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- 2021-11-10 发布
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黑龙江省大庆市2014年中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的序号填涂在答题卡上)
1.(3分)(2014•大庆)下列式子中成立的是( )
A.
﹣|﹣5|>4
B.
﹣3<|﹣3|
C.
﹣|﹣4|=4
D.
|﹣5.5|<5
考点:
有理数大小比较.
分析:
先对每一个选项化简,再进行比较即可.
解答:
解:A.﹣|﹣5|=﹣5<4,故A选项错误;
B.|﹣3|=3>﹣3,故B选项正确;
C.﹣|﹣4|=﹣4≠4,故C选项错误;
D.|﹣5.5|=5.5>5,故D选项错误;
故选B.
点评:
本题考查了有理数的大小比较,化简是本题的关键.
2.(3分)(2014•大庆)大庆油田某一年的石油总产量为4 500万吨,若用科学记数法表示应为( )吨.
A.
4.5×10﹣6
B.
4.5×106
C.
4.5×107
D.
4.5×108
考点:
科学记数法—表示较大的数.
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于4 500万有8位,所以可以确定n=8﹣1=7.
解答:
解:4 500万=45 000 000=4.5×107.
故选C.
点评:
此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.
3.(3分)(2014•大庆)已知a>b且a+b=0,则( )
A.
a<0
B.
b>0
C.
b≤0
D.
a>0
考点:
有理数的加法.
专题:
计算题.
分析:
根据互为相反数两数之和为0,得到a与b互为相反数,即可做出判断.
解答:
解:∵a>b且a+b=0,
∴a>0,b<0,
故选D.
点评:
此题考查了有理数的加法,熟练掌握互为相反数两数的性质是解本题的关键.
4.(3分)(2014•大庆)如图中几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
简单组合体的三视图.
分析:
找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.
解答:
解:从上面看易得第一层最右边有1个正方形,第二层有3个正方形.
故选A.
点评:
本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
5.(3分)(2014•大庆)下列四个命题:
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
其中正确的命题个数有( )
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
考点:
命题与定理;平行四边形的判定.
分析:
分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可.
解答:
解:(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形,此选项正确;
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形,此选项正确;
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形,此选项正确;
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,此选项正确.
故选:A.
点评:
此题主要考查了平行四边形的判定,熟练掌握平行四边形的判定是解题关键.
6.(3分)(2014•大庆)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
旋转的性质;正方形的性质.
分析:
连接AC1,AO,根据四边形AB1C1D1是正方形,得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°,求出∠DAB1=45°,推出A、D、C1三点共线,在Rt△C1D1A中,由勾股定理求出AC1,进而求出DC1=OD,根据三角形的面积计算即可.
解答:
解:连接AC1,
∵四边形AB1C1D1是正方形,
∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1,
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,
∴∠B1AB=45°,
∴∠DAB1=90°﹣45°=45°,
∴AC1过D点,即A、D、C1三点共线,
∵正方形ABCD的边长是1,
∴四边形AB1C1D1的边长是1,
在Rt△C1D1A中,由勾股定理得:AC1==,
则DC1=﹣1,
∵∠AC1B1=45°,∠C1DO=90°,
∴∠C1OD=45°=∠DC1O,
∴DC1=OD=﹣1,
∴S△ADO=×OD•AD=,
∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1,
故选C.
点评:
本题考查了正方形性质,勾股定理等知识点,主要考查学生运用性质进行计算的能力,题目比较好,但有一定的难度.
7.(3分)(2014•大庆)某市出租车起步价是5元(3公里及3公里以内为起步价),以后每公里收费是1.6元,不足1公里按1公里收费,小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元,则此出租车行驶的路程可能为( )
A.
5.5公里
B.
6.9公里
C.
7.5公里
D.
8.1公里
考点:
一元一次方程的应用.
分析:
设人坐车可行驶的路程最远是xkm,根据起步价5元,到达目的地后共支付车费11元得出等式求出即可.
解答:
解:设人坐车可行驶的路程最远是xkm,根据题意得:
5+1.6(x﹣3)=11.4,
解得:x=7.
观察选项,只有B选项符合题意.
故选:B.
点评:
此题主要考查了一元一次方程的应用,根据总费用得出等式是解题关键.
8.(3分)(2014•大庆)已知反比例函数的图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),若y1>y2,则x1﹣x2的值是( )
A.
正数
B.
负数
C.
非正数
D.
不能确定
考点:
反比例函数图象上点的坐标特征.
