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  • 2021-11-10 发布

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义03 一元一次方程(学生版)

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专题 03 一元一次方程 【思维导图】 、 【知识要点】 知识点一 一元一次方程的基础 等式的概念:用等号表示相等关系的式子。 注意: 1.等式可以是数字算式,可以是公式、方程,也可以是运算律、运算法则等。 2.不能将等式和代数式概念混淆,等式含有等号,表示两个式子相等关系,而代数式不含等号,你只能作为等式 的一边。 方程的概念:含有未知数的等式叫做方程。 特征:它含有未知数,同时又是—个等式。 一元一次方程的概念:只含有一个未知数(元),未知数的次数都是 1 的方程叫做一元一次方程。 标准形式:ax+b=0(x 为未知数,a、b 是已知数且 a≠0) 【特征】 1. 只含有一个未知数 x 2. 未知数 x 的次数都是 1 3. 等式两边都是整式,分母中不含未知数。 方程的解的概念:能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。 1.(2017·福建中考模拟)设某数是 x,若比它的 2 倍大 3 的数是 8,可列方程为( ) A.2x–3=8 B.2x+3=8 C. 1 2 x–3=8 D. 1 2 x+3=8 2.(2018·广西中考真题)用代数式表示:a 的 2 倍与 3 的和.下列表示正确的是( ) A.2a-3 B.2a+3 C.2(a-3) D.2(a+3) 3.(2018·湖南中考模拟)下列各方程中,是一元一次方程的是( ) A.x﹣2y= 4 B.xy=4 C.3y﹣1=4 D. 考查题型一 一元一次方程概念的应用 1.(2019·四川中考真题)关于 x 的一元一次方程 22 4ax m   的解为 1x  ,则 a m 的值为( ) A.9 B.8 C.5 D.4 2.(2019·内蒙古中考真题)关于 x 的方程 2 1 1 -2 0mmx m x﹣ ( ﹣) = 如果是一元一次方程,则其解为_____. 3.(2017·广东中山纪念中学中考模拟)若方程 1 2 0kkx    是关于 x 的一元一次方程,则 k  ___________. 考查题型二 利用方程的解求待定字母的方法 1.(2019·山东中考模拟)已知关于 x 的方程 2x+a-9=0 的解是 x=2,则 a 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2019·四川中考模拟)若 1x  是方程 2 6 0x m   的解,则 m 的值是( ) A.﹣4 B.4 C.﹣8 D.8 3.(2019·河北中考模拟)已知 7x  是方程 2 7x ax  的解,则 a ( ) A.1 B.2 C.3 D.7 4.(2019·山东中考模拟)若 11x m   是方程 mx﹣2m+2=0 的根,则 x﹣m 的值为( ) A.0 B.1 C.﹣1 D.2 5.(2019·福建中考模拟)若 x=2 是关于 x 的一元一次方程 ax-2=b 的解,则 3b-6a+2 的值是( ). A.-8 B.-4 C.8 D.4 知识点二 等式的性质(解一元一次方程的基础) 等式的性质 1:等式两边(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。 表示为:如果 a=b,则 a±c=b±c 等式的性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为零的数,结果仍相等。 表示为:如果 a=b,那么 ac = bc 如果 a=b(c≠0),那么 = 【注意事项】 1.等式两边都要参加运算,并且是同一种运算。 2.等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。 3.等式两边不能都除以 0,即 0 不能作除数或分母. 4. 等式左右两边互换,所得结果仍是等式。 1.(2018·河北中考模拟)已知:a× 2 3 =b×1 3 5 =c÷ 2 3 ,且 a、b、c 都不等于 0,则 a、b、c 中最小的数是( ) A.a B.b C.c D.a 和 c 2.(2017·广东中山纪念中学中考模拟)下列说法不正确的是( ) A.若 x=y,则 x+a=y+a B.若 x=y,则 x-b=y-b C.若 x=y,则 ax=ay D.若 x=y,则 x y b b  3.(2017·山东中考模拟)已知: x y=3 2 ,那么下列式子中一定成立的是( ) A.2x=3y B.3x=2y C.x=6y D.xy=6 4.(2017·海南中考模拟)已知等式 3a=2b+5,则下列等式中不成立的是( ) A.3a-5=2b B.3a+1=2b+6 C.3ac=2bc+5 D.a= 2 3 b+ 5 3 5.