九年级上册青岛版数学课件4-1一元二次方程（1） 22页

4.1一元二次方程（1） 1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点） 学习目标 复习引入 没有未知数 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 924  x x-5＜18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 导入新课 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 （组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方 程叫作一元一次方程. 想一想：什么叫 一元二次方程呢？ 一元二次方程的相关概念 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为 x m ,那么 地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　　 m,根据 题意,可得方程： (8 - 2x) (5 - 2x) x x (8 – 2x) x x (5 – 2x) ( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18. 化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .① 该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？ 知识点 讲授新课 问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的 平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后 面四个数依次可表示 为： , , , .　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x+1 x+2 x+3 x+4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简得，x2 - 8x - 20＝0. ② 该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？ 解：由勾股定理可知,滑动前梯 子底端距墙　　　　m.如果设梯 子底端滑动x m ,那么滑动后梯子 底端距墙　　 m , 根据题意，可得方程： 问题3：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的 顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m, 那么梯子的底端滑动多少米？ 6 x+6 72 + (x + 6)2 = 102. 化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③ 10m 8m 1m xm 该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？ ① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0. 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程． 观察与思考 方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: 只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数是2的 整式方程,叫作一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 知识要点 u一元二次方程的概念 u一元二次方程的一般形式是 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、 c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 典例精析 2 2 2 2 2 1A. 0 B.3 5 0 C.( 1)( 2) 0 D. 0 x x xy yx x x ax bx c            例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 判断下列方程是否为一元二次方程？ 2 1 2(4) 0x x   (2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0      63)6( 2 x 22 )32(14)7(  xx 062))(8( 2  xx   (1) x2+ x=36 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣ a ∣ +1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别 与联系？ ax=b (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指 出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数 是-8；常数项是-10. 系数和项均包含前面的符号.注意 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 随堂练习 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2 3 2 0x x   23 1 2 3y y  24 5x  (2 )(3 4) 3x x   2 3 2 0x x   23 2 3 1 0y y   -21 3 13 -54 0 -53 -2 24 5 0x   23 2 5 0x x   3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　　　时，是一元二次方程． 当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在 矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积 的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其 中π取3）. 解：设由于圆的半径为xcm， 则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 2 2500 0 x ①  根据题意有， 2 3200 150 3 200 150 4x     200cm 1 5 0 c m (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 整理，得 225 50 11 0 x x ②   根据题意有，  275 1 108x  一 元 二 次 方 程 概 念 ① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件 课堂小结