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- 2021-11-10 发布
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24.4
弧长和扇形面积
知识点一
知识点二
知识点三
知识点一
知识点二
知识点三
例
1
一圆弧所对的圆心角为
150
°
,
它所对的弧长等于半径为
5 cm
的圆的周长
,
则该弧所在圆的半径为
(
)
A.24 cm B.12 cm C.6 cm D.30 cm
解析
:
先用弧长公式表示出弧长
,
代入相关数据求出
r
的值即可
.
由题意得
,
l=
2π
×
5
=
10π,
则
10π
=
,
解得
r=
12
.
答案
:
B
知识点一
知识点二
知识点三
解答这类问题时
,
一般根据弧长公式直接求解或根据公式变形求解
.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点二
扇形的面积公式
半径为
r
的圆中
,
圆心角为
n
°
的扇形的面积为
名师解读
:
根据扇形的面积公式和弧长公式
,
已知
S
扇形
,
l
,
n
,
r
四个量中的任意两个
,
都可以求出另外的两个量
.
知识点一
知识点二
知识点三
例
2
如果扇形所含的圆心角为
150
°
,
弧长为
5π,
那么扇形的面积是
(
)
A.5π B.10π C.15π D.30π
答案
:
C
知识点一
知识点二
知识点三
在计算扇形的面积时
,
要根据情况选用合适的公式
,
当已知扇形的半径和圆心角时
,
选用公式
S
扇形
=
;
当已知扇形的弧长和半径时
,
选用公式
S
扇形
= lr.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点三
圆锥的母线、侧面积和全面积
圆锥的母线
:
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线
.
圆锥的侧面展开图
:
圆锥的侧面展开图是一个扇形
.
设圆锥的母线长为
l
,
底面圆的半径为
r
,
那么这个扇形的半径为
l
,
扇形的弧长为
2π
r
,
因此
,
圆锥的侧面积为
π
rl
,
圆锥的全面积为
π
r
(
r+l
)
.
名师解读
:
圆锥的全面积也称圆锥的表面积
,
计算时分别求出侧面积和底面积
,
然后相加即可
.
知识点一
知识点二
知识点三
例
3
已知圆锥的高为
4 ,
底面半径为
2,
求
:
(1)
圆锥的全面积
;
(2)
圆锥侧面展开图的圆心角
.
分析
:
(1)
首先求得底面周长
,
即侧面展开图的扇形弧长
,
然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积
,
即圆锥的侧面积
,
再求得圆锥的底面积
,
侧面积与底面积的和就是全面积
.
(2)
利用弧长公式可得圆锥侧面展开图圆心角的角度
,
把相关数值代入即可求解
.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点一
知识点二
知识点三
已知圆锥的母线长、底面圆的半径、圆锥侧面展开图的圆心角中的任何两个
,
都可以求出第三个量
,
并且可以求圆锥的全面积
.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一
扇形面积公式的灵活运用
例
1
如图
,
以四边形
ABCD
各顶点为圆心
,
以
1
为半径画圆
,
则图形中扇形
(
阴影
)
部分的面积之和是
(
)
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解析
:
由于四边形内角和为
360
°
,
因此图中阴影部分的面积刚好为一个完整的圆的面积
.
如图所示
,
∵
四边形
ABCD
中
,
∠
A+
∠
B+
∠
C+
∠
D=
360
°
,
∴
S
阴影
=
π
×
1
2
=
π
.
答案
:
B
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解答这类问题的关键是把几个扇形拼成一个完整的图形
(
圆
),
然后直接利用圆的面积公式来求
,
本题也可以利用四个扇形的面积和求解
.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点二
与圆锥侧面积有关的问题
例
2
如图
,
已知扇形
OAB
的圆心角为
90
°
,
半径为
4
厘米
,
用这个扇形卷成圆锥的侧面
,
求该圆锥的侧面积及圆锥的高
.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系
:(1)
圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径
;(2)
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长
.
正确记忆这两个关系是解题的关键
.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点三
利用弧长公式求运动路线的长
例
3
将边长为
8
的正方形
ABCD
的四边沿直线
l
向右滚动
(
不滑动
),
当正方形滚动两周时
,
正方形的顶点
A
所经过的路线的长是
(
)
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一
拓展点二
拓展点三
正确确定
A
所经过的路线是解题的关键
.
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