分析:
由于点A、B所在象限不定,那么自变量的值大小也不定,则x1﹣x2的值不确定.
解答:
解:∵反比例函数的图象的图象在二、四象限,
∴当点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在第二象限时,由y1>y2,则x1﹣x2>0;
当点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在第四象限时,由y1>y2,则x1﹣x2>0;
当点A(x1,y1)在第二象限、B(x2,y2)在第四象限时,即y1>0>y2,则x1﹣x2>0;
故选A.
点评:
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,注意反比例函数的图象的增减性只指在同一象限内.
9.(3分)(2014•大庆)如图,一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字﹣2,0,1,2,连续抛掷两次,朝下一面的数字分别是a,b,将其作为M点的横、纵坐标,则点M(a,b)落在以A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
列表法与树状图法.
分析:
首先列举出所有可能的结果,再找出落在以A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)的可能情况,根据古典概型概率公式得到结果即可.
解答:
解:列举出事件:(﹣2,1),(﹣2,0),(﹣2,2),(0,﹣2),(0,1),(0,2),(1,2),(1,0),(1,﹣2),(2,﹣2),(2,0),(2,1)共有12种结果,
而落在以A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)有:(﹣2,0),(0,1),(0,2),(1,0),(2,0),(﹣1,0)共6中可能情况,
所以落在以A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是==,
故选C.
点评:
本题考查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,列举法,是解决古典概型问题的一种重要的解题方法,属于中档题.
10.(3分)(2014•大庆)对坐标平面内不同两点A(x1,y1)、B(x2,y2),用|AB|表示A、B两点间的距离(即线段AB的长度),用‖AB‖表示A、B两点间的格距,定义A、B两点间的格距为‖AB‖=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|,则|AB|与‖AB‖的大小关系为( )
A.
|AB|≥‖AB‖
B.
|AB|>‖AB‖
C.
|AB|≤‖AB‖
D.
|AB|<‖AB‖
考点:
线段的性质:两点之间线段最短;坐标与图形性质.
专题:
新定义.
分析:
根据点的坐标的特征,|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|三者正好构成直角三角形,然后利用两点之间线段最短解答.
解答:
解:∵|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|的长度是以|AB|为斜边的直角三角形,
∴|AB|≤‖AB‖.
故选C.
点评:
本题考查两点之间线段最短的性质,坐标与图形性质,理解平面直角坐标系的特征,判断出三角形的三边关系是解题的关键.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11.(3分)(2014•大庆)若,则xy﹣3的值为 0.5 .
考点:
非负数的性质:算术平方根;非负数的性质:绝对值;负整数指数幂.
分析:
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值,代入所求代数式计算即可.
解答:
解:∵,
∴,
解得,
∴xy﹣3=22﹣3=.
点评:
本题考查了非负数的性质:几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.
12.(3分)(2014•大庆)某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间(单位:分钟)后,绘制了频数分布直方图,从左到右的前5个长方形相对应的频率之和为0.9,最后一组的频数是15,则此次抽样调查的人数为 150 人.(注:横轴上每组数据包含最小值不包含最大值)
考点:
频数(率)分布直方图.
分析:
根据直方图中各组的频率之和等于1,结合题意可得最后一组的频率,再由频率的计算公式可得总人数,即答案.
解答:
解:由题意可知:最后一组的频率=1﹣0.9=0.1,
则由频率=频数÷总人数可得:总人数=15÷0.1=150人;
故答案为:150.
点评:
本题考查了频数分布直方图的知识,解题的关键是牢记公式:频率=频数÷总人数.
13.(3分)(2014•大庆)二元一次方程组的解为 .
考点:
解二元一次方程组.
专题:
计算题.
分析:
方程组利用加减消元法求出解即可.
解答:
解:,
①×3﹣②×2得:11x=33,即x=3,
将x=3代入②得:y=2,
则方程组的解为.
故答案为:.
点评:
此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.
14.(3分)(2014•大庆)= .
考点:
整式的混合运算.
专题:
计算题.
分析:
先把(x+)提,再把4x2﹣1分解,然后约分即可.
解答:
解:原式=(2x+1)(2x﹣1)÷[(2x﹣1)(2x+1)]
=.
故答案为.
点评:
本题考查了整式的混合运算:有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.
15.(3分)(2014•大庆)图中直线是由直线l向上平移1个单位,向左平移2个单位得到的,则直线l对应的一次函数关系式为 y=x﹣2 .
考点:
一次函数图象与几何变换.
