2021年春中考数学一轮复习小专题突破：弧长的计算1（附答案） 40页

2021 年春中考数学一轮复习小专题突破：弧长的计算 1（附答案） 1．如图，正方形 ABCD 的边 AB＝1， 和 都是以 1 为半径的圆弧，则无阴影两部分的 面积之差是（ ） A． B．1﹣ C． ﹣1 D．1﹣ 2．如图，AB 为 ⊙ O 的切线，切点为 B，连接 AO，AO 与 ⊙ O 交于点 C，BD 为 ⊙ O 的直径， 连接 CD．若∠A＝30°， ⊙ O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A． ﹣ B． ﹣2 C． π ﹣ D． ﹣ 3．如图，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形 AOC、△COB、 弓形 BmC 的面积为 S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1 4．如图，在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到 △ADE，点 B 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A． π B． π C． π D． π 5．如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，以 C 为圆心、CE 为半径作弧，交 CD 于 点 F，连接 AE、AF．若 AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ） A．9 ﹣3 π B．9 ﹣2 π C．18 ﹣9 π D．18 ﹣6 π 6．如图，四边形 ABCD 是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60°， 则图中阴影部分的面积是（ ） A． ﹣ B． ﹣ C． π ﹣ D． π ﹣ 7．如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形 是莱洛三角形，若 AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A． B． C．2 D．2 8．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120°，AB 长为 25cm， 贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A．175 π cm2 B．350 π cm2 C． π cm2 D．150 π cm2 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30° 后得到 Rt△ADE，点 B 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． ﹣ D． 10．如图， ⊙ A， ⊙ B， ⊙ C 的半径都是 2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（ ） A．2 π B． π C． D．6 π 11．如图，从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90°的扇形，则此扇形的面积 为（ ） A． 2 B． C． π m2 D．2 π m2 12．如图， ⊙ O 中， ＝ ，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（ ） A．2+ π B．2+ + π C．4+ π D．2+ π 13．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2 ，以点 B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交 AB 于点 D，若点 D 为 AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ） A．2 ﹣ π B．4 ﹣ π C．2 ﹣ π D． π 14．一个扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则该扇形的面积是（ ） A．2 π B．4 π C．12 π D．24 π 15．如图，AB 是 ⊙ O 的直径，点 E 为 BC 的中点，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部 分的面积之和为（ ） A． B．2 C． D．1 16．如图，在▱ ABCD 中，∠B＝60°， ⊙ C 的半径为 3，则图中阴影部分的面积是（ ） A． π B．2 π C．3 π D．6 π 17．如图，在▱ ABCD 中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点 A 为圆心，AD 的长为半径画 弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 π ）． 18．如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，点 C 为 OA 的中点，CE⊥OA 交 于点 E，以 点 O 为圆心，OC 的长为半径作 交 OB 于点 D．