2019年湖南娄底中考数学试题（解析版） 17页

‎{来源}娄底市2019年初中毕业学业考试 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ 娄底市2019年初中毕业学业考试试题题卷 数学 温馨提示： ‎ ‎1、本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量120分钟，满分120分。‎ ‎2、请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上。‎ ‎3、请你在答题卡规定区域内作答，答在本试卷上无效。‎ ‎{题型:1-选择题}一、选择题（本大题共12小题，第小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）‎ ‎{题目}1．2019的相反数是（ ）‎ A．−2019 B．2019 C． D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了相反数的意义．理解a的相反数是-a，是解决本题的关键．2019的相反数是-2019，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[‎1-1-2‎-3]相反数}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．下列计算正确的是 A．（−2）3=8 B．（a2）3=a6 C．a2∙a3=a6 D．4x2−2x=2x ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了整式运算法则的掌握，选项A．根据乘方意义，表示3个−2相乘，结果为−8，所以该项不正确；选项B．仍然幂的乘方法则，底数a不变，指数2与3相乘，指数为6，结果应该为a6，所以该项正确；选项C．根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加，得a2×a3 =a5，所以该项不正确；选项D．根据整式减法法则，这两项不是同类项，故结果是4x2−2x，所以该项不正确；因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-2-2]整式的加减}‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{章节:[1-1-5-1]乘方}‎ ‎{考点:有理数乘方的定义}‎ ‎{考点:乘方运算法则}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{考点:整式加减}‎ ‎{考点:单项式乘以单项式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}3．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 ‎{答案}C ‎{解析}‎ 本题考查了中点四边形的有关内容。因为任意连接菱形相邻两边的中点所构成的中位线的长都平行且等于对角线的一半，而菱形的对角线互相垂直，故而相邻的中位线互相垂直，所以，顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形 ，故C选项正确 ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-1]矩形}‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{考点:中点四边形}‎ ‎{考点:三角形中位线}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}4．一组数据−2、1、1、0、2、1，这组数据的众数和中位数分别是（ ）‎ A．−2、0 B．1、0 C． 1、1 D．2、1‎ ‎{答案}C ‎{解析}众数是出现次数最多的数，这6个数据中出现次数最多的是1，共出现了3次，故而众数是1；把这6个数据按从小到大的顺序排列后为−2、0、1、1、1、2，处于中间两个数据的平均数为1，故而中位数为1，所以C选项正确。‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}5．2018年8月31日，华为正式分布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体验，再次被市场和消费者所认可，麒麟980是全球首颗7nm（1nm=10−9m）手机芯片。7nm用科学记数法表示为（　　）‎ A．7×10−8m　 B．7×10−9m　 C．0.7×10−8m　 D．7×10−10m ‎{答案}B ‎{解析}此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．由于1nm=10−9m ，故而7nm=7×10−9m　，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[‎1-1-5‎-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}6．下列命题是假命题的是（ ）‎ A．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ‎ B．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．n边形（n≥有）的内角和是180°n−360° ‎ D．旋转不改变图形的形状和大小 ‎{答案}B ‎{解析}此题主要考查了命题的有关知识。A选项：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是线段垂直平分线的性质，故而A选项正确；等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故而B选项错误，所以是命题；n边形的内角和为（n−2）×180°，故而C选项正确；根据旋转的性质可得，旋转也是一种全等变换，所以旋转不改变图形的形状和大小，故而D选项正确。‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明}‎ ‎{考点:互逆命题}‎ ‎{考点:垂直平分线的性质}‎ ‎{考点:等边三角形的性质}‎ ‎{考点:轴对称图形}‎ ‎{考点:中心对称图形}‎ ‎{考点:多边形的内角和}‎ ‎{考点:旋转的性质}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7．如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为和，则阴影部分的面积是（ ）‎ A．4π B．3π C．2π D．π 第7题图 ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了反比例函数的图象的性质，反比例函数的图象关于原点对称，而圆是中心对称图形，故而阴影部分的面积可以转化为半圆的面积，S阴影=S⊙O=×4π=2π。故而选C。‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数的图象}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．如图，边长为的等边∆ABC的内切圆的半径为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎ 第8题图 ‎{答案}A 答图 ‎{解析}本题考查了三角形的内切圆的有关知识。设△ABC的内心为O，连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH=AB=，然后利用正切的定义计算出OH即可．OH=1‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{考点:三角形的内切圆与内心}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第9题图 ‎{答案}C ‎{解析}本题涉及函数的平移规律，利用平移的特征，找出两点（1，1）和（−1，−1）这两点平移后的对应点为（2，2）（0，0），代入A、B、C、D选项，只有C选项符合。或借鉴二次函数和一次函数平移规律，加左减右，上加下减，即向右平移3个单位，自变量x减1，向上平移1个，函数值加1，故而选C.‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{分值}3‎ ‎{考点:反比例函数的图象}‎ ‎{考点:其他反比例函数的应用问题}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}10．如图，直线y=x+b和y=kx+2与x轴分别交于点A（−2，0），点B（3，0），则的解集为（ ）‎ A．x<−2 B．x>3 C．x<−2或x>3 D．−20的解集为：x＜3；∴不等式组的解集为：-2＜x＜3；故选：D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}‎ ‎{考点:一次函数与一元一次不等式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示。下列结论中正确的有（ ）‎ ①abc<0 ②b2−4ac<0 ③2a>b ④（a+c）20，故②错误；由对称轴为直线,得，从而推出b>2a，故③错误；（a+c）2−b2=（a+b+c）（a−b+c），因为x=1时, a+b+c<0，因为x=−1时, a−b+c>0，所以（a+c）2−b2<0，故④正确。所以本题选A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的系数与图象的关系}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{考点:抛物线与不等式（组）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}12．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的 多次复制并首尾连接而成。现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（ ）‎ A．−2 B．−1 C．0 D．1‎ 第 ‎ 答图 ‎{答案}B ‎{解析}此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题。根据图象可得移动4秒图象完成一个循环，从而可得出点P2019的坐标．‎ ‎【解答】解：由圆心角为120°的推出∠AOB=120°，从而得的长为半径为2个单位长度的圆的周长的，即=∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π，故P点运动1秒，到达的中点位置，根据∠AOC=60°，可得OC=1，PC=1，所以P点纵坐标为1，再运动1秒，P点到达B点位置，纵坐标为0，运动时间为3秒时，点P的纵坐标为−1，运动时间为4秒时，点P的纵坐标为0，∵2019÷4=504余3，∴P2019的纵坐标是−1，‎ 故选：B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}‎ ‎{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角}‎ ‎{考点:规律－图形变化类}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎{题目}13．y=的自变量x的取值范围是 。‎ ‎{答案}：x≥3‎ ‎{解析}可以看出，函数y＝中的x满足x− 3≥0，解出x的范围为x≥ 3即可．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-1-1]变量与函数}‎ ‎{章节:[1-16-1]二次根式}‎ ‎{考点:二次根式的有意义的条件}‎ ‎{考点:函数自变量的取值范围}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}14．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是 。