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- 2021-11-10 发布
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专题 03 一元一次方程
【思维导图】
、
【知识要点】
知识点一 一元一次方程的基础
等式的概念:用等号表示相等关系的式子。
注意:
1.等式可以是数字算式,可以是公式、方程,也可以是运算律、运算法则等。
2.不能将等式和代数式概念混淆,等式含有等号,表示两个式子相等关系,而代数式不含等号,你只能作为等式
的一边。
方程的概念:含有未知数的等式叫做方程。
特征:它含有未知数,同时又是—个等式。
一元一次方程的概念:只含有一个未知数(元),未知数的次数都是 1 的方程叫做一元一次方程。
标准形式:ax+b=0(x 为未知数,a、b 是已知数且 a≠0)
【特征】
1. 只含有一个未知数 x
2. 未知数 x 的次数都是 1
3. 等式两边都是整式,分母中不含未知数。
方程的解的概念:能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
1.(2017·福建中考模拟)设某数是 x,若比它的 2 倍大 3 的数是 8,可列方程为( )
A.2x–3=8 B.2x+3=8
C. 1
2 x–3=8 D. 1
2 x+3=8
2.(2018·广西中考真题)用代数式表示:a 的 2 倍与 3 的和.下列表示正确的是( )
A.2a-3 B.2a+3 C.2(a-3) D.2(a+3)
3.(2018·湖南中考模拟)下列各方程中,是一元一次方程的是( )
A.x﹣2y= 4 B.xy=4 C.3y﹣1=4 D.
考查题型一 一元一次方程概念的应用
1.(2019·四川中考真题)关于 x 的一元一次方程 22 4ax m 的解为 1x ,则 a m 的值为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
2.(2019·内蒙古中考真题)关于 x 的方程 2 1 1 -2 0mmx m x﹣ ( ﹣) = 如果是一元一次方程,则其解为_____.
3.(2017·广东中山纪念中学中考模拟)若方程 1 2 0kkx 是关于 x 的一元一次方程,则 k ___________.
考查题型二 利用方程的解求待定字母的方法
1.(2019·山东中考模拟)已知关于 x 的方程 2x+a-9=0 的解是 x=2,则 a 的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2019·四川中考模拟)若 1x 是方程 2 6 0x m 的解,则 m 的值是( )
A.﹣4 B.4 C.﹣8 D.8
3.(2019·河北中考模拟)已知 7x 是方程 2 7x ax 的解,则 a ( )
A.1 B.2 C.3 D.7
4.(2019·山东中考模拟)若 11x m
是方程 mx﹣2m+2=0 的根,则 x﹣m 的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.2
5.(2019·福建中考模拟)若 x=2 是关于 x 的一元一次方程 ax-2=b 的解,则 3b-6a+2 的值是( ).
A.-8 B.-4 C.8 D.4
知识点二 等式的性质(解一元一次方程的基础)
等式的性质 1:等式两边(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
表示为:如果 a=b,则 a±c=b±c
等式的性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为零的数,结果仍相等。
表示为:如果 a=b,那么 ac = bc
如果 a=b(c≠0),那么
=
【注意事项】
1.等式两边都要参加运算,并且是同一种运算。
2.等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。
3.等式两边不能都除以 0,即 0 不能作除数或分母.
4. 等式左右两边互换,所得结果仍是等式。
1.(2018·河北中考模拟)已知:a× 2
3 =b×1 3
5 =c÷ 2
3
,且 a、b、c 都不等于 0,则 a、b、c 中最小的数是( )
A.a B.b C.c D.a 和 c
2.(2017·广东中山纪念中学中考模拟)下列说法不正确的是( )
A.若 x=y,则 x+a=y+a B.若 x=y,则 x-b=y-b
C.若 x=y,则 ax=ay D.若 x=y,则 x y
b b
3.(2017·山东中考模拟)已知: x y=3 2
,那么下列式子中一定成立的是( )
A.2x=3y B.3x=2y C.x=6y D.xy=6
4.(2017·海南中考模拟)已知等式 3a=2b+5,则下列等式中不成立的是( )
A.3a-5=2b B.3a+1=2b+6
C.3ac=2bc+5 D.a= 2
3 b+ 5
3
5.(2015·山东中考模拟)下列各项中叙述正确的是( )
A.若 ,则
B.若 ,则
C.若 ,则
D.若 ,则
6.(2018·河北中考真题)有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”,其中,同一种物体的质量都相等,现左
右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是( )