若 OA＝2，则阴影部分的面积为 ． 19．如图，在圆心角为 90°的扇形 OAB 中，半径 OA＝2cm，C 为 的中点，D、E 分别是 OA、OB 的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2． 20．如图，半圆 O 的直径 AB＝2，弦 CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积 为 ． 21．如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°， 将△BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至△B′OC′，点 C′在 OA 上，则边 BC 扫过区域（图 中阴影部分）的面积为 cm2．（结果保留 π ） 22．如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB＝8，点 C 为半圆上的一点．将此半圆沿 BC 所在的 直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留 π ） 23．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC 绕 AC 的中点 D 逆时针旋 转 90°得到△A'B′C'，其中点 B 的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为 ． 24．如图，在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为 圆心作圆心角为 90°的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为 ． 25．如图，△OAC 的顶点 O 在坐标原点，OA 边在 x 轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC 绕点 A 按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点 O′的坐标是（1， ），则在旋转过程中线 段 OC 扫过部分（阴影部分）的面积为 ． 26．如图，将矩形 ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90°到矩形 A′B′CD′的位置，AB＝ 2，AD＝4，则阴影部分的面积为 ． 27．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，先以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以 AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结 果保留 π ）． 28．如图，在半径 AC 为 2，圆心角为 90°的扇形内，以 BC 为直径作半圆，交弦 AB 于点 D，连接 CD，则图中阴影部分的面积是 ． 29．如图，半圆 O 的直径 AE＝4，点 B，C，D 均在半圆上，若 AB＝BC，CD＝DE，连接 OB，OD，则图中阴影部分的面积为 ． 30．用等分圆周的方法，在半径为 1 的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积 为 ． 31．如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中心与半径为 2 的 ⊙ O 的圆心重合，E、F 分别是 AD、 BA 的延长线与 ⊙ O 的交点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留 π ） 32．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点 A、点 C 为圆心，以 AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积 为 ．（结果保留 π ） 33．如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 的斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于点 E．B、E 是半圆弧的三等分点，弧 BE 的长为 ，则图中阴影部分的面积为 ． 34．如图，AB 为半圆的直径，且 AB＝6，将半圆绕点 A 顺时针旋转 60°，点 B 旋转到点 C 的位置，则图中阴影部分的面积为 ． 35．如图，点 D 在 ⊙ O 的直径 AB 的延长线上，点 C 在 ⊙ O 上，AC＝CD，∠ACD＝120°． （1）求证：CD 是 ⊙ O 的切线； （2）若 ⊙ O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积． 36．如图，已知 AB 是 ⊙ O 的直径，点 C、D 在 ⊙ O 上，∠D＝60°且 AB＝6，过 O 点作 OE ⊥AC，垂足为 E． （1）求 OE 的长； （2）若 OE 的延长线交 ⊙ O 于点 F，求弦 AF、AC 和弧 CF 围成的图形（阴影部分）的 面积 S． 37．