‎ 第14题图 ‎{答案}‎ ‎{解析}采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．‎ 列表如下：‎ S1‎ S2‎ S3‎ S1‎ ‎‎ ‎（ S1 ，S2）‎ ‎（S1，S3 ）‎ S2‎ ‎（ S2，S1 ）‎ ‎‎ ‎（S2，S3 ）‎ S3‎ ‎（ S3，S1 ）‎ ‎（ S3， S2）‎ ‎‎ 共有6种情况，必须闭合开关S1灯泡才亮，‎ 即能让灯泡发光的概率是．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}15．如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1=28°，则∠2的度数为 。‎ ‎ 第15题图 ‎{答案}28°‎ ‎{解析}根据平行线的性质，先由AC∥BD得到∠2=∠D，再由AB∥CD可计算出∠1=∠D =28°，从而求出∠2=28°．也可能由AC∥BD，AB∥CD推出四边形ABDC是平行四边形，从而得出∠ABD=∠ACD=152°，也就得出∠2=28°。‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:两直线平行内错角相等}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}16．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB=2, ∠ACD=30°，则AD= 。‎ 第16题图 ‎{答案}1‎ ‎{解析}本题考查的是圆周角定理。由弧AD所对的圆周角相等可以得出∠B=∠C=30°，再由AB为⊙O的直径，推出∠ADB=90°，再由直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可得AD=AB=1.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:直径所对的圆周角}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}17．已知方程x2+bx+3=0的一根为，则方程的另一根为 。‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设方程的另一个根为c，∵c（）=3，∴c=‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}‎ ‎{考点:根与系数关系}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}18．已知点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离可表示为，例如：点（0，1）到直线y=2x+6的距离=，据此进一步可得两平行直线y=x与y=x−4之间的距离为 。‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}利用两平行线间的距离定义，在直线y=x上任意取一点（1，1），然后计算这个点到直线y=x−4的距离即可．解答：当x=1时，y=x=1，即点（1，1）在直线y=x上，‎ 因为点（1，1）到直线y=x−4的距离为：。因为直线y=x与y=x−4平行，‎ 所以这两条直线之间的距离为．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-2-1]平行线}‎ ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:平行线之间的距离}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）‎ ‎{题目}19．计算：‎ ‎{答案}−1‎ ‎{解析}本题涉及到以下运算：0指数幂、负整数指数幂、绝对值、三角函数的特殊值。‎ 解答：原式=1−2+−2×‎ ‎ =−1‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{考点:负指数的定义}‎ ‎{考点:负指数参与的运算}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{考点:实数与绝对值、相反数}‎ ‎{考点:简单的实数运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}20．先化简，再求值：，其中，‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a、b的值代入计算可得．‎ 解答：原式=‎ ‎ =‎ ‎ =ab 当，时，代入得，原式=1‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-1]分式}‎ ‎{章节:[1-15-2-1]分式的乘除}‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{章节:[1-16-2]二次根式的乘除}‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{考点:二次根式的乘法法则}‎ ‎{考点:运用平方差简便计算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）‎ ‎{题目}21．湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革，深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高。为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图表：‎ 关注程度 频数 频率 A．高度关注 m ‎0.4‎ B．一般关注 ‎100‎ ‎0.5‎ A．没有关注 ‎20‎ n ‎ ‎ ‎ 第21题图 答图 ‎(1)根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 ，m= ，n= .‎ ‎（2）根据以上信息补全图中的条形统计图。