中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义03 一元一次方程（学生版） 11页

专题 03 一元一次方程 【思维导图】 、 【知识要点】 知识点一 一元一次方程的基础 等式的概念：用等号表示相等关系的式子。 注意： 1.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。 2.不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式 的一边。 方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。 特征：它含有未知数，同时又是—个等式。 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1 的方程叫做一元一次方程。 标准形式：ax+b=0（x 为未知数，a、b 是已知数且 a≠0） 【特征】 1. 只含有一个未知数 x 2. 未知数 x 的次数都是 1 3. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。 方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。 1．（2017·福建中考模拟）设某数是 x，若比它的 2 倍大 3 的数是 8，可列方程为（ ） A．2x–3=8 B．2x+3=8 C． 1 2 x–3=8 D． 1 2 x+3=8 2.（2018·广西中考真题）用代数式表示：a 的 2 倍与 3 的和.下列表示正确的是（ ） A．2a-3 B．2a+3 C．2(a-3) D．2(a+3) 3.（2018·湖南中考模拟）下列各方程中，是一元一次方程的是（ ） A．x﹣2y= 4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D． 考查题型一 一元一次方程概念的应用 1．（2019·四川中考真题）关于 x 的一元一次方程 22 4ax m   的解为 1x  ，则 a m 的值为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 2．（2019·内蒙古中考真题）关于 x 的方程 2 1 1 -2 0mmx m x﹣ （ ﹣） ＝ 如果是一元一次方程，则其解为_____． 3．（2017·广东中山纪念中学中考模拟）若方程 1 2 0kkx    是关于 x 的一元一次方程，则 k  ___________． 考查题型二 利用方程的解求待定字母的方法 1．（2019·山东中考模拟）已知关于 x 的方程 2x+a-9=0 的解是 x=2，则 a 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2019·四川中考模拟）若 1x  是方程 2 6 0x m   的解，则 m 的值是（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8 3．（2019·河北中考模拟）已知 7x  是方程 2 7x ax  的解，则 a （ ） A．1 B．2 C．3 D．7 4．（2019·山东中考模拟）若 11x m   是方程 mx﹣2m+2＝0 的根，则 x﹣m 的值为（ ） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 5．（2019·福建中考模拟）若 x=2 是关于 x 的一元一次方程 ax－2=b 的解，则 3b－6a+2 的值是( ). A．－8 B．－4 C．8 D．4 知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础） 等式的性质 1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 表示为：如果 a=b，则 a±c=b±c 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 表示为：如果 a=b，那么 ac = bc 如果 a=b(c≠0)，那么 = 【注意事项】 1．等式两边都要参加运算，并且是同一种运算。 2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。 3．等式两边不能都除以 0，即 0 不能作除数或分母. 4. 等式左右两边互换，所得结果仍是等式。 1．（2018·河北中考模拟）已知：a× 2 3 =b×1 3 5 =c÷ 2 3 ，且 a、b、c 都不等于 0，则 a、b、c 中最小的数是（ ） A．a B．b C．c D．a 和 c 2．（2017·广东中山纪念中学中考模拟）下列说法不正确的是（ ） A．若 x＝y，则 x＋a＝y＋a B．若 x＝y，则 x－b＝y－b C．若 x＝y，则 ax＝ay D．若 x＝y，则 x y b b  3.（2017·山东中考模拟）已知： x y=3 2 ，那么下列式子中一定成立的是（ ） A．2x=3y B．3x=2y C．x=6y D．xy=6 4．（2017·海南中考模拟）已知等式 3a＝2b＋5，则下列等式中不成立的是( ) A．3a－5＝2b B．3a＋1＝2b＋6 C．3ac＝2bc＋5 D．a＝ 2 3 b＋ 5 3 5．（2015·山东中考模拟）下列各项中叙述正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 6．（2018·河北中考真题）有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中，同一种物体的质量都相等，现左 右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ） A． B． C． D． 知识点三 解一元一次方程  合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。  移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质 1）  去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。  去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有 小数时，先将小数化成整数。 解一元一次方程的基本步骤： 1．（2017·江苏中考模拟）方程 2x－1＝3x＋2 的解为（ ） A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3 2．（2019·余干县瑞洪中学中考模拟）将方程 x＋5＝1－2x 移项，得（ ） A．x＋2x＝1－5 B．x－2x＝1＋5 C．x＋2x＝1＋5 D．x＋2x＝－1＋5 3.（2018·湖南中考模拟）下列各题正确的是（ ） A．由 7x=4x﹣3 移项得 7x﹣4x=36 B．由 由㘮 㘮 h 由 去分母得 2（2x﹣1）=1+3（x﹣3） C．