如图，AB 是 ⊙ O 的直径，点 D 是 AB 延长线上的一点，点 C 在 ⊙ O 上，且 AC＝CD， ∠ACD＝120°． （1）求证：CD 是 ⊙ O 的切线； （2）若 ⊙ O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积． 38．如图，已知 AB，CD 为 ⊙ O 的直径，过点 A 作弦 AE 垂直于直径 CD 于 F，点 B 恰好为 的中点，连接 BC，BE． （1）求证：AE＝BC； （2）若 AE＝2 ，求 ⊙ O 的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 39．如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90 度．O 是 AB 的中点， ⊙ O 与 AC 相切于点 D、与 BC 相切于点 E．设 ⊙ O 交 OB 于 F，连 DF 并延长交 CB 的延长线于 G． （1）∠BFG 与∠BGF 是否相等？为什么？ （2）求由 DG、GE 和弧 ED 所围成图形的面积．（阴影部分） 40．如图，AB 是 ⊙ O 的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA，C 为垂足，弦 DF 与半径 OB 相交 于点 P，连接 EF、EO，若 DE＝2，∠DPA＝45°． （1）求 ⊙ O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 41．如图，五个半径为 2 的圆，圆心分别是点 A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和 是多少？ 42．如图，已知 AB 是 ⊙ O 的直径，C，D 是 ⊙ O 上的点，OC∥BD，交 AD 于点 E，连结 BC． （1）求证：AE＝ED； （2）若 AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积． 参考答案 1．解：如图：正方形的面积＝S1+S2+S3+S4； ① 两个扇形的面积＝2S3+S1+S2； ② ② ﹣ ① ，得：S3﹣S4＝2S 扇形﹣S 正方形＝ ﹣1＝ ． 故选：A． 2．解：过 O 点作 OE⊥CD 于 E， ∵AB 为 ⊙ O 的切线， ∴∠ABO＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°， ∵ ⊙ O 的半径为 2， ∴OE＝1，CE＝DE＝ ， ∴CD＝2 ， ∴图中阴影部分的面积为： ﹣ ×2 ×1＝ π ﹣ ． 故选：A． 3．解：作 OD⊥BC 交 BC 与点 D， ∵∠COA＝60°， ∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°． ∴S 扇形 AOC＝ ； S 扇形 BOC＝ ． 在三角形 OCD 中，∠OCD＝30°， ∴OD＝ ，CD＝ ，BC＝ R， ∴S△OBC＝ ，S 弓形＝ ＝ ， ＞ ＞ ， ∴S2＜S1＜S3． 故选：B． 4．解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4， ∴△ABC 为直角三角形， 由题意得，△AED 的面积＝△ABC 的面积， 由图形可知，阴影部分的面积＝△AED 的面积+扇形 ADB 的面积﹣△ABC 的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形 ADB 的面积＝ ＝ ， 故选：A． 5．解：连接 AC， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝6， ∵∠B＝60°，E 为 BC 的中点， ∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC 是等边三角形，AB∥CD， ∵∠B＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°， 由勾股定理得：AE＝ ＝3 ， ∴S△AEB＝S△AEC＝ ×6×3 × ＝4.5 ＝S△AFC， ∴阴影部分的面积 S＝S△AEC+S△AFC﹣S 扇形 CEF＝4.5 +4.5 ﹣ ＝9 ﹣ 3 π ， 故选：A． 6．解：连接 BD， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠A＝60°， ∴∠ADC＝120°， ∴∠1＝∠2＝60°， ∴△DAB 是等边三角形， ∵AB＝2， ∴△ABD 的高为 ， ∵扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60°， ∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°， ∴∠3＝∠4， 设 AD、BE 相交于点 G，设 BF、DC 相交于点 H， 在△ABG 和△DBH 中， ， ∴△ABG≌△DBH（ASA）， ∴四边形 GBHD 的面积等于△ABD 的面积， ∴图中阴影部分的面积是：S 扇形 EBF﹣S△ABD＝ ﹣ ×2× ＝ ﹣ ． 故选：A． 7．解：过 A 作 AD⊥BC 于 D， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD＝1，AD＝ BD＝ ， ∴△ABC 的面积为 ＝ ， S 扇形 BAC＝ ＝ π ， ∴莱洛三角形的面积 S＝3× π ﹣2× ＝2 π ﹣2 ， 故选：D． 