(2015·山东中考模拟)下列各项中叙述正确的是( ) A.若 ,则 B.若 ,则 C.若 ,则 D.若 ,则 6.(2018·河北中考真题)有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”,其中,同一种物体的质量都相等,现左 右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是( ) A. B. C. D. 知识点三 解一元一次方程  合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加,字母和字母的指数不变,起到化简的作用。  移项 把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。(依据:等式的性质 1)  去括号 括号前负号时,去掉括号时里面各项应变号。  去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有 小数时,先将小数化成整数。 解一元一次方程的基本步骤: 1.(2017·江苏中考模拟)方程 2x-1=3x+2 的解为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 2.(2019·余干县瑞洪中学中考模拟)将方程 x+5=1-2x 移项,得( ) A.x+2x=1-5 B.x-2x=1+5 C.x+2x=1+5 D.x+2x=-1+5 3.(2018·湖南中考模拟)下列各题正确的是( ) A.由 7x=4x﹣3 移项得 7x﹣4x=36 B.由 由㘮 㘮 h 由 去分母得 2(2x﹣1)=1+3(x﹣3) C.由 2(2x﹣1)﹣3(x﹣3)=1 去括号得 4x﹣2﹣3x﹣9=1 D.由 2(x+1)=x+7 去括号、移项、合并同类项得 x=5 考查题型三 含分母的一元一次方程的解法 1.(2019·浙江中考模拟)下列解方程去分母正确的是( ) A.由 由 㘮 㘮由 ,得 2x﹣1=3﹣3x B.由 由 由 㘮 ,得 2x﹣2﹣x=﹣4 C.由 㘮 ,得 2y-15=3y D.由 h㘮 h 㘮 ,得 3(y+1)=2y+6 2.(2019·来宾市第四中学中考模拟)解分式方程 1 2x  ﹣3= 4 2 x 时,去分母可得( ) A.1﹣3(x﹣2)=4 B.1﹣3(x﹣2)=﹣4 C.﹣1﹣3(2﹣x)=﹣4 D.1﹣3(2﹣x)=4 3.(2018·海南中考模拟)在解方程 由㘮 由h =1 时,去分母正确的是( ) A.3(x﹣1)﹣2(2+3x)=1 B.3(x﹣1)+2(2x+3)=1 C.3(x﹣1)+2(2+3x)=6 D.3(x﹣1)﹣2(2x+3)=6 4.(2019·山东中考真题)代数式 2 1 3 x  与代数式3 2x 的和为 4,则 x  _____. 5.(2019·重庆市全善学校中考模拟)当 x 为_____时, 3 1 2 x  的值为﹣1. 6.(2018·湖北中考模拟)解方程: (1)2(3x﹣1)=16; (2) 1 2 114 6 x x   ; (3) 1.5 2 10.3 0.2 x x  . 考查题型四 同解方程的解题方法 1.(2017·陆丰市民声学校中考模拟)方程 2x-4=0 的解也是关于 x 的方程 x2+mx+2=0 的一个解,则 m 的值为____. 2.(2016·甘肃中考模拟)先化简,再求值: 㘮 由 由 h㘮 由 由 由㘮 h 㘮 由h㘮 ,其中 x 的值为方程 2x=5x-1 的解. 知识点四 实际问题与一元一次方程 用方程解决实际问题的步骤: 审:理解并找出实际问题中的等量关系; 设:用代数式表示实际问题中的基础数据; 列:找到所列代数式中的等量关系,以此为依据列出方程; 解:求解; 验:考虑求出的解是否具有实际意义; 答:实际问题的答案. 考查题型五 配套问题和工程问题 【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系,依次作为列方程的依据. 【工程问题解题关键】常把总工作量看做 1,并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题 1.(2019·黑龙江中考模拟)某车间有 26 名工人,每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母,1 个螺钉 需要配 2 个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排 x 名工人生产螺钉,则下面所列方程正确 的是( ) A.2×1000(26﹣x)=800x B.1000(13﹣x)=800x C.1000(26﹣x)=2×800x D.1000(26﹣x)=800x 2.(2019·哈尔滨市双城区第六中学中考模拟)某车间原计划 13 小时生产一批零件,后来每小时多生产 10 件,用了 12 小时不但完成任务,而且还多生产 60 件,设原计划每小时生产 x 个零件,则所列方程为( ) A.  13x 12 x 10 60   B.  12 x 10 13x 60   C. x x 60 1013 12   D. x 60 x 1012 13    3.