‎ ‎（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？‎ ‎{答案}200；80；0.1；‎ ‎{解析}本题考查了条形统计图以及统计表，掌握用样本估计总体以及频率的求法是解题的关键。‎ 解答：（1）由统计表中可得样本总数为100÷0.5=200人，所以m=200×0.4=80人；没有关注的频率n=20÷200=0.1（2）补全条形图见答图；（3）由高度关注的频率为0.4，列式：1500×0.4=600人，所以在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有600人.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{章节:[1-10-2]直方图}‎ ‎{考点:频数与频率}‎ ‎{考点:频数（率）分布表}‎ ‎{考点:频数（率）分布直方图}‎ ‎{考点:统计表}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}22．如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度i=1：1。为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β。已知tanα=2，tanβ=4‎ ‎，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）。‎ ‎ ‎ ‎ 第22题图 答图 ‎{答案}16‎ ‎{解析}直接利用坡度的定义设出AE长为x米，根据tanβ=4，求出BC的长，再利用tanα=2，列出方程tanα=，进而求出x=16,得出答案.‎ 解答：如图，过D作DF⊥AE于点F，设AE=x米，在Rt△DBC中，tan∠DBC=tanβ==4‎ ‎∵CD=96米 ‎∴BC=24米 ‎∵斜坡AB的坡度为1:1‎ ‎∴BE=AE=x米 ‎∴EC=DF=(x+24)米，AF=（96−x）米，‎ 在在Rt△DAF中，tan∠ADF=tanα==2‎ ‎∴‎ 解得x=16。‎ 经检验：x=16是原方程的根 答：求山顶A的高度为16米。‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用－坡度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎{题目}23．某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：‎ 类别 成本价（元/箱）‎ 销售价（元/箱）‎ 甲 ‎25‎ ‎35‎ 乙 ‎35‎ ‎48‎ 求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？‎ ‎（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？‎ ‎{答案}(1)购进甲矿泉水300瓶，乙矿泉水200瓶，‎ ‎（2）获利5600元。‎ ‎{解析}（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，根据投入14500元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，列出方程组解答即可；‎ ‎（2）利用总利润=甲的利润+乙的利润进而求出答案．‎ 解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得，解得：。‎ 答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．‎ ‎（2）该市场售完这500箱矿泉水，可获利300×（35−25）+200×（48−35）=5600（元）．‎ 答：该商场共获得利润5600元．‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-8-1]二元一次方程组}‎ ‎{章节:[1-8-3]实际问题与二元一次方程组}‎ ‎{考点:简单的列二元一次方程组应用题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}24．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E。‎ ‎（1）求证：直线CD是⊙O的切线。‎ ‎（2）求证：CD ∙ BE= AD ∙ DE。‎ ‎ ‎ 第24题图 答图 ‎{解析}本题涉及切线的判定及相似三角形的有关知识。（1）连接OD，利用OA=OD，推出∠2=∠3，由AD是角的平分线，可得∠1=∠2，从而得∠1=∠3，推出AC∥OD，由DC⊥AC的条件，根据平行线的性质推出OD⊥ DC，从而证出CD是⊙O的切线。（2）要证CD ∙ BE= AD ∙ DE，只需要证出，从而证△ADC∽△BED即可。‎ ‎{答案}：（1）证明：连接OD ‎∵OA=OD ‎∴∠2=∠3‎ ‎∵AD平分∠BAC ‎∴∠2=∠1‎ ‎∴∠1=∠3‎ ‎∴AC∥OD ‎∵DC⊥AC ‎∴OD⊥DC，‎ 又∵D在⊙O上 ‎∴ CD是⊙O的切线 ‎（2）证明：连接BD ‎∵BE是⊙O的切线，点B是切线 ‎∴∠ABE=90°，∠ABD+∠DBE=90°‎ ‎∵AB是⊙O的直径 ‎∴∠ADB=90°，∠ABD+∠DAB=90°‎ ‎∴∠DBE=∠DAB=∠CAD ‎∴Rt△ADC∽Rt△BED ‎∴‎ ‎∴CD ∙ BE= AD ∙ DE ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:圆与相似的综合}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）‎ ‎{题目}25．如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AG、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE=CG，AH=CF。‎ ‎（1）求证：△AEH≌△CGF；‎ ‎（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由；‎ ‎（3）请探究四边形EFGH的周长的一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由。