8．解：∵AB＝25，BD＝15， ∴AD＝10， ∴S 贴纸＝2×（ ﹣ ） ＝2×175 π ＝350 π cm2， 故选：B． 9．解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1， ∴AB＝ ， ∴S 扇形 ABD＝ ＝ ． 又∵Rt△ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB， ∴S 阴影部分＝S△ADE+S 扇形 ABD﹣S△ABC＝S 扇形 ABD＝ ． 故选：A． 10．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴阴影部分的面积＝ ＝2 π ． 故选：A． 11．解： 连接 AC， ∵从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90°的扇形，即∠ABC＝90°， ∴AC 为直径，即 AC＝2m，AB＝BC（扇形的半径相等）， ∵AB2+BC2＝22， ∴AB＝BC＝ m， ∴阴影部分的面积是 ＝ （m2）， 故选：A． 12．解：作 OD⊥BC，则 BD＝CD，连接 OB，OC， ∴OD 是 BC 的垂直平分线， ∵ ＝ ， ∴AB＝AC， ∴A 在 BC 的垂直平分线上， ∴A、O、D 共线， ∵∠ACB＝75°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC 是等边三角形， ∴OA＝OB＝OC＝BC＝2， ∵AD⊥BC，AB＝AC， ∴BD＝CD， ∴OD＝ OB＝ ， ∴AD＝2+ ， ∴S△ABC＝ BC•AD＝2+ ，S△BOC＝ BC•OD＝ ， ∴S 阴影＝S△ABC+S 扇形 BOC﹣S△BOC＝2+ + ﹣ ＝2+ π ， 故选：A． 13．解：∵D 为 AB 的中点， ∴BC＝BD＝ AB， ∴∠A＝30°，∠B＝60°． ∵AC＝2 ， ∴BC＝AC•tan30°＝2 • ＝2， ∴S 阴影＝S△ABC﹣S 扇形 CBD＝ ×2 ×2﹣ ＝2 ﹣ π ． 故选：A． 14．解：S＝ ＝12 π ， 故选：C． 15．解：连接 AE，OD、OE． ∵AB 是直径， ∴∠AEB＝90°， 又∵∠BED＝120°， ∴∠AED＝30°， ∴∠AOD＝2∠AED＝60°． ∵OA＝OD ∴△AOD 是等边三角形， ∴∠OAD＝60°， ∵点 E 为 BC 的中点，∠AEB＝90°， ∴AB＝AC， ∴△ABC 是等边三角形，边长是 4．△EDC 是等边三角形，边长是 2． ∴∠BOE＝∠EOD＝60°， ∴ 和弦 BE 围成的部分的面积＝ 和弦 DE 围成的部分的面积． ∴阴影部分的面积＝S△EDC＝ ×22＝ ． 故选：A． 16．解：∵在▱ ABCD 中，∠B＝60°， ⊙ C 的半径为 3， ∴∠C＝120°， ∴图中阴影部分的面积是： ＝3 π ， 故选：C． 17．解：过 D 点作 DF⊥AB 于点 F． ∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°， ∴DF＝AD•sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2， ∴阴影部分的面积： 4×1﹣ ﹣2×1÷2 ＝4﹣ π ﹣1 ＝3﹣ π ． 故答案为：3﹣ π ． 18．解：连接 OE、AE， ∵点 C 为 OA 的中点， ∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°， ∴△AEO 为等边三角形， ∴S 扇形 AOE＝ ＝ π ， ∴S 阴影＝S 扇形 AOB﹣S 扇形 COD﹣（S 扇形 AOE﹣S△COE） ＝ ﹣ ﹣（ π ﹣ ×1× ） ＝ π ﹣ π + ＝ + ． 故答案为： + ． 19．解：连结 OC，过 C 点作 CF⊥OA 于 F， ∵半径 OA＝2cm，C 为 的中点，D、E 分别是 OA、OB 的中点， ∴OD＝OE＝1cm，OC＝2cm，∠AOC＝45°， ∴CF＝ ， ∴空白图形 ACD 的面积＝扇形 OAC 的面积﹣三角形 OCD 的面积 ＝ ﹣ × ＝ π ﹣ （cm2） 三角形 ODE 的面积＝ OD×OE＝ （cm2）， ∴图中阴影部分的面积＝扇形 OAB 的面积﹣空白图形 ACD 的面积﹣三角形 ODE 的面积 ＝ ﹣（ π ﹣ ）﹣ ＝ π + ﹣ （cm2）． 故图中阴影部分的面积为（ π + ﹣ ）cm2． 故答案为：（ π + ﹣ ）． 20．解：∵弦 CD∥AB， ∴S△ACD＝S△OCD， ∴S 阴影＝S 扇形 COD＝ • π • ＝ × π × ＝ ． 故答案为： ． 21．解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心 O 逆时针旋转得到的， ∴∠B′OC′＝60°，△BCO≌△B′C′O， ∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°， ∴∠B′OB＝120°， ∵AB＝2cm， ∴OB＝1cm，OC′＝ ， ∴B′C′＝ ， ∴S 扇形 B′OB＝ ＝ π ， S 扇形 C′OC＝ ＝ ， ∴阴影部分面积＝S 扇形 B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S 扇形 C′OC＝S 扇形 B′OB﹣S 扇形 C′OC＝ π ﹣ ＝ π ； 故答案为： π ． 