(2017·湖南中考真题)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初健步不 为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是,有人要去某关口,路程 378 里,第一天健步行走, 第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的 路程为( ) A.24 里 B.12 里 C.6 里 D.3 里 考查题型六 销售盈亏问题 销售金额=售价×数量 利润= 商品售价-商品进价 利润率=(利润÷商品进价)×100% 现售价 = 标价×折扣 售价 = 进价×(1+利润率) 1.(2019·湖北中考模拟)一家商店将某种服装按成本价提高 40%后标价,又以 8 折(即按标价的 80%)优 惠卖出,结果每件作服装仍可获利 15 元,则这种服装每件的成本是( ) A.120 元 B.125 元 C.135 元 D.140 元 2.(2019·广东中考模拟)某商店出售两件衣服,每件卖了 200 元,其中一件赚了 25%,而另一件赔了 20%.那 么商店在这次交易中( ) A.亏了 10 元钱 B.赚了 10 钱 C.赚了 20 元钱 D.亏了 20 元钱 3.(2017·广东中考模拟)一家服装店将某种服装按进价提高 50%后标价,又以八折销售,售价为 360 元, 则每件服装的进价是( ) A.168 元 B.300 元 C.60 元 D.400 元 考查题型七 比赛积分问题 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 1.(2018·天津中考模拟)一张试卷上有 25 道选择题:对一道题得 4 分,错一道得﹣1 分,不做得﹣1 分, 某同学做完全部 25 题得 70 分,那么它做对题数为( ) A.17 B.18 C.19 D.20 2.(2019·广东中考模拟)在 2018﹣2019 赛季英超足球联赛中,截止到 3 月 12 号止,蓝月亮曼城队在联赛 前 30 场比赛中只输 4 场,其它场次全部保持不败.共取得了 74 个积分暂列积分榜第一位.已知胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,设曼城队一共胜了 x 场,则可列方程为( ) A.3x+(30﹣x)=74 B.x+3 (30﹣x)=74 C.3x+(26﹣x)=74 D.x+3 (26﹣x)=74 考查题型八 方案选择问题 结合实际,分情况讨论,给出合理建议。 1.(2005·山东中考真题)某乡镇有甲、乙两家液化气站,他们的每罐液化气的价格、质和量都相同.为了 促销,甲站的液化气每罐降价 25%销售;每个用户购买乙站的液化气,第1罐按照原价销售,若用户继续购 买,则从第 2 罐开始以 7 折优惠,促销活动都是一年.若小明家每年购买 8 罐液化气,则购买液化气最省钱 的方法是( ). A.买甲站的 B.买乙站的 C.买两站的都可以 D.先买甲站的 1 罐,以后再买乙站的 2.(2019·山西中考模拟)寒假期间,小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》,票价每张 45 元,20 张 以上(不含 20 张)打八折,他们一共花了 900 元,则他们买到的电影票的张数是( ) A.20 B.22 C.25 D.20 或 25 3.(2019·黑龙江中考模拟)某校在举办“读书月”的活动中,将一些图书分给了七年一班的学生阅读,如果 每人分 3 本,则剩余 20 本:如果每人分 4 本,则还缺 25 本.若设该校七年一班有学生 x 人,则下列方程 正确的是( ) A.3x﹣20=24x+25 B.3x+20=4x﹣25 C.3x﹣20=4x﹣25 D.3x+20=4x+25 考查题型九 顺逆流问题 船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度 船在逆水中的速度=船在静水中的速度—水流速度 船顺水的行程=船逆水的行程 1.(2019·重庆市中考模拟)轮船在静水中速度为每小时 30km, 水流速度为每小时 6km, 从甲码头顺流航行 到乙码头,再返回甲码头,共用 5 小时(不计停留时间),求甲、乙两码头间的距离.设两码头间的距离为 x km, 则列出方程正确的是( ) A.306x 306x 5 B.30x 6x 5 C. 53 6 x x  D. 530 6 30 6 x x   2.(2019·吉林中考模拟)一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用 3h,从乙码头返回甲码头用了 5h,已知轮 船在静水中的平均速度为 32km/h,求水流的速度,若设水流的速度为 xkm/h,则可列方程为( ) A.3(32+x)=5×32 B.3×32=5×(32﹣x) C.3(32+x)=5×(32﹣x) D. h由 由 3.