分析:
先求得图中直线方程,然后利用平移的性质来求直线l的解析式.
解答:
解:如图,设该直线的解析式为y=kx+1(k≠0),则
0=﹣k+1,
解得 k=1.
则该直线的解析式为y=x+1.
∵图中直线是由直线l向上平移1个单位,向左平移2个单位得到的,
∴由该直线向下平移1个单位,向右移2个单位得到的直线l,
∴直线l的解析式为:y=x+1﹣1﹣2=x﹣2,.
故答案是:y=x﹣2.
点评:
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间
的关系,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标左移加,右移减;纵坐标上移加,下移减.平移后解析式有这样一个规律“左加右减,上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系.
16.(3分)(2014•大庆)在半径为2的圆中,弦AC长为1,M为AC中点,过M点最长的弦为BD,则四边形ABCD的面积为 2 .
考点:
垂径定理;勾股定理.
分析:
先由直径是圆中最长的弦得出BD=4,再根据垂径定理的推论得出AC⊥BD,则四边形ABCD的面积=AC•BD.
解答:
解:如图.∵M为AC中点,过M点最长的弦为BD,
∴BD是直径,BD=4,且AC⊥BD,
∴四边形ABCD的面积=AC•BD=×1×4=2.
故答案为2.
点评:
本题考查了垂径定理,四边形的面积,难度适中.得出BD是直径是解题的关键.
17.(3分)(2014•大庆)如图,矩形ABCD中,AD=,F是DA延长线上一点,G是CF上一点,且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F=20°,则AB= .
考点:
矩形的性质;等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.
分析:
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°,再根据等腰三角形的性质求出∠CAG,然后求出∠CAF=120°,再根据∠BAC=∠CAF﹣∠BAF求出∠BAC=30°,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD,然后利用勾股定理列式计算即可得解.
解答:
解:由三角形的外角性质得,∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°,
∵∠ACG=∠AGC,
∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°,
∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°,
∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=30°,
在Rt△ABC中,AC=2BC=2AD=2,
由勾股定理,AB===.
故答案为:.
点评:
本题考查了矩形的性质,等腰三角形的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,勾股定理,熟记各性质并求出AB是30°角直角三角形的直角边是解题的关键.
18.(3分)(2014•大庆)有一列数如下:1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,…,则第9个1在这列数中是第 45 个数.
考点:
规律型:数字的变化类.
专题:
规律型.
分析:
根据两个1之间的0的个数分别为1、2、3…个,然后把0的个数相加再加上9,计算即可得解.
解答:
解:∵两个1之间的0的个数分别为1、2、3…,
∴到第9个1,0的个数为:1+2+3+4+5+6+7+8=36,
∴第9个1在这列数中是第36+9=45个数.
故答案为:45.
点评:
本题是对数字变化规律的考查,观察出两个1之间的0的个数是从1开始的连续的自然数是解题的关键.
三、解答题(本大题共10小题,共66分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19.(4分)(2014•大庆)计算:.
考点:
实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
专题:
计算题.
分析:
原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用绝对值的代数意义化简,第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用立方根定义化简计算即可得到结果.
解答:
解:原式=1+1+﹣2=.
点评:
此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20.(4分)(2014•大庆)求不等式组的整数解.
考点:
一元一次不等式组的整数解.
分析:
此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值,根据x是整数解得出x的可能取值.
解答:
解:,
解①得:x<,
解②得:x≥﹣1,
则不等式组的解集是:﹣1≤x<.
则整数解是:﹣1,0,1.
点评:
本题考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
21.(4分)(2014•大庆)已知非零实数a满足a2+1=3a,求的值.
考点:
分式的混合运算.
专题:
计算题.
分析:
已知等式两边除以a变形后求出a+的值,两边平方,利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值.
解答:
解:∵a2+1=3a,即a+=3,
∴两边平方得:(a+)2=a2++2=9,
则a2+=7.
点评:
此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
22.(7分)(2014•大庆)如图,点D为锐角∠ABC内一点,点M在边BA上,点N在边BC上,且DM=DN,∠BMD+∠BND=180°.
求证:BD平分∠ABC.
考点:
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
专题:
证明题.
分析:
在AB上截取ME=BN,证得△BND≌△EMD,进而证得∠DBN=∠MED,BD=DE,从而证得BD平分∠ABC.