22．解：过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，交 于点 E，连接 OC， 则点 E 是 的中点，由折叠的性质可得点 O 为 的中点， ∴S 弓形 BO＝S 弓形 CO， 在 Rt△BOD 中，OD＝DE＝ R＝2，OB＝R＝4， ∴∠OBD＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∴S 阴影＝S 扇形 AOC＝ ＝ ． 故答案为： ． 23．解：连接 DB′，BD． ∵△ABC 绕 AC 的中点 D 逆时针旋转 90°得到△A'B′C'，此时点 A′在斜边 AB 上，CA′ ⊥AB， DB′＝ ＝ ＝ ， A′B′＝ ＝ ＝2 ， ∴S 阴＝ ﹣ ×1×1﹣ ×1×2＝ π ﹣ ． 故答案为 π ﹣ ． 24．解：连接 CD， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠B＝45°， ∵点 D 为 AB 的中点， ∴DC＝ AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°， ∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B， 在△DCH 和△DBG 中， ， ∴△DCH≌△DBG（ASA）， ∴S 四边形 DGCH＝S△BDC＝ S△ABC＝ AB•CD＝ ×2×1＝ ． ∴S 阴影＝S 扇形 DEF﹣S△BDC＝ ﹣ ＝ ﹣ ． 故答案为 ﹣ ． 25．解：过 O′作 O′M⊥OA 于 M，则∠O′MA＝90°， ∵点 O′的坐标是（1， ）， ∴O′M＝ ，OM＝1， ∵AO＝2， ∴AM＝2﹣1＝1， ∴tan∠O′AM＝ ＝ ， ∴∠O′AM＝60°， 即旋转角为 60°， ∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°， ∵把△OAC 绕点 A 按顺时针方向旋转到△O′AC′， ∴S△OAC＝S△O′AC′， ∴阴影部分的面积 S＝S 扇形 OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S 扇形 CAC′＝S 扇形 OAO′﹣S 扇形 CAC′＝ ﹣ ＝ ， 故答案为： ． 26．解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴CE＝BC＝4， ∴CE＝2CD， ∴∠DEC＝30°， ∴∠DCE＝60°， 由勾股定理得：DE＝2 ， ∴阴影部分的面积是 S＝S 扇形 CEB′﹣S△CDE＝ ﹣ ×2×2 ＝ ， 故答案为： ． 27．解：根据题意得，S 阴影部分＝S 扇形 BAD﹣S 半圆 BA， ∵S 扇形 BAD＝ ＝4 π S 半圆 BA＝ • π •22＝2 π ， ∴S 阴影部分＝4 π ﹣2 π ＝2 π ． 故答案为 2 π ． 28．解：在 Rt△ACB 中，AB＝ ＝2 ， ∵BC 是半圆的直径， ∴∠CDB＝90°， 在等腰 Rt△ACB 中，CD 垂直平分 AB，CD＝BD＝ ， ∴D 为半圆的中点， S 阴影部分＝S 扇形 ACB﹣S△ADC＝ π ×22﹣ ×（ ）2＝ π ﹣1． 故答案为 π ﹣1． 29．解：∵AB＝BC，CD＝DE， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴ + ＝ + ， ∴∠BOD＝90°， ∴S 阴影＝S 扇形 OBD＝ ＝ π ． 故答案是： π ． 30．解：如图，设 的中点为 P，连接 OA，OP，AP， △OAP 的面积是： ×12＝ ， 扇形 OAP 的面积是：S 扇形＝ ， AP 直线和 AP 弧面积：S 弓形＝ ﹣ ， 阴影面积：3×2S 弓形＝ π ﹣ ． 故答案为： π ﹣ ． 31．解：延长 DC，CB 交 ⊙ O 于 M，N， 则图中阴影部分的面积＝ ×（S 圆 O﹣S 正方形 ABCD）＝ ×（4 π ﹣4）＝ π ﹣1， 故答案为： π ﹣1． 32．解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°， ∴AO＝ AB＝1， 由勾股定理得，OB＝ ＝ ， ∴AC＝2，BD＝2 ， ∴阴影部分的面积＝ ×2×2 ﹣ ×2＝2 ﹣ π ， 故答案为：2 ﹣ π ． 33．解：连接 BD，BE，BO，EO， ∵B，E 是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°， ∴∠BAC＝∠EBA＝30°， ∴BE∥AD， ∵ 的长为 ， ∴ ＝ ， 解得：R＝2， ∴AB＝ADcos30°＝2 ， ∴BC＝ AB＝ ， ∴AC＝ ＝ ＝3， ∴S△ABC＝ ×BC×AC＝ × ×3＝ ， ∵△BOE 和△ABE 同底等高， ∴△BOE 和△ABE 面积相等， ∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S 扇形 BOE＝ ﹣ ＝ ﹣ ． 故答案为： ． 34．解：由图可得， 图中阴影部分的面积为： ＝6 π ， 故答案为：6 π ． 35．