A. B.
C. D.
知识点三 解一元一次方程
合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加,字母和字母的指数不变,起到化简的作用。
移项 把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。(依据:等式的性质 1)
去括号 括号前负号时,去掉括号时里面各项应变号。
去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有
小数时,先将小数化成整数。
解一元一次方程的基本步骤:
1.(2017·江苏中考模拟)方程 2x-1=3x+2 的解为( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3
2.(2019·余干县瑞洪中学中考模拟)将方程 x+5=1-2x 移项,得( )
A.x+2x=1-5 B.x-2x=1+5 C.x+2x=1+5 D.x+2x=-1+5
3.(2018·湖南中考模拟)下列各题正确的是( )
A.由 7x=4x﹣3 移项得 7x﹣4x=36
B.由
由 㘮
㘮 h
由
去分母得 2(2x﹣1)=1+3(x﹣3)
C.由 2(2x﹣1)﹣3(x﹣3)=1 去括号得 4x﹣2﹣3x﹣9=1
D.由 2(x+1)=x+7 去括号、移项、合并同类项得 x=5
考查题型三 含分母的一元一次方程的解法
1.(2019·浙江中考模拟)下列解方程去分母正确的是( )
A.由
由
㘮
㘮 由
,得 2x﹣1=3﹣3x
B.由
由
由
㘮
,得 2x﹣2﹣x=﹣4
C.由
㘮
,得 2y-15=3y
D.由
h㘮
h 㘮
,得 3(y+1)=2y+6
2.(2019·来宾市第四中学中考模拟)解分式方程 1
2x
﹣3= 4
2 x
时,去分母可得( )
A.1﹣3(x﹣2)=4 B.1﹣3(x﹣2)=﹣4
C.﹣1﹣3(2﹣x)=﹣4 D.1﹣3(2﹣x)=4
3.(2018·海南中考模拟)在解方程
由 㘮
由h
=1 时,去分母正确的是( )
A.3(x﹣1)﹣2(2+3x)=1 B.3(x﹣1)+2(2x+3)=1
C.3(x﹣1)+2(2+3x)=6 D.3(x﹣1)﹣2(2x+3)=6
4.(2019·山东中考真题)代数式 2 1
3
x 与代数式3 2x 的和为 4,则 x _____.
5.(2019·重庆市全善学校中考模拟)当 x 为_____时, 3 1
2
x 的值为﹣1.
6.(2018·湖北中考模拟)解方程:
(1)2(3x﹣1)=16;
(2) 1 2 114 6
x x ;
(3) 1.5 2 10.3 0.2
x x .
考查题型四 同解方程的解题方法
1.(2017·陆丰市民声学校中考模拟)方程 2x-4=0 的解也是关于 x 的方程 x2+mx+2=0 的一个解,则 m
的值为____.
2.(2016·甘肃中考模拟)先化简,再求值:
㘮
由
由
h㘮
由
由
由 㘮 h
㘮
由h㘮
,其中 x 的值为方程 2x=5x-1 的解.
知识点四 实际问题与一元一次方程
用方程解决实际问题的步骤:
审:理解并找出实际问题中的等量关系;
设:用代数式表示实际问题中的基础数据;
列:找到所列代数式中的等量关系,以此为依据列出方程;
解:求解;
验:考虑求出的解是否具有实际意义;
答:实际问题的答案.
考查题型五 配套问题和工程问题
【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系,依次作为列方程的依据.
