2021年中考数学专题复习 专题52 中考数学最值问题（学生版） 10页

专题 52 中考数学最值问题 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分 为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领 (1)两点之间线段最短； (2)直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； (3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。 二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式 二次函数 y ax bx c  2 (a、b、c 为常数且 a  0 )其性质中有 ①若 a  0当 x b a   2 时，y 有最小值。 y ac b amin  4 4 2 ； ②若 a  0当 x b a   2 时，y 有最大值。 y ac b amax  4 4 2 。 2.一次函数的增减性.一次函数 y kx b k  ( )0 的自变量 x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因 而没有最大(小)值；但当 m x n  时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大 (小)值。 3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程；再根据 x 是实数，推得   0 ，进而求出 y 的取值范围，并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有 a b k k2 2   ，当且仅当 a b  0时，等号成立，即 a b k2 2  的最小值为 k。 6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号，然后求出 y 在各个区间上的最大值， 再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解.在不等式 x a 中， x a 是最大值，在不等式 x b 中， x b 是最小值。 8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内， 再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。 【例题 1】(2020•黑龙江)如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，将△ABD 沿射线 BD 方向平 移，得到△EFG，连接 EC、GC．求 EC+GC 的最小值为 ． 【对点练习】(2020•内江)如图，在矩形 ABCD 中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点 M、N 分别是线段 DB、 AB 上的两个动点，则 AM+MN 的最小值为 ． 【例题 2】(2020•襄阳)受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八 方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助， 对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按 25 元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果 x 千克，付款 y 元，y 与 x 之间的函数关系如图所示． (1)直接写出当 0≤x≤50 和 x＞50 时，y 与 x 之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共 100 千克，且甲种水果不少于 40 千克，但又不超过 60 千克．如 何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额 w(元)最少？ (3)若甲，乙两种水果的销售价格分别为 40 元/千克和 36 元/千克．经销商按(2)中甲，乙两种水果购进量的分 配比例购进两种水果共 a 千克，且销售完 a 千克水果获得的利润不少于 1650 元，求 a 的最小值． 【对点练习】(2020 海南模拟)某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格 为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种水果每次降价的百分率； (2)从第一次降价的第 1 天算起，第 x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x(天)的利润为 y(元)，求 y 与 x(1≤x＜15)之间的函数 关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天) 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元) 40＋3x 3x2－64x＋400 (3)在(2)的条件下，若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元，则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元？ 【例题 3】(2020•乐山)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣x 与双曲线 y 交于 A、B 两点，P 是以点 C(2， 2)为圆心，半径长 1 的圆上一动点，连结 AP，Q 为 AP 的中点．若线段 OQ 长度的最大值为 2，则 k 的值为( ) A ． B． C．﹣2 D． 【对点练习】(2019 云南)如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点 B 为弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上的一个动点，则 PA+PB 的最小值为 ． 【例题 4】(2020•衡阳)在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 y＝x2+px+q 的图象过点(﹣1，0)，(2， 0)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当﹣2≤x≤1 时，y 的最大值与最小值的差； (3)一次函数 y＝(2﹣m)x+2﹣m 的图象与二次函数 y＝x2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b，且 a＜3＜ b，求 m 的取值范围． 【对点练习】(2019 海南)如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+5 经过 A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与 x 轴的另 一个交点为 C，顶点为 D，连结 CD． (1)求该抛物线的表达式； (2)点 P 为该抛物线上一动点(与点 B、C 不重合)，设点 P 的横坐标为 t． ①当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点 P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题 5】(2020 无锡模拟)如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧 作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么 DE 长的最小值是 ． 