解答:
解:如图所示:在AB上截取ME=BN,
∵∠BMD+∠DME=180°,∠BMD+∠BND=180°,
∴∠DME=∠BND,
在△BND与△EMD中,
,
∴△BND≌△EMD(SAS),
∴∠DBN=∠MED,BD=DE,
∴∠MBD=∠MED,
∴∠MBD=∠DBN,
∴BD平分∠ABC.
点评:
本题考查了三角形全等的判定和性质,等腰三角形的判定和性质.
23.(7分)(2014•大庆)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A(﹣2,0),与y轴交于点C,与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(m,n),连结OB.若S△AOB=6,S△BOC=2.
(1)求一次函数的表达式;
(2)求反比例函数的表达式.
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题.
专题:
计算题.
分析:
(1)由S△AOB=6,S△BOC=2得S△AOC=4,根据三角形面积公式得•2•OC=4,解得OC=4,则C点坐标为(0,4),然后利用待定系数法求一次函数解析式;
(2)由S△BOC=2,根据三角形面积公式得到×4×m=2,解得m=1,则B点坐标为(1,6),然后利用待定系数法确定反比例函数解析式.
解答:
解:(1)∵S△AOB=6,S△BOC=2,
∴S△AOC=4,
∴•2•OC=4,解得OC=4,
∴C点坐标为(0,4),
设一次函数解析式为y=mx+n,
把A(﹣2,0),C(0,4)代入得,解得,
∴一次函数解析式为y=2x+4;
(2)∵S△BOC=2,
∴×4×m=2,解得m=1,
∴B点坐标为(1,6),
把B(1,6)代入y=得k=1×6=6,
∴反比例函数解析式为y=.
点评:
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.
24.(7分)(2014•大庆)甲、乙两名同学进入初四后,某科6次考试成绩如图:
(1)请根据下图填写如表:
平均数
方差
中位数
众数
极差
甲
75
125
75
75
35
乙
75
33.3
72.5
70
15
(2)请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析:
①从平均数和方差相结合看;②从折线图上两名同学分数的走势上看,你认为反映出什么问题?
考点:
折线统计图;算术平均数;中位数;极差;方差.
分析:
(1)分别根据平均数、方差的求解进行计算,中位数的定义,众数的定义以及极差的定义解答;
(2)根据方差的意义以及折线统计图的意义解答.
解答:
解:(1)甲:方差= [(60﹣75)2+(65﹣75)2+(75﹣75)2+(75﹣75)2+(80﹣75)2+(95﹣75)2
=(225+100+0+0+25+400)
=125,
众数:75,
极差:95﹣60=35;
乙:平均数=(85+70+70+75+70+80)=75,
中位数:(70+75)=72.5,
众数:70;
故答案为:125,75,35;75,72.5,70;
(2)①从平均数和方差相结合看,乙同学成绩更稳定;
②从折线图上两名同学分数的走势上看,甲同学进步较快,乙同学成绩稳定有小幅度下滑.
点评:
本题考查折线统计图的运用,折线统计图表示的是事物的变化情况.
25.(7分)(2014•大庆)关于x的函数y=(m2﹣1)x2﹣(2m+2)x+2的图象与x轴只有一个公共点,求m的值.
考点:
抛物线与x轴的交点;一次函数图象上点的坐标特征.
分析:
需要分类讨论:该函数是一次函数和二次函数两种情况.
解答:
解:①当m2﹣1=0,且2m+2≠0,即m=1时,该函数是一次函数,则其图象与x轴只有一个公共点;
②当m2﹣1≠0,即m≠±1时,该函数是二次函数,则
△=(2m+2)2﹣8(m2﹣1)=0,
解得 m=3,m=﹣1(舍去).
综上所述,m的值是1或3.
点评:
本题考查了抛物线与x轴的交点.注意一定要分类讨论,以防漏解.
26.(8分)(2014•大庆)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,PB与CD交于点F,∠PBC=∠C.
(1)求证:CB∥PD;
(2)若∠PBC=22.5°,⊙O的半径R=2,求劣弧AC的长度.
考点:
垂径定理;圆周角定理;弧长的计算.
分析:
(1)先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D,再由等量代换得出∠C=∠D,然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD;
(2)先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°,再根据邻补角定义求出∠AOC=135°,然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度.
解答:
解:(1)∵∠PBC=∠D,∠PBC=∠C,
∴∠C=∠D,
∴CB∥PD;
(2)∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,
∴=,
∵∠PBC=∠C=22.5°,
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°,
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°,
∴劣弧AC的长为:=.