【工程问题解题关键】常把总工作量看做 1,并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题
1.(2019·黑龙江中考模拟)某车间有 26 名工人,每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母,1 个螺钉
需要配 2 个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排 x 名工人生产螺钉,则下面所列方程正确
的是( )
A.2×1000(26﹣x)=800x B.1000(13﹣x)=800x
C.1000(26﹣x)=2×800x D.1000(26﹣x)=800x
2.(2019·哈尔滨市双城区第六中学中考模拟)某车间原计划 13 小时生产一批零件,后来每小时多生产 10
件,用了 12 小时不但完成任务,而且还多生产 60 件,设原计划每小时生产 x 个零件,则所列方程为( )
A. 13x 12 x 10 60 B. 12 x 10 13x 60 C. x x 60 1013 12
D. x 60 x 1012 13
3.(2017·湖南中考真题)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初健步不
为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是,有人要去某关口,路程 378 里,第一天健步行走,
第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的
路程为( )
A.24 里 B.12 里 C.6 里 D.3 里
考查题型六 销售盈亏问题
销售金额=售价×数量
利润= 商品售价-商品进价
利润率=(利润÷商品进价)×100%
现售价 = 标价×折扣
售价 = 进价×(1+利润率)
1.(2019·湖北中考模拟)一家商店将某种服装按成本价提高 40%后标价,又以 8 折(即按标价的 80%)优
惠卖出,结果每件作服装仍可获利 15 元,则这种服装每件的成本是( )
A.120 元 B.125 元 C.135 元 D.140 元
2.(2019·广东中考模拟)某商店出售两件衣服,每件卖了 200 元,其中一件赚了 25%,而另一件赔了 20%.那
么商店在这次交易中( )
A.亏了 10 元钱 B.赚了 10 钱 C.赚了 20 元钱 D.亏了 20 元钱
3.(2017·广东中考模拟)一家服装店将某种服装按进价提高 50%后标价,又以八折销售,售价为 360 元,
则每件服装的进价是( )
A.168 元 B.300 元 C.60 元 D.400 元
考查题型七 比赛积分问题
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
1.(2018·天津中考模拟)一张试卷上有 25 道选择题:对一道题得 4 分,错一道得﹣1 分,不做得﹣1 分,
某同学做完全部 25 题得 70 分,那么它做对题数为( )
A.17 B.18 C.19 D.20
2.(2019·广东中考模拟)在 2018﹣2019 赛季英超足球联赛中,截止到 3 月 12 号止,蓝月亮曼城队在联赛
前 30 场比赛中只输 4 场,其它场次全部保持不败.共取得了 74 个积分暂列积分榜第一位.已知胜一场得 3
分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,设曼城队一共胜了 x 场,则可列方程为( )
A.3x+(30﹣x)=74 B.x+3 (30﹣x)=74
C.3x+(26﹣x)=74 D.x+3 (26﹣x)=74
考查题型八 方案选择问题
结合实际,分情况讨论,给出合理建议。
1.(2005·山东中考真题)某乡镇有甲、乙两家液化气站,他们的每罐液化气的价格、质和量都相同.为了
促销,甲站的液化气每罐降价 25%销售;每个用户购买乙站的液化气,第1罐按照原价销售,若用户继续购
买,则从第 2 罐开始以 7 折优惠,促销活动都是一年.若小明家每年购买 8 罐液化气,则购买液化气最省钱
的方法是( ).
A.买甲站的 B.买乙站的
C.买两站的都可以 D.先买甲站的 1 罐,以后再买乙站的
2.(2019·山西中考模拟)寒假期间,小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》,票价每张 45 元,20 张
以上(不含 20 张)打八折,他们一共花了 900 元,则他们买到的电影票的张数是( )
A.20 B.22 C.25 D.20 或 25
3.(2019·黑龙江中考模拟)某校在举办“读书月”的活动中,将一些图书分给了七年一班的学生阅读,如果
每人分 3 本,则剩余 20 本:如果每人分 4 本,则还缺 25 本.若设该校七年一班有学生 x 人,则下列方程
正确的是( )
A.3x﹣20=24x+25 B.3x+20=4x﹣25
C.3x﹣20=4x﹣25 D.3x+20=4x+25
考查题型九 顺逆流问题
船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度
船在逆水中的速度=船在静水中的速度—水流速度
船顺水的行程=船逆水的行程
1.(2019·重庆市中考模拟)轮船在静水中速度为每小时 30km, 水流速度为每小时 6km, 从甲码头顺流航行
到乙码头,再返回甲码头,共用 5 小时(不计停留时间),求甲、乙两码头间的距离.设两码头间的距离为 x km,
则列出方程正确的是( )
A.306x 306x 5 B.30x 6x 5
C. 53 6
x x D. 530 6 30 6
x x
2.(2019·吉林中考模拟)一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用 3h,从乙码头返回甲码头用了 5h,已知轮
船在静水中的平均速度为 32km/h,求水流的速度,若设水流的速度为 xkm/h,则可列方程为( )
A.3(32+x)=5×32 B.3×32=5×(32﹣x)
C.3(32+x)=5×(32﹣x) D.