由 2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）=1 去括号得 4x﹣2﹣3x﹣9=1 D．由 2（x+1）=x+7 去括号、移项、合并同类项得 x=5 考查题型三 含分母的一元一次方程的解法 1．（2019·浙江中考模拟）下列解方程去分母正确的是( ) A．由 由 㘮 㘮由 ，得 2x﹣1＝3﹣3x B．由 由 由 㘮 ，得 2x﹣2﹣x＝﹣4 C．由 㘮 ，得 2y-15=3y D．由 h㘮 h 㘮 ，得 3(y+1)＝2y+6 2．（2019·来宾市第四中学中考模拟）解分式方程 1 2x  ﹣3= 4 2 x 时，去分母可得（ ） A．1﹣3（x﹣2）=4 B．1﹣3（x﹣2）=﹣4 C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4 D．1﹣3（2﹣x）=4 3．（2018·海南中考模拟）在解方程 由㘮 由h ＝1 时，去分母正确的是( ) A．3(x﹣1)﹣2(2+3x)＝1 B．3(x﹣1)+2(2x+3)＝1 C．3(x﹣1)+2(2+3x)＝6 D．3(x﹣1)﹣2(2x+3)＝6 4．（2019·山东中考真题）代数式 2 1 3 x  与代数式3 2x 的和为 4，则 x  _____． 5.（2019·重庆市全善学校中考模拟）当 x 为_____时， 3 1 2 x  的值为﹣1． 6．（2018·湖北中考模拟）解方程： （1）2（3x﹣1）=16； （2） 1 2 114 6 x x   ； （3） 1.5 2 10.3 0.2 x x  ． 考查题型四 同解方程的解题方法 1．（2017·陆丰市民声学校中考模拟）方程 2x－4＝0 的解也是关于 x 的方程 x2＋mx＋2＝0 的一个解，则 m 的值为____． 2．（2016·甘肃中考模拟）先化简，再求值： 㘮 由 由 h㘮 由 由 由㘮 h 㘮 由h㘮 ，其中 x 的值为方程 2x=5x-1 的解． 知识点四 实际问题与一元一次方程 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 考查题型五 配套问题和工程问题 【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据. 【工程问题解题关键】常把总工作量看做 1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题 1．（2019·黑龙江中考模拟）某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母，1 个螺钉 需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排 x 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确 的是（ ） A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x 2．（2019·哈尔滨市双城区第六中学中考模拟）某车间原计划 13 小时生产一批零件，后来每小时多生产 10 件，用了 12 小时不但完成任务，而且还多生产 60 件，设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程为( ) A．  13x 12 x 10 60   B．  12 x 10 13x 60   C． x x 60 1013 12   D． x 60 x 1012 13    3．（2017·湖南中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不 为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程 378 里，第一天健步行走， 第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的 路程为（ ） A．24 里 B．12 里 C．6 里 D．3 里 考查题型六 销售盈亏问题 销售金额=售价×数量 利润= 商品售价-商品进价 利润率=（利润÷商品进价）×100% 现售价 = 标价×折扣 售价 = 进价×（1+利润率） 1．（2019·湖北中考模拟）一家商店将某种服装按成本价提高 40%后标价，又以 8 折（即按标价的 80%）优 惠卖出，结果每件作服装仍可获利 15 元，则这种服装每件的成本是（ ） A．120 元 B．125 元 C．135 元 D．140 元 2．（2019·广东中考模拟）某商店出售两件衣服，每件卖了 200 元，其中一件赚了 25%，而另一件赔了 20%．那 么商店在这次交易中( ) A．亏了 10 元钱 B．赚了 10 钱 C．赚了 20 元钱 D．亏了 20 元钱 3．（2017·广东中考模拟）一家服装店将某种服装按进价提高 50%后标价，又以八折销售，售价为 360 元， 则每件服装的进价是( ) A．168 元 B．300 元 C．60 元 D．400 元 考查题型七 比赛积分问题 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 1．（2018·天津中考模拟）一张试卷上有 25 道选择题：对一道题得 4 分，错一道得﹣1 分，不做得﹣1 分， 某同学做完全部 25 题得 70 分，那么它做对题数为( ) A．17 B．18 C．19 D．20 2．（2019·广东中考模拟）在 2018﹣2019 赛季英超足球联赛中，截止到 3 月 12 号止，蓝月亮曼城队在联赛 前 30 场比赛中只输 4 场，其它场次全部保持不败．共取得了 74 个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，设曼城队一共胜了 x 场，则可列方程为（ ） A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74 C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝74 考查题型八 方案选择问题 结合实际，分情况讨论，给出合理建议。 1．（2005·山东中考真题）某乡镇有甲、乙两家液化气站，他们的每罐液化气的价格、质和量都相同．为了 促销，甲站的液化气每罐降价 25%销售；每个用户购买乙站的液化气，第1罐按照原价销售，若用户继续购 买，则从第 2 罐开始以 7 折优惠，促销活动都是一年．若小明家每年购买 8 罐液化气，则购买液化气最省钱 的方法是（ ）． A．买甲站的 B．买乙站的 C．买两站的都可以 D．先买甲站的 1 罐，以后再买乙站的 2．（2019·山西中考模拟）寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》，票价每张 45 元，20 张 以上（不含 20 张）打八折，他们一共花了 900 元，则他们买到的电影票的张数是（ ） A．20 B．22 C．25 D．20 或 25 3．