(2019·江阴市云亭中学初一月考)某轮船在两个码头之间航行,顺水航行需 4 小时,逆水航行需 6 小时, 水流速度是 2 千米/小时,求两个码头之间距离 x 的方程是( ) A. 2 2 4 6 x x  B. 2 24 6 x x   C. 24 6 x x  D. 2 24 6 4 x x  考查题型十 数字问题的应用题 2 一个两位数,十位数字是 a,个位数字是 b,那么这个数可表示为 10a+b ②一个三位数,百位数字是 x, 十位数字是 y,个位数字是 z,那么这个数可表示为 100x+10y+z 1.(2019·泉州中考模拟)如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个“十”字圈出 5 个数(如 3,9,10, 11,17).照此方法,若圈出的 5 个数中,最大数与最小数的和为 46,则这 5 个数的和为( ) A.205 B.115 C.85 D.65 2.(2019·福建中考真题)《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多, 问若每日读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍, 问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有 34 685 个字,设他第一天读 x 个字,则下面所列方程正确的 是( ). A.x+2x+4x=34 685 B.x+2x+3x=34 685 C.x+2x+2x=34 685 D.x+ 1 2 x+ 1 4 x=34 685 3.(2016·山东中考真题)在如图的 2016 年 6 月份的日历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个 数的和不可能是( ) A.27 B.51 C.69 D.72 考查题型十一 行程问题(路程=速度*时间) 相遇问题:甲路程+乙路程=两地距离 追及问题:快者的行程-慢者的行程=初始距离 1.(2019·青岛市崂山区中考模拟)小刚从家跑步到学校,每小时跑 12km,会迟到 5 分钟;若骑自行车,每 小时骑 15km,则可早到 10 分钟.设他家到学校的路程是 xkm,则根据题意列出方程是( ) A. 10 5 15 60 12 60 x x   B. 10 5 15 60 12 60 x x   C. 10 515 12 x x   D. 10 5 15 60 12 60 x x   2.(2019·湖北省武汉中考模拟)一列火车匀速行驶,经过一条长 600 米的隧道需要 25 秒的时间,隧道的顶 上有一盏灯,垂直向下发光,灯光照在火车上的时间是 10 秒,求火车的速度.设火车的速度为 xm/s,列方程 得( ) A. 600 10 25 x x  B. 600 10 25 x x  C.10 600 25x x  D.10 25 600x x  3.(2019·无锡市中考模拟)甲、乙两运动员在长为 100m 的直道 AB(A,B 为直道两端点)上进行匀速往 返跑训练,两人同时从 A 点起跑,到达 B 点后,立即转身跑向 A 点,到达 A 点后,又立即转身跑向 B 点… 若甲跑步的速度为 5m/s,乙跑步的速度为 4m/s,则起跑后 100s 内,两人相遇的次数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 考查题型十二 其他问题 1.(2017·四川中考模拟)某市为提倡节约用水,采取分段收费.若每户每月用水不超过 20m3,每立方米收 费 2 元;若用水超过 20m3,超过部分每立方米加收 1 元.小明家 5 月份交水费 64 元,则他家该月用水( ) m3. A.38 B.34 C.28 D.44 2.(2019·湖南中考模拟)程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他 60 岁时完成的《直指算法统宗》是东方 古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题: 一百馒头一百僧,大僧三个更无争, 小僧三人分一个,大小和尚得几丁. 意思是:有 100 个和尚分 100 个馒头,如果大和尚 1 人分 3 个,小和尚 3 人分 1 个,正好分完,大、小和 尚各有多少人,下列求解结果正确的是( ) A.大和尚 25 人,小和尚 75 人 B.大和尚 75 人,小和尚 25 人 C.大和尚 50 人,小和尚 50 人 D.大、小和尚各 100 人 3.(2019·浙江中考模拟)今年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍,5 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍.设今 年儿子的年龄为 x 岁,则下列式子正确的是( ) A.4x-5=3(x-5) B.4x+5=3(x+5) C.3x+5=4(x+5) D.3x-5=4(x-5)