【对点练习】(2019 年黑龙江大庆)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点 D 从 B 出发，沿线段 BA 运动到点 A 为止(不考虑 D 与 B，A 重合的情况)，运动速度为 2cm/s，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E，连接 BE，设动点 D 运动的时间为 x(s)，AE 的长为 y(cm)． (1)求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)当 x 为何值时，△BDE 的面积 S 有最大值？最大值为多少？ 一、填空题 1．(2020•扬州)如图，在▱ ABCD 中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F，使得 DF DE，以 EC、EF 为邻边构造▱ EFGC，连接 EG，则 EG 的最小值为 ． 2．(2020•凉山州)如图，矩形 ABCD 中，AD＝12，AB＝8，E 是 AB 上一点，且 EB＝3，F 是 BC 上一动点， 若将△EBF 沿 EF 对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到点 D 的最短距离为 ． 3．(2020•聊城)如图，在直角坐标系中，点 A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点 C 的纵坐标 为 1，且 CA＝CB，在 y 轴上取一点 D，连接 AC，BC，AD，BD，使得四边形 ACBD 的周长最小，这个最 小周长的值为 ． 4．如图，菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1，P、E、F 分别是边 CD、⊙A 和⊙ B 上的动点，则 PE+PF 的最小值是 ． 5.(2020 四川绵阳模拟)不等边三角形 ABC 的两边上的高分别为 4 和 12 且第三边上的高为整数，那么此 高的最大值可能为________。 6.(2020 齐齐哈尔模拟)设 a、b 为实数，那么 a ab b a b2 2 2    的最小值为_______。 二、解答题 7．(2020•达州)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价(元/张) 零售价(元/张) 成套售价(元/套) 餐桌 a 380 940 餐椅 a﹣140 160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同． (1)求表中 a 的值； (2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张．若 将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进 货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 8．(2020•泸州)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共 30 件．其中甲种奖 品每件 30 元，乙种奖品每件 20 元． (1)如果购买甲、乙两种奖品共花费 800 元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ (2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 3 倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？ 9．(2020•重庆)探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函 数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 y 的图象并探究该函数的性质． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … a ﹣2 ﹣4 b ﹣4 ﹣2 … (1)列表，写出表中 a，b 的值：a＝ ，b＝ ； 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误 的用“×”作答)： ① 函数 y 的图象关于 y 轴对称； ② 当 x＝0 时，函数 y 有最小值，最小值为﹣6； ③ 在自变量的取值范围内函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小． （3）已知函数 y x 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 ＜ x 的解集． 10．(2020•绥化)如图，在矩形 OABC 中，AB＝2，BC＝4，点 D 是边 AB 的中点，反比例函数 y1 (x＞0) 的图象经过点 D，交 BC 边于点 E，直线 DE 的解析式为 y2＝mx+n(m≠0)． (1)求反比例函数 y1 (x＞0)的解析式和直线 DE 的解析式； (2)在 y 轴上找一点 P，使△PDE 的周长最小，求出此时点 P 的坐标； (3)在(2)的条件下，△PDE 的周长最小值是 ． 11．(2020•临沂)如图，菱形 ABCD 的边长为 1，∠ABC＝60°，点 E 是边 AB 上任意一点(端点除外)，线段 CE 的垂直平分线交 BD，CE 分别于点 F，G，AE，EF 的中点分别为 M，N． (1)求证：AF＝EF； (2)求 MN+NG 的最小值； (3)当点 E 在 AB 上运动时，∠CEF 的大小是否变化？为什么？ 12．(2020•广元)如图，公路 MN 为东西走向，在点 M 北偏东 36.5°方向上，距离 5 千米处是学校 A；在点 M 北偏东 45°方向上距离 6 千米处是学校 B．(参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝ 0.75)． (1)求学校 A，B 两点之间的距离； (2)要在公路 MN 旁修建一个体育馆 C，使得 A，B 两所学校到体育馆 C 的距离之和最短，求这个最短距离． 13．(2020•武威)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx﹣2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C， 且 OA＝2OC＝8OB．点 P 是第三象限内抛物线上的一动点． (1)求此抛物线的表达式； (2)若 PC∥AB，求点 P 的坐标； (3)连接 AC，求△PAC 面积的最大值及此时点 P 的坐标． 14．(2020•枣庄)如图，抛物线 y＝ax2+bx+4 交 x 轴于 A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C，AC，BC．M 为线段 OB 上的一个动点，过点 M 作 PM⊥x 轴，交抛物线于点 P，交 BC 于点 Q． (1)求抛物线的表达式； (2)过点 P 作 PN⊥BC，垂足为点 N．设 M 点的坐标为 M(m，0)，请用含 m 的代数式表示线段 PN 的长，并 求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点 M 在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若 存在，请求出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 15．(2020•天津)已知点 A(1，0)是抛物线 y＝ax2+bx+m(a，b，m 为常数，a≠0，m＜0)与 x 轴的一个交点． (Ⅰ)当 a＝1，m＝﹣3 时，求该抛物线的顶点坐标； (Ⅱ)若抛物线与 x 轴的另一个交点为 M(m，0)，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作直线 1 平行于 x 轴，E 是直线 1 上的动点，F 是 y 轴上的动点，EF＝2 ． ① 当点 E 落在抛物线上(不与点 C 重合)，且 AE＝EF 时，求点 F 的坐标； ② 取 EF 的中点 N，当 m 为何值时，MN 的最小值是 ？