（2019·黑龙江中考模拟）某校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年一班的学生阅读，如果 每人分 3 本，则剩余 20 本：如果每人分 4 本，则还缺 25 本．若设该校七年一班有学生 x 人，则下列方程 正确的是( ) A．3x﹣20＝24x+25 B．3x+20＝4x﹣25 C．3x﹣20＝4x﹣25 D．3x+20＝4x+25 考查题型九 顺逆流问题 船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度 船在逆水中的速度=船在静水中的速度—水流速度 船顺水的行程=船逆水的行程 1．（2019·重庆市中考模拟）轮船在静水中速度为每小时 30km, 水流速度为每小时 6km, 从甲码头顺流航行 到乙码头，再返回甲码头，共用 5 小时(不计停留时间)，求甲、乙两码头间的距离.设两码头间的距离为 x km， 则列出方程正确的是（ ） A．306x 306x 5 B．30x 6x 5 C． 53 6 x x  D． 530 6 30 6 x x   2．（2019·吉林中考模拟）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用 3h，从乙码头返回甲码头用了 5h，已知轮 船在静水中的平均速度为 32km/h，求水流的速度，若设水流的速度为 xkm/h，则可列方程为（ ） A．3（32+x）=5×32 B．3×32=5×（32﹣x） C．3（32+x）=5×（32﹣x） D． h由 由 3．（2019·江阴市云亭中学初一月考）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需 4 小时，逆水航行需 6 小时， 水流速度是 2 千米/小时，求两个码头之间距离 x 的方程是（ ） A． 2 2 4 6 x x  B． 2 24 6 x x   C． 24 6 x x  D． 2 24 6 4 x x  考查题型十 数字问题的应用题 2 一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b，那么这个数可表示为 10a+b ②一个三位数，百位数字是 x, 十位数字是 y，个位数字是 z，那么这个数可表示为 100x+10y+z 1．（2019·泉州中考模拟）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出 5 个数（如 3，9，10， 11，17）．照此方法，若圈出的 5 个数中，最大数与最小数的和为 46，则这 5 个数的和为( ) A．205 B．115 C．85 D．65 2．（2019·福建中考真题）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多， 问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍， 问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有 34 685 个字，设他第一天读 x 个字，则下面所列方程正确的 是( ). A．x+2x+4x=34 685 B．x+2x+3x=34 685 C．x+2x+2x=34 685 D．x+ 1 2 x+ 1 4 x=34 685 3．（2016·山东中考真题）在如图的 2016 年 6 月份的日历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个 数的和不可能是( ) A．27 B．51 C．69 D．72 考查题型十一 行程问题（路程=速度*时间） 相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离 追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离 1．（2019·青岛市崂山区中考模拟）小刚从家跑步到学校，每小时跑 12km，会迟到 5 分钟；若骑自行车，每 小时骑 15km，则可早到 10 分钟．设他家到学校的路程是 xkm，则根据题意列出方程是（ ） A． 10 5 15 60 12 60 x x   B． 10 5 15 60 12 60 x x   C． 10 515 12 x x   D． 10 5 15 60 12 60 x x   2．（2019·湖北省武汉中考模拟）一列火车匀速行驶，经过一条长 600 米的隧道需要 25 秒的时间，隧道的顶 上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10 秒，求火车的速度.设火车的速度为 xm/s,列方程 得( ) A． 600 10 25 x x  B． 600 10 25 x x  C．10 600 25x x  D．10 25 600x x  3．（2019·无锡市中考模拟）甲、乙两运动员在长为 100m 的直道 AB（A，B 为直道两端点）上进行匀速往 返跑训练，两人同时从 A 点起跑，到达 B 点后，立即转身跑向 A 点，到达 A 点后，又立即转身跑向 B 点… 若甲跑步的速度为 5m/s，乙跑步的速度为 4m/s，则起跑后 100s 内，两人相遇的次数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 考查题型十二 其他问题 1．（2017·四川中考模拟）某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过 20m3，每立方米收 费 2 元；若用水超过 20m3，超过部分每立方米加收 1 元．小明家 5 月份交水费 64 元，则他家该月用水（ ） m3． A．38 B．34 C．28 D．44 2．（2019·湖南中考模拟）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他 60 岁时完成的《直指算法统宗》是东方 古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁． 意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正好分完，大、小和 尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ） A．大和尚 25 人，小和尚 75 人 B．大和尚 75 人，小和尚 25 人 C．大和尚 50 人，小和尚 50 人 D．大、小和尚各 100 人 3．（2019·浙江中考模拟）今年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，5 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍．设今 年儿子的年龄为 x 岁，则下列式子正确的是（ ） A．4x－5=3(x－5) B．4x+5=3(x+5) C．3x+5=4(x+5) D．3x－5=4(x－5)