点评:
本题考查了圆周角定理,平行线的判定,垂径定理,弧长的计算,难度适中.(2)中求出∠AOC=135°是解题的关键.
27.(9分)(2014•大庆)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,点D在边AC上且BD平分∠ABC,设CD=x.
(1)求证:△ABC∽△BCD;
(2)求x的值;
(3)求cos36°﹣cos72°的值.
考点:
相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;黄金分割;解直角三角形.
专题:
计算题.
分析:
(1)由等腰三角形ABC中,顶角的度数求出两底角度数,再由BD为角平分线求出∠DBC的度数,得到∠DBC=∠A,再由∠C为公共角,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似;
(2)根据(1)结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC表示出AC,由(1)两三角形相似得比例求出x的值即可;
(3)过B作BE垂直于AC,交AC于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中,利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值,代入原式计算即可得到结果.
解答:
解:(1)∵等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=36°,
∵∠CBD=∠A=36°,∠C=∠C,
∴△ABC∽△BCD;
(2)∵∠A=∠ABD=36°,
∴AD=BD,
∵BD=BC,
∴AD=BD=CD=1,
设CD=x,则有AB=AC=x+1,
∵△ABC∽△BCD,
∴=,即=,
整理得:x2+x﹣1=0,
解得:x1=,x2=(负值,舍去),
则x=;
(3)过B作BE⊥AC,交AC于点E,
∵BD=CD,
∴E为CD中点,即DE=CE=,
在Rt△ABE中,cosA=cos36°===,
在Rt△BCE中,cosC=cos72°===,
则cos36°﹣cos72°=﹣=.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,以及一元二次方程的解法,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
28.(9分)(2014•大庆)如图①,已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.
(1)用x表示AD和CD;
(2)用x表示S,并求S的最大值;
(3)如图②,当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上,点E和点F分别是AB和CD的中点,求⊙O的半径R的值.
考点:
圆的综合题.
专题:
综合题.
分析:
(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如图①,易得四边形AHGB为矩形,则HG=AB=3x,再根据等腰梯形的性质得AD=BC,DH=CG,在Rt△ADH中,设DH=t,根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2t,AH=t,然后根据等腰梯形ABCD的周长为48得3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8﹣x,于是可得AD=18﹣2x,CD=16+x;
(2)根据梯形的面积公式计算可得到S=﹣2x2+8x+64,再进行配方得S=﹣2(x﹣2)2+72,然后根据二次函数的最值问题求解;
(3)连结OA、OD,如图②,由(2)得到x=2时,则AB=6,CD=18,等腰梯形的高为6,所以AE=3,DF=9,由于点E和点F分别是AB和CD的中点,根据等腰梯形的性质得直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴,所以EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6,根据垂径定理的推论得等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上,设OE=a,则OF=6﹣a,在Rt△AOE中,利用勾股定理得a2+32=R2,在Rt△ODF中,利用勾股定理得(6﹣a)2+92=R2,然后消去R得到a的方程a2+32=(6﹣a)2+92,解得a=5,最后利用R2=(5)2+32求解.
解答:
解:(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如图①,
则四边形AHGB为矩形,
∴HG=AB=3x,
∵四边形ABCD为等腰梯形,
∴AD=BC,DH=CG,
在Rt△ADH中,设DH=t,
∵∠ADC=60°,
∴∠DAH=30°,
∴AD=2t,AH=t,
∴BC=2t,CG=t,
∵等腰梯形ABCD的周长为48,
∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8﹣x,
∴AD=2(8﹣x)=18﹣2x,
CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x;
(2)S=(AB+CD)•AH
=(3x+16+x)•(8﹣x)
=﹣2x2+8x+64,
∵S=﹣2(x﹣2)2+72,
∴当x=2时,S有最大值72;
(3)连结OA、OD,如图②,
当x=2时,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高为×(8﹣2)=6,
则AE=3,DF=9,
∵点E和点F分别是AB和CD的中点,
∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴,
∴EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6,
∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上,
设OE=a,则OF=6﹣a,
在Rt△AOE中,
∵OE2+AE2=OA2,
∴a2+32=R2,
在Rt△ODF中,
∵OF2+DF2=OD2,
∴(6﹣a)2+92=R2,
∴a2+32=(6﹣a)2+92,解得a=5,
∴R2=(5)2+32=84,
∴R=2.
点评:
本题考查了圆的综合题:熟练掌握垂径定理及其推论和等腰梯形的性质;会运用二次函数的性质解决最值问题;熟练运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行计算.
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