2020年中考数学专题复习：定理、公式汇编 11页

九年级数学定理、公式汇编 一、数与代数 1． 数与式 （1） 实数 实数的性质：①实数 a 的相反数是—a，实数 a 的倒数是 a 1 （a≠0）； ②实数 a 的绝对值：        )0( )0(0 )0( aa a aa a ③正数大于 0，负数小于 0，两个负实数，绝对值大的反而小。 二次根式： ①积与商的方根的运算性质： baab  （a≥0，b≥0）； b a b a  （a≥0，b＞0）； ②二次根式的性质：      )0( )0(2 aa aaaa （2）整式 ①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 nmnm aaa  （m、n 为正整数）； ②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 nmnm aaa  （a≠0，m、n 为正 整数，m>n）； ③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 nnn baab )( （n 为正整数）； ④零指数： 10 a （a≠0）； ⑤负整数指数： n n aa 1 （a≠0，n 为正整数）；或 n n aa      1 （当 a 是分数时） ⑥平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即 22))(( bababa  ； ⑦完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍，即 222 2)( bababa  ；或写成： abbaba 2)( 222  分式 ①分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即 mb ma b a   ； mb ma b a   ，其中 m 是不等于零的代数式； ②分式的乘法法则： bd ac d c b a  ； ③分式的除法法则： )0,0(  cbbc ad c d b a d c b a ； ④分式的乘方法则： n n n b a b a )( （n 为正整数）； ⑤同分母分式加减法则： c ba c b c a  ； ⑥异分母分式加减法则： bc cdab b d c a  ； 2． 方程与不等式 ①一元二次方程 02  cbxax (a≠0）的求根公式： )04(2 4 2 2  acba acbbx ②一元二次方程根的判别式： acb 42  叫做一元二次方程 02  cbxax （a≠0）的根的判别 式：  0 方程有两个不相等的实数根； a acbbx 2 42   0 方程有两个相等的实数根； a bxx 221   0 方程没有实数根； ③一元二次方程根与系数的关系：设 1x 、 2x 是方程 （a≠0）的两个根，那么 1x + = a b ， = a c ； 不等式的基本性质： ①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； ②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 3． 函数 (1)一次函数的图象：函数 y=kx+b(k、b 是常数，k≠0)的图象是过点（0，b）和（ k b ，0）且与直线 y=kx 平行的一条直线； 一次函数的性质：设 y=kx+b（k≠0），则当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k<0， y 随 x 的增大而 减小； (2)正比例函数的图象：函数 kxy  的图象是过原点及点（1，k）的一条直线。 正比例函数的性质：设 )0(  kkxy ，则： ①当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大；②当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小； (3)反比例函数的图象：函数 x ky  （k≠0）是双曲线； 反比例函数性质：设 （k≠0），如果 k>0，图象在第一、三象限，则当 x>0 时或 x<0 时，y 分别 随 x 的增大而减小； 如果 k<0，图象在第二、四象限，则当 x>0 时或 x<0 时，y 分别随 x 的增大而增大； (4)二次函数的图象：函数 )0(2  acbxaxy 的图象是对称轴垂直于 x 轴的抛物线； ①开口方向：当 a>0 时，抛物线开口向上，当 a<0 时，抛物线开口向下； ②对称轴：直线 a bx 2 ； ③顶点坐标（ )4 4,2 2 a bac a b  ； ④增减性：当 a>0 时，如果 a bx 2 ，则 y 随 x 的增大而减小，如果 a bx 2 ，则 y 随 x 的增大而增 大；当 a<0 时，如果 a bx 2 ，则 y 随 x 的增大而增大，如果 a bx 2 ，则 y 随 x 的增大而减小； 二次函数表达式：①一般式（三点式） cbxaxy  2 ②顶点式   khxay  2 其中顶点为 kh, ③交点式   21 xxxxay  其中与 x 轴交点为   0,0, 21 xx 和 二、空间与图形 1． 图形的认识 (1)角 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等， 角平分线的判定：角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。 (2)相交线与平行线 同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等； 对顶角的性质：对顶角相等 垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短； 线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线； 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 线段垂直平分线的判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线； 平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行； 平行线的特征： ①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补； 平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。 (3)三角形 三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180 ； 三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和； 三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； 三角形的三条角平分线交于一点（内心）； 三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）； 三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 全等三角形的判定： ①边角边公理（SAS） ②角边角公理（ASA） ③角角边定理（AAS） ④边边边公理（SSS） ⑤斜边、直角边公理（HL） 等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角） ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；（简称：等角对等边） 等边三角形的面积： 2 4 3 as  sin2 1 abs  （其中 是边 a、b 两边的夹角） 直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； ④直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形的判定： ①有两个角互余的三角形是直角三角形； ②如果三角形的三边长 a、b 、c 有下面关系 222 cba  ，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的 逆定理）。 (4)四边形 多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于  180)2(n （n≥3，n 是正整数）； 多边形外角和为：360° 平行四边形的性质： ①平行四边形对边平行； ②平行四边形的对边相等； ③平行四边形的对角相等； ④平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （定义） ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 矩形的性质：（具有一般平行四边形所有性质） ①矩形的四个角都是直角； ②矩形的对角线相等； 矩形的判定： ①有三个角是直角的四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形；（或：对角线相等且平分的四边形是矩形） 菱形的性质：（具有一般平行四边形所有性质） ②_x0001_ 形的四边相等； ②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （或：对角线互相垂直平分的四边形是菱形） 菱形的判定： ①四边相等的四边形是菱形； ②菱形的对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 正方形的性质： ①正方形的四边相等； ②正方形的四个角都是直角； ③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 正方形的判定： ①有一个角是直角的菱形是正方形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形。 ③对角线相等且垂直平分的四边形是正方形； 平面图形的镶嵌：原则：镶嵌成平面的公共顶点周围的内角和为 360 ； (5)圆。 点与圆的位置关系（设圆的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d）： ①点 P 在圆上，则 d=r，反之也成立； ②点 P 在圆内，则 dr，反之也成立； 圆的确定：不在一直线上的三个点确定一个圆； 垂径定理（及垂径定理的推论）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 平行弦夹等弧：圆的两条平行弦所夹的弧相等；（不要求学习） 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；（不要求学习） 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦的弦心距相等； 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量分别相等； 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，反过来， 90 的圆周角所对的弦是直径； 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （证明切线时作辅助方法：①连半径，证垂直 ②作垂直，证半径） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹 角； 弧长计算公式： 180 Rnl  （R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数，l 为弧长） 扇形面积： 2 360 RnS 扇形 或 lRS 2 1扇形 （R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数， 为扇形的弧长） 弓形面积  SSS 扇形弓形 (6)尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆） 作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已 知直线的垂线； (7)视图与投影 画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）； 基本几何体的展开图（除球外）、根据展开图判断和设别立体模型； 2.图形与变换 (1)图形的轴对称 轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 角、线段、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形； (2)图形的平移 图形平移的基本性质：对应点的连线平行且相等； (3)图形的旋转 图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心 连线段的夹角等于旋转角。 线段、平行四边形、矩形、菱形、边数为偶数的正多边形、圆 都是中心对称图形； (4)图形的相似 比例的基本性质：如果 d c b a  ，则 bcad  ，如果 bcad  ，则 )0,0(  dbd c b a 相似三角形的判定方法：①两组角对应相等；②两边对应成比例且夹角对应相等； ③三边对应成比例 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例； ③相似三角形的对应角平分线的比，对应高的比、对应中线的比等于相似比。 ④相似三角形的周长之比等于相似比； ⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方； 相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等；②相似多边形的对应边成比例； ③相似多边形的面积之比等于相似比的平方； 图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形； 直角三角形三角函数 Rt△ABC 中，∠C= 90 ，SinA= 斜边 的对边A ，cosA= 斜边 的邻边A , tanA= 的邻边 的对边 A A   , 特殊角的三角函数值： 30 45 60 Sinα 2 1 2 2 2 3 Cosα tanα 3 3 1 3 若α +β =90 ， 则 ①sinα =cosβ ② 1cossin1sinsin 2222  aaa 或β 三、概率与统计 1．统计 数据收集方法、数据的表示方法（统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图） （1）总体与样本 所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的 一个样本，样本中个体数目叫做样本的容量。 数据的分析与决策（借助所学的统计知识，对所收集到的数据进行整理、分析，在分析的结果上再作判断 和决策） （2）众数与中位数 众数：一组数据中，出现次数最多的数据； 中位数：将一组数据按从大到小依次排列，处在最中间位置的数据。 （3）频率分布直方图 频率= 总数 频数 ，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于 1，频率分布直方图中各个小长方形 的面积为各组频率。 （4）平均数的两个公式 ① n 个数 1x 、 2x ……, nx 的平均数为： n xxxx n  ......21 ； ② 加权平均数：如果在 n 个数中， 出现 1f 次、 出现 2f 次……, kx 出现 kf 次，并且 + ……+ =n，则 n fxfxfxx kk  ......2211 ； （5）极差、方差与标准差计算公式： ①极差： 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即： 极差=最大值-最小值； ②方差： 数据 1x 、 2x ……, nx 的方差为 2s ，则 =                    22 2 2 1 .....1 xxxxxxn n ③标准差： 数据 、 ……, 的标准差 s ，则 =                    22 2 2 1 .....1 xxxxxxn n 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。 2． 概率 ① 如果用 P 表示一个事件发生的概率，则 0≤P（A）≤1； P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0； ②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。 ③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 3. 统计的初步知识、概率在社会生活中有着广泛的应用，能用所学的这些知识解决实际问题。