（1）证明：连接 OC． ∵AC＝CD，∠ACD＝120°， ∴∠A＝∠D＝30°． ∵OA＝OC， ∴∠2＝∠A＝30°． ∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即 OC⊥CD， ∴CD 是 ⊙ O 的切线． （2）解：∵∠A＝30°， ∴∠1＝2∠A＝60°． ∴S 扇形 BOC＝ ． 在 Rt△OCD 中， ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴图中阴影部分的面积为： ． 36．解：（1）∵∠D＝60°， ∴∠B＝60°（圆周角定理）， 又∵AB＝6， ∴BC＝3， ∵AB 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OE⊥AC， ∴OE∥BC， 又∵点 O 是 AB 中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE＝ BC＝ ； （2）连接 OC， 则易得△COE≌△AFE， 故阴影部分的面积＝扇形 FOC 的面积， S 扇形 FOC＝ ＝ π ． 即可得阴影部分的面积为 π ． 37．（1）证明：连接 OC． ∵AC＝CD，∠ACD＝120°， ∴∠A＝∠D＝30°． ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠A＝30°． ∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即 OC⊥CD， ∴CD 是 ⊙ O 的切线． （2）解：∵∠A＝30°， ∴∠COB＝2∠A＝60°． ∴S 扇形 BOC＝ ， 在 Rt△OCD 中，CD＝OC ， ∴ ， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为 ． 38．（1）证明：连接 BD， ∵AB，CD 为 ⊙ O 的直径， ∴∠CBD＝∠AEB＝90°， ∵点 B 恰好为 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠A＝∠C， ∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C， ∴∠ABE＝∠CDB， ∴ ＝ ， ∴AE＝BC； （2）解：∵过点 A 作弦 AE 垂直于直径 CD 于 F， ∴ ＝ ， ∵ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴∠A＝ ∠ABE， ∴∠A＝30°， 在 Rt△ABE 中，cos∠A＝ ， ∴AB＝ ＝ ＝4， ∴ ⊙ O 的半径为 2． （3）连接 OE， ∵∠A＝30°， ∴∠EOB＝60°， ∴△EOB 是等边三角形， ∵OB＝OE＝2， ∴S△EOB＝ ×2× ＝ ， ∴S 阴＝S 扇形﹣S△EOB＝ ﹣ ＝ ﹣ ． 39．解：（1）∠BFG＝∠BGF；理由如下： 连 OD， ∵OD＝OF（ ⊙ O 的半径）， ∴∠ODF＝∠OFD； ∵ ⊙ O 与 AC 相切于点 D，∴OD⊥AC； 又∵∠C＝90°，即 GC⊥AC，∴OD∥GC， ∴∠BGF＝∠ODF； 又∵∠BFG＝∠OFD， ∴∠BFG＝∠BGF． （2）连 OE， ∵ ⊙ O 与 AC 相切于点 D、与 BC 相切于点 E， ∴DC＝CE，OD⊥AC，OE⊥BC， ∵∠C＝90°， ∴四边形 ODCE 为正方形， ∵AO＝BO＝ AB＝ ＝3 ， ∴OD＝ BC＝ ×6＝3， ∵∠BFG＝∠BGF， ∴BG＝BF＝OB﹣OF＝3 ﹣3； 从而 CG＝CB+BG＝3+3 ； ∴S 阴影＝S△DCG﹣S 正方形 ODCE+S 扇形 ODE ＝S△DCG﹣（S 正方形 ODCE﹣S 扇形 ODE） ＝ •3•（3+3 ）﹣（32﹣ π •32） ＝ ． 40．解：（1）连接 OF， ∵直径 AB⊥DE， ∴CE＝ DE＝1． ∵DE 平分 AO， ∴CO＝ AO＝ OE． 设 CO＝x，则 OE＝2x． 由勾股定理得：12+x2＝（2x）2． x＝ ． ∴OE＝2x＝ ． 即 ⊙ O 的半径为 ． （2）在 Rt△DCP 中， ∵∠DPC＝45°， ∴∠D＝90°﹣45°＝45°． ∴∠EOF＝2∠D＝90°． ∴S 扇形 OEF＝ ＝ π ． ∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝ SRt△OEF＝ ＝ ． ∴S 阴影＝S 扇形 OEF﹣SRt△OEF＝ π ﹣ ． 41．解：由图可得，5 个扇形的圆心角之和为：（5﹣2）×180°＝540°， 则五个阴影部分的面积之和＝ ＝6 π ． 42．（1）证明：∵AB 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即 OC⊥AD， 又∵OC 为半径， ∴AE＝ED， （2）解：连接 CD，OD， ∵OC∥BD， ∴∠OCB＝∠CBD＝30°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°， ∵∠COD＝2∠CBD＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵AB＝6， ∴BD＝3，AD＝3 ， ∵OA＝OB，AE＝ED， ∴ ， ∴S 阴影＝S 扇形 AOD﹣S△AOD＝ ﹣ ＝3 π ﹣ ．