‎ ‎ ‎ 第25题图 答图 ‎{解析}（1）由（SAS）可证△AEH≌△CGF，（2）由△AEH≌△CGF可得EH=GF，同理可得FE=HG，从而根据两组对边分别相等可推出四边形EFGH是平行四边形；（3）根据对称性，作FG关于BC的对称线段FG’，则可通过判断四边形AEG’G为平行四边形，把AC转化为线段EG’，这样放在△EFG’中，利用三角形三边关系得出四边形EFGH的周长的一半大于等于矩形ABCD一条对角线长。‎ ‎{答案}解:‎ ‎（1）∵矩形ABCD ‎∴∠A=∠C=90°‎ 在△AEH和△CGF中 ‎∴△AEH≌△CGF ‎（2）四边形EFGH为平行四边形，理由如下：‎ 由（1）得EH=FG 由矩形ABCD可得：AB=DC，AD=BC 又∵AE=CG，AH=CF ‎∴BE=DG，BF=DH 可得△BEF≌△DGH ‎∴EF=HG ‎∴四边形EFGH为平行四边形 ‎（3）作G关于关于BC的对称点FG’，连接EG’，可得线段EG’的长度就是EF+GF的最小值。‎ ‎∵CG’=CG=AE，AB∥CG’‎ ‎∴四边形AEG’C为平行四边形 ‎∴EG’=AC 在△EFG’中，‎ ‎∵EF+FG‘≥EG‘=AC ‎∴四边形EFGH的周长的一半大于等于矩形ABCD一条对角线长 ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}‎ ‎{章节:[1-18-1-2]平行四边形的判定}‎ ‎{章节:[1-13-3]课题学习 最短路径问题}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形}‎ ‎{考点:最短路线问题}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题目}26．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（−1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，−3）。点P、Q是抛物线上y=ax2+bx+c的动点。‎ ‎（1）求抛物线的解析式：‎ ‎（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值。‎ ‎（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标。‎ ‎ 第26题图1 第26题图2 ‎ ‎{答案}（1）y=x2−2x+3；（2）S△POD的最大值为；（3）Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（，）。‎ ‎{解析}（1）把A（−1，0），B（3，0），D（2，−3）三点代入y=ax2+bx+c，利用待定系数法求得抛物线的解析式，最好是用交点式求解析式更快；‎ ‎（2）利用待定系数法求得直线OD的解析式为y=−x．设P点坐标为（t，t2−2t+3），则过点P作PM∥y轴交直线OD于点M，过点D作DN⊥OB，则△POD的面积=.由M坐标为（t，），那么PM=，所以得S△POD=，再利用配方法化为顶点式，即可求出S△POD的最大值；‎ ‎（3）由∠OBE=∠ABC，可得△OBE与△ABC相似包含两种情况：①当△BOE∽△BAC时，OQ∥AC ，先求出AC的解析式为y=−3x−3，再求出OQ的解析式为y=−3x，与抛物线联立方程组求出Q点的坐标为Q1（，），Q2（，）；②当△BOE∽△BCA时，由求出BE=，再由OB=OC推出∠OBC=45°，从而求出E点坐标为（1，−2），由此求出直线OQ的解析式为y=−2x，与抛物线联立方程组求出Q点的坐标为Q3（，），Q4（，）‎ 答图1 答图2 答图3‎ ‎（1）解答：设所求解析式为：y=a（x+1）（x−3），代入（2，−3），解得a=1，‎ 即：y=（x+1）（x−3）‎ ‎∴抛物线的解析式为： y=x2−2x+3；‎ ‎（2）由O（0，0），D（2，−3），可得直线OD的解析式为：y=−x 由可得：，‎ ‎∵P点在直线OD下方，P在抛物线上，‎ ‎∴‎ 如答图1，过点P作y轴的平行线交直线OD于点M，‎ 设P点坐标为（t，t2−2t+3），由M坐标为（t，）过点D作DN⊥OB，‎ 则PM==，‎ ‎∵S△POD ==∙（）⋅2==‎ ‎∴当t=时，S△POD有最大值为。‎ ‎（3）由∠OBE=∠ABC，可得△OBE与△ABC相似包含两种情况：‎ ‎①当△BOE∽△BAC时，如答题2，得∠BOE=∠BAC ‎∴OQ∥AC ，‎ 由抛物线解析式可得C（0，−3）‎ 又∵A（−1，0）‎ ‎∴AC的解析式为y=−3x−3，‎ ‎∴OQ的解析式为y=−3x，‎ 由方程组得：，‎ ‎∴Q点的坐标为Q1（，），Q2（，）；‎ ‎②当△BOE∽△BCA时，‎ 得 ‎∵BO=3，BA=4，BC=‎ ‎∴BE=，‎ ‎∵OB=OC ‎∴∠OBC=45°，‎ 过E作EF⊥OB，如答图3‎ ‎∴△BEF为等腰直角三角形 ‎∴BF=EF=2‎ ‎∴E点坐标为（1，−2），‎ ‎∴直线OQ的解析式为y=−2x，‎ 由方程组得：，‎ ‎∴Q点的坐标为Q3（，），Q4（，）‎ 综上所述：Q点坐标为Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（，）。‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-22-1-1]二次函数}‎ ‎{章节:[1-22-1-3]二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质}‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{考点:代数选择压轴}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{考点:二次函数的三种形式}‎ ‎{考点:几何图形最大面积问题}‎ ‎{考点:二次函数中讨论相似}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:5-高难度}‎