h由
由
3.(2019·江阴市云亭中学初一月考)某轮船在两个码头之间航行,顺水航行需 4 小时,逆水航行需 6 小时,
水流速度是 2 千米/小时,求两个码头之间距离 x 的方程是( )
A. 2 2
4 6
x x B. 2 24 6
x x C. 24 6
x x D. 2 24 6 4
x x
考查题型十 数字问题的应用题
2 一个两位数,十位数字是 a,个位数字是 b,那么这个数可表示为 10a+b
②一个三位数,百位数字是 x, 十位数字是 y,个位数字是 z,那么这个数可表示为 100x+10y+z
1.(2019·泉州中考模拟)如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个“十”字圈出 5 个数(如 3,9,10,
11,17).照此方法,若圈出的 5 个数中,最大数与最小数的和为 46,则这 5 个数的和为( )
A.205 B.115 C.85 D.65
2.(2019·福建中考真题)《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,
问若每日读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,
问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有 34 685 个字,设他第一天读 x 个字,则下面所列方程正确的
是( ).
A.x+2x+4x=34 685 B.x+2x+3x=34 685
C.x+2x+2x=34 685 D.x+ 1
2 x+ 1
4 x=34 685
3.(2016·山东中考真题)在如图的 2016 年 6 月份的日历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个
数的和不可能是( )
A.27 B.51 C.69 D.72
考查题型十一 行程问题(路程=速度*时间)
相遇问题:甲路程+乙路程=两地距离
追及问题:快者的行程-慢者的行程=初始距离
1.(2019·青岛市崂山区中考模拟)小刚从家跑步到学校,每小时跑 12km,会迟到 5 分钟;若骑自行车,每
小时骑 15km,则可早到 10 分钟.设他家到学校的路程是 xkm,则根据题意列出方程是( )
A. 10 5
15 60 12 60
x x B. 10 5
15 60 12 60
x x
C. 10 515 12
x x D. 10 5
15 60 12 60
x x
2.(2019·湖北省武汉中考模拟)一列火车匀速行驶,经过一条长 600 米的隧道需要 25 秒的时间,隧道的顶
上有一盏灯,垂直向下发光,灯光照在火车上的时间是 10 秒,求火车的速度.设火车的速度为 xm/s,列方程
得( )
A. 600
10 25
x x B. 600
10 25
x x
C.10 600 25x x D.10 25 600x x
3.(2019·无锡市中考模拟)甲、乙两运动员在长为 100m 的直道 AB(A,B 为直道两端点)上进行匀速往
返跑训练,两人同时从 A 点起跑,到达 B 点后,立即转身跑向 A 点,到达 A 点后,又立即转身跑向 B 点…
若甲跑步的速度为 5m/s,乙跑步的速度为 4m/s,则起跑后 100s 内,两人相遇的次数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
考查题型十二 其他问题
1.(2017·四川中考模拟)某市为提倡节约用水,采取分段收费.若每户每月用水不超过 20m3,每立方米收
费 2 元;若用水超过 20m3,超过部分每立方米加收 1 元.小明家 5 月份交水费 64 元,则他家该月用水( )
m3.
A.38 B.34 C.28 D.44
2.(2019·湖南中考模拟)程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他 60 岁时完成的《直指算法统宗》是东方
古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题:
一百馒头一百僧,大僧三个更无争,
小僧三人分一个,大小和尚得几丁.
意思是:有 100 个和尚分 100 个馒头,如果大和尚 1 人分 3 个,小和尚 3 人分 1 个,正好分完,大、小和
尚各有多少人,下列求解结果正确的是( )
A.大和尚 25 人,小和尚 75 人 B.大和尚 75 人,小和尚 25 人
C.大和尚 50 人,小和尚 50 人 D.大、小和尚各 100 人
3.(2019·浙江中考模拟)今年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍,5 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍.设今
年儿子的年龄为 x 岁,则下列式子正确的是( )
A.4x-5=3(x-5) B.4x+5=3(x+5)
C.3x+5=4(x+5) D.3x-5=4(x-5)
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