为6.‎ ‎12. 13.连BT。证;(2)‎ ‎14.连OC。∽,∴。又 ‎15.(1)证∽,得,而∴;(2)连CO并延长交⊙O于F,连BF。证。‎ ‎16.连,证∽。。而。即。∴。∴‎ ‎17.(1)证;(2)连CD。∽。∴。∴。是切线,∴。∴∴;(3)‎ ‎18.(1)连CD。证,得;(2)‎ ‎19.(1);(2),直线MC的解析式为;(3)直线MC与⊙P相切。连结PC。证;(4)证 ‎20.略 ‎21.(1)满足的关系式是;(2)的值为定值。分点P在⊙O内和⊙O外两种情况证明分别得和。总之,P是不在⊙O上的一个定点时,为定值。结论:过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交,则这点到直线与圆的交点的两条线段长的积为为定值。‎ ‎22.(1);(2);(3)‎ ‎;(4)存在点P。坐标为,或,或.‎ 相关中考试题 ‎1.(北京市东城区2002年试题)已知:如图,P是⊙O直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E。‎ ‎(1)求证:PA·PB=PO·PE;‎ ‎(2)若DE⊥CF,,⊙O的半径为2,求弦CF的长。‎ ‎2.(北京市崇文区2002年试题)已知:如图,PA切⊙O于点A,割线PBC交⊙O于点B、C,于点D,PD、AO的延长线相交于点E,连结CE并延长CE交⊙O于点F,连结AF.‎ ‎(1)求证:∽;‎ ‎(2)若,求⊙O半径的长.‎ ‎3.(北京市宣武区2002年试题)已知:CF是⊙O直径,CB为⊙O的弦,CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P。‎ ‎(1)如图所示,若,求⊙O半径的长;‎ ‎(2)如图所示,若E为BC上一点,且满足,连结FE并延长交⊙O于点A,求证:点A为的中点。‎ ‎4.(吉林市2002年试题)如图,已知矩形ABCD,以A为圆心,AD为半径的圆交AC、AB于M、E,CE的延长线交⊙O于F,CM=2,AB=4.‎ ‎ (1)求⊙A的半径;‎ ‎ (2)求CE的长和的面积.‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)证明:连结OD。‎ ‎∵ AB是⊙O的直径,弦DF⊥AB于点H。‎ ‎∴ 。‎ 又,‎ ‎∽‎ ‎∴ ,即 由切割线定理的推论,得 ‎ ‎∴ ‎ ‎(2)解:由(1)知,AB是弦DF垂直平分线,‎ 由 ,‎ 得 。‎ ‎∴ 。‎ 在中,由,,‎ 可求得 。‎ ‎∵ △DHE是等腰直角三角形,‎ ‎∴ 。‎ 由 ,‎ 得 ∽。‎ 解得 。‎ ‎∴ 。‎ ‎2.证明:1.∵ PA切⊙O于点A,‎ ‎∴ ‎ ‎∵ O在AE上, ∴ ‎ ‎∵ 于D,‎ ‎∴ ∽‎ ‎∴ ∽.‎ ‎2.∵ ∽,‎ 作于G,‎ 则,‎ ‎∴ ‎ 在Rt中,‎ ‎∴ ⊙O的半径长为.‎ ‎3.解:(1)∵ CF是⊙O直径,PF切⊙O于点F,‎ ‎∴ 。‎ 又 ‎∴ ⊙O的半径的长为5。‎ ‎(2)证法一:连结OA。‎ ‎∵ PF为⊙O切线,PBC为⊙O割线,‎ ‎∴ 。‎ 又∵ ,‎ ‎∴ 。‎ ‎∴ 。‎ 又∵ ,‎ ‎∴ 点A为中点。‎ 证法二:连结FB。‎ 同证法一可得 ,‎ ‎∴ ‎ ‎∵ PF切⊙O于点F,‎ ‎∴ ,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ ,‎ 即 点A为中点。‎ ‎4.解:(1)四边形ABCD为矩形,AB=4,。‎ ‎ 在中,‎ ‎ ‎ ‎ 解得AD=3。‎ ‎ (2)过A点作于G。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由,‎ 得 又 ‎∽‎ 即